Trang 1
Mục lục Phần 1. MỞ ĐẦU........................................................................................................................3 Phần 2. NỘI DUNG.....................................................................................................................4 I. CƠ SỞ LÝ THUYẾT...............................................................................................4 1. Một số vấn đề đề tiền cơ học lượng tử................................................................4 2. Áp dụng cơ học lượng tử về cấu tạo nguyên tử..................................................9 II. MỘT SỐ BÀI TẬP TIÊU BIỂU..........................................................................15 1. Một số nội dung lý thuyết cần nhớ bài tập hạt trong hộp thế một chiều...........15 2. Bài tập cơ bản....................................................................................................16 3. Bài tập nâng cao................................................................................................21 4. Bài tập rèn luyện...............................................................................................59 Phần 3. KẾT LUẬN.................................................................................................................67 TÀI LIỆU THAM KHẢO.........................................................................................................67
Trang 2
Chuyên đề: Hạt chuyển động trong hộp thế Phầ n 1. MỞ ĐẦ U Sự xuất hiện của thuyết lượng tử về cấu trúc và các quá trình biến đổi của vật chất vào những thập niên đầu tiên của thế kỷ XX kéo theo sự phát triển mạnh mẽ của nhiều lĩnh vực khác nhau từ khoa học tự nhiên đến công nghệ kỹ thuật. Mặc dù ra đời muộn hơn nhiều chuyên ngành hóa học khác rất nhiều, nhưng hóa học lượng tử đã trở thành môn học không thể thiếu đối với sinh viên chuyên ngành về hóa học. Trong học tập, những năm gần đây trong đề thi học sinh giỏi, Olympic 30/4, Olympic chuyên Khoa học tự nhiên, vòng 1 (thi học sinh giỏi quốc gia – HSGQG) và vòng 2 (thi chọn đội tuyển dự thi Olympic Hóa học Quốc tế), câu hỏi phần hóa học lượng tử xuất hiện và chiếm vị trí ngày càng quan trọng. Đối với hóa học lượng tử, nội dung thi học sinh giỏi khu vực hay vòng 1 thường phân hóa ở các mức độ. Có những phần nội dung rất khó. Theo xu hướng hiện nay, việc thực hiện kiến thức về sự chuyển động của hạt trong hộp thế cần được xác định và làm rõ trong quá trình học tập của học sinh. Chuyên đề “Hạt chuyển động trong hộp thế” được thực hiện với mục tiêu củng cố cơ sở lý thuyết. Sưu tầm và chắt lọc những bài tập đã xuất hiện trong thời gian qua. Một số nội dung cần đạt khi thực hiện chuyên đề: - Hiểu bản chất mô hình “hạt trong hộp thế” (1D, 2D, 3D) – là mô hình lý tưởng hóa đơn giản nhất để mô tả hạt bị giam giữ trong một vùng không gian giới hạn. - Hiểu và giải thích được nghiệm của phương trình Schrödinger độc lập thời gian cho hộp thế một chiều. - Nhận biết và tính được các mức năng lượng rời rạc của hạt trong hộp. - Hiểu và vẽ được các hàm sóng (wavefunction) và mật độ xác suất xuất hiện. - Ứng dụng mô hình để giải thích hiện tượng lượng tử trong hóa học như: sự lượng tử hóa mức năng lượng trong phân tử, hấp thụ – phát xạ, phổ điện tử... - Giải phương trình Schrödinger cho bài toán hạt trong hộp thế 1D. - Tính mức năng lượng, bước sóng hấp thụ và phát xạ liên quan. 2
Trang 3
Chuyên đề: Hạt chuyển động trong hộp thế Phầ n 2. NỘI DUNG I. CƠ SỞ LÝ THUYẾ T Phần nội dung lý thuyết được tổng hợp từ tài liệu tham khảo 1. Một số! vầ!n đề đề tiề n cơ học lượng tử a) Những giới hạn của vật lý cổ đi nể Thông qua tìm hiểu lịch sử giúp có cái nhìn bao quát đầy đủ tiến trình hình thành, xây dưng và phát triển của hóa học Lượng tử. Giúp người học thêm cảm hứng học tập. Cơ học lượng tử bắt đầu được phát triển từ những năm 1900 trên cơ sở những nghiên cứu của Planck về ánh sáng phát ra từ những vật được nung nóng. Hơn nữa, bản chất của ánh sáng và bản chất của vật chất có quan hệ mật thiết với nhau. Trong thực tế, hầu hết những hiểu biết về cấu trúc của nguyên tử và phân tử là trên cơ sở nghiên cứu sự tương tác giữa chúng với sóng điện từ. Các loại tương tác này là cơ sở của quang phổ học, những kỹ thuật rất quan trọng trong việc nghiên cứu vật chất ở cấp độ nguyên tử và phân tử. Do đó, trước hết chúng ta bàn về bản chất của ánh sáng. Từ những ngày đầu của vật lý, đã xuất hiện những tranh cãi liên quan đến bản chất của ánh sáng. Một số nhà vật lý nổi tiếng, như Isaac Newton, tin rằng ánh sáng gồm các hạt (particles) hay "tiểu thể" (corpuscles). Tại thời điểm đó, nhiều nhà khoa học khác lại cho rằng ánh sáng về bản chất có tính chất sóng. Năm 1807, T. Young đã tiến hành thí nghiệm và quan sát thấy hiện tượng giao thoa (interference) và nhiễu xạ (diffraction) khi cho một chùm ánh sáng đi qua một khe hẹp. Điều này chứng tỏ ánh sáng có tính chất sóng. Những năm 1860, J. C. Maxwell giới thiệu bốn phương trình, được gọi là các phương trình Maxwell, mô tả trường điện từ và những tương tác của chúng với vật chất. Các công trình của Maxwell cho phép dự đoán sự tồn tại của sóng điện từ khi có sự thay đổi của một trong các yếu tố như cường độ dòng điện, mật độ điện tích. Vận tốc của sóng điện từ, được tính bởi phương trình Maxwell, bằng với vận tốc ánh sáng đo được bằng thực nghiệm trước đó. Từ đó, Maxwell kết luận rằng ánh sáng là sóng điện từ. Sau đó không lâu, H. R. Hertz đã làm sáng tỏ bản chất sóng của ánh sáng khi chứng minh thỏa đáng sự tồn tại của sóng điện từ bằng cách chế tạo một thiết bị (antenna) phát và thu sóng vô tuyến. Nhiều thí nghiệm cho thấy tất cả các bức xạ điện từ đều di chuyển trong chân không với tốc độ c = 3x108 m/s. Bước sóng hay độ dài sóng λ (lamda) và tần số ν (nu) của một sóng điện từ liên hệ với nhau qua biểu thức 3
Trang 4
Chuyên đề: Hạt chuyển động trong hộp thế νλ=c. Tùy thuộc vào tần số, các sóng điện từ có những tên gọi khác nhau như sóng vô tuyến (radio wave), vi sóng (microwave), bức xạ hồng ngoại (infraredradiation), áng sáng khả kiến (visible light), bức xạ tử ngoại (ultraviolet radiation), tia X (X-rays), và tia gamma. Sau đây, chúng ta sẽ sử dụng thuật ngữ ảnh sảng (light) cho tất cả các loại bức xạ điện tử. Trước kia, độ dài sóng của ánh sáng khả kiến và từ ngoại có đơn vị là Â, nhưng hiện nay là nanometer (nm): 1 nm = 10-9m; 1Å 10-10 m = 0,1 nm Đến cuối những năm 1800, các nhà khoa học đã tạo nên một sự đột phá mới trong vật lý nguyên tử khi đo được cường độ của ánh sáng phát ra từ một vật đen (blackbody) tại những nhiệt độ khác nhau. Về mặt lý thuyết, một vật đen sẽ hấp thụ tất cả các bức xạ điện từ chiếu đến nó, bất kể bước sóng nào. Điều này có nghĩa là sẽ không có hiện tượng phản xạ hay tán xạ trên vật đó, cũng như không có dòng bức xạ điện từ nào đi xuyên qua vật. Tuy nhiên, trong thực tế, các vật đen luôn phát ra môi trường xung quanh các bức xạ điện từ, tạo nên quang phổ đặc trưng cho nhiệt độ của vật, gọi là bức xạ vật đen. Quang phổ của vật đen là quang phổ liên tục và chỉ phụ thuộc vào nhiệt độ của vật đen. Các nhà vật lý khi đó đã dùng lý thuyết nhiệt động học và vật lý thống kê cùng với giả thuyết năng lượng được phân bố đều giữa các hướng chuyển động tự do trong không gian để xác định phổ của bức xạ vật đen ở trạng thái cân bằng nhiệt (trạng thái nhiệt độ đồng đều và không thay đổi). Dựa trên những lý thuyết cổ điển này, Rayleigh và Jeans đưa ra một công thức rất đơn giản để tính cường độ của bức xạ vật đen. Theo đó, độ sáng của vật đen không phụ thuộc vào bản chất của nó, nhưng có điều kỳ lạ là ở bất cứ nhiệt độ T nào, độ sáng B, cũng tăng rất nhanh với tần số v theo luật bình phương (B₁₁ = 8nkTv²/c³, với k là hằng số Boltzmann và c là vận tốc ánh sáng). Có nghĩa là một vật đen như cái lò dùng để nung nấu phải phát ra những bức xạ rất mạnh ở những tần số cao, đặc biệt trên vùng sóng tử ngoại và sóng X. Tuy nhiên, trên thực tế lò này không phát ra tia tử ngoại và tia X độc hại và không gây ra thảm họa cho người dùng. Phương pháp tỉnh cường độ của bức xạ vật đen dựa trên vật lý cổ điển đã dẫn đến những kết quả tò tỏ ra không hợp lý và đã gây ra chấn động mà một số nhà khoa học ở đầu thế kỷ 20 phải gọi đó là “thảm họa tử ngoại" hay "thảm họa Rayleigh- Jeans." 4
Trang 5
Chuyên đề: Hạt chuyển động trong hộp thế Năm 1900, Max Planck đưa ra một giả định được xem là thỏa đáng tại thời điểm đó khi cho rằng các nguyên tử của một vật đen có thể đã phát ra những bức xạ điện từ có năng lượng được lượng tử hóa. Theo đó, lượng năng lượng nhận vào hay tỏa ra trong mỗi lần hấp thụ hay bức xạ ánh sáng có giá trị hoàn toàn xác định, không thể chia nhỏ được và được xác định bởi: E = hν Trong đó, E là năng lượng, v là tần số, h là một hằng số, được gọi là hằng số Planck. Độ sáng của vật đen được Planck xây dựng từ lý thuyết lượng từ là: Công thức này cho thấy dù ở tần số cao đến đâu thì mẫu số vẫn tăng rất nhanh so với tử số, làm cho I(ν, T) phải giảm xuống ở vùng tần số cao nên tránh được “thảm họa tử ngoại" như đề cập ở trên. Những tính toán của Planck còn cho thấy với giá trị h=6,63×10-34 Js thì ta sẽ thu được đường cong lý thuyết I(ν, T) khớp với đường cong của vật đen thu được trước đó bằng các phép đo thực nghiệm. Công trình của Planck được ghi nhận là đã đặt nền móng cho sự ra đời và phát triển của cơ học lượng tử. b) Thuyết lượng tử Planck Theo Planck, một dao động tử dao động với tần số chỉ có thể phát ra hay hấp thụ năng lượng theo từng đơn vị nguyên vẹn, từng lượng gián đoạn, được gọi là lượng tử năng lượng. Lượng tử năng lượng đó tỉ lệ thuận với tần số của dao động. Trong đó: h là hằng số Planck, h = 6,625 10-34 J.s là tần số dao động ( , c tốc độ ánh sáng trong chân không, c=3 108m/s, độ dài sóng ,m). Ý nghĩa quan trọng của thuyết lượng tử Plank là đã phát hiện ra tính chất gián đoạn hay tính chất lượng tử của năng lượng trong các hệ vi mô. Năng lượng của electron trong nguyên tử,năng lượng quay....đều nhận những giá trị gián đoạn là : Mặt khác, vì năng lượng của dao động tử phát ra hay hấp thụ dưới dạng năng lượng bức xạ nên thuyết lượng tử Planck cũng có nghĩa là “Ánh sáng hay bức xạ nói chung gồm những lượng tử năng lượng ”. 5
Trang 6
Chuyên đề: Hạt chuyển động trong hộp thế b) Nguyến lý bất đ nh - lị ưỡng tính sóng hạt của ánh sáng Theo cơ học cổ điển, ta có thể đo được vị trí cũng như vận tốc (hoặc xung lượng p = mv) của một hạt tại bất cứ thời điểm nào với độ chính xác tủy ỷ. Tuy nhiên, trong thực tế ta không thể xác định một cách chính xác cả tọa độ và xung lượng của các hạt vì mô. Nguyên nhân không phải là do yếu tố chủ quan hay những hạn chế của điều kiện thí nghiệm, mà vấn đề nằm ở bản chất của các hạt vi mô, xuất phát từ lưỡng tính sóng – hạt của chúng. Vào cuối những năm 1920, Heisenberg tiến hành phân tích một cách hệ thống quá trình trên và đã kết luận rằng không thể xác định chính xác là có bao nhiêu xung lượng được truyển cho electron. Heisenberg đã diễn tả sự bất định trong thế giới vi mô bằng một bất đẳng thức như sau: Vậy nếu vị trí được xác định càng chính xác ( gần về zero) thì sự bất định về xung lượng sẽ càng lớn để cho tích . , luôn lớn hơn h/2π. Ta không thể giảm cùng một lúc và . Tương tự, chúng ta có mối liên hệ giữa sự bất định năng lượng và thời gian sống của một hạt sơ cấp: ΔΕ - Δε ≥ 1/2π Hiệu ứng quang điện: Hiệu ứng quang điện là hiện tượng giải phóng ra các electron khỏi bề mặt kim loại dưới tác dụng của bức xạ chiếu vào. Đối với kim loại xác định , điều kiện để có hiệu ứng quang điện là bức xạ được chiếu vào bề mặt kim loại phải có một tần số tối thiểu gọi là tần số giới hạn. Nếu bức xạ có tần số thì năng lượng của bức xạ một phần dùng vào việc giải phóng electron khỏi bề mặt kim loại, một phần truyền động năng cho electron: Lưỡng tính sóng- hạt của vật chất: Sự chuyển động của mọi hạt vật chất có khối lượng m và tốc độ v đều liên hệ với một sóng có độ dài được xác định bởi hệ thức de Broglie : trong đó p là động lượng của hạt. Hệ thức bất định Heisenberg: Theo Heisenberg, không thể xác định đồng thời chính xác cả vị trí lẫn động lượng của vi hạt. Chẳng hạn, một hạt chuyển động theo 6
Trang 7
Chuyên đề: Hạt chuyển động trong hộp thế phương x với độ bất định về tọa độ là và độ bất định về động lượng là thì hệ thức bất định có dạng: hoặc Củng cố Ví dụ 1. Tính độ dài sóng của một hạt bụi khối lượng 0,01mg chuyển động với v=1,0mm/s và độ dài sóng của một electron khối lượng 9,1 10-31kg chuyển động với tốc độ 1,0 106m/s. Gợi ý làm bài: Electron Hạt bụi: Nhận xét: Độ dài sóng của hạt bụi quá nhỏ, chỉ thể hiện khi tương tác với mạng nhiễu xạ có khe hở khoảng 6,6 10-23m. Khoảng cách như thế nhỏ hơn nhiều so với kích thước nguyên tử (cỡ 10-10m) nên khi tương tác với đối tượng thực, tính chất sóng của hạt bụi không thể hiện. Trong khi đó bước sóng của elctron lớn hơn nhiều. Sự nhiễu xạ của sóng như vậy có thể quan sát được khi các electron tương tác với các nguyên tử trong tinh thể. Ví dụ 2. Phép đo tọa độ x của electron có độ chính xác vào khoảng 10-3 đường kính nguyên tử (khoảng 10-8cm). Có thể xác định được chính xác tốc độ chuyển động của electron hay không? Gợi ý làm bài: Khối lượng của electron là 9,1 10-31 kg. Theo đầu bài ta có . Ta có Thay vào tính được mà tốc độ ánh sáng trong chân không là 3 108m/s. Vậy không thể xác định được vận tốc của electron khi đã biết tọa độ của nó. Nhận xét: Từ ví dụ này ta thấy tầm quan trọng của nguyên lý bất định ở quy mô 7
Trang 8
Chuyên đề: Hạt chuyển động trong hộp thế nguyên tử. Chẳng hạn, không thể biết chính xác quỹ đạo chuyển động của electron trong nguyên tử. 2. Áp dụng cơ học lượng tử về cầ!u t o nguyạ ền tử a) Hàm sóng Trong cơ học cổ điển, khái niệm trạng thái (state) của một hạt nghĩa là sự định rõ vị trí, tốc độ cũng như các lực tác dụng lên hạt đó. Theo định luật hai Newton (F = ma), nếu cho trước trạng thái của một hạt bất kì, ta sẽ xác định được trạng thái của nó trong tương lai. Tuy nhiên, theo nguyên lý bất định, ta không thể xác định chính xác đồng thời cả tốc độ và vị trí cho một hạt vì mô. Nghĩa là, dựa vào cơ học cổ điển thì không thể dự đoán được trạng thái của một hạt vi mô. Do đó, để có thể mô tả được chính xác sự chuyển động của các hạt vi mô ta phải dùng cơ học lượng tử. Mỗi trạng thái của một hệ vi mô được đặc trưng bới một hàm xác định, đơn trị ,hữu hạn, liên tục, phụ thuộc vào thời gian t và tọa độ q, ký hiệu là hàm ; gọi là hàm sóng hay hàm trạng thái. Hàm sóng không có ý nghĩa vật lý trực tiếp, song bình phương môđun của hàm đó, , cho biết xác suất tìm thấy hệ lượng tử tại một thể tích đơn vị trong không gian có tọa độ q ở thời điểm t. Xác suất phát hiện electron trong yếu tố thể tích nào đó được xác định bằng Mật độ xác suất: . Bình phương trị tuyệt đối hàm sóng là mật độ xác suất tim thấy hạt ở những vị trí khác nhau trên trục. Như vậy, bản chất của cơ học lượng tử về cơ bản là có tính thống kê. Biết được trạng thái của hạt, không có nghĩa là ta xác định chính xác vị trí của hạt mà chỉ có thể dự đoán xác suất của những kết quả có thể thu được. Trong mô hình Bohr cho nguyên tử hydro, electron được giả định là di chuyển trên những quĩ đạo xác định và do đó nó không phải là bức tranh thật sự của cơ học lượng tử. Tuy nhiên, trong những phần sau, chúng ta sẽ thấy khoảng cách mà tại đó xác suất tìm thấy electron cực đại phù hợp với những tiên đoán của Bohr. 8
Trang 9
Chuyên đề: Hạt chuyển động trong hộp thế Nếu lấy tích phân của trong toàn không gian ta sẽ có xác suất tìm thấy hạt trong toàn không gian tức là bằng 1. Chú ý: Nếu hàm sóng là tổ hợp tuyến tính của nhiều hàm sóng , thì mật độ elelctron trên một nguyên tử sẽ bằng (trong đó là hệ số đóng góp của hàm sóng thuộc nguyên tử đang xét). b) Phương trình Schodinger Schodinger là người đầu tiên đưa ra phương trình mô tả được trạng thái của các vi hạt, chẳng hạn của electron trong nguyên tử. Đối với vi hạt (electron chẳng hạn) có khối lượng m, chuyển động trong trường thế năng U(x,y,z), phương trình Schodinger cho trạng thái dừng (là trạng thái của vi hạt không phụ thuộc vào thời gian) có dạng: Trong đó là hàm riêng của toán tử Hamilton , E là trị riêng của ứng với hàm riêng . - hằng số Planck rút gọn E - năng lượng toàn phần của hệ Hay - toán tử Laplace, Giải phương trình Schodinger sẽ tìm được hàm và năng lượng E của electron. Tuy nhiên việc giải chính xác phương trình này chỉ thực hiện đươc với nguyên tử Hidro và ion dạng Hidro (nguyên tử và ion có 1 electron, như He+,Li2+, Be3+…..Đối với nguyên tử nhiều electron người ta phái dùng phương pháp gần đúng. c) Kết quả giải phương trình Schodinger cho nguyến tử Hidro Nguyên tử Hidro và ion dạng Hidro là hệ 1 electron và một hạt nhân có mô hình: Trung tâm là hạt nhân có số đơn vị điện tích Ze0, một electron có điện tích –e0 chuyển động trong trường lực hạt nhân đó. Ta có phương trình Schodinger có dạng: 9
Trang 10
Chuyên đề: Hạt chuyển động trong hộp thế Kết quả lời giải phương trình Schodinger cho hệ này là: Hàm riêng là hàm obitan nguyên tử : là hàm bán kính còn là hàm góc. Hàm là hàm phức, phụ thuộc vào 3 số lượng tử đó là: số lượng tử chính n, số lượng tử phụ l và số lượng tử từ ml. Mỗi bộ ba giá trị của n,l,ml ứng với một hàm gọi là một obital nguyên tử. d) Nguyến tử nhiế)u electron Trong nguyên tử nhiều electron, ngoài tương tác giữa các electron và hạt nhân còn có tương tác giữa các electron với nhau. Ví dụ nguyên tử Heli có 2 electron, coi hạt nhân đứng yên, r1 và r2 lần lượt là khoảng cách của electron thứ nhất và thứ hai với hạt nhân, r12 là khoảng cách giữa 2 electron với nhau.Toán tử Hamiltơn có dạng : : toán tử Laplace của electron thứ nhất và thứ hai Số hạng biểu thị lực hút của elctron thứ nhất và thứ hai với hạt nhân. Số hạng biểu thị lực đẩy giữa hai electron. Phương pháp gần đúng áp dụng cho nguyên tử nhiều electron là mô hình hạt độc lập. Với mô hình này người ta coi mỗi electron trong nguyên tử chuyển động độc lập 10
Trang 11
Chuyên đề: Hạt chuyển động trong hộp thế với các electron khác trong một trường xuyên tâm tạo bởi hạt nhân và các electron còn lại. Kết quả là trạng thái của mỗi electron trong nguyên tử nhiều electron cũng được đặc trưng bởi một hàm sóng . Mỗi hàm cũng phụ thuộc vào 3 giá trị của 3 số lượng tử n, l, ml gọi là một obital nguyên tử. e) Phương pháp gấ) n đúng Slater áp dụng cho nguyến tử nhiế)u electron Slater đã đề nghị một phương pháp gần đúng xác định hàm bán kính Rnl và năng lượng tương ứng của obital đó là (năng lượng tương ứng với phân lớp electron). Công thức xác định hàm bán kính là: Z: Số đơn vị điện tích hạt nhân của nguyên tử b: Hằng số chắn (Z-b):Số đơn vị điện tích hạt nhân hiệu dụng n* : Số lượng tử chính hiệu dụng. Năng lượng của 1 electron ở trạng thái c: Hằng số được mô tả bới hàm Rnl(r) là : a : Bán kính Borh thứ nhất. 0 e0: Điện tích cơ bản f) Số lượng tử spin. Hàm obital spin Ngoài chuyển động obitan tạo ra mô men động lượng , electron còn có chuyển động spin tạo ra mômen động lượng spin . Theo thực nghiệm, electron có spin s=1/2. Để mô tả trạng thái electron trong chuyển động spin, ta có hàm sóng spin . Electron ở trạng thái spin được mô tả bởi hàm ,ký hiệu là , ứng với trị số lượng tử spin ms= - ½. Electron ở trạng thái spin được mô tả bởi hàm ,ký hiệu là , ứng với trị số lượng tử spin ms= + ½. Từ các nội dung trên ta thấy rằng đối với mỗi electron trong nguyên tử có hàm sóng hay hàm obital, với một bộ ba số lượng tử n,l,ml, mô tả chuyển động obital, hàm sóng spin , , với một số lượng tử từ spins ms, mô tả chuyển động spin của electron đó. Vậy hàm sóng toàn phần hay hàm obital spin với một bộ bốn số lượng tử n,l,ml,ms mô tả đầy đủ trạng thái của một electron trong nguyên tử là hàm tích: 11
Trang 12
Chuyên đề: Hạt chuyển động trong hộp thế g) Ứng dụng của phương trình Schodinger trong hộp thế 1 chiế)u. Trong những bài toán thực tế, ta thường gặp những trường hợp hạt chỉ chuyển động trong một phạm vi giới hạn bởi một hàng rào thế năng có chiều cao khá lớn, ví dụ như electrôn trong mạng tinh thể hay nuclôn trong hạt nhân bền, khi đó ta nói rằng hạt ở trong giếng thế năng. Ta hãy xét trường hợp hạt nằm trong giếng thế năng có thành cao vô hạn và chuyển động theo một phương x bên trong giếng thế (hình 8-6). Thế năng U được xác định theo điều kiện: Như vậy bên trong giếng thế hạt chuyển động tự do và không thể vượt ra ngoài giếng. Phương trình Schrodinger của hạt trong giếng thế (U = 0) một chiều (chiều x) có dạng: (12) Đặt , ta có: (13) Nghiệm của phương trình (13) có dạng: (14) A, B là những hằng số được xác định từ điều kiện của hàm sóng. Theo đầu bài thì hạt chỉ ở trong giếng thế, do đó xác suất tìm hạt tại vùng ngoài giếng thế bằng không và hàm sóng trong các vùng đó cũng bằng 0. Từ điều kiện liên tục của hàm sóng ta suy ra: . Thay điều kiện này vào (14) ta có: và B = 0 nên A phải khác 0 (vì nếu A = 0 thì ψ luôn bằng 0 và là một nghiệm tầm thường). Do đó ta có: với n = 1,2,… Từ đó rút ra: (15) Như vậy ta có một dãy nghiệm hàm sóng có dạng: (16) 12
Trang 13
Chuyên đề: Hạt chuyển động trong hộp thế thỏa mãn điều kiện biên của miền. Hằng số A được xác định từ điều kiện chuẩn hóa (3) của hàm sóng. Vì hạt không thể ra khỏi giếng nên xác suất tìm thấy hạt trong giếng là chắc chắn: Tính giá trị tích phân: Ta tìm được: Như vậy hàm sóng được xác định hoàn toàn: Năng lượng của hạt trong giếng thế cũng được tìm thấy khi thay vào và nhận được Từ các kết quả trên ta rút ra một số kết luận sau: a. Mỗi trạng thái của hạt ứng với một hàm sóng b. Năng lượng của hạt trong giếng phụ thuộc vào số nguyên n, nghĩa là biến thiên gián đoạn. Ta nói rằng năng lượng đã bị lượng tử hóa. Với n = 1 ta có mức năng lượng cực tiểu ứng với hàm sóng , mô tả trạng thái chuyển động cơ bản của hạt. Hàm sóng ψ1(x) khác không tại mọi điểm trong giếng, chỉ có thể bằng 0 tại các vị trí biên (Hình 8-7). Khoảng cách giữa hai mức năng lượng kế tiếp nhau ứng với các số nguyên n và n+1 bằng: 13
Trang 14
Chuyên đề: Hạt chuyển động trong hộp thế ΔEn càng lớn khi a và m càng nhỏ. Điều đó có nghĩa là trong phạm vi thế giới vi mô, sự lượng tử hóa càng thể hiện rõ rệt. Cụ thể, nếu xét hạt electrôn m = 9,1.10-31kg, a ~ 5.10-10m thì ΔE ~ 1eV, khoảng cách giữa En+1 và En tương đối lớn, năng lượng bị lượng tử hóa. Nhưng nếu xét một hạt có m ~10-26kg chuyển động trong miền a~10cm thì khoảng cách giữa các mức năng lượng ΔE~ 10-20eV khá nhỏ. Trong trường hợp này có thể coi năng lượng của hạt biến thiên liên tục. c. Mật độ xác suất tìm hạt trong giếng: Mật độ xác suất cực đại khi: . Do đó xác suất tìm thấy hạt lớn nhất tại: m = 0,1,… Ví dụ: Khi n = 1 xác suất tìm thấy hạt ở điểm x = a/2 là lớn nhất. Khi n = 2 xác suất tìm thấy hạt ở điểm x = a/4 và x = 3a/4 là lớn nhất... Mật độ xác suất cực tiểu khi: . Do đó xác suất tìm thấy hạt nhỏ nhất tại II. MỘT SỐ BÀI TẬP TIẾU BIỂU 1. Một số! nội dung lý thuyề!t cầ n nhớ bài t p hậ ạt trong hộp thế một chiều Electron chuyển động trong giếng thế theo phương x Ta giả thiết có một vi hạt (electron) chuyển động theo phương x và trong khu vực OA = a, ta có mô hình “hộp thế một chiều” 14
Trang 15
Chuyên đề: Hạt chuyển động trong hộp thế Phạm vi hạt chuyển động là: 0 . Hai điều kiện biên của bài toán là:khi x = 0 Ψ(x) = Ψ(0) = 0 và x = OA = a Ψ(x) = Ψ(a) = 0. Thế năng của hạt cũng là hàm của tọa độ x, nghĩa là U(x). Trị số của thế năng đó là: Như vậy, trong phạm vi hộp thế, thế năng bằng 0, nghĩa là hạt chuyển động hoàn toàn tự do. V= Phương trình Schrodinger trong trường hợp này có dạng Giải phương trình vi phân trên ta có - Hàm sóng: h2 - Năng lượng E =n2 . n 8mL2 n = 1,2,3… số lượng tử chính h – hằng số Plank m khối lượng electron L chiều rộng giếng thế 15
Trang 16
Chuyên đề: Hạt chuyển động trong hộp thế 2. Bài t p cậ ơ b nả Bài 1. 1e chuyển động trong giếng thế 1 chiều bị kích thích bằng ánh sáng có bước sóng 1,374.10-5 m để chuyển từ mức cơ bản lên mức cao hơn, xác định mức năng lượng cao hơn mà electron cần chuyển tới. Biết rộng giếng thế là 10nm. Gợi ý làm bài: Ánh sáng để kích thích electron theo yêu cầu của đề bài có năng lượng Năng lượng ánh sáng nên để kích thích electron từ mức n = 1 lên mức n’ > n Bài 2. Xác định sự biến thiên giữa 2 mức năng lượng n =2 và n = 1 theo J; kJ/mol; eV; cm-1 cho 1e chuyển động trong giếng thế 1 chiều rộng 1nm. Gợi ý làm bài: Biến thiên năng lượng của 2 mức n = 2 và n = 1 Năng lượng cho 1 mol electron = 1,809.10-19.6,02.1023.10-3 = 108,915(kJ) Năng lượng tính theo cm-1: Bài 3. 1 electron chuyển động trong hộp thế 1 chiều cần bước sóng có độ dài 8080nm để kích thích từ mức n = 2 lên mức n = 3. Tính chiều dài hộp thế. 16
Trang 17
Chuyên đề: Hạt chuyển động trong hộp thế Gợi ý làm bài: Năng lượng của ánh sáng kích thích electron từ mức n = 2 lên mức n = 3 Bài 4. a. Tính bước sóng của một bức xạ điện từ cần để kích thích một electron từ trạng thái cơ bản lên mức năng lượng n = 5 trong một hộp thế một chiều dài 40.0 pm. b. Một electron trong một hộp thế một chiều cần bước sóng 8080 nm để kích thích từ trạng thái n = 2 lên n = 3. Tính độ dài của hộp thế này. c. Một electron trong hộp thế một chiều 10.0 nm được kích thích từ trạng thái cơ bản đến một trạng thái cao hơn bằng cách hấp thụ một photon của bức xạ điện từ có bước sóng 1.374×1025 m. Xác định trạng thái năng lượng cuối của bước chuyển này. d. Điều gì sẽ xảy ra với các mức năng lượng của một electron bị giữ trong một hộp thế một chiều khi chiều dài hộp thế tăng lên? Dự đoán mức năng lượng ở trạng thái cơ bản của electron trong một hộp thế một chiều độ dài 10-6 m sẽ thấp hay cao hơn so với trong hộp thế 10-10 m? Gợi ý làm bài: a. b. 17
Trang 18
Chuyên đề: Hạt chuyển động trong hộp thế c. d. Theo công thức , khi L tăng lên thì En sẽ giảm và khoảng cách giữa các mức năng lượng cũng sẽ giảm. Vậy năn gluowwngj mức trạng thái cơ bản của electron trong hộp thế 10-6m sẽ thấp hơn so với hộp thế 10-10 m. Bài 5. Một electron chuyển động trong giếng thế một chiều bị kích thích bằng ánh sáng hấp thu với bước sóng 1,374.10-5 m để chuyển từ mức cơ bản lên mức cao hơn. Hãy xác định mức năng lương cao hơn, n mà electron cần chuyển tới, biết rằng độ rông của giếng thế là 10,0 nm. Cho: h = 6,626.10-34 Js ; c = 2,9979.108 m/s ;m = 9,109.10-31 kg p Gợi ý làm bài: 18
Trang 19
Chuyên đề: Hạt chuyển động trong hộp thế Áp dụng công thức tính năng lượng khi electron chuyển động trong giếng thế một chiều, ta có thể tìm được hiệu năng lượng giữa mức cao và mức cơ bản như sau: Kết luận: Như vậy, mức năng lượng n mà electron cần chuyển tới có giá trị là n = 5 Bài 6. Cho electron chuyển đô ³ng trong giếng thế mô ³t chiều với đô ³dài a = 1,0 nm. Hãy tính năng lượng các mức theo J; kJ.mol; eV và cm−1 cho các trường hợp sau: a) n =2;n =1 c t b) n =6;n =5 c t Cho 1 eV = 1,6.10−19 J; 1 cm−1=1,986.10−23J Gợi ý làm bài: h2 Áp dụng công thức chung E = n2 8ma2 Để dễ dàng tính phần cố định: h2 (6,62.10−34 Js)2 = =6,02.10−20 J 8ma2 8.9,1.10−31 kg.(1,0.10−9 m)2 h2 a) ΔE(J)=E −E =(4−1) = 3.6,02.10−20J = 18,06.10−20J 2 1 8ma2 ΔE(kJ/mol) ¿ ΔΕ(J).10−3 .6,02.10−23=108,36kJ .mol−1 19
Trang 20
Chuyên đề: Hạt chuyển động trong hộp thế ΔΕ(J ) 18,06.10−20 ΔΕ (eV) ¿ = =1,125eV 1,6.10−19 1,6.10−19 ΔΕ(J ) 18,06.10−20 ΔΕ(cm−1)= = =9063cm−1 1,986.10−23 1,6.10−19 h2 h2 b) ΔΕ=E −E =(36−25) =11. =11.6,02.10−20 J 6 5 8ma2 8ma2 Cũng bằng cách tương tự như câu a có các giá trị ΔΕ:6,6.10−19 J ;≈400kJ .mol−1;4,1eV ;33,000cm−1 . Bài 7. Hãy xác định sự biến thiên năng lượng E theo J, kJ.mol-1, eV và cm-1 giữa 2 mức năng lượng nc = 2 ; nt = 1 cho 1 electron chuyển động trong giếng thế một chiều có chiều rộng là 1,0 nm. Gợi ý làm bài: Năng lượng được tính theo công thức: E = n2 . Do đó: E = = 6,02.10-20 J. Các hệ số chuyển đổi: E(kJ/mol) = E (J) 1 eV = 1,6.10-19 J ; 1 cm-1 = 1,986.10-23 J Từ các số liệu này, ta dễ dàng tính được E theo các đơn vị J, kJ/mol, eV, cm-1 E21 = E2-E1 = (4-1) = 36,02.10-20 J = 1,806.10-19 J Vậy, kết quả cuối cùng thu được là: E21 = 1,806.10-19 J = 108,72 kJ.mol-1 = 1,13 eV = 9093,6 cm-1 3. Bài t p nậ ầng cao Bài 1: Cho 2 hệ: ethylene và trans-1,3,5-hexatriene. Chiều dài 2 phân tử lần lượt là 289pm và 867pm a. Sử dụng mô hình hạt trong hộp thế 1 chiều để xác định : - Hai mức năng lượng đầu tiên của các e- tương ứng. - Bốn mức năng lượng đầu tiên của e- trong 1,3,5-hexatriene. 20
Hiển thị 20 trang đầu. Tải tài liệu để xem đầy đủ.
Bình luận (0)
Chưa có bình luận nào. Hãy là người đầu tiên!