Trang 1
Hạt chuyển động trong hộp thế PHẦN I: HỆ THỐNG LÝ THUYẾT CHƯƠNG 1: NHỮNG VẤN ĐỀ CƠ BẢN VỀ CƠ HỌC LƯỢNG TỬ 1.1. Vài nét sơ lược về toán tử Toán tử là một quy tắc hay một phép toán mà khi tác dụng nó vào một hàm sẽ cho một hàm mới. Kí hiệu toán tử (đọc là toán tử A mũ hay toán tử A). Có hàm f thì (g là hàm mới). Ví dụ 1: Toán tử (là toán tử: nhân với biến x); hàm . Ví dụ 2: Toán tử ; . Khi đó: . Nếu kết quả tác dụng của toán tử lên hàm f thu được đại lượng a nhân với chính hàm f đó: (1.2) thì ta nói f là hàm riêng của toán tử , a là trị riêng của toán tử ứng với hàm riêng f. Như trong ví dụ 2, ta thấy nên ta nói hàm là hàm riêng của toán tử d/dx, còn a (một số nào đó) là trị riêng của toán tử d/dx ứng với hàm riêng Phương trình được gọi là phương trình hàm riêng - trị riêng. Một toán tử có thể có nhiều hàm riêng và trị riêng khác nhau. Tập hợp các trị riêng của toán tử gọi là phổ các trị riêng (phổ có thể liên tục, hoặc gián đoạn hoặc có một phần liên tục, một phần gián đoạn). Nếu mỗi trị riêng chỉ ứng với một hàm riêng thì trị riêng đó gọi là không suy biến. Nếu cùng một trị riêng ứng với k hàm riêng khác nhau (độc lập tuyến tính) thì trị riêng này gọi là suy biến k lần hay suy biến bậc k. Để biểu diễn những đại lượng vật lí của vi hạt, cơ học lượng tử chỉ dùng các toán tử tuyến tính Hecmit (chú ý: các đại lượng vật lí của vi hạt phải biểu diễn bằng toán tử Hecmit nhưng không nhất thiết toán tử Hecmit nào cũng phải biểu diễn một đại lượng vật lí). Trị riêng của toán tử Hecmit là số thực. Một số toán tử Hecmit thường dùng trong hóa học lượng tử: - Toán tử tọa độ: Đối với hệ tọa độ Descartes x, y, z của hạt, toán tử tương ứng là: 1
Trang 2
Hạt chuyển động trong hộp thế (toán tử là toán tử nhân với x); ; - Toán tử xung lượng: Đã biết kí hiệu của xung lượng là p. Vậy toán tử tương ứng là . Toán tử tương ứng với các thành phần xung lượng của hạt có dạng: ( là hằng số Planck rút gọn, ; ) - Toán tử thế năng: - Toán tử động năng: Đối với một hạt: ( : đọc là nabla bình phương) - Toán tử Hamilton: (toán tử quan trọng bậc nhất trong hóa học lượng tử) Đối với một hạt, hàm Hamilton cổ điển là năng lương toàn phần E (động năng T + thế năng U) của hạt.Toán tử tương ứng trong cơ học lượng tử gọi là toán tử Hamilton của hạt: 1.2. Hàm sóng và phương trình Schrodinger phụ thuộc thời gian 1.2.1. Hàm sóng và phương trình Schrodinger phụ thuộc thời gian Trong cơ học lượng tử, mỗi trạng thái của một hệ lượng tử được mô tả đầy đủ bằng một hàm (q,t) – là hàm xác định của tọa độ khái quát q (ở đây q chỉ tập hợp tất cả các tọa độ độc lập q1, q2, …của hệ) và của thời gian t – được gọi là hàm trạng thái hoặc hàm sóng. Đối với hệ lượng tử có n hạt, phương trình tổng quát biểu diễn sự phụ thuộc của hàm sóng theo thời gian t như sau: (1.3) trong đó: 2
Trang 3
Hạt chuyển động trong hộp thế là toán tử Hamilton của hệ. với m1, …, mn là khối lượng tương ứng của hạt 1, …, n; xn, yn, zn là toạ độ của hạt thứ n U là thế năng của hệ. Trong trường hợp chung, U là hàm của toạ độ và thời gian. Do đó một cách tổng quát, phụ thuộc vào tọa độ và thời gian. Khái niệm về hàm sóng và phương trình được đưa ra bởi nhà vật lí học người Áo Erwin Schrodinger (1887 – 1961). Phương trình được gọi là phương trình Schrodinger phụ thuộc thời gian. Do có sự tương tự nào đó với những phương trình sóng của cơ học cổ điển nên nó còn gọi là phương trình sóng Schrodinger. Cũng vì vậy, những nghiệm của nó được gọi là hàm sóng. Phương trình là phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất của hàm sóng theo thời gian. Do đó, nếu biết dạng cụ thể của và trạng thái của hệ ở thời điểm đầu nào đó thì phương trình sẽ cho phép xác định được trạng thái của hệ tại mọi thời điểm tiếp theo. Phương trình Schrodinger có vai trò tương tự như phương trình của các định luật Newton trong cơ học cổ điển. Từ các phương trình này, cho phép ta dự đoán trạng thái của một hệ sẽ biến đổi như thế nào trong tương lai khi đã biết trạng thái ở thời điểm đầu cho trước. Tuy nhiên, khác với cơ học cổ điển với sự mô tả chính xác, trong cơ học lượng tử, các đại lượng vật lí gắn liền với trạng thái của vi hạt chỉ được xác định theo quan điểm thống kê, nghĩa là ta chỉ có thể nói đến xác suất hay khả năng xác định đại lượng vật lí nào đó mà thôi. Sự mô tả có tính chất thống kê là một nét đặc trưng của cơ học lượng tử phản ánh những đặc điểm của các hệ vật lí vi mô. 1.2.2. Hàm sóng *Ý nghĩa thống kê của hàm sóng - Hàm sóng thường là hàm phức nên không có ý nghĩa vật lí trực tiếp, không mô tả sóng thực nào trong không gian như sóng cơ, sóng điện từ trong vật lí cổ điển. Tuy nhiên, bình phương mođun của hàm sóng hay ( là liên hợp phức của hàm ) cho biết xác suất tìm thấy hệ lượng tử trong một đơn vị thể tích bao 3
Trang 4
Hạt chuyển động trong hộp thế quanh tọa độ q ở thời điểm t, tức là biểu thị xác suất tìm thấy hệ trong phần tử thể tích của không gian cấu hình của hệ ở thời điểm t. Nội dung này do Max Born đưa ra vào năm 1926. được gọi là hàm mật độ xác suất. - Ta xét một hệ lượng tử gồm 1 hạt chỉ chuyển động theo phương x. Hình 1.1. Xác suất tìm thấy hạt Xác suất tìm thấy hạt trong khoảng x và x + dx ở trong khoảng x và x + dx ở thời thời điểm t (Hình 1.1) là điểm t bằng . Mức độ đậm nhạt của dải nằm ngang cho biết (1.4) xác suất tìm thấy hạt ở một điểm nào đó là lớn hay nhỏ. Tương tự, đối với một hệ lượng tử gồm 1 hạt có trạng thái được mô tả bởi hàm sóng . Xác suất của phép đo vị trị của hạt ở thời điểm t sẽ tìm thấy hạt trong một một phần tử thể tích vô cùng nhỏ trong không gian xung quanh điểm M (x’, y’, z’), nói cách khác, xác suất tìm thấy hạt trong một hình hộp rất nhỏ xung quanh M (x’, y’, z’) và có các cạnh dx, dy và dz (Hình 1.2) theo Max Born được tính như sau: Hình 1.2. Một hình hộp vô cùng nhỏ có các cạnh dx, dy, dz trong không gian. - Cần lưu ý: Hàm có thể là hàm thực hoặc hàm phức, có thể có giá trị âm hoặc dương nhưng hàm mật độ xác suất luôn luôn là hàm thực và không âm. Thật vậy, giả sử (trong đó f và g là hàm thực và ). Khi đó: Hình 1.3. Vùng âm và vùng dương của hàm sóng tương ứng với xác suất (luôn là hàm thực và không âm). tìm thấy hạt. Mức độ đậm nhạt của dải Mặc dù hàm sóng không có ý nghĩa vật lí trực nằm ngang biểu thị xác suất tìm thấy hạt ở một vị trí nào đó là lớn hay nhỏ tiếp, nhưng các vùng âm và vùng dương của hàm sóng có thể tương ứng với xác suất 4
Trang 5
Hạt chuyển động trong hộp thế tìm thấy hạt (Hình 1.3). Ngoài ra, sự xuất hiện của các vùng âm và vùng dương của hàm sóng có thể giúp chúng ta hình dung sự xen phủ giữa các hàm sóng khác nhau. *Điều kiện chuẩn hóa hàm sóng - Đối với hệ gồm một hạt chỉ chuyển động theo phương x mà ta xét ở trên, xác suất tìm thấy hạt trong khu vực từ x=a đến x= b bằng tổng tất cả các xác suất vi phân trong khoảng a và b: (1.5) Xác suất tìm thấy hạt trên phương x phải bằng 1. Do đó: (1.6) Khi hàm sóng thỏa mãn hệ thức , ta nói hàm sóng đã chuẩn hóa. - Tương tự, với trường hợp một hạt chuyển động trong không gian ba chiều. Điều kiện chuẩn hóa hàm sóng là: Tổng quát, điều kiện chuẩn hóa hàm sóng có thể viết dưới dạng: (1.7) - Bằng phương pháp thế, ta thấy rằng: nếu là nghiệm của phương trình thì N. (N là một hằng số khác không tùy ý, thực hoặc phức) cũng là nghiệm của phương trình . Như vậy, trạng thái của một hệ lượng tử có thể được mô tả bởi các hàm sóng mà các hàm sóng đó chỉ khác nhau một thừa số hằng số N. Tuy nhiên, điều kiện chuẩn hóa hàm sóng sẽ hạn chế bớt điều này. Cụ thể, nếu có hàm sóng được dùng để mô tả trạng thái của hệ lượng tử nhưng chưa thỏa mãn điều kiện , nghĩa là , ta cần chuẩn hóa hàm sóng bằng cách tìm thừa số (hay hằng số) N để (N thường được gọi là thừa số chuẩn hóa). Ví dụ 3: Xét ở thời điểm t = 0, một vi hạt chuyển động theo phương x được mô tả bởi hàm sóng: , trong đó a = 1,0000 nm a. Chứng minh rằng hàm sóng đã được chuẩn hóa. b. Tính xác suất tìm thấy hạt: (i) trong khoảng x = 1,5000 nm và x = 1,5001 nm. 5
Trang 6
Hạt chuyển động trong hộp thế (ii) trong khoảng x = 0 và x = 2 nm. Hướng dẫn giải a. Vậy hàm sóng đã được chuẩn hóa. b. Tính xác suất tìm thấy hạt: (i) trong khoảng x = 1,5000 nm và x = 1,5001 nm. Trong khoảng rất nhỏ từ 1,5000 nm và 1,5001 mn ( = 0,0001 nm), thay đổi từ đến nên có thể coi như là hằng số trong khoảng rất nhỏ này. Trong trường hợp này, xác suất tìm thấy hạt trong khoảng x = 1,5000 nm và x = 1,5001 nm có thể được tính theo như sau: Sử dụng phương trình , ta cũng thu được kết quả tương tự: (ii) trong khoảng x = 0 và x = 2 nm. 6
Trang 7
Hạt chuyển động trong hộp thế * Điều kiện về hàm sóng - Hàm phải là hàm đơn trị. Ứng với mỗi vị trí của hệ lượng tử trong không gian – tức là ứng với một giá trị của biến số q – chỉ có một khả năng tìm thấy hệ ở vị trí đó, không thể tìm thấy ở vị trí khác mà cùng tọa độ q. Vậy hàm mật độ xác suất phải đơn trị. Muốn có điều đó thì hàm phải là hàm đơn trị. - Hàm phải hữu hạn hay giới nội, nghĩa là nó phải có khoảng xác định [a; b]. Trong khoảng xác định này, hàm đơn trị. Phải có điều kiện này vì hệ lượng tử được xem xét trong một không gian nhất định, hữu hạn. - Hàm phải là hàm liên tục. Điều kiện này bắt nguồn từ bản chất của hàm sóng là để mô tả một trạng thái của hệ lượng tử. Hệ lượng tử luôn luôn vận động, biến đổi liên tục trong không gian. - Hàm phải là hàm khả vi, tức là lấy được đạo hàm. Điều kiện này có nguồn gốc từ ý nghĩa thông kê trong sự mô tả hệ lượng tử. Tóm lại: - Hàm sóng mô tả trạng thái của hệ lượng tử biến thiên trong thời gian theo phương trình Schrodinger tổng quát: . - Vai trò của hàm sóng trong việc mô tả trạng thái của hệ lượng tử cũng tương tự như vai trò của phương trình quỹ đạo trong mô tả chuyển động của hệ vĩ mô trong cơ học cổ điển. Hàm sóng xác định đầy đủ trạng thái của hệ, tức là khi đã biết hàm thì ta thu được cực đại thông tin về hệ. Tuy nhiên, hàm sóng mô tả thống kê chuyển động của hạt. Nói cách khác, các đại lượng vật lí gắn liền với trạng thái của vi hạt hay của electron chỉ được xác định theo kết quả đoán nhận rút ra từ hàm sóng, nghĩa là ta chỉ có thể biết xác suất hay khả năng xác định đại lượng vật lí nào đó. Ví dụ, thông qua bình phương mođun hàm sóng chỉ biết được khả năng hay xác suất tìm thấy hạt tại một vị trí nào đó trong không gian ứng với tọa độ q tại thời điểm t. - Hàm sóng dùng để mô tả trạng thái của hệ lượng tử phải được chuẩn hóa, tức là . Hàm sóng nói chung là phức, đơn trị, hữu hạn, liên tục và khả vi. 7
Trang 8
Hạt chuyển động trong hộp thế 1.3. Phương trình Schrodinger không phụ thuộc vào thời gian 1.3.1. Thiết lập phương trình Đối với một nguyên tử hoặc phân tử cô lập, các lực tác dụng lên hệ chỉ phụ thuộc vào tọa độ của các hạt mang điện trong hệ và độc lập với thời gian. Do đó, thế năng U đối với hệ cô lập là một hàm không phụ thuộc tường minh vào thời gian t. Vì vậy, toán tử của hệ không phụ thuộc vào t (nghĩa là coi t như một hằng số). Khi đó, có thể tách các biến q và t của , tức là có thể viết: (1.8) trong đó là một hàm của 3n tọa độ của n hạt và f là hàm của thời gian t. Đưa vào , sau đó chia cả hai vế cho (Chú ý rằng vì không chứa t nên không có tác dụng gì lên t, chỉ có tác dụng lên ): (1.9) Mỗi vế của chỉ phụ thuộc vào một biến có dạng khác nhau (vế trái chỉ phụ thuộc vào thời gian t, vế phải chỉ phụ thuộc vào tọa độ q), do đó 2 vế chỉ có thể bằng nhau nếu chúng bằng một hằng số chung nào đó. Vậy ta được 2 phương trình: hay (1.10) và (1.11) Phương trình là phương trình hàm riêng - trị riêng của và khi không phụ thuộc vào t thì trị riêng của là năng lượng toàn phần E của hệ lượng tử, vậy hằng số = E và nó phải là một số thực (vì toán tử là toán tử Hecmit và trị riêng của toán tử Hecmit là số thực). Các hàm là hàm riêng của và mô tả các trạng thái của hệ có năng lượng E xác định. Trong cơ học lượng tử, các trạng thái của hệ có năng lượng E xác định gọi là trạng thái dừng. 8
Trang 9
Hạt chuyển động trong hộp thế Phương trình có thể được viết dưới dạng như sau: (1.12) Phương trình được gọi là phương trình Schrodinger không phụ thuộc thời gian (phương trình Schrodinger dừng). Lời giải của phương trình Schrodinger không phụ thuộc thời gian cho bất cứ hệ nào phải bao gồm đồng thời hai kết quả: hàm riêng và trị riêng năng lượng toàn phần E tương ứng với hàm riêng đó. 1.3.2. Trong trạng thái dừng, mật độ xác xuất không thay đổi theo thời gian Trong phương trình , ta thay bằng E sẽ được: ( là một hằng số bất kì) Hằng số A có thể được tính gộp vào phần nên ta viết . Do đó Đây là hàm sóng đầy đủ (phụ thuộc cả vào thời gian) mô tả trạng thái dừng của hệ lượng tử. Như vậy, trong trạng thái dừng, mật độ xác suất không thay đổi theo thời gian và bằng . CHƯƠNG 2: ÁP DỤNG PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN HẠT CHUYỂN ĐỘNG TRONG GIẾNG THẾ Việc giải phương trình Schrodinger cho các bài toán về nguyên tử, phân tử gặp nhiều khó khăn về mặt toán học. Vì vậy, người ta đưa ra những bài toán đơn giản, dựa vào các mô hình lí tưởng mà việc giải phương trình Schrodinger có thể thực hiện dễ dàng hơn. Việc giải các bài toán này giúp ta hiểu được cách giải quyết vấn đề của cơ học lượng tử, hiểu được ý nghĩa của phương trình Schrodinger, của các hàm sóng cũng như các số lượng tử. 9
Trang 10
Hạt chuyển động trong hộp thế Ở đây, ta xét bài toán hạt chuyển động tự do trong giếng thế. Ta chỉ xét hệ ở trong trạng thái dừng có năng lượng E xác định. Khi đó, hàm sóng của hệ cũng không phụ thuộc vào thời gian t, mật độ xác suất tìm thấy electron không thay đổi theo thời gian, chỉ phụ thuộc vào tọa độ. 2.1. Phương trình Schrodinger tổng quát Phương trình Schrodinger là phương trình cơ bản của cơ học lượng tử vai trò của nó trong cơ học lượng giống như vai trò của phương trình Newton trong cơ học cổ điển. Hàm sóng vật chất Ψ(x,y,z,t) của một hạt khối lượng m, chuyển động trong trường có thế năng U(x,y,z,t) thỏa phương trình Schrodinger tổng quát sau đây: 2.2. Phương trình Schrodinger dừng Trong trường hợp thế năng U không phụ thuộc vào thời gian, U = U(x,y,z), đó là trường hợp dừng, thì nghiệm tổng quát của phương trình Schrodinger trên đây có thể viết dưới dạng Với ψ(x,y,z) là hàm sóng dừng, thỏa mãn phương trình Schrodinger dừng sau đây: Hay Trong đó E là năng lượng toàn phần của hạt. 2.3. Bài toán hạt chuyển động tự do trong giếng thế một chiều có thành cao vô hạn 2.3.1. Phương trình vi phân cấp hai đơn giản: (2.1) Trong bài toán này, ta gặp phương trình vi phân cấp hai đơn giản: , trong đó k là một hằng số. 10
Trang 11
Hạt chuyển động trong hộp thế Hai nghiệm độc lập là: u1 = acoskx; u2 = bsinkx (a và b là những hằng số tùy ý). Nghiệm tổng quát dạng thực của là: u = acoskx + bsinkx 2.3.2. Bài toán hạt chuyển động tự do trong giếng thế một chiều có thành cao vô hạn * Phương trình Schrodinger: Phương trình Schrodinger ở trạng thái dừng đối với hệ gồm 1 hạt chuyển động theo phương x: (2.3) Toán tử của hệ có dạng: (2.4) Thế vào phương trình : (2.5) với U(x) là thế năng không phụ thuộc vào thời gian. Năng lượng và trạng thái của hệ được tìm bằng cách giải phương trình . Để giải phương trình này, chúng ta cần biết dạng thế năng U(x) và điều kiện biên của bài toán. * Mô hình thế năng của hệ: Giả thiết một hạt có khối lượng m chuyển động theo một phương x, trong miền mà thế năng U được cho như Hình 2.1. Dạng giải tích của thế năng: Thế năng U = 0 khi x chuyển động trong khoảng từ 0 đến L (vùng II) và ngoài khoảng đó có những trường lực làm Hình 2.1. Mô hình thế năng của thế năng tăng đến vô hạn, U = (vùng I và vùng III). bài toán hạt chuyển động tự do trong giếng thế một chiều có Mô hình thế năng như vậy được gọi là giếng thế có thành thành cao vô hạn. cao vô hạn. Gọi là “giếng thế” vì electron chỉ có thể ở trong giếng (vùng II), khi hạt đến hai biên (x=0 và x = L), có những trường lực làm cho hạt không thoát ra ngoài. Mô hình của hệ này tuy là có tính chất giả định nhưng kết quả của nó có thể áp dụng vào các hệ hóa học như trạng thái electron trong liên kết pi, electron chuyển động tự do trong mạng tinh thể kim loại theo mô hình của thuyết khí electron về cấu tạo kim loại, …. 11
Trang 12
Hạt chuyển động trong hộp thế *Lời giải: - Đối với vùng I và vùng III: U(x) = , phương trình trở thành: Bỏ qua E trong sự so sánh với , ta có: Do đó ở vùng I và vùng III: Như vậy hạt chỉ chuyển động trong vùng II (trong giếng thế). - Đối với vùng II, trong khoảng từ 0 đến L , thế năng U(x) =0, phương trình trở thành: hay (2.6) Đặt . Từ đó, ta có: (2.7) Phương trình có dạng của phương trình , do đó nghiệm tổng quát của nó là: (2.8) (2.9) Về mặt toán học, a và b là những hằng số tùy ý nhưng nhờ có những điều kiện vật lí của bài toán nên có thể xác định được. Điều kiện biên: - Vì hàm sóng là hàm liên tục tại điểm x = 0 nên và phải tiến đến cùng một giá trị khi x 0 nên ta có: (vì cos0 = 1 và sin0 = 0). Với a = 0, trở thành: (2.10) - Tương tự, ta có: Nếu b = 0 thì luôn bằng 0 tại mọi điểm, nghĩa là ta sẽ không tìm thấy hạt trong khoảng từ 0 đến L. Do đó khi bsinkL = 0 thì sinkL phải bằng 0. (với n = 0, 1, 2, 3, ….) (2.11) Loại giá trị n= 0 vì nếu n = 0 thì luôn bằng 0 tại mọi điểm. Thế vào , ta được: 12
Trang 13
Hạt chuyển động trong hộp thế vì sin(– z) = – sinz. Như vậy, chỉ làm thay đổi dấu của hàm sinkL mà không làm phát sinh ra hàm sóng mới. Do đó, có thể bỏ qua giá trị trong biểu thức . Tóm lại, ta thu được các nghiệm: (với n = 1, 2, 3, …) (2.12) Năng lượng của hạt chuyển động tự do trong giếng thế một chiều được xác định từ và : (2.13) Nhận xét: Ta thấy, năng lượng của hạt trong giếng thế bị lượng tử hóa, nghĩa là nhận những giá trị gián đoạn, xác định bởi n. Sự lượng tử hóa này được phát sinh từ điều kiện biên của bài toán để thỏa mãn tính chất của hàm sóng. Cụ thể, chỉ những giá trị năng lượng này mới đảm bảo hàm sóng là hàm liên tục. Ví dụ, khi Hình 2.2. Đồ thị biểu diễn (n = 1,1), đồ thị của hàm /b trong phương trình có dạng mối liên hệ giữa và như Hình 2.2. x/L khi n = 1,1. Ta thấy, bị gián đoạn tại x = L. Điều kiện chuẩn hóa hàm sóng: 13
Trang 14
Hạt chuyển động trong hộp thế Thừa số chuẩn hóa b có thể là bất kì số nào có giá trị tuyệt đối bằng . Chúng ta có thể lấy b= hoặc b= – hoặc b = i ( ), …. Chọn b = , ta có: Ví dụ 4: Tại thời điểm t = 0 hạt tự do có hàm sóng: a) b) c) Tìm hàm sóng của hạt ở các thời điểm t trong hai trường hợp trên. Hướng dẫn giải Hàm sóng của hạt tự do một chiều có dạng Đối với hạt tự do nên ta có a) Hàm sóng của hạt ở các thời điểm t là b) Hàm sóng của hạt ở các thời điểm t là c) Hàm sóng của hạt ở các thời điểm t là Ví dụ 5: Hàm sóng của hạt ở trong giếng thế vuông một chiều có bề rộng d, thành cao vô hạn ở thời điểm ban đầu t = 0 có dạng trong đó A = (30d-5)1/2 là hệ số chuẩn hóa của hàm sóng. Tìm hàm sóng của hạt tại thời điểm t bất kì. 14
Trang 15
Hạt chuyển động trong hộp thế Đs: * Việc giải phương trình Schrodinger cho bài toán hạt chuyển động tự do trong giếng thế một chiều (phương trình thu được hai kết quả: + Hàm sóng: ( và n = 1, 2, 3, …) + Năng lượng của hạt: 2.3.3. Một số nhận xét, chú ý về kết quả thu được Năng lượng và hàm sóng phụ thuộc vào số nguyên n = 1; 2; 3; … . Thông số n có giá trị gián đoạn nên gọi là số lượng tử. * Hàm sóng: Với mỗi giá trị của n ta có một hàm sóng đặc trưng cho một trạng thái của hạt. Sự phụ thuộc của hàm sóng vào tọa độ x của một số trạng thái được trình bày trong Hình 2.3. Ta thấy rằng các hàm này đều có cùng biên độ cực đại nhưng khác nhau về bước sóng. Bước sóng càng ngắn, động năng của hạt càng lớn và do đó năng lượng tăng (thế năng U =0). - Điểm trên đường biểu diễn hàm sóng Hình 2.3. Sự phụ thuộc của hàm sóng vào mà tại đó hàm sóng triệt tiêu (tức là tọa độ x ở một số trạng thái tương ứng với n = 1; 2; 3. ) được gọi là điểm nút. Khi n = 1 không có nút nào trong giếng. Khi n = 2 có 1 nút ở chính giữa giếng. Khi n = 3 có một nút ở x = L/3 và một nút ở x = 2L/3, …. Số điểm nút này bằng (n – 1), không kể hai điểm nút ứng với điều kiện biên. Như vậy khi n tăng, số điểm nút tăng, động năng và do đó năng lượng của hệ tăng. 15
Trang 16
Hạt chuyển động trong hộp thế - Hàm sóng mô tả trạng thái của hạt phải thỏa mãn điều kiện chuẩn hóa, có nghĩa là: (2.14) + Khi : Đặt . Khi đó: Mặt khác: . Do đó: (vì với m là số nguyên). Vậy (2.15) Khi hai hàm sóng và thỏa mãn , ta nói chúng trực giao với nhau. Hệ hàm vừa là các hàm chuẩn hóa vừa là các hàm trực giao gọi là hệ hàm trực chuẩn. Kí hiệu gộp lại là: được gọi là denta Knônêcơ i,j. Nói chung, các hàm sóng dùng để mô tả trạng thái của hệ ngoài yêu cầu phải được chuẩn hóa còn phải thỏa mãn yêu cầu trực giao (trong một số trường hợp cụ thể). * Hàm mật độ xác suất tương ứng với hàm sóng : Hàm mật độ xác suất cho bài toán hạt chuyển động tự do trong giếng thế một chiều là: 16
Trang 17
Hạt chuyển động trong hộp thế 1 2 Xác suất tìm thấy hạt trong khoảng từ x đến x là: Một số hàm mật độ xác suất được cho bởi Hình 2.4: Hình 2.4. Hàm mật độ xác suất tương ứng với n = 1; 2 và 15 đối với hệ gồm một hạt chuyển động tự do trong giếng thế một chiều có thành sâu vô hạn với độ rộng L = 100pm. - Trong cơ học cổ điển, xác suất tìm thấy hạt không phụ thuộc vào năng lượng và giống nhau ở tất cả các điểm. Trong cơ học lượng tử, xác suất thay đổi khi năng lượng của hạt thay đổi và phụ thuộc vào vị trí của hạt trong giếng. Tuy nhiên, khi n tăng, các dao động trong càng trở nên gần nhau hơn và kết quả là khi n vô cùng lớn thì mật độ xác suất tại càng điểm trở nên đồng nhất. Kết quả lượng tử tương ứng với kết quả cổ điển khi n rất lớn là một minh họa của nguyên lí tương ứng. - Điểm nút là một đặc trưng chỉ riêng hệ lượng tử mới có. Ở trạng thái n = 2, theo quan điểm của cơ học cổ điển, rất khó để hiểu hạt có thể được tìm thấy ở nửa bên trái hoặc bên phải của giếng nhưng không thể tìm thấy ở vị trí x= L/2. Theo quan điểm của cơ học lượng tử, điều này có thể giải thích do tính chất sóng của hạt. Như vậy, ta thấy sự chuyển động của vi hạt không thể được hợp lí hóa theo mô hình trực quan. - Xét ở trạng thái ứng với số lượng tử n: có (n-1) vị trí mà xác suất tìm thấy hạt = 0 (không kể 2 điểm đầu) và có n điểm mà tại đó xác suất tìm thấy hạt đạt cực đại. Ví dụ 6: 17
Trang 18
Hạt chuyển động trong hộp thế Giả thiết một hộp thế một chiều với độ rộng L có một vi hạt chuyển động được mô tả bằng hàm sóng: . 1. Xét ở trạng thái cơ bản, hãy xác định xác xuất tìm thấy vi hạt trong các trường hợp sau đây: a. trong khoảng xung quanh x = L/2. b. trong khoảng x = 0 đến x = L. c. trong khoảng x = L/2 đến x = L. d. trong khoảng x = 0 đến L/3. e. trong khoảng x= L/3 đến 2L/3. 2. Xét ở trạng thái kích thích thứ nhất, hãy tìm xác suất tìm thấy vi hạt trong khoảng x= L/2 đến x= L. Hướng dẫn giải 1. Trạng thái cơ bản (n = 1): a. Trong khoảng rất nhỏ , thay đổi rất ít nên ta có thể coi là hằng số. Ta có thể tính gần đúng xác suất trong trường hợp này bằng tích với là giá trị tại điểm mà ta đang xét. b. Vì hàm sóng phải thỏa mãn điều kiện chuẩn hóa, nói các khác việc tìm thấy hạt trong khoảng từ 0 đến L là một biến cố chắc chắn nên . c. Vì hàm mật độ xác suất trong giếng thế một chiều đối xứng qua điểm chính giữa của hộp. Do đó, xác suất tìm thấy hạt ở nửa trái và nửa phải bằng nhau và bằng 0,5. . d. e. Cách 1: Tính tương tự như ý d: 18
Trang 19
Hạt chuyển động trong hộp thế Cách 2: Sử dụng kết quả ở ý d để tính: Do tính đối xứng, 2. Tương tự như trường hợp 1.b, ở trạng thái n = 2, xác suất tìm thấy vi hạt trong khoảng L/2 đến L bằng 0,5. * Năng lượng: Một số trị của năng lượng E của hạt được trình bày như ở Hình 2.5 (những trị đó trên đồ thị được biểu diễn bằng những đường thẳng ngang vì E không phụ thuộc vào vị trí của hạt trong giếng thế và do đó gọi là những mức năng lượng). - Trong cơ học cổ điển, , nên . Vì thế năng trong giếng bằng 0 Hình 2.5. Một số mức năng lượng được phép nên . Như vậy, năng lượng của đối với bài toán hạt chuyển độngtự do trong giếng thế một chiều có thành sâu vô hạn. một hạt cổ điển có thể nhận bất kì giá trị không âm nào. Trong khi đó, đối với hệ cơ học lượng tử, năng lượng chỉ có thể nhận các giá trị E1, E2 = 4E1, E3 = 9E1, … như đã cho trong biểu thức . Như vậy năng lượng En có giá trị gián đoạn là các lượng nguyên lần của E1. Người ta nói năng lượng E của hệ bị lượng tử hóa theo số lượng tử n. Ta thấy sự xuất hiện số lượng tử n và sự lượng tử hóa năng lượng là một hệ quả tất yếu của việc giải phương trình Schrodinger trong trường hợp có điều kiện biên. - Trong cơ học cổ điển, năng lượng nhỏ nhất là 0. Trong cơ học lượng tử, đối với bài toán đang xét, n không thể bằng 0 nên năng lượng nhỏ nhất là (lớn hơn 0) và được gọi là năng lượng điểm không. Sự xuất hiện của điều này là hệ quả của nguyên lí 19
Trang 20
Hạt chuyển động trong hộp thế bất định Heisenberg. Giả sử hạt có năng lượng E bằng 0. Vì năng lượng của hạt E bằng động năng Eđ (thế năng trong giếng bằng 0) nên tốc độ vx và xung lượng phải bằng 0. Khi px = 0 thì độ bất định về xung lượng . Mặt khác, theo nguyên lí bất định Heisenberg, . Tuy nhiên, ta biết hạt chắc chắn phải ở một điểm nào đó trong khoảng x = 0 và x = L, nên không thể vượt quá L. - Trạng thái E1 có mức năng lượng thấp nhất ứng với n = 1 và được gọi là trạng thái cơ bản. Các trạng thái khác có năng lượng cao hơn gọi là trạng thái kích thích. Sự chênh lệch năng lượng giữa hai mức năng lượng liền kề: Khi : . Như vậy, khoảng cách giữa các mức năng lượng trở nên càng gần nhau hơn đến mức gần như không thể phân biệt được (có thể coi là liên tục) khi . Năng lượng và khoảng cách giữa các mức năng lượng giảm khi chiều dài L của giếng thế và khối lượng hạt tăng. Khi L và m tăng thì khoảng cách giữa các mức năng lượng trở nên càng gần nhau. Nói chung, sự lượng tử hóa năng lượng chỉ đáng kể khi khối lượng của hạt và độ rộng L của giếng là vi mô. Ví dụ 7: Xét chuyển động của một hạt chỉ theo phương x, có thế năng có dạng như sau: a. Tính năng lượng ở trạng thái cơ bản, trạng thái kích thích thứ nhất và trạng thái kích thích thứ hai của các hệ sau: (i) một electron chuyển động trong một giếng thế có kích thước (biểu diễn năng lượng dưới dạng eV). (ii) một quả cầu kim loại có khối lượng 1 gam chuyển động trong một giếng thế có kích thước L = 10cm (biểu diễn năng lượng dưới dạng đơn vị J) b. Nhận xét ảnh hưởng của sự lượng tử hóa đối với hai hệ trên. Hướng dẫn giải a. Năng lượng E của mô hình giếng thế một chiều được xác định theo biểu thức sau: 20
Hiển thị 20 trang đầu. Tải tài liệu để xem đầy đủ.
Bình luận (0)
Chưa có bình luận nào. Hãy là người đầu tiên!