Bài giảng Giải tích 1 (HUST) - PGS.TS.Nguyễn Xuân Thảo

#Sinh viên năm nhất
UN
Uni24h
0 lượt tải
113
0

Đang tạo bản xem trước...

Tài liệu tiếp của tác giảBài giảng Giải tích 1 (HUST) - TS.Bùi Xuân Diệu
Chương trướcKhông có
Cùng môn sauBài giảng Giải tích 1 (HUST) - TS.Bùi Xuân Diệu

Nội dung tài liệu

Trang 1

PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn MỤC LỤC CHƯƠNG 1. LÝ THUYẾT CHUỖI Bài 1. Chuỗi số, chuỗi số dương......................................................................1 Bài 2. Chuỗi với số hạng có dấu bất kì .........................................................12 Bài 3. Chuỗi hàm số .....................................................................................17 Bài 4. Chuỗi luỹ thừa ....................................................................................22 Bài 5. Chuỗi luỹ thừa, chuỗi Fourier ..............................................................31 CHƯƠNG 2. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Bài 6. Chuỗi Fourier, phương trình vi phân cấp một .....................................38 Bài 7. Phương trình vi phân cấp một ............................................................49 Bài 8. Phương trình vi phân cấp hai khuyết ..................................................61 Bài 9. Phương trình vi phân cấp hai với hệ số biến đổi .................................68 Bài 10. Phương trình vi phân cấp hai với hệ số hằng số ...............................72 Bài 11. Phương trình Euler, hệ phương trình vi phân ...................................77 CHƯƠNG 3. PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ LAPLACE Bài 12. Phép biến đổi Laplace và phép biến đổi ngược ................................83 Bài 13. Phép biến đổi của bài toán giá trị ban đầu ........................................90 Bài 14. Phép tịnh tiến và phân thức đơn giản ...............................................97 Bài 15. Đạo hàm, tích phân và tích các phép biến đổi ................................103 Tài liệu tham khảo ....................................................................................113 Đề thi giữa kỳ và cuối kỳ …………………………………… 114

Trang 2

PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo Email: thao.nguyenxuan@hust.edu.vn PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ LÍ THUYẾT CHUỖI BÀI 1. CHƯƠNG I. LÝ THUYẾT CHUỖI § 1. Đại cương về chuỗi số  Định nghĩa  Điều kiện cần để chuỗi hội tụ  Các tính chất cơ bản 1 1 1 1 Đặt vấn đề: 1      2 2 4 8 2n  Có phải là cứ cộng mãi các số hạng của vế trái thì thành vế phải?  1 + (– 1)+1 + (– 1) + .... = ? 1. Chuỗi số: Định nghĩa: Với mỗi số tự nhiên n, cho tương ứng với một số thực an, ta có dãy số kí hiệu là an. Định nghĩa:  Cho dãy số {an}, ta gọi tổng vô hạn a1  a2  a3  là chuỗi số, ký hiệu là an , n1 an là số hạng tổng quát. Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an là tổng riêng thứ n. Nếu lim Sn  S thì ta bảo chuỗi n  hội tụ, có tổng S và viết: an  S . n1  Khi dãy {Sn} phân kỳ thì ta bảo chuỗi an phân kỳ. n1  Ví dụ 1. Xét sự hội tụ và tính qn n0 1 qn1 S 1 q  q2  qn  , q 1 n 1 q 1 lim Sn  , q  1 n 1q Phân kỳ khi q 1  1 qn  , q  1. 1q n0  1 Ví dụ 2. Xét sự hội tụ và tính    n n 1 n1 1

Trang 3

PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo Email: thao.nguyenxuan@hust.edu.vn 1 1 1 1 1  1 1  1 1  1 Sn                  1 1.2 2.3 n n 1 1 2  2 3  n n 1 n 1  1  lim Sn  lim 1  1 n n n 1  1    1 n n 1 n1  1 1 1 1 Ví dụ 3. Xét sự hội tụ, phân kỳ  (Chuỗi điều hoà) Sn 1   n 2 3 n n1 Lấy n  2m1 có 1 1 1  1  1 1  1 1  1 1  Sn 1    1              2 3 2m1  2  3 4   5 8   2m 1 2m1  1 1 1 m 1  1   2.  4.  2 .  m 1 2 4 8 2m1 2 Do đó Sn có thể lớn bao nhiêu tuỳ ý, nên có lim Sn   n Chuỗi đã cho phân kỳ  1 Ví dụ 4. Chuỗi nghịch đảo bình phương:  n2 n1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Sn 1    1    1     22 32 n2 2.2 3.3 n n. 1.2 2.3 n 1 n 1 1  1 1  1 1  1 1 1  1                 2  2 1 2  2 3  3 4  n 1 n  n Sn tăng và dương  lim Sn  S n  1   S n2 n1 Nhận xét:   an hội tụ thì lim an  0 (Điều kiện cần để chuỗi hội tụ) n n1 Chứng minh: Có an  Sn Sn1 ; lim an  lim Sn Sn1  0 n n   Nếu lim an  0 hoặc không tồn tại thì chuỗi an phân kỳ. n n1  Thay đổi một số hữu hạn số hạng đầu không làm thay đổi tính hội tụ hay phân kỳ của chuỗi. 2

Trang 4

PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo Email: thao.nguyenxuan@hust.edu.vn  n Ví dụ 5.  n 1 n1 n lim 1 0 n n 1  n  phân kỳ n 1 n1  Ví dụ 6. 1n 1 11 1 n1  n 1 n =2k,k  Có lim 1   n 1 n =2k+1. Không tồn tại lim 1n n  1n phân kỳ. n1 3 5 2n 1 Ví dụ 7. Tìm tổng (nếu có) của chuỗi số sau    (ĐS: 4 36 n2 n 12 1)   n 1n   n n Ví dụ 8. a (K50)   (PK) . b (K60)   (PK)  n 1  n  3  n1 n1   2. Tính chất. Giả sử an  S1, bn  S2, n1 n1     ( an   bn )  an   bn  S1  S2 n1 n1 n1 §2. Chuỗi số dương  Định nghĩa  Các định lí so sánh  Các tiêu chuẩn hội tụ  1. Định nghĩa: an, an  0 n1  Nhận xét. an hội tụ khi và chỉ khi Sn bị chặn. n1 Trong bài này ta giả thiết chỉ xét các chuỗi số dương 2. Các định lí so sánh. 3

Trang 5

PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo Email: thao.nguyenxuan@hust.edu.vn Định lí 1. Cho hai chuỗi số dương, an  bn, n tuỳ ý hoặc từ một lúc nào đó trở đi   bn hội tụ  an hội tụ n1 n1   an phân kỳ  bn phân kỳ n1 n1 Chứng minh. a1  a2  an  b1  b2  bn 0  Sn Tn Rút ra các khẳng định.   1 Ví dụ 1.  1 Ví dụ 2.  3n 1 lnn n1 n2 Chuỗi dương Chuỗi dương 3n 1 3n lnn  n 1 1 1 1  0   n n n lnn 3 1 3   1  1 1 phân kỳ  hội tụ n 3n 1 1 n2 n1  3  1  Chuỗi đã cho hội tụ phân kỳ lnn n2 a   Định lí 2. Cho hai chuỗi số dương, lim n  k  0  an và bn cùng hội tụ n bn n1 n1 hoặc cùng phân kì.   Nhận xét. Đối với các chuỗi số dương an và bn : n1 n1 a   1/ Nếu lim n  0 và bn hội tụ  an hội tụ n bn n1 n1 a   2/ Nếu lim n   và bn phân kì  an phân kì n bn n1 n1  n  2 Ví dụ 4.  2n3  3 n1 Chuỗi dương 4

Trang 6

PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo Email: thao.nguyenxuan@hust.edu.vn 2 2 n  2 n 1 1 1  . n  . n 2n3  3 2n3 3 2n2 3 1 1 2n3 2n3  n  2 1  lim  :  1 n 2n3 2n2   1  hội tụ 2n2 n1  n  2  hội tụ 2n3  3 n1  1 Ví dụ 5.  , p  0 np n1 1 1  1  1 Khi 0  p  1 có 0  np  n   , do  phân kỳ nên  phân kỳ. np n n np n1 n1 Khi p 1, n tuỳ ý, chọn m sao cho n  2m, có  1 1   1 1   1 1  Sn  S m  1               2 1  2p 3p   4p 7p  m1 p m p  2 2 1  2 4 2m1 1 1 1  1     1       2p 4p m1 p 2p1 p1 2 p1 m1 2 2 2 1 am 1 1   , 0  a  1 1 a 1 a 2p1  1 Dãy Sn bị chặn trên   hội tụ. np n1 KL: Chuỗi hội tụ với p > 1 và phân kì với 0 < p  1.  1 Ví dụ 6.  n3  3 n1 Chuỗi dương 1 1 1 an   ; bn  n3  3 3 n3/2 n3/2 1 n3 an lim 1 n bn 5

Trang 7

PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo Email: thao.nguyenxuan@hust.edu.vn  bn hội tụ n1  1  hội tụ n3  3 n1 Ví dụ 7       a(K49) 1) ln 1 n  2  n 1 (PK) 2) sin n 1 n 1 (PK) n2 n2     1  2  1 n b(50) 1) nsin (PK); 2) 2 1 (HT) 2 n n n1 n1  n  cosn  n  sinn c(K51) 1) (HT) 2)  (PK) n5 1 n3 1 n1 n1     1 d(K52) 1)  n  2  n 1 (PK) 2) n e n 1 (PK) n2 n2  n 1 3)sin (HT) 3 n7  2n3  3 n1 e(K54) Xét sự hội tụ  lnn  1 1)  (HT) 2)  (PK) 4 n5 1 n1 n1arcsin lnn n     3) nln 1  arctan2  (HT)  2 n3  n1 f(K56) Xét sự hội tụ  1  lnn 1 1)  (PK) 2)  (HT) n 1lnn 4 n5 n1 n1   1 1  3)   sin  (HT)  n n  n1  lnn 1 g(K58) Xét sự hội tụ : 1)  (HT) (n 1)3 n1 h(K60) Xét sự hội tụ  n  3  1) ln (PK) 2) (n e 1) (PK) n  2 n1 n1 6

Trang 8

PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo Email: thao.nguyenxuan@hust.edu.vn 3) Các tiêu chuẩn hội tụ a) Tiêu chuẩn D’Alembert an1 lim  l n an  Khi l 1  an hội tụ n1  Khi l 1  an phân kỳ. n1 Chứng minh an1   an1   l < 1: Từ lim  l , chọn > 0 đủ bé để l + < 1  < l + ,  n  n0. n an an a a an 1 nn  Mặt khác có a  n . n1  0 .a  l    0 a  0, n   n a a a n0 n0 n1 n2 n0 Do đó lim an  l n an1   an1   l > 1: Từ lim  l , chọn đủ bé để l  > 1   l  1  an + 1 > an n an an  phân kì Nhận xét. Khi l = 1 không có kết luận gì  1 Ví dụ 1.  n! n1 1 an   0 n! an1 1 1 n! 1 lim  lim   :  lim    lim  0  1 n an n n 1 ! n! n n 1 ! n n 1  1  hội tụ n! n1  3n Ví dụ 2.  n! n1 3n an   0 n! a 3n1 3n 3 n1  :  an n 1 ! n! n 1 7

Trang 9

PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo Email: thao.nguyenxuan@hust.edu.vn an1 lim  0  1 n an Chuỗi đã cho hội tụ 1 1.3 1.3.5 1.3.52n 1 Ví dụ 3. Xét sự hội tụ, phân kỳ của chuỗi      2 2.5 2.5.8 2.5.8 3n 1 1.3.52n 1 an     0 2.5.8 3n 1 a 1.3.52n 12n 1 1.3.52n 1 2n 1 n1  :  an 2.5.83n 13n  2 2.5.83n 1 3n  2 an1 2 lim  1 n an 3 Chuỗi đã cho hội tụ Ví dụ 4  n!3n  n!2n a(K49) 1)  (PK) 2)  (HT) nn nn n1 n1  7n n!2 3)  (HT) n2n n1  32n1  22n1 b(K51) 1) (PK) 2) (HT) 4n lnn 1 5n lnn 1 n1 n1  2n 1 !!  2n!! 3) (HT) 4) (HT) nn nn n1 n1  3n2  2n 1 c(K52)  (HT) 2n 3n  2 n1  n!3n  n!n d(K54) 1) (PK) 2)  (PK) nn nn n1 n1  (n!)2 e(K60)   (HT) 2n ! n1 b) Tiêu chuẩn Cauchy Giả sử lim n an  l n  Nếu l 1  an hội tụ n1 8

Trang 10

PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo Email: thao.nguyenxuan@hust.edu.vn  Nếu l 1 an phân kỳ n1 Nhận xét. Nếu l = 1, không có kết luận gì   2n 1n Ví dụ 5.   3n  2 n1  2n 1 2n 1 an     0, n an   3n  2 3n  2 2 lim n an  1 n 3 Chuỗi đã cho hội tụ  n2  n 1 Ví dụ 6. Xét sự hội tụ, phân kì   (PK)  n  n1 Ví dụ 7.   2 2nlnn   2 3nlnn  3n  n 1  2n  n 1 a(K49) 1)   (HT) 2)   (HT)  4n2  cosn   3n2  sinn  n1 n1  n2 n  n 5 3) (HT) n n2 n12 n 1  n  2 n n 4  n  3 n n 4 b(K52) 1)   (HT) 2)   (PK)      n  3   n  2 n1 n1  n2 n  n 5 c(K54 ) (HT) n n2 n13 n 1  n2  n2  n   n  n 1 d(K60) 1)   (HT) 2) 2   (HT)  n  2  n  2  n1 n1 c) Tiêu chuẩn tích phân Có mối liên hệ hay không giữa:  b f x dx( )  lim f x dx( ) b a a  k và an  lim an k n1 n1 n n Hình 14.4 f x dx( )  a1  a2  an  a1  f x dx( ) , 1 1 9

Trang 11

PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo Email: thao.nguyenxuan@hust.edu.vn Nếu f(x) là hàm liên tục, dương giảm với mọi x 1 và lim f x( )  0, f(n) = an, khi đó x   an và f x dx( ) cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ. n1 1  1 Ví dụ 8.  nlnn n2 1 f x( )  dương, giảm với x  2 và có lim f x( )  0 xlnx x  b dlnx f x dx( )  lim   lim ln ln xb  lim ln ln bln ln2   b lnx b 2 n 2 2   f x dx( ) phân kỳ 1  1  phân kỳ nlnn n2  1 Tổng quát có thể xét  hội tụ chỉ khi p > 1. nlnnp n2 1 1 1 Ví dụ 9. Chứng minh rằng: 1     ln2 2 3 4 1 1 1 1 1  1 1   1 1 1  S2n 1      1        2 3 4 2n 1 2n  3 2n 1  2 4 2n   1 1 1   1 1 1   1 1 1   1 1 1  1     2     1     1     2 3 2n   2 4 2n   2 3 2n   2 3 n          1 1   ln2n   o(1)  lnn   o(1) , voi  lim 1  lnn n 2 n   ln2  o(1)  ln 2 khi n   Mặt khác ta có 1 S2n1  S2n  , lim S2n1  limS2n  ln 2 2n 1 n  1n1    ln2 n n1 1 1 1 1 1 3 Ví dụ 10. Tương tự nhận được 1       ln2. 3 2 5 7 4 2 Ví dụ 11. Xét sự hội tụ phân kì của chuỗi số sau 10

Trang 12

PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo Email: thao.nguyenxuan@hust.edu.vn 1  ln  ln 1  n a(K51) 1) n (HT); 2)  (HT) n  22 n  32 n1 n1  lnn b (K52)  (HT) 3n2 n2  1  1 c(K60) 1)  (PK); 2)  (HT) nlnn nln2 n n2 n2 HAVE A GOOD UNDERSTANDING! 11

Trang 13

PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ LÍ THUYẾT CHUỖI BÀI 2 § 3. Chuỗi số với số hạng có dấu bất kì  Chuỗi với số hạng có dấu bất kì  Chuỗi đan dấu  Tính chất của chuỗi hội tụ tuyệt đối 1. Đặt vấn đề. 2. Chuỗi với số hạng có dấu bất kì    Định nghĩa: an được gọi là hội tụ tuyệt đối  an hội tụ. Chuỗi an được n1 n1 n1   gọi là bán hội tụ  an phân kì và an hội tụ. n1 n1   Định lý. an hội tụ an hội tụ. n1 n1 Ví dụ 1. Xét sự hội tụ tuyệt đối của chuỗi số sau  n2n    n  2 a) 1 2 ; b) sinn 2n n1 n1 c)  sin 2  3n  (HTTĐ) d)  sinn (HTTĐ) n3 n1 n1  sinn  n e (K60) 1) ( 1) n (HTTĐ) 2) ( 1) n (PK) n2 2n2 1 n1 n2  1  sin(n5 1) 3) (1)ncos (PK) 4) n (HTTĐ) n n5 1 n2 n2  cos(n3 1) 5)  (HTTĐ) n3 1 n2 Hướng dẫn.  n2n n  n a) 1 2 +)  hội tụ 2n 2n n1 n1   n2n  n  n +) Xét +) ( 1) 2 hội tụ 2n 2n n1 n1 an1 1  +) lim   1 b) sinn2 n an 2 n1 12

Trang 14

PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn +) sinn2    lim sin(2n 1)  0  lim sin(2n  3)  0 2 n n +) Không có lim sinn  0  lim cos(2n 1)  0 n n Thật vậy, phản chứng có  2 2  2  lim sin (2n 1)  cos (2n 1)  0 (vô lí) lim sinn  0 n n  +) sinn2 phân kì. n1 Nhận xét.   1/ Nếu an phân kì theo tiêu chuẩn D’Alembert hoặc Cauchy  an phân n1 n1 kì   2/ an phân kì  an phân kì (đúng hay sai?) n1 n1 3. Chuỗi đan dấu  Định nghĩa. 1n1an, an  0 được gọi là chuỗi đan dấu n1  Chú ý. 1n an, an  0 cũng được gọi là chuỗi đan dấu. n1 Định lí Leibnitz  Dãy an giảm, an  0, lim an  0  1n1an hội tụ và có n n1  1n1an  a1 n1 Chứng minh: +) n  2m:  Có S2m  a1  a2  a3  a4  a2m1  a2m   S2m tăng  S2m  a1  a2  a3  a4  a5  a2m2  a2m1 a2m  a1  Từ đó  lim S2m  S và có S  a1 m +) n  2m 1:  S2m1  S2m  a2m1  Do lim a2m1  0  lim S2m1  S. m m Định lí được chứng minh. Ví dụ 2. Xét sự hội tụ tuyệt đối và bán hội tụ của các chuỗi số sau 13

Trang 15

PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn  1n1  1n1 a)  (Bán HT) b)  (Bán HT) 2n 1 n n1 n1  1n1  1n1n c)  (HTTĐ) d)  (PK) 2n 13 6n 5 n1 n1  3.5.72n 1  1 e) 1n1 (HTTĐ) g) 1n1tan (HTTĐ) 2.5.83n 1 n n n1 n1   n1 1.4.73n  2  n 1 sin 2  n  f) 1 (PK) k(K52) 1) ,    7.9.112n  5 3 n7  2n3  3 n1 n1  2n2 (HTTĐ) h) 1n1 (PK)  1n n! 2) (Bán HT) n1 n lnn  n n1 i (K50) 1) 1n (PK) l (K 55) Xét sự hội tụ 2n2 1  n1  n1  lnn   n 1) 1 ln 1   (HT)  n  n 1  n  2) 1   (PK) n1  n  2  n1  n1  ln n   2) 1 ln 1   (HT)  n1 2 n 1  n  3) 1 ln (HTTĐ) n1 n  n  n1   1   3) 1n11n2  1 (HT)  n1 lnn   n 2 n2   4) 1 (Bán HT) 1) n( 1)1 n (PK) 2) n  n  n1 n1     n2   n1 1   4) 1 1  1 (HT)  n4    n2 n1  n  n  2 m (K57) 1) ( 1)   (PK)  n  n1  1.3.5...(2n1) 2) ( 1) n1 n1 3.5.8...(3n1) n (K60)   1 1) ( 1) ( n n1 n) (HT) 2) ( 1) ln(1 n  ) (HT) n2 n2 n  1 3) ( 1) ln(1 n  ) (HT) n2 n Hướng dẫn. 14

Trang 16

PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn   n1  1n1n b) +)  1 là chuỗi đan dấu d) +)  là chuỗi đan dấu n 6n 5 n1 n1  1  1 n 1  n +)   giảm và có lim  0 +) lim    phân kì  n  n n n 6n  5 6 6n  5 n1 +) Hội tụ theo Leibnitz n1 n +)  lim 1  1 n 6n  5 +)  phân kì  bán hội tụ n  n n1 +) 1n phân kì. 6n  5 n1 4. Tính chất của chuỗi hội tụ tuyệt đối  a) an  S  chuỗi số nhận được từ chuỗi này bằng cách đổi thứ tự các số n1 hạng và nhóm tuỳ ý các số hạng cũng hội tụ tuyệt đối và có tổng S   b) Cho an  S , an phân kì  có thể thay đổi thứ tự các số hạng của nó n1 n1 để chuỗi thu được hội tụ và có tổng là một số bất kì cho trước hoặc trở nên phân kì.   Định nghĩa. Cho an, bn , khi đó ta định nghĩa phép nhân chuỗi: n1 n1     n  a  b   c , ở đó cn  a bk n 1 k  n  n  n n1 n1  n1 k1      c) an  S1, bn  S2   an  bn   S S1 2    n1 n1 n1 n1   1  1 Ví dụ 3. a) Xét sự hội tụ của tích các chuỗi số sau:  và  . n n 2n1 n1 n1    n k1 1 n  2  k  b) Xét sự hội tụ của chuỗi số  1 tan .ln2   k k n 1 k  n1k1     n k cos(k) ( 1) n 1 k  c (K57) Xét sự hội tụ của chuỗi số  ,  3 k7  k4 1 3  n1  k1 (n1 k)2 ln(n1k) 15

Trang 17

PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn Hướng dẫn.  1 a) +)  hội tụ tuyệt đối n1n n  1 +)  hội tụ tuyệt đối 2n1 n1  1   1  +)   .  hội tụ  n n   2n1  n1  n1  HAVE A GOOD UNDERSTANDING! 16

Trang 18

PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ LÍ THUYẾT CHUỖI BÀI 3 § 4. Chuỗi hàm số  Đặt vấn đề. 1. Chuỗi hàm số hội tụ Định nghĩa: Cho dãy hàm số u x xác định trên X , ta định nghĩa chuỗi hàm số n  u1x  u2 x  un x (1) n1   un x hội tụ tại x0  chuỗi số un x0  hội tụ n1 n1   un x phân kì tại x0  chuỗi số un x0  phân kì n1 n1 Tập các điểm hội tụ của (1) gọi là tập hội tụ của nó. Tổng của chuỗi hàm số là hàm số xác định trong tập hội tụ của nó. Ví dụ 1. Tìm tập hội tụ của các chuỗi hàm số sau   cosnx  1  xn a) xn1 b)  c)  (x 1) d)  ( ) n2  x2 nx n! n1 n1 n1 n1  sin 2 n2  4x    e) ( ) f) 1n1encosx (  k2  x   k2 ) 3n 12 2 2 n1 n1  1n1 1  n!2 g)  ( x  3  ) h (K56) 1n x 12n1 (1 x  3) n5n x 3n 5 2n! n1 n0 Hướng dẫn.  a) xn1 n1  +) Xét chuỗi số x0n1 (2) n1 +) (2) hội tụ với x0  1 +) Tại x0 1, (2) phân kì +) Tập hội tụ: x 1  cosnx b)  n2  x2 n1  cosnx cosnx 1 +) Xét chuỗi số  0 (2) +) 0   (2) hội tụ với mọi x0 n2  x2 n2  x2 n2 n1 0 0 +) Tập hội tụ  17

Trang 19

PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn Ví dụ 2. Tìm tập hội tụ của các chuỗi hàm số sau  1n1 x2n3  1 a(K50) 1)  (3  x  3) d (K55) 1)  32n 2n  3 1 tanxn n1 n1  1     2) ( x  0  x  2) (  k  x   k , k )  n 4 2 n1 n 1 x 1    1  1 2) 3) ( x   1 x  3) 1 cotxn 3 n 1x  2n n1 n1   3 n 3 (k  x   k, k )  n  4x  3    4 b(K51)1)   ( ; 1)  2 2  x  5   1 1  n1 n 1 3) ( \  ; e )   n n 1 lnxn e   1 1 x    n1 2)   ( 0 ;   )  n2 11 x   1 n2 4) ( x  0)  n 1 enx  x2  x 1 n1 c (K52) (0  x  1) n 1 n  2 n0 2. Chuỗi hàm số hội tụ đều  Định nghĩa. un x hội tụ đều đến S x  trên tập X    0 bé tuỳ ý n1  n  : n  n  , ta có S x S x    , x X . 0 0 n Ý nghĩa hình học. Với n đủ lớn, S x thuộc dải S x   ; S x    . n  Tiêu chuẩn Cauchy. un x hội tụ đều trên tập X      0 bé tuỳ ý n1  n  : p  q  n  , ta có S x S x  , x X . 0 0 p q  Tiêu chuẩn Weierstrass. Nếu có un x  an, n, x X và an hội tụ n1   un x hội tụ tuyệt đối và đều trên X . n1 Tiêu chuẩn Dirichlet. n un  vn.wn , Vn đơn điệu không tăng và  0, wk  c,n  Hội tụ đều. k1  1n1 Ví dụ 3. Xét sự hội tụ đều của chuỗi hàm  x2  n2 n1 18

Trang 20

PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn 1n1 1  1 +)  ,x +)  hội tụ x2  n2 n2 n2 n1 +) Chuỗi đã cho hội tụ tuyệt đối và đều trên  Ví dụ 4. Xét sự hội tụ đều của chuỗi hàm  sinnx  xn a)  , x   (HTĐ) b)  , x   2 ; 2 (HTĐ) n2  x2 2nn3 n n1 n1  cosnx  x2n c)  , x   (HTĐ) d) 1n1 , x   1; 1 (HTĐ) 3n n n1 n1  nx  xn e)  , x   (HTĐ) f)  , x  0 1 n x5 2 n! n1 n1 Hướng dẫn. xn 1  1 b) +)  , x  2 +)  hội tụ 2nn3 n n4/3 n4/3 n1 +) Chuỗi đã cho hội tụ đều và hội tụ tuyệt đối trên 2 ; 2. Ví dụ 5. Xét sự hội tụ đều của chuỗi hàm  1  1   n xdx   n xdx  a (K49) 1)  sinnx, x (HTĐ) 2) cosnx, x (HTĐ)  1 x2   1 x2  n10  n10   n 1 2x 1n b (K50) 1)    , x   1; 1 (HTĐ) 3n  x  2  n1  n2 n  n 1  2x 1   2)     , x  1; 1 (HTĐ)  n  2  x  2  n1  c (K51) Chứng minh rằng chuỗi hàm x2enx hội tụ đều với x  0. n1  1n d (K52) 1) Chứng minh rằng chuỗi  hội tụ đều trên  . x2  n 1 n0  1n 2) Chứng minh rằng chuỗi  hội tụ đều trên  . x2  n  2 n0 1  n 3 t e (K58) ( dt) cosnx (HTKĐ) 4 1 sin2 t n1 0 19

Hiển thị 20 trang đầu. Tải tài liệu để xem đầy đủ.

Bình luận (0)

Đăng nhập để tham gia bình luận

Chưa có bình luận nào. Hãy là người đầu tiên!

Tài liệu liên quan

Bài giảng Giải tích 1 (HUST) - TS.Bùi Xuân Diệu

Miễn phí6166 trang

Đề minh họa Giải tích 1 (HUST)

Miễn phí32 trang

Bộ đề Giải tích 1 và Đáp án (HUST)

Miễn phí265 trang

Giải Đề minh họa môn Giải tích 1 kỳ 2023 (HUST)

Miễn phí210 trang

Tổng hợp Lý thuyết Giải tích 1 - Chương 1 (CLB HTHT 2024)

Miễn phí156 trang
Cùng tác giả

Giáo trình Pháp luật đại cương 2021 - ĐH Thương Mại

Miễn phí0237 trang

Đề thi môn Đại số tuyến tính (NN2) (Kèm đáp án)

Premium38 trang

Luyện dạng thường gặp - Toán (HSA) - Dạng 1

Miễn phí74 trang

Đề khảo sát tháng 8 - Đề VACT Toán (Có đáp án chi tiết)

Miễn phí1311 trang

TSAP Thi thử đợt trải nghiệm - Toán

Premium912 trang