Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập GIẢI ĐỀ CƯƠNG ĐẠI SỐ CHƯƠNG III Nhóm ngành 1 Bài 1. Tập V với các phép toán sau đây có phải là một không gian vector không? a) V = {(x, y, z)|x, y, z ∈ R} với các phép toán được xác định như sau: (x, y, z) + (x′ , y ′ , z ′ ) = (x + x′ , y + y ′ , z + z ′ ) k(x, y, z) = (|k|x, |k|y, |k|z) b) V = {x = (x1 , x2 |x1 > 0, x2 > 0)} ⊂ R2 (x1 , x2 ) + (y1 , y2 ) = (x1 y1 , x2 y2 ) và k(x1 , x2 ) = (xk1 , xk2 ) trong đó k là một số bất kì. Lời giải a) Xét k1 và k2 là hai số thực trái dấu: (k1 + k2 )(x, y, z) = (|k1 + k2 |x, |k1 + k2 |y, |k1 + k2 |z) k1 (x, y, z) + k2 (x, y, z) = ((|k1 | + |k2 |)x, (|k1 | + |k2 |)y, (|k1 | + |k2 |)z) Mà (|k1 + k2 |x, |k1 + k2 |y, |k1 + k2 |z) ̸= ((|k1 | + |k2 |)x, (|k1 | + |k2 |)y, (|k1 | + |k2 |)z) ⇒ (k1 + k2 )(x, y, z) ̸= k1 (x, y, z) + k2 (x, y, z) ⇒ V không là một không gian vector b) V là một không gian vector vì ∀(x1 , x2 ), (y1 , y2 ), (z1 , z2 ) ∈ V ; k, k1 , k2 ∈ R: 1. ((x1 , x2 ) + (y1 , y2 )) + (z1 , z2 ) = (x1 , x2 ) + ((y1 , y2 ) + (z1 , z2 )) = (x1 y1 z1 , x2 y2 z2 ) 2. 0 = (1; 1) : 0 + (x1 , x2 ) = (x1 , x2 ) + 0 = (x1 , x2 ) 3. (x1 , x2 ) + (y1 , y2 ) = (y1 , y2 ) + (x1 , x2 ) = (x1 y1 , x2 y2 ) 4. ∀(x1 , x2 ) ∈ V, ∃( 1 1 1 1 , ) : (x1 , x2 ) + ( , ) = (1, 1) = 0 x1 x2 x1 x2 5. (k1 + k2 )(x1 , x2 ) = k1 (x1 , x2 ) + k2 (x1 + x2 ) = (xk11 +k2 , xk21 +k2 ) 6. k((x1 , x2 ) + (y1 , y2 )) = k(x1 , x2 ) + k(y1 , y2 ) = (xk1 y1k , xk2 y2k ) 7. k1 (k2 (x1 , x2 )) = k1 k2 (x1 , x2 ) = (x1k1 k2 , y1k1 k2 ) 8. 1(x1 , x2 ) = (x1 , x2 ) Bài 2. Chứng minh các tập hợp con của các không gian véc tơ quen thuộc sau là các không gian véc tơ con của chúng: a) Tập E = {(x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 |2x1 − 5x2 + 3x3 = 0}. b) Tập các đa thức có hệ số bậc nhất bằng 0 (hệ số của x) của KGVT Pn [x]. c) Tập các ma trận tam giác trên của tập các ma trận vuông cấp n. d) Tập các ma trận đối xứng của tập các ma trận vuông cấp n. Nhóm Đại số - CLB Hỗ trợ học tập If you fall asleep, you will dream. If you study now, y