Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập GIẢI ĐỀ CƯƠNG ĐẠI SỐ CHƯƠNG IV Nhóm ngành 1 Bài 1: Cho ánh xạ f : R3 → R2 xác định bởi công thức f(x1 , x2 , x3 ) = (3x1 + x2 − x3 , 2x1 + x3 ). a) Chứng minh f là ánh xạ tuyến tính. b) Tìm ma trận của f đối với cặp cơ sở chính tắc. c) Tìm một cơ sở của Ker f. Lời giải a) Với x, y ∈ R3 , ta có: f(x + y) = (3 (x1 + y1 ) + (x2 + y2 ) − (x3 + y3 ) , 2 (x1 + y1 ) + (x3 + y3 )) = (3x1 + x2 − x3 , 2x1 + x3 ) + (3y1 + y2 − y3 , 2y1 + y3 ) =f(x) +f(y) Với x ∈ R3 và k ∈ R, ta có: f(kx) = (3kx1 + kx2 − kx3 , 2kx1 + kx3 ) = k (3x1 + x2 − x3 , 2x1 + x3 ) = kf(x) Vậy f là ánh xạ tuyến tính b) Gọi I là cơ sở chính tắc của R2 . Ta có: f(1, 0, 0) = (3, 2) ⇒ [f(1, 0, 0)]E = (3, 2)T f(0, 1, 0) = (1, 0) ⇒ [f(0, 1, 0)]E = (1, 0)T f(0, 0, 1) = (−1, 1) ⇒ [f(0, 0, 1)]E = (−1, 1)T " ⇒Ma trận của f đối với cặp cơ sở chính tắc là A = c) Ker f = {x ∈ R3 | f(x) = θ}   3x1 + x2 − x3 = 0 Xét f(x) = θ ⇔  2x + x = 0 x =t    1 Đặt x1 = t, khi đó ta có: x2 = −5t     x = −2t ⇔ # 3 1 −1 2 0 1 x = t (1, −5, −2) 3 Vậy {(1, −5, −2)} là một cơ sở của Ker f Bài 2: Cho ánh xạ f : P2 [x] → P4 [x] xác định như sau: f(p) = p + x2 p, ∀p ∈ P2 [x]. a) Chứng minh f là ánh xạ tuyến tính. b) Tìm ma trận của f đối với cặp cơ sở chính tắc E1 = {1, x, x2 } của P2 [x] và E2 = {1, x, x2 , x3 , x4 } Nhóm đại số - CLB Hỗ trợ học tập 1 Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập của P4 [x] c) Tìm ma trận của f đối với cặp cơ sở E1′ = {1 + x, 2x, 1 + x2 } của P2 [x] và E2 = {1, x, x2 , x3 , x4 } của P4 [x] Lời giải a) Với p, q ∈ P2 [x] và k, h ∈ R, ta có: f(kp + hq) = (kp + hq) + x2 (kp + hq) = (kp + x2 kp) + (hq + x2 hq) = k (p + x2 p) + h (q + x2 q) = kf(p) + hf(q) Vậy f là ánh xạ tuyến tính b) Ta có: f(1) = 1 + x2 ⇒ [f(1)]E2 = (1, 0, 1, 0, 0)T f(x) = x + x3 ⇒ [f(x)]E2 = (0, 1, 0, 1, 0)T f(x2 ) = x2 + x4 ⇒ [f(x2 )]E2 = (0, 0, 1, 0, 1)T ⇒ Ma trận của f đối với cặp cơ sở chính tắc là A = 1 1 0   0 1  1 0  0 1 c) Ta có: f(1 + x) = 1 + x2 + x3 + x4 ⇒