Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập GIẢI ĐỀ CƯƠNG MÔN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH NHÓM NGÀNH 1 CHƯƠNG V: DẠNG SONG TUYẾN TÍNH, DẠNG TOÀN PHƯƠNG. KHÔNG GIAN EUCLID Câu 1. Cho f là dạng  song tuyến tính trên không gian 3 chiều V có ma trận đối với cơ sở β =  1 −1 0  {u1 , u2 , u3 } là A = −2 0 −2. Cho h : V → V là ánh xạ tuyến tính có ma trận đối với cơ sở β là −1 1 B = −3 −4 2 . 1 −2 −3 1. Xác định f (u1 , u3 ) , f (u1 − u2 + u3 , 2u1 + 3u2 − u3 ) 2. Chứng minh ánh xạ g (u, v) = f (u, h (v)) là dạng song tuyến tính trên V . Tìm ma trận của nó đối với cơ sở β [Hướng dẫn giải] +) Ta có:    1 −1 0  0            f (u1 , u3 ) = [u1 ]Tβ · A · [u3 ]β = 1 0 0 · −2 0 −2 · 0 = 0         f (u1 − u2 + u3 , 2u1 + 3u2 − u3 ) = [u1 − u2 + u3 ]Tβ · A · [2u1 + 3u2 − u3 ]β 1 −1 0   2            = 1 −1 1 · −2 0 −2 ·  3          = 14 +) Ta có: h : V → V là ánh xạ tuyến tính có ma trận đối với cơ sở β là B. ⇒ [h (v)]β = B.[v]β (∀v). f là dạng song tuyến tính trên không gian 3 chiều V — Biên soạn bởi: Team Đại số - CLB Hỗ trợ Học tập — 1 Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập ⇒ f (u, h(v)) = [u]Tβ · A · [h(v)]β (∀u, h(v) ∈ V ). Suy ra: g(u, v) = f (u, h(v)) = [u]Tβ · A · [h(v)]β = [u]Tβ · A · B · [v]β +)  Khi đó có thể dễ dàng chứng minh được: g(au + bu , v) = ag(u , v) + bg(u , v) ∀a, b ∈ R g(u, av + bv ) = ag(u, v ) + bg(u, v ) Vậy g là dạng song tuyến tính trên V có ma trận đối với cơ sở β là AB. Câu 2. Cho dạng song tuyến tính trên P2 [x] xác định bởi f(p(x), q(x)) = p(1)q(2). Tìm ma trận và biểu thức của f đối với cơ sở chính tắc. [Hướng dẫn giải] +) Ta có: f(1, 1) = 1 f(1, x) = 2 f(1, x2 ) = 4 f(x, 1) = 1 f(x, x) = 2 f(x, x2 ) = 4 f(x2 , 1) = 1 f(x2 , x) = 2 f(x2 , x2 ) = 4   1 2 4 +) Vậy ma trận của f đối với cơ sở chính tắc là 1 2 4 , suy ra: 1 2 4 f(a1 x2 + b1 x + c1 , a2 x2 + b2 x + c2 ) = a1 a1 + 2a1 a2 + 4a1 a3 + a2 a1 + 2a2 a2 + 4a2 a3 + a3 a1 + 2a3 a2 + 4a3 a3 Câu 3. Xác