Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập Ôn tập chương 5 Tóm tắt lý thuyết 1 Định nghĩa Dạng song tuyến tính: Cho V là một không gian vector trên trường R. Ánh xạ φ : V × V → R được gọi là dạng song tuyến tính trên V nếu thỏa mãn: φ(ax1 + bx2 , y) = aφ(x1 , y) + bφ(x2 , y) ∀x1 , x2 ∈ V, a, b ∈ R φ(x, ay1 + by2 ) = aφ(x, y1 ) + bφ(x, y2 ) ∀x1 , x2 ∈ V, a, b ∈ R Dạng song tuyến tính φ được gọi là đối xứng nếu φ(x, y) = φ(y, x) ∀x, y ∈ V Dạng toàn phương: Giả sử φ là một dạng song tuyến tính đối xứng trên V. Khi đó ánh xạ H : V → R xác định bởi H(x) = φ(x, x) được gọi là một dạng toàn phương trên V Phân loại dạng toàn phương: H(x) = φ(x, x) Xác định dương: H(x) > 0 ∀x ∈ V, x ̸= 0 Nửa xác định dương: H(x) ≥ 0 ∀x ∈ V, x ̸= 0 Xác định âm: H(x) < 0 ∀x ∈ V, x ̸= 0 Nửa xác định âm: H(x) ≤ 0 ∀x ∈ V, x ̸= 0 Không xác định dấu: ∃x, y ∈ V : H(x)H(y) < 0 2 Dạng ma trận Ma trận của dạng song tuyến tính: Cho dạng song tuyến tính φ(x, y) trên Vn là không gian vector n chiều. Gọi S = {e1 , e2 , ..., en } là một cơ sở của Vn . Khi đó φ(x, y) được biểu diễn dưới dạng:   φ(e1 , e1 ) φ(e1 , e2 ) ... φ(e1 , en )    φ(e2 , e1 ) φ(e2 , e2 ) ... φ(e2 , en )  T   là ma trận của φ trong cơ sở S. φ(x, y) = [x]S A[y]S với A =  ... ... ...   ...  φ(en , e1 ) φ(en , e2 ) ... φ(en , en ) Nếu A đối xứng thì dạng song tuyến tính đối xứng. Ma trận của dạng toàn phương: Cho dạng toàn phương H(x) = φ(x, x) trên Vn là không gian vector n chiều. Gọi S = {e1 , e2 , ..., en } là một cơ sở của Vn . Khi đó H(x) được biểu diễn dưới dạng: H(x) = [x]TS A[x]S với A xác định như phần trên là ma trận của H(x) trong cơ sở S . 3 Rút gọn dạng toàn phương Phương pháp Langrange 1 Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập TH1: Tồn tại aii ̸= 0. Giả sự a11 ̸= 0 (ứng với x21 ), ta nhóm tấ cả số hạng có chứa x1 Q = (a11 x21 +2a12 x1 x2 +...+2a1n x1 xn )+... = 1 1 2 (a11 x1 +a12x2 +...+a1n xn )2 +Q2 = ξ +Q2 a11 a11 Với Q2 là dạng toàn phương tách từ Q không còn x1 . Tiếp tục biến