Page 1
Hubdocu.com CHUYÊN ĐỀ 15. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Câu 1. Phần mềm điểu khiển máy in 3D cho biết đầu in phun của máy đang đặt tại điểm ( đơn vị cm). Tính khoảng cách từ đầu in đến khay đặt vật in có phương trình ? Lời giải Đáp số: Ta có phương trình mặt phẳng là Khoảng cách từ đầu in đến khay đặt vật là: Câu 2. Trong giờ thể dục học về kỹ thuật chuyền bóng hơi, Bình và An tập chuyền bóng cho nhau. Ở một động tác Bình chuyền bóng cho An, quả bóng bay lên cao nhưng lại lệch sang bên trái của An và rơi xuống vị trí cách chỗ An đứng và cách chỗ Bình . Chọn hệ trục tọa độ sao cho gốc tọa độ tại vị trí của Bình, vị trí của An nằm trên tia và mặt phẳng là mặt đất (tham khảo hình vẽ) Biết rằng quỹ đạo của quả bóng nằm trong mặt phẳng và vuông góc với mặt đất. Khi đó, giá trị của bằng bao nhiêu? Lời giải Đáp số: -400. Quả bóng rơi xuống tại điểm . Mặt phẳng đi qua nên , điểm thuộc nên có . Mặt khác vuông góc với mặt đất nên . Vậy mặt phẳng có phương trình là . . Câu 3. Hình vẽ bên minh họa hình ảnh một tòa nhà trong không gian với hệ tọa độ (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét). Biết là hình chóp cụt có hai đáy nằm trên hai mặt phẳng song 1
Page 2
Hubdocu.com song, là hình chữ nhật nằm trong mặt phẳng , , và điểm . Khoảng cách từ đến mặt phẳng bằng bao nhiêu mét? (kết quả làm tròn đến hàng phần chục)? Lời giải Đáp án: . Từ hình vẽ ta có , . Khi đó , . Suy ra mặt phẳng có véc-tơ pháp tuyến là . Mà đi qua điểm nên phương trình mặt phẳng là . Khoảng cách từ đến mặt phẳng là . Câu 4. Trong không gian (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét), một ngôi nhà như hình vẽ dưới đây có sàn nhà nằm ngang trên mặt phẳng . Hai mái nhà lần lượt nằm trên các mặt phẳng , . Hỏi chiều cao của ngôi nhà tính từ sàn nhà đến nóc nhà (điểm cao nhất của mái nhà) là bao nhiêu? (làm tròn đến hàng phần chục) . Lời giải Đáp án: 4,8. Cần tìm tọa độ một điểm thuộc đường thẳng giao tuyến của hai mặt phẳng và 2
Page 3
Hubdocu.com Cho , ta giải hệ phương trình: Do đó gốc tọa độ thuộc đường thẳng giao tuyến của hai mặt phẳng và Khi đó chiều cao từ sàn nhà đến nóc nhà là Câu 5. Trong không gian ba chiều , tọa độ các khu vực được xác định như sau: Khu vục nằm trên mặt đất, cách trung tâm thành phố . Khu vục nằm trên tòa nhà cao tầng và ở độ cao . Khu vục nằm trên một đỉnh đồi ở độ cao . Gọi vị trí lắp đặt trạm phát sóng là sao cho khoảng cách từ đến ba khu vực kể trên là bằng nhau và có khoảng cách đến chúng là nhỏ nhất. Tính (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị). Lời giải Đáp số: 110. Do sao cho khoảng cách từ đến ba khu vực kể trên là bằng nhau và có khoảng cách đến chúng là nhỏ nhất nên là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác . 3
Page 4
Hubdocu.com Có Chọn vecto pháp tuyến của là , nên PTMP là: . Do cách đều . Vậy thỏa mãn nên . Câu 6. Trong hệ toạ độ (đơn vị độ dài trên mỗi trục tính là mét), một vườn hoa nằm trên mặt phẳng . Có hai bóng đèn chiếu sáng cố định được đặt tại các điểm . Để đảm bảo kĩ thuật chiếu sáng, các kỹ sư muốn thiết kế trên mặt vườn một đường ray để lắp đặt một đèn chiếu sáng di động trên đường ray ấy. Yêu cầu kĩ thuật đặt ra là góc tạo bởi với mặt vườn và góc tạo bởi với mặt vườn phải luôn bằng nhau. Độ dài đường ray là bao nhiêu mét? (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị). 4
Page 5
Hubdocu.com Lời giải Đáp án: 1720 Gọi lần lượt là hình chiếu vuông góc của lên mặt phẳng Khi đó yêu cầu bài toán đặt ra Ta có Xét điểm thuộc đường tròn đường kính Mặt khác ta có Vậy điểm chuyển động trên đường tròn đường kính bằng độ dài của đường day là Câu 7. Mô phỏng trong không gian với hệ tọa độ (đơn vị trên mỗi trục số là kilômét), một máy bay đang ở vị trí và sẽ hạ cánh ở điểm có tọa độ trên đường băng. Có một lớp mây mỏng được mô phỏng bởi một mặt phẳng đi qua ba điểm và . Tính khoảng cách giữa máy bay và đường băng ngay khi máy bay bay xuyên qua lớp mây (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm của kilômét). 5
Page 6
Hubdocu.com Lời giải Mặt phẳng đi qua ba điểm nên phương trình đoạn chắn của mặt phẳng là Gọi là giao điểm của và . Khi đó, do và cùng phương nên tồn tại số thực Do nên ta có Do đó khoảng cách giữa máy bay và đường băng ngay khi máy bay bay xuyên qua lớp mây là Đáp án: 5,02. Câu 8. Trong một trò chơi mô phỏng bắn súng, một người chơi đặt điểm ngắm tại điểm O là giao điểm của và trong căn phòng hình hộp chữ nhật có kích thước . Người chơi di chuyển trên đoạn có nhiệm vụ bắn trúng một mục tiêu di động trên mặt phẳng Tính khoảng cách ngắn nhất từ điểm ngắm đó đến mục tiêu (làm tròn đến chữ số thập phân thứ 2). Lời giải Đáp số: 6
Page 7
Hubdocu.com Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, ta có , và Phương trình mặt phẳng Do . Khoảng cách ngắn nhất từ điểm bắn đến mục tiêu chính là khoảng cách từ đến mặt phẳng . Do vậy ta có Vậy khoảng cách ngắn nhất từ điểm ngắm đến mục tiêu là khoảng mét. Câu 9. Một nhóm chuyên gia đang nghiên cứu dựng một tấm kính cường lực hình tam giác để đặt vào một góc tường. Biết ba mặt của góc tường đôi một vuông góc và giao tuyến của chúng lần lượt là các tia sao cho trùng với mặt phẳng sàn nhà, mỗi đơn vị trong hệ trục tọa độ ứng với thực tế. Mặt phẳng kính luôn đi qua điểm , điểm này cách các mặt phẳng lần lượt là . Khi khoảng cách từ chiếc đèn có tọa độ tới mặt phẳng kính lớn nhất, tính diện tích tấm kính cường lực theo (kết quả làm tròn đến hàng phần chục)? Lời giải Đáp số: Từ giả thiết: điểm cách các mặt phẳng lần lượt là . 7
Page 8
Hubdocu.com Điểm có tọa độ . Giả sử lần lượt là giao điểm của mặt phẳng chứa kính cường lực với các tia . Gọi là hình chiếu vuông góc của điểm trên mặt phẳng . Ta có: . Dấu “=” xảy ra khi trùng với . Khi đó vuông góc với mặt phẳng . Ta có . Gọi lần lượt là giao điểm của với các tia , suy ra: . Diện tích của tấm kính cường lực: Vậy khi khoảng cách từ chiếc đèn có tọa độ tới mặt phẳng kính lớn nhất, diện tích tấm kính cường lực xấp xỉ bằng . Câu 10. Trong một quảng trường, có hai bức tượng nghệ thuật được đặt cố định tại các vị trí và . Một trụ đèn chiếu sáng thông minh được lắp đặt trên một tấm kính lớn cố định, có phương trình: . Gọi tọa độ điểm đặt trụ đèn là . Để tạo hiệu ứng ánh sáng đối xứng hoàn hảo giữa hai bức tượng, qua tính toán người thiết kế yêu cầu trụ đèn phải cách đều hai điểm và sao cho Tính giá trị của . Lời giải Trả lời: 0,5 Đưa bài toán về thuần ta được: cho điểm thuộc mặt phẳng sao cho . Tìm giá trị của 8
Page 9
Hubdocu.com + Gọi là mặt phẳng trung trực của đoạn , khi đó qua điểm và có vec tơ pháp tuyến , nên có phương trình là: . + Vì nên thuộc mặt phẳng , do đó thỏa mãn hệ . + Có + Vậy . Câu 11. Khối rubik được gắn với hệ toạ độ có đơn vị bằng độ dài cạnh của hình lập phương nhỏ (hình vẽ). Xét bốn điểm với đồng phẳng. Biết rằng tọa độ điểm . Khi đó giá trị bằng bao nhiêu? Trả lời: 5 Phương trình mặt phẳng là: . Vì thuộc mặt phẳng nên . Vậy . Khi đó giá trị . Câu 12. Hình vẽ minh họa một khu nhà đang xây dựng được gắn hệ trục tọa độ (đơn vị trên các trục là mét). Mỗi cột bê tông có dạng hình lăng trụ tứ giác đều và tâm của mặt đáy trên lần lượt là các 9
Page 10
Hubdocu.com điểm . Biết rằng 4 điểm đồng phẳng, tính giá trị của (viết kết quả làm tròn đến hàng phần mười). Trả lời: 0,8. Ta có: . Xét: Hay là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng . Phương trình mặt phẳng là: . Vì đồng phẳng nên thay tọa độ điểm vào phương trình mặt phẳng ( ) ta được Câu 13. Hình ảnh bên minh hoạ một cánh cửa hình chữ nhật có chiều rộng 1 m và chiều cao 2 m khi đang mở. Chọn hệ toạ độ như hình vẽ, biết cánh cửa tạo với bức tường một góc , bờ tường vuông góc với mặt sàn. Bỏ qua bề dày của cánh cửa thì phương trình mặt phẳng chứa cánh cửa là . Tính giá trị . 10
Page 11
Hubdocu.com Trả lời: 3. Giả sử . Vì ta đã có dạng của phương trình mặt phẳng chứa cánh cửa (chứa 3 ẩn ) nên để viết được phương trình mặt phẳng , ta cần đi tìm được 3 điểm thuộc mặt phẳng đó. Ta vẽ lại hình như và kí hiệu các điểm như hình sau: Với là các điểm thuộc mặt phẳng . Kẻ . Dựa vào hình vẽ, ta thấy mặt phẳng cần tìm đi qua các điểm . Trong tam giác vuông tại , ta có 11
Page 12
Hubdocu.com Suy ra . Vì đều thuộc mặt phẳng nên ta có hệ phương trình . Vậy . Câu 14. Một sân vận động được xây dựng theo mô hình là hình chóp cụt có hai đáy song song với nhau. Mặt sân là hình chữ nhật và được gắn hệ trục như hình vẽ (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét). Mặt sân có chiều dài , chiều rộng và tọa độ điểm . Giả sử phương trình tổng quát của mặt phẳng có dạng . Tính giá trị biểu thức . Lời giải Trả lời: -5. Từ giả thiết, ta có ; 12
Page 13
Hubdocu.com Suy ra mặt phẳng có một vectơ pháp tuyến là . Phương trình tổng quát của mặt phẳng là . Do đó . Vậy . Câu 15. Trong không gian với hệ trục tọa độ (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là kilômét), một máy bay đang ở vị trí và sẽ hạ cánh ở vị trí trên đường băng (như hình vẽ). Có một lớp mây được mô phỏng bởi mặt phẳng ( ) đi qua ba điểm . Độ cao của máy bay khi máy bay xuyên qua đám mây để hạ cánh là bao nhiêu km (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai). Lời giải Trả lời: 0,60. Giả sử là vị trí mà máy bay xuyên qua đám mấy để hạ cánh Mặt phẳng có phương trình là Vì và là hai vectơ cùng hướng nên tồn tại số thực sao cho 13
Page 14
Hubdocu.com Vì nên Vậy Độ cao của máy bay khi máy bay xuyên qua đám mây là Câu 16. Trong một khung lưới ô vuông gồm các hình lập phương, người ta đưa ra một cách kiểm tra bốn nút lưới (đỉnh hình lập phương) bất kì có đồng phẳng hay không bằng cách gắn hệ trục toạ độ vào khung lưới ô vuông và lập phương trình mặt phẳng đi qua ba nút lưới trong bốn nút lưới đã cho. Giả sử có ba nút lưới mà toạ độ lần lượt là và mặt phẳng đi qua ba nút lưới đó có phương trình . Giá trị của là bao nhiêu? Lời giải Trả lời: -10 Xét các điểm . Khi đó, ta có . Gọi là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng đi qua ba điểm . Chọn . Suy ra phương trình của mặt phẳng đi qua ba nút lưới là Vậy nên . Câu 17. Một phần sân trường được định vị bởi các điểm , như hình vẽ. Bước đầu chúng được lấy “ thăng bằng” để có cùng độ cao. Biết là hình thang vuông ở và với độ dài , , . Do yêu cầu kĩ thuật, khi lát phẳng phần sân trường phải thoát nước về góc sân ở nên người ta lấy độ cao ở các điểm , , xuống thấp hơn so với độ cao ở lần lượt là , , tương ứng sao cho bốn điểm đồng phẳng. Giá trị của là Lời giải Trả lời: 17,2 14
Page 15
Hubdocu.com z B A y B' D C x D' C' Chọn hệ trục tọa độ sao cho: , tia ; tia . Khi đó, ; ; ; . Khi hạ độ cao các điểm ở các điểm , , xuống thấp hơn so với độ cao ở là , , tương ứng ta có các điểm mới ; ; . Theo bài ra có bốn điểm ; ; ; đồng phẳng. Phương trình mặt phẳng . Do nên có: . Vậy . Câu 18. Một công trình đang xây dựng được gắn hệ trục (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét). Ba bức tường lần lượt thuộc các mặt phẳng (như hình vẽ) của tòa nhà lần lượt có phương trình: , , . 15
Page 16
Hubdocu.com Độ rộng của bức tường thuộc mặt phẳng của tòa nhà bằng bao nhiêu mét? (Làm tròn kết quả đến chữ số hàng phần chục). Lời giải Đáp án: 3,1 Ta có: có vectơ pháp tuyến là . có vectơ pháp tuyến là . có vectơ pháp tuyến là . Ta có: nên hai bức tường và song song với nhau. nên bức tường vuông góc với hai bức tường và . Chọn điểm . Do hai bức tường và song song nhau nên: m. Vậy độ rộng bức tường của tòa nhà là . Câu 19. Biết góc quan sát ngang của một camera là . Trong không gian , camera được đặt tại điểm và chiếu thẳng về phía mặt phẳng . Hỏi vùng quan sát được trên mặt phẳng của camera là hình tròn có diện tích bằng bao nhiêu? (Làm tròn kết quả đến chữ số hàng phần chục). Lời giải 16
Page 17
Hubdocu.com Đáp án: 32,2 Gọi là các điểm như hình vẽ bên dưới và là hình chiếu vuông góc của lên mặt phẳng . Hình vẽ Theo đề . Khi đó (đvđd). Xét tam giác vuông tại , ta có: (đvđd). Vậy vùng quan sát của camera trên mặt phẳng là hình tròn có diện tích (đvdt). Câu 20. Một nắp bể nước hình chữ nhật nằm cạnh bờ tường có kích thước được kéo dài ra từ mặt sàn, do tác dụng của trọng lực nên nắp bể không thể mở ra được nếu không có người giữ. Người ta dùng một sợi dây xích dài 15 dm và kéo căng nối đỉnh của hình chữ nhật với điểm nằm phía trên bờ tường sao cho và vuông góc với mặt sàn. Chọn hệ trục như hình vẽ, khi đó nắp bể mở ra và tạo với mặt sàn một góc (đơn vị trên mỗi trục tọa độ tính bằng dm). Bỏ qua độ dày của nắp bể. Phương trình mặt phẳng chứa nắp bể sau khi kéo lên là . Tính Lời giải Đáp án : 3 Điểm M nẳm trên mặt phẳng với . 17
Page 18
Hubdocu.com Chiếu lần lượt lên các mặt phẳng ta được . Ta có: . Mặt phẳng kéo lên qua điểm chứa và Ta có: và Vecto pháp tuyến của mặt là Vậy phương trình mặt phẳng chứa nắp pể sau khi kéo lên là . Cách2: Mặt phẳng kéo lên đi qua trục nên có phương trình tổng quát là . Mặt phẩng kéo lên đi qua nên . Vậy phương trình mặt phẳng chứa nắp bể sau khi kéo lên là . Câu 21. Trên sườn dốc được xác định bởi các điểm và , tại điểm có đặt một ăng-ten. 18
Page 19
Hubdocu.com Tại điểm sẽ lắp một thanh chống, sao cho thanh này vuông góc và chạm vào sườn dốc tại điểm . Hãy tính chiều dài của thanh chống đó (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm) Lời giải Trả lời: 4,47 Vì (cùng ) và (cùng ), suy ra phương trình mặt phẳng Thanh chống từ vuông góc mặt phẳng Chiều dài thanh chống Câu 22. Một chiếc thuyền máy di chuyển trong một vùng nước có mặt đáy phẳng nhưng hơi dốc lên. Các điểm và là các điểm thuộc mặt đáy. Trên thuyền có một cảm biến đo tiếng vọng đặt ở mặt nước. Khoảng cách từ cảm biến đến mặt đáy là bao nhiêu khi cảm biến ở điểm ? (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị) Lời giải Trả lời: 15 19
Page 20
Hubdocu.com Phương trình mặt đáy Qua , mặt đáy có: Khoảng cách từ cảm biến tại đến mặt đáy Câu 23. Một buổi biểu diễn sân khấu diễn ra trên một sân khấu nghiêng về phía khán giả. Cuối buổi biểu diễn, nữ diễn viên chính rời sân khấu trong một chiếc ghế treo trên dây, di chuyển từ điểm đến điểm . Sau khi đi được quãng đường, cô ấy dừng lại để thực hiện động tác cuối. Hãy tính khoảng cách của cô ấy đến mặt phẳng sân khấu tại thời điểm đó (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm) Lời giải Trả lời: 5,82 Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ, ta có: , và Mặt phẳng sân khấu Vectơ pháp tuyến rút gọn được ( ). Phương trình mặt phẳng qua : Di chuyển treo dây từ đến ; dừng ở quãng đường Điểm dừng: 20
Affichage des 20 premières pages. Téléchargez le document pour le voir en entier.
Commentaires (0)
Aucun commentaire pour le moment. Soyez le premier !