Page 1
CHUYÊN ĐỀ 12. CÔNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT TOÀN PHẦN. CÔNG THỨC BAYES Câu 1. Trong hội thảo, xác suất chọn được một người trình bày báo cáo bằng tiếng anh là . Xác suất để chọn một người trình bày là nữ là . Xác xuất để chọn được một nhười trình bày báo cáo bằng tiếng anh biết người đó là nữ là . Tính xác suất để chọn được một người là nữ sao cho người đó có thể trình bày báo cáo bằng tiếng anh. Lời giải Trả lời: Gọi là biến cố “Chọn được người trình bày báo cáo bằng tiếng anh”, Gọi là biến cố “Chọn được người trình bày nữ” . Theo đề bài ta có . Áp dụng công thức Bayes ta có: Do đó: Câu 2. Thống kê hồ sơ 250 học sinh khối 10 trong đó có 150 học sinh nữ và 100 học sinh nam. Sau khi thống kê, kết quả có học sinh nữ là đoàn viên, học sinh nam là đoàn viên; những học sinh còn lại không là đoàn viên. Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong 250 học sinh khối 10. Tính xác suất để học sinh được chọn là đoàn viên. Lời giải Trả lời: Số học sinh nữ là đoàn viên là (học sinh). Số học sinh nam là đoàn viên là (học sinh). Xét biến cố: là biến cố “Chọn được học sinh là đoàn viên”. là biến cố “ Chọn được học sinh nam”. Khi đó: ; . ; . Áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có: Với . Câu 3. Có 1 kho bia kém chất lượng chứa các thùng giống nhau (24 lon/thùng) gồm 3 loại: loại I để lẫn mỗi thùng 3 lon quá hạn sử dụng, loại II để lẫn mỗi thùng 2 lon quá hạn và loại III để lẫn mỗi thùng có 4 lon quá hạn. Biết số lượng thùng loại I gấp 2 lần số lượng thùng loại II và số thùng loại II gấp 3 lần thùng loại III. Chọn ngẫu nhiên 1 thùng từ trong kho, từ đó chọn ngẫu nhiên 10 lon. Tính xác suất để lấy được 2 lon quá hạn sử dụng (làm tròn đến kết quả phần chục). Lời giải Trả lời: 0,3 Gọi là biến cố chọn được thùng loại ( ) là biến cố chọn được 10 sản phẩm trong đó có 2 lon quá hạn từ thùng được chọn ra. Gọi số thùng loại III là thùng ( ). 1 Hubdocu.com
Page 2
Do đó số thùng loại I và loại II lần lượt là Từ đó, ta có Xác suất để chọn được 2 lon quá hạn là: Câu 4. Trước khi đưa sản phẩm ra thị trường, người ta đã phỏng vấn ngẫu nhiên 200 khách hàng về sản phẩm đó và thấy có 50 người trả lời “sẽ mua”, 90 người trả lời “có thể sẽ mua” và 60 người trả lời “không mua”. Kinh nghiệm cho thấy tỷ lệ khách hàng thực sự sẽ mua sản phẩm tương ứng với những cách trả lời trên tương ứng là 60%, 40% và 1%. Trong số khách hàng thực sự mua sản phẩm thì xác suất khách hàng trả lời “sẽ mua” là . Tính giá trị của biểu thức Lời giải Trả lời: 14,5 Gọi biến cố : “Người được phỏng vấn sẽ mua sản phẩm”. Biến cố : “Khách hàng được phỏng vấn trả lời sẽ mua”. Biến cố : “Khách hàng được phỏng vấn trả lời có thể sẽ mua”. Biến cố : “Khách hàng được phỏng vấn trả lời không mua”. Ta có Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có tiềm năng của sản phẩm đó trên thị trường là Theo công thức Bayes, ta có xác suất khách hàng trả lời “sẽ mua” là Suy ra Vậy Câu 5. Một nhà đầu tư phân loại các dự án trong một chu kỳ đầu tư thành 3 loại: ít rủi ro, rủi ro trung bình và rủi ro cao. Tỷ lệ các dự án các loại đó tương ứng là . Kinh nghiệm cho thấy tỷ lệ các dự án gặp rủi ro khi đầu tư tương ứng là Nếu một dự án gặp rủi ro sau kỳ đầu tư thì khả năng dự án rủi ro lớn nhất là bao nhiêu? Lời giải Trả lời: Gọi A là biến cố dự án gặp rủi ro trong kỳ đầu tư. lần lượt là các biến cố dự án thuộc loại ít rủi ro, rủi ro trung bình và rủi ro cao . . 2 Hubdocu.com
Page 3
. . Vậy khả năng dự án gặp rủi ro là cao nhất là . Câu 6. Có hai đồng xu có hình thức giống nhau, trong có có một đồng xu cân đối đồng chất và một đồng xu không cân đối có xác suất khi tung đồng xu xuất hiện mặt ngửa là . Một người lấy ngẫu nhiên một đồng xu trong hai đồng xu đã cho, tung đồng xu đó 3 lần thì đều thấy xuất hiện mặt ngửa, xác suất người đó lấy được đồng xu cân đối là bao nhiêu? (Làm tròn đến hàng phần mười.) Lời giải Gọi là biến cố: “Lấy được đồng xu cân đối đồng chất” và là biến cố: “Tung đồng xu ba lần đều xuất hiện mặt ngửa”. Khi đó ta cần tính . Ta có , và , . Theo công thức Bayes và công thức xác suất toàn phần ta có . Đáp số: 0.3. Câu 7. Cho hai biến cố ngẫu nhiên và . Biết rằng và . Tính tỉ số Lời giải Trà lời: 2 Theo công thức Bayes ta có Câu 8. Ông hàng ngày đi làm bằng xe máy hoặc xe buýt. Nếu hôm nay ông đi làm bằng xe buýt thì xác suất để hôm sau ông đi làm bằng xe máy là . Nếu hôm nay ông đi làm bằng xe máy thì xác suất để hôm sau ông đi làm bằng xe buýt là . Xét một tuần mà thứ Hai ông An đi làm bằng xe buýt. Tính xác suất đề thứ Tư trong tuần đó ông đi làm bằng xe máy. Lời giải Trả lời: 0,36 3 Hubdocu.com
Page 4
Gọi là biến cố: "Thứ , ông An đi làm bằng xe máy"; là biến cố: "Thứ tư ông đi làm bẳng xe máy". Ta cần tính . Theo công thức xác suất toàn phần, ta có: Tính : Vì thứ Hai, ông An đi làm bằng xe buýt nên xác suất để thứ Ba (hôm sau), ông đi làm bằng xe máy là 0,4. Vây . Tính : Ta có . Tính : Đây là xác suất để thứ Tư, ông An đi làm bằng xe máy nếu thứ Ba, ông An đi làm bằng xe máy. Câu 9. Trong một chiến dịch chống không kích của đơn vị A, được thông báo máy bay đối phương có xác suất xuất hiện ở khu vực . Nếu máy bay không ở , thì chắc chắn nó sẽ ở . Để đối phó, quân đội quyết định nếu máy bay xuất hiện ở thì sẽ bắn 1 quả tên lửa, còn ở thì bắn 2 quả tên lửa. Mỗi quả tên lửa có xác suất trúng mục tiêu là . Máy bay bị bắn hạ nếu nó trúng ít nhất 1 quả tên lửa. Tính xác suất thành công trong việc bắn hạ máy bay đối phương (kết quả được tính theo %)? Lời giải Đáp án: . Gọi là biến cố: “Máy bay xuất hiện tại khu vực ”, là biến cố: “Máy bay bị bắn hạ”. Ta có xác suất bắn trúng máy bay ở (ít nhất 1 trong 2 quả tên lửa bắn trúng) là . Vậy = . Câu 10. Truờng X có học sinh tham gia câu lạc bộ thể thao, trong số học sinh đó có học sinh biết chơi môn bóng bàn. Ngoài ra, có số học sinh không tham gia câu lạc bộ thể thao cũng biết chơi môn bóng bàn. Chọn ngẫu nhiên học sinh của trường. Giả sử học sinh đó biết chơi môn bóng bàn. Xác suất chọn được học sinh thuộc câu lạc bộ thể thao là . Tính Lời giải Đáp án: Xét các biến cố: : "Chọn được học sinh thuộc câu lạc bộ thể thao"; : “Chọn được học sinh biết chơi bóng bàn”. Khi đó, . Theo công thức xác suất toàn phần ta có: . Theo công thức Bayes, xác suất chọn được học sinh thuộc câu lạc bộ thể thao, biết học sinh đó chơi được môn bóng bàn là: . 4 Hubdocu.com
Page 5
Nên . Câu 11. Một nhà máy sản xuất linh kiện điện tử có ba dây chuyền sản xuất A, B và C. Dây chuyền A sản xuất số linh kiện, dây chuyền B sản xuất và dây chuyền C sản xuất số linh kiện. Tỷ lệ phế phẩm của từng dây chuyền lần lượt là , và . Chọn một linh kiện ngẫu nhiên và phát hiện là phế phẩm thì xác suất để linh kiện đó được sản xuất từ dây chuyền A là bao nhiêu? Lời giải Gọi các biến cố: : “Linh kiện được sản xuất từ dây chuyền A” : “Linh kiện được sản xuất từ dây chuyền B” : “Linh kiện được sản xuất từ dây chuyền C” : “Linh kiện là phế phẩm”. Dựa vào dữ liệu đề bài ta có: . Xác suất để sản xuất một linh kiện phế phẩm là: Nếu chọn một linh kiện ngẫu nhiên và phát hiện là phế phẩm thì xác suất để linh kiện đó được sản xuất từ dây chuyền A là: . Câu 12. Một lớp học có tỉ lệ học sinh nữ là , trong đó tỉ lệ học sinh nam và học sinh nữ tham gia câu lạc bộ Hip hop của trường lần lượt là và . Chọn ngẫu nhiên một học sinh của lớp có tham gia câu lạc bộ Hip hop, tính xác suất để học sinh đó là nam. Lời giải Gọi là biến cố: “ Chọn được học sinh tham gia câu lạc bộ Hip hop ” và là biến cố: “Chọn được học sinh nam”. Khi đó ta cần tính . Ta có , và , . Theo công thức xác suất toàn phần, ta có Áp dụng công thức Bayes, ta có . Đáp số: 0.77. Câu 13. Một hộp đựng bút bi xanh và bút bi đỏ, các bút bi có cùng kích thước và khối lượng như nhau. Sau khi thống kê, người ta thấy: có số bút bi xanh có dán tem và số bút 5 Hubdocu.com
Page 6
bi đỏ có dán tem , những bút bi còn lại không dán tem . Lấy ngẫu nhiên một bút bi trong hộp. Tính xác suất để bút bi được lấy ra có dán tem Lời giải Trả lời: 0,75 Gọi là biến cố: “ bút bi được chọn có dán tem ”. là biến cố: “ bút bi được chọn có màu xanh”. Khi đó là biến cố: “bút bi được chọn có màu đỏ”. Ta có: ; ; ; . Áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có xác suất lấy được bút bi có dán tem là: . Câu 14. Một kho hàng do hai nhà máy sản xuất. Biết tỉ lệ sản phẩm đóng góp của nhà máy một bằng sản phẩm đóng góp của nhà máy hai và tỉ lệ phế phẩm do nhà máy một, nhà máy hai sản xuất lần lượt là và . Chọn ngẫu nhiên một sản phẩm thì thấy nó là phế phẩm. Biết xác suất để phế phẩm đó do nhà máy hai sản xuất là . Tính giá trị biểu thức . Lời giải Trả lời: 20 Gọi là biến cố: “ Sản phẩm được chọn là phế phẩm”. là biến cố: “Sản phẩm được chọn thuộc nhà máy một”. Khi đó là biến cố: “Sản phẩm được chọn thuộc nhà máy hai”. Vì tỉ lệ đóng góp của nhà máy một bằng sản phẩm đóng góp của nhà máy hai nên ta có: ; ; ; . Áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có xác suất chọn được phế phẩm là 6 Hubdocu.com
Page 7
. Áp dụng công thức Bayes ta có: . Khi đó xác suất để phế phẩm đó do nhà máy hai sản xuất là . Câu 15. Cho hai biến cố sao cho , và . Tính . Lời giải Đáp số: . Áp dụng công thức Bayes, ta có: . Câu 16. Cho hai biến cố và , biết rằng , , . Tính (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm). Lời giải Đáp số: Ta có Theo công thức xác suất toàn phần thì Theo công thức Bayes thì Câu 17. Một nhà máy lắp ráp nhận được các chi tiết do hai máy sản xuất. Trung bình máy thứ nhất cung cấp chi tiết, máy thứ hai cung cấp chi tiết. Khoảng chi tiết do máy thứ nhất sản xuất là đạt tiêu chuẩn, còn chi tiết do máy thứ hai sản xuất là đạt tiêu chuẩn. Lấy ngẫu nhiên từ nhà máy một sản phẩm, thấy nó đạt tiêu chuẩn. Tìm xác suất để sản phẩm đó do máy thứ nhất sản xuất (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm). Lời giải Trả lời: 0,64 Gọi: “ ” là biến cố: “Chi tiết lấy từ dây chuyền đạt tiêu chuẩn” “ ” là biến cố: “Chi tiết do máy thứ nhất sản xuất” 7 Hubdocu.com
Page 8
“ ” là biến cố: “Chi tiết do máy thứ hai sản xuất” Ta cần tính xác suất: . Theo công thức Bayes: Theo điều kiện bài toán: ; ; ; Vậy: Câu 18. Có hai lô sản phẩm gồm các loại sản phẩm tốt và xấu. Lô 1 có 50 sản phẩm trong đó có 20 sản phẩm xấu, lô 2 có 40 sản phẩm trong đó có 15 sản phẩm xấu. Lấy ngẫu nhiên một lô và từ đó lấy ra một sản phẩm. Tìm xác suất để sản phẩm lấy ra là sản phẩm tốt (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm). Lời giải Đáp số: 0,61 Gọi là biến cố “chọn lô sản phẩm 1”; là biến cố “chọn lô sản phẩm 2”, là biến cố “sản phẩm lấy ra là sản phẩm tốt”. Ta có , , . Theo công thức xác suất toàn phần ta có: . Vậy xác suất lấy ra sản phẩm tốt là . Câu 19. Một loại xét nghiệm nhanh SARS-CoV-2 cho kết quả dương tính với 76,2% các ca thực sự nhiễm virus và kết quả âm tính với 99,1% các ca thực sự không nhiễm virus (nguồn: https:// tapchiyhocvietnam.vn/index.php/vmj/article/ view/2124/1921). Giả sử tỉ lệ người nhiễm virus SARS-CoV-2 trong một cộng đồng là 1%. Hãy tính xác suất người làm xét nghiệm có kết quả dương tính (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm). Lời giải Đáp số: 0,02 Gọi A là biến cố “Người làm xét nghiệm có kết quả dương tính” và B là biến cố “Người làm xét nghiệm thực sự nhiễm virus”. Do xét nghiệm cho kết quả dương tính với 76,2% các ca thực sự nhiễm virus nên . Do xét nghiệm cho kết quả âm tính với 99,1% các ca thực sự không nhiễm virus nên . Suy ra . 8 Hubdocu.com
Page 9
Do tỉ lệ người nhiễm virus trong cộng đồng là 1% nên và . Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có xác suất người làm xét nghiệm có kết quả dương tính là . Câu 20. Giả sử tỷ lệ người dân của tỉnh M nghiện thuốc lá là 20%, tỷ lệ người dân bị bệnh phổi là 26%, trong số người bị bệnh phổi thì tỷ lệ nghiện thuốc lá là 70%. Tính xác suất người đó nghiện thuốc lá khi biết bị bệnh phổi ( làm tròn đến chữ số hàng phần trăm). Lời giải Đáp số: 0,54 Gọi A là biến cố “ người nghiện thuốc lá” B là biến cố “ người bị bệnh phổi” Trong số người bị bệnh phổi thì tỷ lệ nghiện thuốc lá là 70% Xác suất người đó nghiện thuốc lá khi biết bị bệnh phổi là Câu 21. Một cặp trẻ sinh đôi có thể do cùng một trứng (sinh đôi thật) hay do hai trứng khác nhau sinh ra (sinh đôi giả). Các cặp sinh đôi thật luôn luôn có cùng giới tính. Các cặp sinh đôi giả thì giới tính của mỗi đứa độc lập với nhau và có xác suất là . Thống kê cho thấy cặp sinh đôi là trai, cặp sinh đôi là gái và cặp sinh đôi có giới tính khác nhau. Tính tỷ lệ cặp sinh đôi thật trong số các cặp sinh đôi có cùng giới tính. (Làm tròn đến hàng phần trăm) Lời giải Đáp số: 0,44 Gọi là biến cố: “Nhận được cặp sinh đôi thật”; là biến cố: “Nhận được cặp sinh đôi có cùng giới tính”. Do các cặp sinh đôi thật luôn có cùng giới tính nên . Vì các cặp sinh đôi giả thì giới tính của mỗi đứa độc lập với nhau và có xác suất là nên . Do thống kê trên các cặp sinh đôi nhận được thì , . Áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có 9 Hubdocu.com
Page 10
Suy ra . Áp dụng công thức Bayes ta có Câu 22. Dây chuyền lắp ráp nhận được các chi tiết do hai máy sản xuất. Trung bình máy thứ nhất cung cấp 60% chi tiết, còn lại là của máy thứ hai. Khoảng 90% chi tiết do máy thứ nhất sản xuất đạt tiêu chuẩn, còn 85% chi tiết do máy thứ 2 sản xuất là đạt tiêu chuẩn. Lấy ngẫu nhiên từ dây chuyền một sản phẩm, thấy nó đạt tiêu chuẩn. Tính xác suất để sản phẩm đó do máy thứ nhất sản xuất (làm tròn đến hàng phần trăm). Lời giải Đáp số: Gọi là biến cố: “Chi tiết lấy từ dây chuyền đạt tiêu chuẩn” là biến cố: “Chi tiết do máy thứ nhất sản xuất”. Ta cần tính . Theo công thức Bayes ta có Câu 23. Một hộp có 80 viên bi, trong đó có 50 viên bi màu đỏ và 30 viên bi màu vàng; các viên bi có kích thước và khối lượng như nhau. Sau khi kiểm tra, người ta thấy có 90% số viên bi màu đỏ được đánh số và 50% số viên bi màu vàng được đánh số, những viên bi còn lại không đánh số. Lấy ra ngẫu nhiên một viên bi trong hộp. Tính xác suất để viên bi được lấy ra có đánh số (kết quả để dưới dạng số thập phân và làm tròn đến hàng phần trăm). Lời giải Đáp số: . Gọi là biến cố: “ Viên bi được lấy ra có đánh số” Gọi là biến cố: “ Viên bi được lấy ra có màu đỏ”, suy ra là biến cố: “ Viên bi được lấy ra có màu vàng”. Khi đó, ta có: ; . Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có: 10 Hubdocu.com
Page 11
. Câu 24. Một lô linh kiện có chứa 40% linh kiện do nhà máy I sản xuất và 60% linh kiện do nhà máy II sản xuất. Biết tỉ lệ phế phẩm của nhà máy I, II lần lượt là 3%, 4%. Một khách hàng lấy ngẫu nhiên một linh kiện từ lô hàng đó. Tính xác suất để linh kiện được lấy ra là linh kiện tốt ( kết quả để dưới dạng số thập phân và làm tròn đến hàng phần trăm). Lời giải Đáp số: 0,96. Gọi là biến cố: “ linh kiện được lấy ra là linh kiện tốt” Gọi là biến cố: “ linh kiện được lấy ra do nhà máy I sản xuất ”, suy ra là biến cố: “ linh kiện được lấy ra do nhà máy II sản xuất”. Khi đó, ta có: ; . Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có: . Câu 25. Một xét nghiệm Covid – 19 cho kết quả dương tính với các trường hợp thực sự nhiễm virus và cho kết quả âm tính với các trường hợp thực sự không nhiễm virus. Biết rằng tỉ lệ người nhiễm Covid – 19 trong một cộng đồng nào đó là . Một người trong cộng đồng đó cho kết quả xét nghiệm dương tính. Xác suất để người đó thực sự bị nhiễm virus có dạng (Phân số tối giản). Giá trị của bằng bao nhiêu? Lời giải Đáp số: 24. Gọi là biến cố “Người đó bị nhiễm Virus”. là biến cố “Người đó cho kết quả dương tính”. Xét nghiệm Covid – 19 cho kết quả dương tính với các trường hợp thực sự nhiễm virus . Xét nghiệm Covid – 19 cho kết quả âm tính với các trường hợp thực sự không nhiễm virus, nên cho kết quả dương tính với các trường hợp không thực sự nhiễm virus 11 Hubdocu.com
Page 12
Do đó xác suất để người đó cho kết quả dương tính là: Xác suất để người nhiễm virus cho kết quả dương tính là: Vậy . Câu 26. Tỷ lệ người nghiện thuốc lá tại một vùng là . Biết rằng tỷ lệ người bị viêm họng trong số những người nghiện thuốc là , còn tỷ lệ người bị viêm họng trong số những người không nghiện là . Lấy ngẫu nhiên một người thấy người ấy không bị viêm họng. Tính xác suất người đó nghiện thuốc lá. (Làm tròn kết quả tới hàng phần trăm) Lời giải Đáp số: 0,22. Gọi là biến cố “Người này bị nghiện thuốc lá” B là biến cố “Người này không bị viêm họng” Ta có . Tỷ lệ người bị viêm họng trong số người bị nghiện thuốc là Tỷ lệ người bị viêm họng trong số người không bị nghiện thuốc là Do đó . Suy ra . . Câu 27. Tại một địa phương có 500 người cao tuổi, bao gồm 260 nam và 240 nữ. Trong nhóm người cao tuổi nam và nữ lần lượt có và bị bệnh tiểu đường. Chọn ngẫu nhiên một người. Xác suất để chọn được một người không bị bệnh tiểu đường là bao nhiêu? (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm) Lời giải Trả lời: 0,53 Xét các biến cố: : "Chọn được người không bị bệnh tiểu đường"; : "Chọn được người cao tuổi là nam"; : "Chọn được người cao tuổi là nữ". 12 Hubdocu.com
Page 13
Từ giả thiết, ta có: ; ; ; . Theo công thức xác suất toàn phần, ta có: . Vậy xác suất để chọn được một người không bị bệnh tiểu đường là . Câu 28. Có hai hộp bóng bàn, các quả bóng bàn có kích thước và hình dạng như nhau. Hộp thứ nhất có 3 quả bóng bàn màu trắng và 2 quả bóng bàn màu vàng. Hộp thứ hai có 6 quả bóng bàn màu trắng và 4 quả bóng bàn màu vàng. Lấy ngẫu nhiên 4 quả bóng bàn ở hộp thứ nhất bỏ vào hộp thứ hai rồi lấy ngẫu nhiên 1 quả bóng bàn ở hộp thứ hai ra. Tính xác suất để lấy được quả bóng bàn màu vàng từ hộp thứ hai. Lời giải Trả lời: 0,4 Vì hộp thứ nhất có 3 quả bóng bàn màu trắng và 2 quả bóng bàn màu vàng nên khi lấy 4 quả bóng bàn ở hộp thứ nhất thì có hai khả năng: khả năng thứ nhất là lấy được 3 quả bóng bàn màu trắng và 1 quả bóng bàn màu vàng; khả năng thứ hai là lấy được 2 quả bóng bàn màu trắng và 2 quả bóng bàn màu vàng. Xét các biến cố: A: "Lấy được quả bóng bàn màu vàng từ hộp thứ hai"; : "Lấy được 4 quả bóng bàn ở hộp thứ nhất, trong đó có 1 quả bóng bàn màu vàng"; : "Lấy được 4 quả bóng bàn ở hộp thứ nhất, trong đó có 2 quả bóng bàn màu vàng". Trường hợp 1: Số cách lấy 4 quả bóng bàn từ hộp thứ nhất là , có 1 cách lấy 3 quả bóng bàn màu trắng và 2 cách lấy 1 quả bóng bàn màu vàng, suy ra . Vi khi đó hộp thứ hai có 9 quả bóng bàn màu trắng và 5 quả bóng bàn màu vàng nên . Trường hợp 2: Số cách lấy 4 quả bóng bàn từ hộp thứ nhất là , có cách lấy 2 quả bóng bàn màu trắng và 1 cách lấy 2 quả bóng bàn màu vàng, suy ra . Vì khi đó hộp thứ hai có 8 quả bóng bàn màu trắng và 6 quả bóng bàn màu vàng nên . Theo công thức xác suất toàn phần, ta có: . Vậy xác suất để lấy được quả bóng bàn màu vàng từ hộp thứ hai là . 13 Hubdocu.com
Page 14
Câu 29. Một đội bắn súng gồm có 8 nam và 2 nữ. Xác suất bắn trúng của các xạ thủ nam là 0,8 còn của các xạ thủ nữ là 0,9. Chọn ngẫu nhiên một xạ thủ bắn một viên đạn và xạ thủ đó đã bắn trúng. Tính xác suất (làm tròn đến hàng phần trăm) để xạ thủ đó là nữ? Lời giải Trả lời: 0,22 Gọi là biến cố “Xạ thủ được chọn là nữ”, suy ra là biến cố “xạ thủ được chọn là nam” Gọi là biến cố “xạ thủ được chọn bắn trúng” Theo giả thiết ta có: Áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có: Xác suất để xạ thủ được chọn ra bắn trúng đó là nữ là Theo công thức Bayes, ta có . Vậy xác suất để xạ thủ bắn trúng đó là nữ là . Câu 30. Một nhà máy sản xuất bóng đèn có tỉ lệ bóng đèn đạt tiêu chuẩn là 80%. Trước khi xuất ra thị trường, mỗi bóng đèn đều được kiểm tra chất lượng. Vì sự kiểm tra không thể tuyệt đối hoàn hảo nên tỉ lệ công nhận một bóng đèn đạt tiêu chuẩn là 0,9 và tỉ lệ loại bỏ một bóng hỏng là 0,95. Hãy tính tỉ lệ bóng đạt tiêu chuẩn sau khi qua khâu kiểm tra chất lượng. Lời giải Gọi là biến cố “bóng đạt chuẩn sau khi qua kiểm tra chất lượng” là biến cố “sản phẩm đạt tiêu chuẩn”. Theo bài ra ta có: ; Do tỉ lệ công nhận một bóng đèn đạt tiêu chuẩn là 0,9 nên . 14 Hubdocu.com
Page 15
Tỉ lệ loại bỏ một bóng hỏng là 0,95 nên . Theo công thức xác suất toàn phần ta có: . Đáp số: . Câu 31. Có hai hộp bi, hộp I có 5 bi trắng và 7 bi đỏ, hộp II có 10 bi trắng và 15 bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên hai viên bi từ hộp I chuyển sang hộp II. Sau đó, từ hộp II lấy ngẫu nhiên 1 viên bi thì được bi trắng. Xác suất để 2 bi chuyển từ hộp I sang hộp II không cùng màu là (là phân số tối giản). Tính . Lời giải Đáp án: 20. Gọi là biến cố: Hai viên bi chuyển từ hộp I sang hộp II là bi trắng, là biến cố: Hai viên bi chuyển từ hộp I sang hộp II là bi đỏ, là biến cố: Hai viên bi chuyển từ hộp I sang hộp II có 1 bi trắng và 1 bi đỏ. Ba biến cố tạo thành một hệ đầy đủ Ta có: . Gọi là biến cố: Viên bi lấy ra từ hộp II là bi trắng Ta có: Cần tính xác suất . Theo công thức xác suất Bayes Thay số: Câu 32. Trong kì thi tốt nghiệp trung học phổ thông, trường THPT A có 60 % học sinh lựa chọn khối D để xét tuyển đại học. Biết rằng, nếu một học sinh lựa chọn khối D thì xác suất để học sinh đó đỗ đại học là còn nếu học sinh không lựa chọn khối D thì xác suất để học sinh đó đỗ đại học là . Chọn ngẫu nhiên một học sinh của trường THPT A đã tốt nghiệp trong kì thi trên. Giả sử xác suất để học sinh đó chọn khối D biết học sinh này đã đỗ đại học là với là số nguyên dương và là phân số tối giản. Tính giá trị của . 15 Hubdocu.com
Page 16
Lời giải Đáp án: . Gọi A là biến cố: “Học sinh đó chọn khối D” B là biến cố: “Học sinh đó đỗ đại học” Ta có: ; ; và Áp dụng công thức Bayes, ta có: . Câu 33. Một hộp chứa viên bi xanh và viên bi đỏ. Bạn An lấy ra ngẫu nhiên viên bi từ hộp, xem màu, rồi bỏ ra ngoài. Nếu viên bi An lấy ra có màu xanh, bạn Bình sẽ lấy ra ngẫu nhiên viên bi từ hộp; còn nếu viên bi An lấy ra có màu đỏ, bạn Bình sẽ lấy ra ngẫu nhiên viên bi từ hộp. Tính xác suất để An lấy được viên bi màu xanh, biết rằng tất cả các viên bi được hai bạn chọn ra đều có đủ cả hai màu. Lời giải Đáp án: . Gọi là biến cố: An lấy ra viên bi màu xanh Khi đó là một hệ đầy đủ các biến cố với Gọi là biến cố: Tất cả các viên bi được hai bạn chọn ra đều có đủ cả hai màu Ta có Xác suất 2 viên bi Bình lấy ra có ít nhất một viên bi màu đỏ, do đó Tương tự Xác suất 3 viên bi Bình lấy ra có ít nhất một viên bi màu xanh, do đó Áp dụng công thức xác suất Bayes, ta có . Câu 34. Một nhà máy có hai phân xưởng và tương ứng làm ra và sản phẩm của nhà máy. Biết rằng tỷ lệ phế phẩm của hai phân xưởng và tương ứng là và . Chọn ngẫu nhiên một sản phẩm của nhà máy thì thấy nó là phế phẩm. Tính xác suất để sản phẩm đó thuộc phân xưởng . Lời giải Đáp án: . Gọi là biến cố “sản phẩm lấy ra là phế phẩm”. 16 Hubdocu.com
Page 17
Gọi là biến cố “sản phẩm lấy ra thuộc phân xưởng ”. Theo dữ kiện bài toán, xác suất để sản phẩm lấy ra thuộc phân xưởng biết rằng sản phẩm đó la phế phẩm, ta cần tính . Theo công thức Bayes: . Ta có: . . . Vậy . Câu 35. Có hai chiếc hộp, hộp có quả bóng màu trắng và quả bóng màu đỏ, hộp có quả bóng màu trắng và quả bóng màu đỏ, các quả bóng có cùng kích thước và khối lượng. Lấy ngẫu nhiên hai quả bóng từ hộp bỏ vào hộp . Sau đó, lấy ra ngẫu nhiên một quả bóng từ hộp . Xác suất để quả bóng được lấy ra từ hộp là quả bóng được chuyển từ hộp sang, biết rằng quả bóng đó có màu trắng là (là phân số tối giản). Tính . Lời giải Đáp số: . Gọi biến cố “Hai quả bóng lấy ra từ hộp khác màu” “Quả bóng màu trắng lấy ra từ hộp ” Khi đó: ; * Xác suất để quả bóng màu trắng lấy ra từ hộp là quả bóng được chuyển từ hộp là Vậy: và . Câu 36. Chuyên Hoàng Văn Thụ - Hòa Bình 2025) Quan sát hai mã cổ phiếu và . Người ta nhận thấy trong mỗi phiên giao dịch, nếu cổ phiếu không giảm thì cổ phiếu giảm giá với xác suất . Ngược lại, nếu cổ phiếu không giảm thì cổ phiếu giảm giá với xác suất Hơn nữa, xác suất để cả hai cổ phiếu và giảm giá trong cùng một ngày là Hỏi xác suất để có ít nhất một trong hai cổ phiếu giảm giá trong một phiên giao dịch là bao nhiêu? 17 Hubdocu.com
Page 18
Lời giải Đáp án: . Gọi là biến cố: “Cổ phiếu giảm giá trong phiên giao dịch”. Gọi là biến cố: “Cổ phiếu giảm giá trong phiên giao dịch”. Đặt . Theo bài ra . Ta có . Lại có (1) và (2) Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: Xác suất có ít nhất một trong hai cổ phiếu giảm giá trong phiên giao dịch là Câu 37. Một chiếc hộp có 50 viên bi, trong đó có 30 viên bi màu xanh và 20 viên bi màu đỏ, các viên bi có kích thước và khối lượng giống nhau. Sau khi kiểm tra, người ta thấy có số viên bi màu xanh được đánh số và số viên bi màu đỏ được đánh số, những viên bi còn lại không đánh số. Lấy ngẫu nhiên một viên bi từ hộp đó. Biết rằng, viên bi lấy ra được đánh số, xác suất để viên bi đó có màu xanh bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)? Lời giải Đáp án: . Gọi là biến cố “Viên bi lấy ra có màu xanh” là biến cố “Viên bi lấy ra được đánh số”. Theo bài ra ta có , , . . Câu 38. Chạy Marathon là môn thể thao chạy bộ đường dài mà tại đó, người chơi sẽ hoàn thành quãng đường 42,195 km trong khoảng thời gian nhất định. “FM sub 4” là một thuật ngữ phổ biến trong cộng đồng những người tham gia chạy Marathon, nó dùng để chỉ thành tích hoàn thành quãng đường 42,195 km dưới 4 giờ. Trong một câu lạc bộ Marathon, tỉ lệ thành viên nam là 72%, tỉ lệ thành viên nữ là 28%. Đối với nam, tỉ lệ người hoàn thành FM sub 4 là 32%; đối với 18 Hubdocu.com
Page 19
nữ, tỉ lệ người hoàn thành FM sub 4 là 3%. Chọn ngẫu nhiên một người từ câu lạc bộ đó. Xác suất để người được chọn là nam bằng bao nhiêu (kết quả được làm tròn đến hàng phần trăm), biết rằng người được chọn đã hoàn thành FM sub 4? Lời giải Đáp án: 0,96 Gọi là biến cố chọn được thành viên nam Gọi là biến cố chọn được thành viên đã hoàn thành FM sub 4 Ta có Xác suất để chọn được người nam trong câu lạc bộ biết người đó đã hoàn thành FM 4 là: Câu 39. Trong một đợt kiểm tra sức khỏe tại trường có học sinh được xét nghiệm một loại virus. Trong đó, biết rằng có 80 bạn thật sự bị nhiễm virus. Nếu một bạn bị nhiễm, thì xét nghiệm cho kết quả dương tính (tức là phát hiện đúng bệnh) với xác suất . Nều một bạn không bị nhiễm, thì xét nghiệm vẫn có thể báo nhầm là dương tính (gọi là dương tính giả), với xác suất . Giả sử một bạn có kết quả xét nghiệm dương tính. Hỏi xác suất để bạn đó thật sự bị nhiêm virus là bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)? Lời giải Đáp án : Gọi là xác suất bị nhiễm và D là dương tính , Câu 40. Xác suất bé An được mẹ dẫn theo khi đi mua sắm là Khi bé An được đi theo mẹ thì 70% bé sẽ được mua đồ chơi. Khi bé không đi theo mẹ, có thể mẹ vẫn mua đồ chơi cho bé. Xác suất bé được đi theo mẹ biết rằng bé được mẹ mua cho đồ chơi là Khi bé không đi theo mẹ, xác suất bé được mẹ mua cho đồ chơi là bao nhiêu? Lời giải Đáp án: 0,3. Gọi “Bé An được mẹ dẫn theo khi đi mua sắm”. “Bé An được mẹ mua đồ chơi”. 19 Hubdocu.com
Page 20
Ta cần tính Theo đề bài, ta có: Ta có: Mặt khác, theo công thức xác suất toàn phần: Câu 41. Một cơ sở sản xuất sữa giả mua các thùng sữa thật giống nhau ( hộp / thùng), rồi thay thế một số hộp sữa thật thành các hộp sữa giả nhằm thu lợi bất chính. Trong quá trình sản xuất, cơ sở phân ra làm hai loại: Loại I để lẫn mỗi thùng hộp sữa giả và loại II để lẫn mỗi thùng hộp sữa giả. Biết rằng số thùng sữa loại I gấp lần số thùng sữa loại II. Chọn ngẫu nhiên một thùng sữa từ cơ sở sản xuất và từ thùng đó lấy ngẫu nhiên hộp. Tính xác suất để trong hộp lấy ra có đúng hộp sữa là giả (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm). Lời giải Đáp án: . Gọi biến cố là biến cố chọn được “Thùng sữa loại I”. Biến cố là biến cố chọn được “Thùng sữa loại II”. Nếu số thùng sữa loại II là thùng thì số thùng sữa loại I là thùng. Khi đó: ; . Gọi biến cố là biến cố chọn được “ hộp lấy ra có đúng hộp sữa giả”. ; . . Câu 42. Một cơ quan hành chính nhà nước thực hiện việc tinh giản biên chế thông qua phỏng vấn. Tỷ lệ nhân viên của cơ quan thuộc hai nhóm trình độ: Đại học, Cao đẳng lần lượt là và . Qua phỏng vấn thì tỷ lệ nhân viên bị tinh giản của nhóm đại học là , nhóm cao đẳng là . Chọn một nhân viên bất kỳ đã bị tinh giản thì hãy tính xác suất để người này có trình độ đại học (kết quả là một số thập phân nhỏ hơn 1 đã làm tròn đến hàng phần trăm). Lời giải 20 Hubdocu.com
Affichage des 20 premières pages. Téléchargez le document pour le voir en entier.
Commentaires (0)
Aucun commentaire pour le moment. Soyez le premier !