Page 1
Câu 67. Cho một thanh gỗ hình trụ có đáy là hình tròn bán kính , và một thanh gỗ hình lăng trụ đứng có đáy là hình vuông cạnh như hình vẽ. Hai thanh gỗ có trục chính cắt nhau và tạo với nhau một góc . Trong hai đường chéo của tiết diện vuông góc với trục của thanh gỗ , có một đường chéo vuông góc với mặt phẳng chứa trục của cả hai thanh gỗ, còn đường chéo còn lại thì nằm trong mặt phẳng đó. Khi đó, phần thể tích chung của hai thanh gỗ là Hãy tính giá trị của biểu thức , biết rằng và là các số hữu tỉ. Lời giải Trả lời: 24 Đầu tiên, ta sẽ thực hiện 1 lát cắt ngang vuông góc với “đường chéo vuông góc với mặt phẳng chứa trục của cả hai thanh gỗ” 1 Hubdocu.com
Page 2
Ta gọi là giao của 2 trục chính. Giả sử lát cắt ngang này, cắt trục tại điểm có hoành độ bằng với . Khi đó ta được hình sau: Khi đó, ta cắt thanh gỗ có chiều rộng là và thanh gỗ có chiều rộng là Còn là tứ giác là hình bình hành do lát cắt tạo thành vào phần chung của và . Dễ dàng tìm được diện tích tứ giác này là Vậy thể tích cần tìm là Câu 68. Hình 1 là một tác phẩm dự thi của nhà thiết kế sân khấu trong một cuộc thi thiết kế sân khấu ngoài trời tổ chức tại một quảng trường. Khi mở rộng sân khấu trung tâm, ta được Hình 2. Quá trình thiết kế sân khấu trung tâm được mô tả như sau: Bước 1. Vẽ hình vuông có độ dài cạnh bằng 2, và lấy trung điểm của bốn cạnh lần lượt là . Bước 2. Vẽ đồ thị của các hàm bậc hai đi qua ba điểm và hàm bậc hai đi qua ba điểm . 2 Hubdocu.com
Page 3
Bước 3. Tương tự như Bước 2, vẽ đồ thị của các hàm bậc hai đi qua ba điểm và ba điểm Biết rằng: Diện tích phần tô đen trong Hình 2 được cho bởi công thức: Hãy tính giá trị của . (Với là các số nguyên.) Lời giải Trả lời: 15 Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ: Gốc tọa độ là giao điểm của hai đường chéo và Trục Khi đó ta dễ suy ra được: và đồ thị hàm số bậc hai đi qua là: Xét phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng và đồ thị hàm số bậc hai đi qua ta được: Ta gọi là diện tích vùng được tô màu xanh như hình trên, khi đó: Diện tích phần tô màu cam trong hình trên là: Vậy diện tích tô màu đen như hình 2 là Vậy 3 Hubdocu.com
Page 4
Câu 69. Cho đường tròn tâm , bán kính bằng 2. Trên đường tròn, lấy 6 điểm chia đều đường tròn, lần lượt là . Vẽ cung tròn tiếp xúc với hai đoạn thẳng và , đi qua hai điểm và . Tương tự, vẽ cung tròn tiếp xúc với hai đoạn thẳng và , đi qua hai điểm và . Tiếp tục bằng cách tương tự, ta vẽ các cung tròn tiếp xúc với các cặp đoạn thẳng liên tiếp tạo bởi các điểm trên. Hỏi: Diện tích phần được bao bởi 6 cung tròn đến là bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm) Lời giải Trả lời: 3,46 Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ Ta dễ có được góc suy ra đường thẳng do đó điểm Để tiện tính toán: Ta xét riêng diện tích tô đậm được tạo bởi cung tròn với hai đoạn thẳng 4 Hubdocu.com
Page 5
Dễ thấy được đường cong là đồ thị hàm số parabol đối xứng qua trục . Do đó hàm số parapol đó có dạng: và đồ thị hàm số này đi qua điểm . Ta có: . Vậy Khi đó diện tích tô đậm được tạo bởi cung tròn với hai đoạn thẳng là: Suy ra diện tích phần được bao bởi 6 cung tròn đến là Câu 70. Cho khối có đáy là miền phẳng bị giới hạn bởi: - Đồ thị hàm số - Trục - Hai đường thẳng và . Khi đó, mỗi tiết diện của khối cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục đều là một tam giác đều. Hỏi: Thể tích của khối bằng bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị) Lời giải Trả lời: 15 Diện tích của tam giác đều là Vậy 5 Hubdocu.com
Page 6
Câu 71. Một sảnh ga có thông số như hình dưới, được thông gió bằng hai quạt, mỗi quạt có lưu lượng khoảng phút. Hỏi: Cần bao nhiêu phút để trao đổi toàn bộ không khí trong sảnh? Mái sảnh là kết cấu gỗ dạng parabol. Lời giải Trả lời: 110 Chọn hệ trục tọa độ như hình (trục ngang, trục thẳng đứng). - Phương trình parabol của mái Gọi . Điều kiện: - . - (vì nửa bề rộng sảnh là 10 m) Vậy - Diện tích tiết diện ngang của sảnh Tiết diện gồm hai phần: - HCN đáy: . 6 Hubdocu.com
Page 7
- Phần dưới parabol phía trên trục (lấy đối xứng hai bên): Tổng diện tích mặt trước: - Thể tích không khí của sảnh Chiều dài sảnh , - Thời gian trao đổi hết không khí Hai quạt: phút. Thời gian: Câu 72. Dọc bờ nước có một đường xe đạp. Trên một đoạn dài 20 m, người ta muốn thay bằng tuyến mới đi vòng một cái giếng (đường kính 2 m). Các đoạn nối phải trơn (chuyển tiếp êm). Diện tích phần tô màu cần lát giữa bờ và tuyến mới là bao nhiêu mét vuông (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị) Lời giải Trả lời: 61 1) Chọn mô hình hàm 7 Hubdocu.com
Page 8
Đặt hệ trục thuận tiện như hình; do hình dạng đối xứng qua trục và cần chuyển tiếp trơn vào trục , ta chọn đa thức bậc 4: Các điểm đặc trưng: - Điểm thấp nhất . - Đỉnh phải (chuyển tiếp trơn vào trục ); đỉnh trái đối xứng. Suy ra các điều kiện: , (đúng do đối xứng), , . Giải hệ: . Vậy 2) Diện tích phần lát Diện tích nửa phải (từ 0 đến 10) được cho bởi tích phân: Giá trị âm chỉ do quy ước phía dưới trục ; nửa diện tích là . Đối xứng qua tổng diện tích hình tô (chưa trừ giếng): Trừ diện tích miệng giếng (bán kính ): Vậy diện tích cần lát: Câu 73. Mái của một nhà thi đấu rộng 20 m và dài 60 m được kéo theo dạng vòm parabol. Hỏi thể tích không khí tăng thêm là bao nhiêu mét khối nếu chọn chiều cao đỉnh mái 10 m thay vì phương án ban đầu 8 m ? 8 Hubdocu.com
Page 9
Lời giải Trả lời: 1600 Ta chỉ cần tính diện tích phần chênh lệch giữa hai đường mái (mới và cũ) trong mặt cắt ngang, rồi nhân với chiều dài 60 m để ra thể tích tăng. 1) Xác định phương trình hai parabol Giả sử (trong hệ trục như hình) parabol có dạng . - Với mái cao 10 m: Điều kiện: . Giải hệ thu được . - Với mái cao 8 m: Điều kiện: . Giải ra . 2) Diện tích phần chênh lệch trong mặt cắt 3) Thể tích tăng thêm Kết luận: Chọn mái cao 10 m thay vì 8 m làm thể tích không khí tăng thêm . 9 Hubdocu.com
Page 10
Câu 74. Một đèn pha dạng parabol có đường biên (mặt cắt) cho bởi Chiều dài chóa là 4 cm. Hỏi: thể tích không khí bên trong là bao nhiêu cm3? (làm tròn kết quả đến hàng phần mười) Lời giải Trả lời: 56,6 Thể tích khối tròn xoay quanh trục : Ghi chú: Nếu quay đồ thị quanh trục thẳng đứng thay vì trục , ta cũng tính được thể tích khối tròn xoay, nhưng cần chọn hệ trục sao cho trục hướng lên trên. Câu 75. Một thùng làm kem có mặt cắt dạng parabol như hình. Biết phương trình đường biên có dạng , hỏi dung tích của thùng bằng bao nhiêu lít. Lời giải Trả lời: 28,3 Từ hình vẽ: . Vậy . Thể tích khối tròn xoay: 10 Hubdocu.com
Page 11
Câu 76. Ly ở hình dưới chứa được bao nhiêu thể tích (đơn vị cm3). Biết đường bao mép ly là một parabol bậc hai dạng . Lưu ý: trục hướng lên trên. (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị) Xác định phương trình parabol Từ hình thấy điểm nằm trên parabol, nên Vậy . Tính thể tích khối tròn xoay Mực chất lỏng trải từ đến tối đa . Thể tích chất lỏng trong ly là Câu 77. Không khí trong lốp có thể xem là một vật thể thu được khi quay tiết diện của lốp quanh trục . Bên dưới là miền bị chặn phía trên bởi và phía dưới bởi trên đoạn . Khi quay miền quanh trục , ta được thể tích không khí trong lốp. Hãy tính thể tích đó bằng bao nhiêu dm3 (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị) 11 Hubdocu.com
Page 12
(Quy ước: 1 đơn vị .) Lời giải Trả lời: 113 1. Thể tích do đường biên trên quay quanh trục : 2. Thể tích do đường biên dưới quay quanh trục : 3. Thể tích không khí trong lốp (miền kẹp giữa hai đường) là hiệu: Câu 78. Thể tích không khí của chiếc lều hội chợ trong hình là bao nhiêu ML (megalit) (làm tròn kết quả đến hàng phần mười) Biết biên dạng mái lều được cho bởi hai hàm biên: 12 Hubdocu.com
Page 13
Lời giải Trả lời: 10,6 Diện tích nửa phải: Mặt cắt đối xứng nên Thể tích không khí: Câu 79. Con đường có phương trình . Con sông nằm dọc trục . Miền đất trồng cây ăn quả được giới hạn bởi đồ thị của , trục và đường thẳng đứng qua điểm có hoành độ (xem hình). Quy ước 1 đơn vị . Mỗi cây cần . Hỏi trồng được bao nhiêu cây? Biết là một nguyên hàm của . Lời giải Trả lời: 805 Diện tích miền cần tính Đổi ra . Số cây trồng được: cây. Câu 80. Mái chùa đối xứng qua trục, có biên dạng 13 Hubdocu.com
Page 14
Cổng chùa dạng parabol, rộng 4 m và cao 3 m. Mỗi cửa sổ kích thước . Mặt tiền phía trước của mặt sẽ được sơn màu vàng dày . Hỏi: Cần bao nhiêu lít nước sơn? (làm tròn kết quản đến hàng phần mười) Lời giải Trả lời: 2,5 Ta cần diện tích mặt tiền trừ diện tích cổng và ba cửa sổ. 1) Diện tích mặt tiền 2) Phương trình, diện tích cổng Giả sử . Điều kiện: . Vậy . Diện tích cổng: Ba cửa sổ, mỗi cái . Vậy diện tích cần sơn vàng 4) Thể tích nước sơn: Câu 81. Ở bể bơi thành phố sẽ xây một cầu trượt nước mới. Cầu trượt dài 5 m và có thể trượt từ cả hai phía. Những người thận trọng trượt về bên trái, nơi mép trượt được cho bởi Những người ưa mạo hiểm trượt về bên phải, nơi mép trượt cao và dốc hơn, mô hình bởi Tại hai đường cong nối trơn với nhau (không gãy, không góc nhọn). (Đơn vị tính bằng mét.) 14 Hubdocu.com
Page 15
Hai thành bên của cầu trượt được ốp nhựa. Cần bao nhiêu nhựa? Lời giải Trả lời: 8,75 Diện tích ốp nhựa (một bên) Trái: . Phải: . Tổng một bên: . Hai bên: . Câu 82. Cho ba hàm số và có đồ thị như hình vẽ. Diện tích mỗi miền được ghi bằng số trong hình. Tính Lời giải Trả lời: Câu 83. Mac Fish muốn làm logo trong suốt dán lên cửa sổ. Nhà thiết kế đưa bản vẽ như hình. (đơn vị trên mỗi trục toạ độ là decimét). Diện tích logo là bao nhiêu . Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị. 15 Hubdocu.com
Page 16
Lời giải Trả lời: 28 Dựa vào đồ thị, ta có diện tích logo là diện tích được giới hạn bởi hai đường parabol và hai đường thẳng . Quan sát đồ thị, ta thấy +) Parabol đi qua 3 điểm +) Parabol đi qua 3 điểm . Vậy diện tích logo bằng Câu 84. Một khối bê tông có chiều cao 2 mét được đặt trên mặt đất. Nếu cắt khối bê tông bởi một mặt phẳng nằm ngang và cách mặt đất mét thì được mặt cắt là một hình chữ nhật có chiều dài 3 m và chiều rộng bằng mét (tham khảo hình vẽ). 16 Hubdocu.com
Page 17
Tính thể tích (đơn vị ) của khối bê tông đó (làm tròn kết quả đến hàng phàn trăm). Trả lời: 4,84 Ta có diện tích của mặt cắt là Coi trục là trục thẳng đứng vuông góc với mặt đất. Khi đó, ta thấy khối bê tông bị giới hạn bởi 2 mặt phẳng vuông góc với trục tại các điểm là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục tại điểm . Và là hàm số liên tục trên đoạn . Vậy Câu 85. Nhân dịp đi dã ngoại, lớp 12A dự kiến dựng một cái trại các khung xương có dạng hình parabol như hình vẽ. Nền của lều trại là một hình chữ nhật có kích thước bề ngang 3 mét, chiều dài 5 mét, đỉnh trại cách nền 3 mét. Thể tích phần không gian bên trong lều trại bằng bao nhiêu mét khối? Lời giải Trả lời: 30 Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, hình dạng khung trại là parabol có phương trình , vì đỉnh trại cao 3 m và bề ngang rộng 3 m nên parabol đi qua điểm và . 17 Hubdocu.com
Page 18
Ta có Suy ra parabol có phương trình . Mỗi mặt phẳng vuông góc tại điểm có hoành độ cắt khối chót theo mặt cắt là hình chữ nhật có độ dài các cạnh lần lượt là 5 và , có diện tích , với . Vậy thể tích phần không gian trong trại là . Câu 86. Bình chứa nhiên liệu của một chiếc máy bay phản lực được mô tả trong không gian là một khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số với và trục quanh trục ( tính theo đơn vị m). Thể tích của bình chứa bằng với là phân số tối giản. Khi đó bằng Lời giải Trả lời: 31 Thể tích của bình chứa là . Do đó, và nên . 18 Hubdocu.com
Page 19
Câu 87. Một bình hoa có dạng khối tròn xoay với chiều cao là 25 cm (tham khảo hình vẽ). Khi cắt bình hoa theo một mặt phẳng vuông góc với trục của nó thì ta luôn được thiết diện là một hình tròn có bán kính với là khoảng cách từ mặt cắt tới mặt đáy của bình hoa (tính theo đơn vị ). Lượng nước cần đổ vào bình để mức nước trong bình cao bằng chiều cao của bình chiếm tỉ lệ bao nhiêu phần trăm so với thể tích của bình hoa? (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị). Lời giải Trả lời: 92 Diện tích của mặt cắt vuông góc với trục tại vị trí cách mặt đáy của bình hoa một khoảng là: Lượng nước đổ đầy bình hoa là: Lượng nước đổ vào bình cao bằng chiều cao của bình là: Vậy tỉ lệ phần trăm lượng nước cần đổ vào bình để mức nước trong bình cao bằng chiều cao của bình so với thể tích của bình hoa là . Câu 88. Một chiếc lều vải du lịch dạng hình cong như hình vẽ. Khung chính bao gồm đáy là hình vuông cạnh 2 m và hai xương dây nằm trên các đường parabol đỉnh . Biết chiều cao của lều là là tâm của đáy. Tính thể tích chiếc lều theo đơn vị . Viết kết quả dưới dạng số thập phân. 19 Hubdocu.com
Page 20
Lời giải Trả lời: 2,7. Gắn hệ trục như hình vẽ. Ta tính được . Gọi phương trình của đường thẳng là . Ta có đi qua các điểm Suy ra ta có hệ . Gọi . Mặt phẳng vuông góc tại cắt hình đa cho theo 1 thiết diện là hình vuông có diện tích . 20 Hubdocu.com
Affichage des 20 premières pages. Téléchargez le document pour le voir en entier.
Commentaires (0)
Aucun commentaire pour le moment. Soyez le premier !