Page 1
Bài giảng Toán hubdocu.com Câu 307: Trong không gian với hệ tọa độ , viết phương trình mặt cầu tâm và tiếp xúc với trục . A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn D. Gọi là hình chiếu của lên trục , . Mặt cầu tâm tiếp xúc với trục là bán kính mặt cầu. Phương trình mặt cầu . Câu 308: Trong không gian , mặt cầu tâm và cắt mặt phẳng theo một đường tròn có bán kính bằng có phương trình là A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn A Ta có: . Bán kính mặt cầu là . Câu 309: Trong không gian với hệ trục , cho hai đường thẳng và . Mặt cầu có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với cả hai đường thẳng và có phương trình: A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn B. Ta có hai đường thẳng và lần lượt có hai véc-tơ chỉ phương và . Mặt cầu có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với cả hai đường thẳng và khi đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng là một đường kính của mặt cầu. Gọi và , . là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng và khi và chỉ khi . H 145
Page 2
Bài giảng Toán hubdocu.com Suy ra , và . Suy ra mặt cầu có tâm của là trung điểm của đoạn có tọa độ và bán kính . Suy ra có phương trình là Phương trình mặt cầu cần tìm: . Câu 310: Trong không gian với hệ tọa độ , cho điểm , điểm nằm trên mặt phẳng và . Gọi là hình chiếu vuông góc của lên và là trung điểm của . Biết đường thẳng luôn tiếp xúc với một mặt cầu cố định. Tính bán kính mặt cầu đó. A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn B Ta có tam giác luôn vuông tại . Gọi là trung điểm của (Điểm cố định). Ta có tam giác vuông tại có là đường trung tuyến nên Ta có là đường trung bình của tam giác nên song song với mà . Mặt khác tam giác cân tại . Từ đó suy ra là đường trung trực của . Nên , Vậy luôn tiếp xúc với mặt cầu tâm bán kính . Câu 311: Trong không gian , cho các đường thẳng và . Gọi là mặt cầu có tâm thuộc và tiếp xúc với hai đường thẳng . Phương trình của là A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn B. Đường thẳng có phương trình tham số là: . Gọi là tâm mặt cầu ta có . Đường thẳng đi qua và có véctơ chỉ phương . Đường thẳng đi qua và có véctơ chỉ phương . Do tiếp xúc với hai đường thẳng nên ta có: H 146
Page 3
Bài giảng Toán hubdocu.com và Phương trình của mặt cầu là . Câu 312: Cho . Viết phương trình mặ t cU ầu tâm cắt mặ t phU ẳng theo giao tuyến là đường tròn có bán kính . A. . B. . C. . D. Hướng dẫn giải Chọn B. Ta có . Bán kính của là . Vâ Uy phương trình mặ t cU ầu là . Câu 313: Trong không gian với hệ tọa độ . Hãy viết phương trình mặt cầu có tâm và tiếp xúc với đường thẳng . A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn C. Vectơ chỉ phương của đường thẳng là : . Gọi là hình chiếu vuông góc của lên đường thẳng . Suy ra : . Ta có : . Suy ra : . Mặt cầu tiếp xúc với đường thẳng nên có bán kính . Phương trình mặt cầu là : . Câu 314: Trong không gian với hệ tọa độ , cho . Phương trình mặt cầu tâm tiếp xúc với trục là. A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn C. Gọi là hình chiếu của lên . Mặt cầu tâm tiếp xúc với trục . Phương trình mặt cầu: . H 147
Page 4
Bài giảng Toán hubdocu.com Oxyz A1; 2;3 d Câu 315: Trong không gian với hệ toạ độ , cho điểm và đường thẳng có phương trình x 1 y 2 z 3 S 2 1 1 . Tính đường kính của mặt cầu có tâm Avà tiếp xúc với đường thẳng d . A. 10 2 . B. 2 5 . C. 4 5 . D. 5 2 . Lời gi ải r d M 1; 2; 3 u 2;1; 1 Chọn A. Ta có: qua và có véctơ chỉ phương là . uuur uuur r MA 2; 4;6 MA u; 2;14;10 Ta có: , . uuur r MA u, R d A d, 5 2 r u 2R 10 2 Bán kính mặt cầu đường kính mặt cầu . Câu 316: Phương trình mặt cầu tâm và tiếp xúc với đường thẳng là. A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn A. Bán kính mặt cầu là khoảng cách từ đến . Đường thẳng đi qua và có VTCP : . DẠNG 12: PTMC THỎA MÃN ĐK ĐỐI XỨNG Câu 317: Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho ba điểm , , . Gọi là điểm đối xứng với gốc tọa độ qua trọng tâm của tam giác . Gọi là bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện . Tính . A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn A. Ta có là trọng tâm của tam giác đối xứng với qua nên là trung điểm . là tam giác đều cạnh bằng , có trọng tâm cũng là trực tâm Dễ thấy . Gọi là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện thì Lại có . Khi đó bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện là . H 148
Page 5
Bài giảng Toán hubdocu.com DẠNG 13: TOÁN MAX-MIN LIÊN QUAN DẾN MẶT CẦU Câu 318: Trong không gian với hệ trục tọa độ xét đường thẳng xác định bởi và đường thẳng xác định bởi . Tính bán kính nhỏ nhất của mặt cầu tiếp xúc cả hai đường thẳng và . A. . B. C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn D. Đường thẳng có phương trình tham số là , đi qua điểm có véctơ chỉ phương . Đường thẳng có phương trình tham số là , đi qua điểm có véctơ chỉ phương . Suy ra Vì và chéo nhau nên bán kính nhỏ nhất của mặt cầu tiếp xúc cả hai đường thẳng và bằng . Câu 319: Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai điểm , và đường thẳng có vectơ chỉ phương . Gọi , lần lượt là hình chiếu của và lên . Mặt cầu đi qua hai điểm , có diện tích nhỏ nhất là A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn A Từ dựng đường thẳng song song với . Gọi là hình chiếu vuông góc của trên . Ta có không đổi. Gọi là bán kính mặt cầu . Ta có . Diện tích mặt cầu nhỏ nhất là . với . , . . Diện tích nhỏ nhất mặt cầu là H 149
Page 6
Bài giảng Toán hubdocu.com Câu 320: Trong không gian , cho mặt phẳng và mặt cầu . Tọa độ điểm nằm trên mặt cầu sao cho khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng đạt giá trị nhỏ lớn nhất là A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn C. Mặt cầu có tâm và bán kính . Khoảng cách từ đến mặt phẳng : nên cắt . Khoảng cách từ thuộc đến lớn nhất đi qua và vuông góc với Phương trình . Ta có: Mà: Thử lại ta thấy: nên thỏa yêu cầu bài toán. Câu 321: Gọi là mặt cầu đi qua , tiếp xúc với mặt phẳng tọa độ , , và có bán kính lớn nhất. Viết phương trình mặt cầu . A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn A. Do tiếp xúc với mặt phẳng tọa độ nên mặt cầu nằm trọn trong một phần của không gian do mặt phẳng tọa độ chia. Do đi qua và tiếp xúc với mặt phẳng tọa độ nên có tâm . H 150
Page 7
Bài giảng Toán hubdocu.com Ta có Do có bán kính lớn nhất nên . Vậy . Câu 322: Trong không gian , cho điểm . là điểm thay đổi trong không gian thỏa mãn . Khi đó độ dài lớn nhất bằng? A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn A . Gọi . Ta có: mặt cầu tâm bán kính . Khi đó . Câu 323: Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai điểm ; . Điểm trong không gian thỏa mãn . Khi đó độ dài lớn nhất bằng A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn B Gọi . Ta có H 151
Page 8
Bài giảng Toán hubdocu.com . Như vậy, điểm thuộc mặt cầu tâm và bán kính . Do đó lớn nhất bằng . Câu 324: Trong không gian với hệ tọa độ , cho mặt cầu và sao cho đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó bằng A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn C. Ta có: nên , do đó điểm là điểm chung của mặt cầu với mặt phẳng . Mặt cầu có tâm và bán kính . Tồn tại điểm khi và chỉ khi Do đó, với thuộc mặt cầu thì . Dấu đẳng thức xảy ra khi là tiếp điểm của với hay là hình chiếu của lên . Suy ra thỏa: Vậy . Câu 325: Trong không gian , cho tứ diện với , ; thỏa mãn , và . Giá trị nhỏ nhất của bán kính mặt cầu ngoai tiếp tứ diện bằng A. . B. . C. . D. A . Hướng dẫn giải Chọn B. Đặt ; ; . M Gọi , lần lượt là trrung điểm của và . I Theo giả thiết ta có tam giác B D hay tam giác cân tại . N Chứng minh tương tự ta cũng có . C Gọi là trung điểm của thì và . Mặt khác ta lại có nên hay là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện . Ta có . H 152
Page 9
Bài giảng Toán hubdocu.com Mặt khác là đường trung tuyến của tam giác nên . Vậy . Với Vậy . Câu 326: Trong không gian với hệ tọa độ cho các mặt cầu , , có bán kính và lần lượt có tâm là các điểm , , . Gọi là mặt cầu tiếp xúc với cả ba mặt cầu trên. Mặt cầu có bán kính nhỏ nhất là A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn B Ta có , , nên tam giác ABC vuông tại . Gọi là trung điểm của BC, khi đó . Do đó mặt cầu thỏa mãn đề bài là mặt cầu có bán kính . Câu 327: Trong không gian , cho mặt phẳng và mặt cầu Giá trị của điểm trên sao cho đạt GTNN là A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn C. Ta có: Đường thẳng đi qua và vuông góc với có pt: Tọa độ giao điểm của và là , Ta có: Vậy: H 153
Page 10
Bài giảng Toán hubdocu.com Câu 328: Trong không gian với hệ tọa độ , cho ba điểm , và . Mặt cầu luôn qua , , và đồng thời cắt ba tia , , tại ba điểm phân biệt , , . Gọi H là trực tâm của tam giác . Tìm giá trị nhỏ nhất của với . A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn D. Gọi , , . Gọi là tâm mặt cầu , là bán kính mặt cầu . Gọi là trung điểm , ta có : . Ta có : Chứng minh tương tự ta có: , Ta có : phương trình mặt phẳng hay vectơ pháp tuyến của là . Vì tứ diện có cạnh từ đôi một vuông góc nên phương trình đường thẳng (cố định). Vậy nhỏ nhất khi là hình chiếu của lên Phương trình mặt phẳng qua và vuông góc là : Câu 329: Trong không gian với hệ tọa độ , cho mặt cầu . Gọi là điểm thuộc mặt cầu sao cho biểu thức đạt giá trị lớn nhất, giá trị biểu thức bằng. A. B. C. D. Hướng dẫn giải Chọn C. Ta có . Dấu bằng xảy ra khi , thay vào phương trình ta được: . Do đó và . H 154
Page 11
Bài giảng Toán hubdocu.com Câu 330: Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai điểm , . Gọi là mặt cầu tâm đi qua hai điểm , sao cho nhỏ nhất. là điểm thuộc , giá trị lớn nhất của biểu thức là A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn A Tâm mặt cầu đi qua hai điểm , nằm trên mặt phẳng trung trực của . Phương trình mặt phẳng trung trực của là . nhỏ nhất khi và chỉ khi là hình chiếu vuông góc của trên mặt phẳng . Đường thẳng qua và vuông góc với mặt phẳng có phương trình . Tọa độ điểm khi đó ứng với là nghiệm phương trình . Bán kính mặt cầu là . Từ , suy ra thuộc mặt phẳng . Vì thuộc mặt cầu nên: . Vậy . Câu 331: Trong không gian với hệ tọa độ cho ba điểm , , và mặt cầu . Gọi điểm là điểm thuộc mặt cầu sao cho biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng . A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn B. Gọi điểm sao cho . Ta có . Khi đó . H 155
Page 12
Bài giảng Toán hubdocu.com . Do đó khi và chỉ khi . Suy ra và đồng thời nằm giữa và . Ta có . Suy ra toạ độ điểm thoả mãn: . Vì nằm giữa và nên và . Vậy . Câu 332: Trong không gian , cho điểm và đường thẳng . Phương trình mặt cầu có tâm và cắt tại hai điểm , sao cho diện tích tam giác bằng là A. B. C. D. Hướng dẫn giải Chọn B. Đường thẳng đi qua điểm và có véc-tơ chỉ phương . Ta có . Khoảng cách từ đến đường thẳng là . Diện tích tam giác bằng nên . Bán kính mặt cầu là . Phương trình mặt cầu cần lập là . Câu 333: Cho là các số thực thỏa mãn Gọi giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức lần lượt là Khi đó, bằng A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn D H 156
Page 13
Bài giảng Toán hubdocu.com Gọi thì thuộc mặt cầu có tâm , bán kính , thì thuộc mặt cầu có tâm , bán kính . Ta có và không cắt nhau và ở ngoài nhau. Dễ thấy , max khi Giá trị lớn nhất bằng . min khi Giá trị nhỏ nhất bằng . Vậy Câu 334: Trong không gian cho hai đường thẳng , . Gọi là mặt cầu có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với cả hai đường thẳng và . Bán kính mặt cầu . A. B. C. D. Hướng dẫn giải Chọn D. , . Ta có VTCP của đường thẳng là . VTCP củả đường thẳng là . Ta có . Suy ra . Mặt cầu có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với cả hai đường thẳng và có đường kính bằng độ dài đoạn nên có bán kính . Câu 335: Trong không gian, cho bốn mặt cầu có bán kính lần lượt là , , , (đơn vị độ dài) tiếp xúc ngoài với nhau. Mặt cầu nhỏ nhất tiếp xúc ngoài với cả bốn mặt cầu nói trên có bán kính bằng A. B. C. D. Hướng dẫn giải H 157
Page 14
Bài giảng Toán hubdocu.com Chọn A. Cách 1: Gọi là tâm bốn mặt cầu, không mất tính tổng quát ta giả sử , . Gọi lần lượt là trung điểm của . Dễ dàng tính được . Gọi là tâm mặt cầu nhỏ nhất với bán kính tiếp xúc với bốn mặt cầu trên. Vì nên nằm trên đoạn . Đặt , ta có , Từ đó suy ra , suy ra Cách 2. Gọi là tâm quả cầu bán kính bằng . là tâm quả cầu bán kính bằng . là tâm quả cầu bán kính . Mặt cầu tiếp xúc ngoài với mặt cầu tâm nên . Gọi , lần lượt là các mặt phẳng trung trực đoạn và . . Tứ diện có suy ra là đường vuông góc chung của và , suy ra (2). Từ và suy ra Tam giác có . Tam giác có . Tam giác có . Suy ra . Câu 336: Trong không gian với hệ tọa độ , cho mặt cầu . Gọi là điểm thuộc mặt cầu sao cho biểu thức đạt giá trị lớn nhất, giá trị biểu thức bằng. A. B. C. D. Hướng dẫn giải Chọn C. Ta có . H 158
Page 15
Bài giảng Toán hubdocu.com Dấu bằng xảy ra khi , thay vào phương trình ta được: . Do đó và . Câu 337: Trong không gian với hệ tọa độ , cho mặt cầu và hai điểm , . Gọi là điểm thuộc mặt cầu sao cho đạt giá trị lớn nhất. Viết phương trình tiếp diện của mặt cầu tại . A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn D. Mặt cầu có tâm và bán kính . Gọi là trung điểm của và nằm ngoài mặt cầu . Do đó , , và . Ta có . Bởi vậy đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi và lớn nhất. Vì nên thì thuộc đường thẳng . Tọa độ giao điểm của đường thẳng với mặt cầu ứng với là nghiệm phương trình: . Như vậy hoặc . Ta có , . Suy ra , nên phương trình tiếp diện của mặt cầu tại có phương trình: hay . Câu 338: Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho mặt cầu và điểm . Mặt phẳng đi qua và cắt theo đường tròn có chu vi nhỏ nhất. Gọi là điểm thuộc đường tròn sao cho . Tính . A. . B. 3. C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn D. Mặt cầu có tâm , bán kính . Bán kính đường tròn với Chu vi nhỏ nhất khi và chỉ khi nhỏ nhất lớn nhất H 159
Page 16
Bài giảng Toán hubdocu.com Ta có đi qua và vuông góc đi qua , và nhận làm VTPT Ta có tọa độ thỏa hệ Câu 339: Trong không gian với hệ tọa độ , cho ba điểm , và điểm thuộc mặt cầu . Khi biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất thì độ đài đoạn bằng A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn A. Gọi là trọng tâm tam giác . Ta có và . Khi đó: . Do đó ngắn nhất Ta lại có, mặt cầu có bán kính tâm thuộc trục , và qua . Mà nên ngắn nhất khi . Do đó . Vậy . Câu 340: Cho sao cho hàm số đạt cực trị tại đồng thời có và . Hỏi trong không gian , điểm nằm trong mặt cầu nào sau đây? A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn C. TXĐ: , , . Theo đề ra ta có: . Vậy . Thay tọa độ vào các phương trình mặt cầu, ta có: nằm ngoài mặt cầu này. nằm ngoài mặt cầu này. H 160
Page 17
Bài giảng Toán hubdocu.com nằm ngoài mặt cầu này. nằm trong mặt cầu này. Câu 341: Trong không gian cho mặt cầu và mặt phẳng . Gọi là điểm trên mặt cầu sao cho khoảng cách từ đến là lớn nhất. Khi đó A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn A M d I H P) M' Mặt cầu có tâm và bán kính Gọi là đường thẳng đi qua và vuông góc Suy ra phương trình tham số của đường thẳng là . Gọi lần lượt là giao của và , khi đó tọa độ ứng với là nghiệm của phương trình Với Với Với mọi điểm trên ta luôn có Vậy khoảng cách từ đến là lớn nhất bằng khi . Do đó Câu 342: Trong không gian với hệ tọa độ , cho ba điểm , , và mặt cầu . là điểm thuộc mặt cầu sao cho biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng . A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn B. có tâm H 161
Page 18
Bài giảng Toán hubdocu.com Gọi là điểm thỏa , khi đó Lúc này ta có đạt giá trị nhỏ nhất khi là một trong hai giao điểm của đường thẳng và mặt cầu . Phương trình đường thẳng . nên tọa độ là nghiệm của hệ . Khi đó : Vì nên điểm . Vậy . DẠNG 14: ĐIỂM THUỘC MẶT CẦU THỎA ĐK Câu 343: Trong không gian với hệ tọa độ , cho ba điểm , và điểm thuộc mặt cầu . Khi biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất thì độ đài đoạn bằng A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn A. Gọi là trọng tâm tam giác . Ta có và . Khi đó: . Do đó ngắn nhất Ta lại có, mặt cầu có bán kính tâm thuộc trục , và qua . Mà nên ngắn nhất khi . Do đó . Vậy . H 162
Page 19
Bài giảng Toán hubdocu.com Câu 344: Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho mặt cầu và điểm . Mặt phẳng đi qua và cắt theo đường tròn có chu vi nhỏ nhất. Gọi là điểm thuộc đường tròn sao cho . Tính . A. . B. . C. 3. D. . Hướng dẫn giải Chọn A. Mặt cầu có tâm , bán kính . Bán kính đường tròn với Chu vi nhỏ nhất khi và chỉ khi nhỏ nhất lớn nhất Ta có đi qua và vuông góc đi qua , và nhận làm VTPT Ta có tọa độ thỏa hệ Câu 345: Trong không gian với hệ tọa độ , cho ba điểm , , và mặt cầu . là điểm thuộc mặt cầu sao cho biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng . A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn C. có tâm Gọi là điểm thỏa , khi đó Lúc này ta có H 163
Page 20
Bài giảng Toán hubdocu.com đạt giá trị nhỏ nhất khi là một trong hai giao điểm của đường thẳng và mặt cầu . Phương trình đường thẳng . nên tọa độ là nghiệm của hệ . Khi đó : Vì nên điểm . Vậy . Câu 346: Trong không gian với hệ tọa độ , cho mặt cầu và hai điểm , . Gọi là điểm thuộc mặt cầu sao cho đạt giá trị lớn nhất. Viết phương trình tiếp diện của mặt cầu tại . A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn D. Mặt cầu có tâm và bán kính . Gọi là trung điểm của và nằm ngoài mặt cầu . Do đó , , và . Ta có . Bởi vậy đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi và lớn nhất. Vì nên thì thuộc đường thẳng . Tọa độ giao điểm của đường thẳng với mặt cầu ứng với là nghiệm phương trình: . Như vậy hoặc . H 164
Affichage des 20 premières pages. Téléchargez le document pour le voir en entier.
Commentaires (0)
Aucun commentaire pour le moment. Soyez le premier !