Trang 1
Hiện nay, một số trường Đại học tổ chức các k ỳ thi đánh giá năng lực theo hình thứ c 01 bài thi đánh giá năng lực chung. Trong khi đó, đ ối với một số ngành học của Trường Đ ại học Sư phạm Thành Phố Hồ Chí Minh (cũng như một số trường đại học khác), thí sinh dự thi cần có những năng lực chuyên biệt cụ thể, phù hợp với tính chất củ a ngành học. Chẳng hạn, thí sinh dự thi vào ngành Sư phạm Toán học thì cần được đánh giá năng lực Toán học để khẳng định mức độ phù hợp với ngành học cũng như khả năng tiếp thu các kiến thứ c ngành trong quá trình học tập ở bậc Đại học. Tương tự như với các ngành khác như Hóa học, Vật lý học, Sinh học, các ngành Ngoại ngữ … Chính vì thế, thực hiện mục tiêu đa dạng hóa các phương thức tuyển sinh, đồng thời hướng đến việc tuyển chọn được những thí sinh có năng lực chuyên bi ệt phù hợp với yêu cầu đầu vào của các ngành học mang tính đặc thù của Trường trong ho ạt động tuyển sinh và thực hiện tự chủ trong công tác tuyển sinh theo Luật giáo dục đại học 2019, Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh tổ chức Kỳ thi đánh giá năng lực chuyên biệt cho các thí sinh thông qua 06 bài thi c ụ thể như sau: • Bài thi đánh giá năng lực Toán học; • Bài thi đánh giá năng lực Vật lý học; • Bài thi đánh giá năng lực Hóa học; • Bài thi đánh giá năng lực Sinh học; • Bài thi đánh giá năng lực Ngữ văn; • Bài thi đánh giá năng lực Tiếng Anh; Thí sinh có thể lựa chọn đăng ký một hoặc nhi ều bài thi trong số các bài thi ở trên để đăng ký xét tuyển vào các ngành học có áp d ụng phương thứ c tuyển sinh theo hình thứ c xét tuy ển dựa trên Đề án tuyển sinh của Trường. Trong đó Bài thi đánh giá năng lực Toán học là 1 trong nhữ ng bài thi được nhiều học sinh lựa chọn nhất. Với một kỳ thi mới, tài liệu còn khan hiếm ,các bộ đề trên mạng còn chưa chuẩn, tôi quyết đị nh soạn và hướng dẫn quyển “BỘ TÀI LIỆU LUYỆN THI H-SCA”. Bộ tài liệu bao gồm: Các chuyên đề NÂNG CAO có trong đ ề thi ĐGNL CHUYÊN BIỆT(H-SCA). Bộ 6 đề thi thử cho các đợt thi (có live gi ải-video xem lại). BỘ TÀI LIỆU LUYỆN THI H-SCA được thực hiện bởi Trần Đăng Khoa 0889335518 1 Tran Dang Khoa
Trang 2
CẤU TRÚC BÀI THI ➢ Thời gian làm bài: 90 phút. ➢ Bài thi sẽ gồm 40 câu hỏi, trong đó: Phần 1: 25 câu hỏ i thi trắc nghiệm khách quan (được chia thành 2 dạng thứ c khác nhau) Phần 2: 05 câu hỏ i thi trắc nghiệm khách quan khai thác dữ liệu tổ ng hợp (Câu hỏ i tổ ng hợp) Phần 3: 10 câu hỏ i điền đáp số đúng Trên là cấu trúc chu ẩn ,theo phân tích rõ hơn cấu trúc đư ợc chia như sau: ➢ Phần 1: 20 câu trắc nghiệm khách quan. ➢ Phần 2: 5 câu dạng chọn ý đúng. ➢ Phần 3: 5 câu dạng câu hỏ i chùm. ➢ Phần 4: 10 câu dạng trả lời ngắn. 0889335518 2 Tran Dang Khoa
Trang 3
Phân loại • Câu 1–20 (20 câu): Trắc nghiệm 4 lựa chọn, kiến thứ c cơ bản + vận dụng. • Câu 21–25 (5 câu): Trắc nghiệm nhiều đáp án đúng → yêu c ầu suy luận chính xác, tránh chọn thiếu. • Câu 26–30 (5 câu): Ứng dụng thực tế (dao động, tối ưu, hình học thực tiễn). • Câu 31–40 (10 câu): Tự luận điền số (tính toán, lập luận nhiều bước, thường là bài toán khó nhất). Phạm vi kiến thứ c chính • Giải tích: o Hàm số, đạo hàm, khảo sát sự biến thiên (Câu 1, 2, 34). o Nguyên hàm – tích phân – ứ ng dụng (Câu 3, 4, 16, 31, 37). o Giới hạn, tiệm cận, dãy – lôgarit (Câu 2, 12, 24). o Các bài toán ứ ng dụng: tăng trưởng quần thể, dao động, tối ưu (Câu 26–30, 35, 36). • Hình học – không gian: o Hình học tọa độ trong Oxyz (Câu 5–8, 22, 32, 38–40). o Hình học không gian thuần tuý (hình chóp, lăng tr ụ, góc – khoảng cách, thể tích) (Câu 13–15, 18, 20, 25). • Xác suất – Thống kê: o Xác suất cổ điển & có đi ều kiện (Câu 10, 19, 23, 33). o Thống kê, số liệu ghép nhóm, t ứ phân vị , khoảng biến thiên (Câu 9, 17). • Ứng dụng thực tế liên môn: o Vật lý (dao đ ộng điều hòa – Câu 21, 26, 27). o Hình học thực tiễn (Câu 28, 29, 30). o Bài toán đời sống – kinh tế (Câu 33, 35, 36). Độ khó & m ứ c độ phân loại • Câu 1–10: Dễ → kiểm tra kiến thứ c cơ bản, làm chắc để lấy điểm nền. • Câu 11–20: Vận dụng → tính toán đạo hàm, tích phân, hình không gian mứ c trung bình. • Câu 21–25: Khó d ần, nhiều đáp án đúng → d ễ mất điểm nếu thiếu ý . • Câu 26–30: Ứng dụng thực tế, cần mô hình hóa + gi ải toán tối ưu. • Câu 31–40: Khó nh ất → yêu cầu kỹ năng giải toán sâu, phối hợp nhiều kiến thứ c. 0889335518 3 Tran Dang Khoa
Trang 4
Phân tích các câu khó 1. Nhiều đáp án đúng (Câu 21 –25) Loại này dễ mất điểm vì phải chọn đủ hết đáp án mới được điểm tối đa. • Câu 21 (dao động trên trục số): o Hai chất điểm 𝑠1 = 2sin𝑡,𝑠2 = sin2𝑡. o Khó ở chỗ: phải xét kho ảng cách cực đại, thời điểm bằng nhau, so pha giữ a dao động. o Dễ nhầm ở chỗ “số lần bằng nhau” (nhiều bạn chỉ thấy 2 lần, thực tế có 4 l ần trong 4 giây). • Câu 22 (hình học Oxyz – đường thẳ ng cắt hai đường thẳ ng): o Phải tìm đường thẳ ng đi qua điểm cho trước và đồng thời cắt 2 đường khác → bài toán “đi tìm giao tuyến”. o Dễ nhầm ở việc xác đị nh vectơ chỉ phương. o Thường ít ai luyện quen dạng “đường thẳ ng cắt cả hai đường chéo nhau”. • Câu 23 (xác suất rút phi ếu): o Liên quan xác suất có đi ều kiện, xác suất tổ ng, cách viết biến cố “rút đư ợc phiếu đã học”. o Dễ sai vì phải kết hợp 2 hộp + cách rút c ủ a thầy giáo. • Câu 24 (phương trình logarit tham số a,b): o Đề yêu cầu đếm số nghiệm theo từng trường hợp chẵn/lẻ củ a b. o Bài này cực khó vì ph ải xét hình dáng đ ồ thị logarit trên khoảng (−2;2). o Ngoài ra còn có các con s ố 38, 9, 10 → chỉ ai tính kỹ mới ra. Đây là một trong nhữ ng “câu phân loại top”. • Câu 25 (hình chóp, tính kho ảng cách): o Đòi hỏ i kiến thứ c về khoảng cách giữ a hai đường chéo, gi ữ a điểm và mặt phẳ ng. o Nhiều công thứ c phứ c tạp, dễ nhầm lẫn (nếu không vẽ hình rõ ràng). Đây là nhóm c ần luyện tư duy kết hợp nhiều bước và tránh sót đáp án . 0889335518 4 Tran Dang Khoa
Trang 5
2. Ứng dụng thực tế (Câu 26–30) • Câu 26 (nút chai dao đ ộng): o Cho s(t) = 50 + cos(πt). o Hỏ i khi nào gần đáy nhất → phải hiểu dao động điều hòa. Nếu làm nhanh, nhầm cực đại/cực tiểu. • Câu 27 (vận tốc tứ c thời giảm dần): o Vận tốc là đạo hàm củ a s(t) o Phải xét d ấu củ a gia tốc (đạo hàm bậc 2). o Câu này nhiều học sinh sẽ nhầm vì chỉ nhìn vào vận tốc, không xét xu hư ớng tăng/giảm. • Câu 28 (tối ưu hóa di ện tích thùng): o Câu kinh điển: tìm h/r tối ưu để diện tích bề mặt nhỏ nhất. o Nếu không quen bài toán cực trị hình học, rất dễ tính sai. o Đáp án đúng là h=2r . • Câu 29–30 (làm lọ hoa quay quanh trục Ox): o Tính đường kính max → phải tìm cực trị hàm logarit. o Thể tích → tính tích phân khối tròn xoay. o Đây là bài ứ ng dụng tích phân thực sự khó, c ần tính toán nặng. 3. Điền đáp án số (Câu 31–40) Đây là phần phân loại cao nhất, vì: • Không có g ợi ý tr ắc nghiệm → dễ sai số học. • Nhiều bài yêu cầu suy luận sâu. Một vài câu khó tiêu bi ểu: • Câu 31: Diện tích hình phẳ ng giữ a 2 parabol → phải giải giao điểm, tích phân, tính diện tích. • Câu 34: Dựa vào đồ thị f′(x) và điều kiện bất phương trình nghiệm đúng ∀x → thuộc dạng “suy luận cực trị hàm”. Khó vì v ừa dùng đồ thị , vừa bất đẳ ng thứ c. • Câu 36: Bài toán người chèo thuyền → dạng “tối ưu hóa l ộ trình”, có c ả vận tốc nước và vận tốc chạy. Đây là dạng phứ c tạp liên môn Toán – Vật lý. • Câu 38–40 (hình học không gian nâng cao): o 38: phân giác – trung tuyến → phải dùng vector + điều kiện vuông góc. o 39: mặt phẳ ng cách A, B khoảng cho trước → dạng hiếm gặp. o 40: mặt cầu đi qua giao tuyến, tiếp xúc m ặt phẳ ng → thuộc loại “3D hình học khó nhất”. 0889335518 5 Tran Dang Khoa
Trang 6
Đị nh hướng học tập (a) Ôn tập kiến thứ c cơ bản thật chắc • Công thứ c đạo hàm, tích phân, logarit – mũ. • Thể tích khối chóp, kh ối trụ, khối cầu. • Công thứ c xác suất, biến cố có đi ều kiện. • Các đị nh nghĩa cơ bản thống kê (trung bình, khoảng biến thiên, tứ phân vị ). (b) Rèn luyện kỹ năng giải bài nâng cao • Hình học không gian: góc – khoảng cách – thể tích (các câu 13–15, 18, 25, 38–40). • Giải phương trình – bất phương trình logarit, mũ phứ c tạp (Câu 24, 34). • Tích hợp kiến thứ c liên môn (dao động, tối ưu hóa th ực tế). (c) Chiến lược làm bài • Làm chắc câu 1–20 (nhanh, chính xác, không bỏ sót). • Câu 21–25: đọc kỹ, chọn hết các phương án đúng, tránh m ất điểm vì thiếu. • Câu 26–30: phân bổ thời gian hợp lý, thư ờng là bài toán mô hình → giải hệ hoặc tối ưu. • Câu 31–40: khó, nên làm câu nào quen trư ớc (ví dụ tích phân, hình học quen thuộc). (d) Kỹ năng cần rèn • Tốc độ tính toán: vì thời gian chỉ 90 phút/40 câu. • Suy luận logic nhiều bước: nhất là ở câu có nhi ều đáp án. • Ứng dụng thực tế: làm quen với dạng toán “tối ưu – dao động – vận tốc – thể tích”. 0889335518 6 Tran Dang Khoa
Trang 7
CHUYÊN ĐỀ NÂNG CAO ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ (Có câu h ỏ i NÂNG CAO LOGA) Trần Đăng Khoa Câu 1. Cho hàm số bậc bốn 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥4 + 𝑏𝑥3 + 𝑐𝑥2 + 𝑑𝑥 + 𝑎 có đ ồ thị hàm số 𝑦 = 𝑓′(𝑥) là đường cong như hình vẽ sau: Hàm số 𝑦 = 𝑓(2𝑥 − 1)𝑓(𝑥2 − 2𝑥)có bao nhiêu đi ểm cực trị ? Câu 2. Có bao nhiêu s ố nguyên dương 𝑎, (𝑎 ≤ 2023) sao cho tồn tại số thực 𝑥 thỏ a mãn 𝑥(𝑙𝑛𝑎 + 𝑒𝑥) ≤ 𝑒𝑥(1 + 𝑙𝑛(𝑥 𝑙𝑛𝑎))? Câu 3. Có bao nhiêu c ặp số nguyên dương (𝑚;𝑛) sao cho 𝑚 + 𝑛 ≤ 10 và ứ ng với mỗi cặp (𝑚;𝑛) tồn tại đúng 3 số thực 𝑎 ∈ (−1;1) thỏ a mãn 2𝑎𝑚 = 𝑛 𝑙𝑛(𝑎 + √𝑎2 + 1)? 0889335518 7 Tran Dang Khoa
Trang 8
Câu 4. Cho hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥)liên tục trên ℝ, hàm số 𝑦 = 𝑓′(𝑥) có đ ồ thị như hình vẽ . Hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) + 2017−2018𝑥 có s ố điểm cực trị là: 2017 Câu 5. Cho hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) liên tục trên ℝ và đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑓′(𝑥) cho bởi hình vẽ bên. Đặt 𝑥2 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥) − , ∀𝑥 ∈ ℝ. Hỏ i đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑔(𝑥) có bao nhiêu đi ểm cực trị ? 2 0889335518 8 Tran Dang Khoa
Trang 9
Câu 6. Cho hàm số 𝑓(𝑥) liên tục trên ℝ có đ ồ thị 𝑦 = 𝑓(𝑥) như hình vẽ bên. Phương trình 𝑓(𝑓(𝑥)) = −2 có t ất cả bao nhiêu nghiệm dương phân biệt. Câu 7. Cho hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) có đ ồ thị như hình vẽ . Có bao nhiêu s ố nguyên 𝑚 để phương trình 1 𝑓 (𝑥 + 1) + 𝑥 = 𝑚 có nghi ệm thuộc đoạn [−2;2]? 3 2 0889335518 9 Tran Dang Khoa
Trang 10
Câu 8. Cho hàm số𝑦 = 𝑓(𝑥), hàm số𝑦 = 𝑓′(𝑥)liên tục trên ℝvà có đ ồthị như hình vẽ . Bất phương trình 𝑓(𝑥) > 𝑚 + 𝑥3 − 3𝑥2 + 8𝑥 (𝑚 là tham số thực) nghiệm đúng v ới mọi 𝑥 ∈ (0;3) khivà chỉ khi A. 𝑚 < 𝑓(0). B. 𝑚 < 𝑓(3) − 24. C. 𝑚 ≤ 𝑓(0). D. 𝑚 ≤ 𝑓(3) − 24. Câu 9. Cho hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) có đ ạo hàm là 𝑓′(𝑥) = 𝑥2 + 10𝑥,∀𝑥 ∈ ℝ. Có bao nhiêu giá tr ị nguyên củ a tham số 𝑚 để hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥4 − 8𝑥2 + 𝑚) có đúng 9 điểm cực trị ?. Câu 10. Có bao nhiêu s ố nguyên 𝑎 sao cho ứ ng với mỗi 𝑎, tồn tại ít nhất bốn số nguyên 𝑏 ∈ (−12;12) thỏ a mãn 4𝑎2+𝑏 ≤ 3𝑏−𝑎 + 65? Câu 11. Xét phương trình log(𝑥 + √𝑥2 + 1) = 3 .(𝑥)1 + 𝑐𝑥 với x∈(−2,2). Tìm tất cả 𝑐 ∈ ℝ để 2 2 phương trình có đúng 3 nghi ệm phân biệt. 0889335518 10 Tran Dang Khoa
Trang 11
CHUYÊN ĐỀ NÂNG CAO VECTƠ VÀ HỆ TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN CHUYÊN ĐỀ NÂNG CAO PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG, ĐƯỜNG THẲNG, MẶT CẦU Trần Đăng Khoa Câu 1. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm 𝐴(−2;3;1) và 𝐵(5; 6; 2). Đường thẳ ng 𝐴𝐵cắt mặt phẳ ng (𝑂𝑥𝑧) tại điểm 𝑀. Tính tỉ số 𝐴𝑀. 𝐵𝑀 Câu 2. Trong không gian 𝑂𝑥𝑦𝑧, cho ba điểm 𝐴(1;1;2), 𝐵(−1;0;4), 𝐶(0;−1;3) và điểm 𝑀 thuộc mặt cầu (𝑆):𝑥2 + 𝑦2 + (𝑧 − 1)2 = 1. Khi biểu thứ c 𝑀𝐴2 + 𝑀𝐵2 + 𝑀𝐶2 đạt giá trị nhỏ nhất thì độ đài đoạn 𝐴𝑀 bằng A. √2. B. √6. C. 6. D. 2. Câu 3. Trong không gian 𝑂𝑥𝑦𝑧, cho𝐴(4;−2;6);𝐵(2;4;2);𝑀 ∈ (𝛼):𝑥 + 2𝑦 − 3𝑧 − 7 = 0sao cho ⃗𝑀𝐴⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ .⃗𝑀𝐵⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ nhỏ nhất, khi đó t ọa độ củ a 𝑀là A. (29 ;58 ; 5 ). B. (4;3;1). C. (𝟏;𝟑;𝟒). D. (37 ;−56 ;68). 13 13 13 3 3 3 Câu 4. Trong không gian 𝑂𝑥𝑦𝑧, cho hai điểm 𝐴(2;1;3) và 𝐵(6;5;5). Xét khối nón (𝑁) có đ ỉnh 𝐴, đường tròn đáy nằm trên mặt cầu đường kính 𝐴𝐵. Khi (𝑁) có thể tích lớn nhất thì mặt phẳng chứa đường tròn đáy của (𝑁) có phương trình d ạng 2𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 = 0. Giá trị củ a 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 bằng 0889335518 11 Tran Dang Khoa
Trang 12
Câu 5. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (𝑆):(𝑥 − 2)2 + (𝑦 − 5)2 + (𝑧 − 3)2 = 27 và đường thẳ ng 𝑑:𝑥−1 = 𝑦 = 𝑧−2. Mặt phẳng (𝑃) chứa đường thẳng d và cắt mặt cầu (𝑆) theo giao 2 1 2 tuyến là đường tròn có bán kính nhỏ nhất.Phương trình của (𝑃) là 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 − 𝑧 + 𝑐 = 0.Tính 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 ? Câu 6. Trong không gian với hệ tọa độ 𝑂𝑥𝑦𝑧, cho đường thẳ ng 𝑑:𝑥 = 𝑦+1 = 2−𝑧. Gọi (𝑃) là mặt 1 −2 1 phẳ ng chứ a đường thẳ ng 𝑑 và tạo với mặt phẳng (𝑄):2𝑥 − 𝑦 − 2𝑧 − 2 = 0 một góc có số đo nhỏ nhất. Điểm 𝐴(1;2;3) cách mặt phẳng (𝑃) một khoảng bằng: A. √3. B. 5√3. C. 7√11. D. 4√3. 3 11 3 Câu 7. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng (𝑃):𝑥 − 𝑦 + 𝑧 + 3 = 0, (𝑄):𝑥 + 2𝑦 − 2𝑧 − 5 = 0 và mặt cầu (𝑆):𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 − 2𝑥 + 4𝑦 − 6𝑧 − 11 = 0. Gọi 𝑀 là điểm di động trên (𝑆) và 𝑁 là điểm di động trên (𝑃) sao cho 𝑀𝑁 luôn vuông góc với (𝑄). Giá trị lớn nhất củ a độ dài đoạn thẳ ng 𝑀𝑁 bằng A. 9 + 5√3. B. 28. C. 14. D. 3 + 5√3. Câu 8. Trong không gian 𝑂𝑥𝑦𝑧, xét số thực 𝑚 ∈ (0;1) và hai mặt phẳng (𝛼):2𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 + 10 = 0 và (𝛽): 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1. Biết rằng khi 𝑚 thay đổi có hai mặt cầu cố 𝑚 1−𝑚 1 định tiếp xúc đồng thời với cả hai mặt phẳng (𝛼),(𝛽). Tổng bán kính của hai mặt cầu đó bằng 0889335518 12 Tran Dang Khoa
Trang 13
Câu 9. Trong không gian độ 𝑂𝑥𝑦𝑧, cho mặt phẳng (𝑃):𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 − 1 = 0 và điểm 𝐴(0;−2;3), 𝐵(2;0;1). Điểm 𝑀(𝑎;𝑏;𝑐) thuộc (𝑃) sao cho 𝑀𝐴 + 𝑀𝐵 nhỏ nhất. Giá trị của 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 bằng: Câu 10. Trong không gian 𝑂𝑥𝑦𝑧, cho hai điểm 𝐴(10;6;−2), 𝐵(5;10;−9) và mặt phẳng (𝛼):2𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 − 12 = 0. Điểm 𝑀 di động trên (𝛼) sao cho 𝑀𝐴, 𝑀𝐵 luôn tạo với (𝛼) các góc bằng nhau. Biết rằng 𝑀 luôn thuộc một đường tròn (𝜔) cố định. Hoành độ của tâm đường tròn (𝜔) bằng Câu 11. Trong không gian 𝑂𝑥𝑦𝑧, cho mặt cầu (𝑆):(𝑥 − 5)2 + (𝑦 + 3)2 + (𝑧 − 7)2 = 72 và hai điểm𝐴(0;8;2),𝐵(9;−7;23). Gọi mặt phẳ ng(𝑃)đi qua𝐴và(𝑃)tiếp xúc với(𝑆)sao cho khoảng cách từ 𝐵 đến (𝑃) lớn nhất. Giả sử 𝑛⃗ = (1;𝑚;𝑛) là một véc tơ pháp tuy ến củ a (𝑃), khi đó tích 𝑚𝑛 là Câu 12. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(1;−3;−4) và B( 2;1;2).− Xét hai điểm M và N thay đổi thuộc mặt phẳng Oxy sao cho MN = 2. Giá trị lớn nhất của | AM −BN | bằng A. 3 5 . B. 61 . C. 13 . D. 53 . 0889335518 13 Tran Dang Khoa
Trang 14
Câu 13. Trong không gian 𝑂𝑥𝑦𝑧, cho hai điểm 𝐶(−1;2;11),𝐻(−1;2;−1), hình nón (𝑁)có đư ờng cao 𝐶𝐻 = ℎ và bán kính đáy là 𝑅 = 3√2. Gọi𝑀là điểm trên đoạn CH, (𝐶)là thiết diện củ a mặt phẳ ng (𝑃)vuông góc v ới trục 𝐶𝐻 tại 𝑀 củ a hình nón (𝑁). Gọi (𝑁′)là khối nón có đ ỉnh 𝐻 đáy là (𝐶). Khi thể tích khối nón (𝑁′) lớn nhất thì mặt cầu ngoại tiếp nón (𝑁′)có t ọa độ tâm 𝐼(𝑎;𝑏,𝑐), bán kính là 𝑑. Giá trị 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 bằng Câu 14. Trong không gian tọa độ 𝑂𝑥𝑦𝑧, cho mặt cầu (𝑆):(𝑥 − 1)2 + (𝑦 + 1)2 + 𝑧2 = 5, mặt phẳng 6 (𝑃):𝑥 + 𝑦 + 𝑧 − 1 = 0 và điểm 𝐴(1;1;1). Điểm M thay đổi trên đường tròn giao tuyến của (𝑃) và (𝑆). Giá trị lớn nhất củ a 𝐴𝑀 là: A. √2 B. 3√2 C. 2√3 D. √35 2 3 6 Câu 15. Trong không gian 𝑂𝑥𝑦𝑧, cho mặt phẳ ng (𝑃):2𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 + 16 = 0 và mặt cầu (𝑆):(𝑥 − 2)2 + (𝑦 + 1)2 + (𝑧 − 3)2 = 21. Một khối hộp chữ nhật (𝐻) có b ốn đỉnh nằm trên mặt phẳ ng (𝑃) và bốn đỉnh còn lại nằm trên mặt cầu (𝑆). Khi (𝐻) có th ể tích lớn nhất, thì mặt phẳ ng chứ a bốn đỉnh củ a (𝐻) nằm trên mặt cầu (𝑆) là (𝑄):2𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 = 0. Giá trị 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 bằng: Câu 16. Trong không gian 𝑂𝑥𝑦𝑧, cho hai điểm 𝐴(1;3;0),𝐵(−3;1;4) và đường thẳ ng 𝛥:𝑥−2 = 𝑦+1 = 𝑧−2. Xét kh ối nón (𝑁) có đ ỉnh có t ọa độ nguyên thuộc đường thẳ ng 𝛥 và ngoại −1 1 3 tiếp mặt cầu đường kính 𝐴𝐵. Khi (𝑁) có th ể tích nhỏ nhất thì mặt phẳ ng chứ a đường tròn đáy củ a (𝑁) có phương trình d ạng 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 1 = 0. Giá trị 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 bằng Câu 17. Trong hệ trục𝑂𝑥𝑦𝑧, cho hai mặt cầu (𝑆1):(𝑥 − 1)2 + (𝑦 + 3)2 + (𝑧 − 2)2 = 49 và (𝑆 ):(𝑥 − 10)2 + (𝑦 − 9)2 + (𝑧 − 2)2 = 400 và mặt phẳ ng (𝑃):4𝑥 − 3𝑦 + 𝑚𝑧 + 22 = 0. Có 2 bao nhiêu số nguyên m để mp (P) cắt hai mặt cầu (𝑆1),(𝑆2) theo giao tuyến là hai đường tròn không có ti ếp tuyến chung? 0889335518 14 Tran Dang Khoa
Trang 15
Câu 18. Trong không gian với hệ tọa độ 𝑂𝑥𝑦𝑧, cho đường thẳ ng 𝑑:𝑥−1 = 𝑦−1 = 𝑧−4 và mặt cầu 2 −1 2 (𝑆):𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 9. Gọi (𝑃) là mặt phẳ ng có phương trình d ạng: 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 9 = 0. Biết rằng (𝑃) chứ a 𝑑 và (𝑃) tiếp xúc v ới (𝑆). Tính giá trị biểu thứ c 𝑎 + 𝑏 + 𝑐? Câu 19. Trong không gian với hệ trục tọa độ 𝑂𝑥𝑦𝑧, cho mặt cầu (𝑆) có tâm 𝐼(−1;2;2) và bán kính 𝑅 = 3. Hai mặt phẳ ng (𝑃), (𝑄) cùng chứ a đường thẳ ng 𝛥:𝑥−3 = 𝑦+2 = 𝑧−5 và tiếp xúc với mặt 4 1 3 cầu (𝑆) lần lượt tại các điểm 𝐴, 𝐵. Đường thẳ ng 𝛥 cắt mặt phẳ ng (𝐼𝐴𝐵) tại điểm 𝑀. Tính độ dài đoạn thẳ ng 𝐴𝐵.(Làm tròn đến hàng phần chục) Câu 20.Trong không gian với hệ tọa độ 𝑂𝑥𝑦𝑧, cho ba điểm 𝐴(1;2;−1),𝐵(2;−1;3),𝐶(−4;7;5).Tọa độ chân đường phân giác trong góc 𝐵 củ a tam giác 𝐴𝐵𝐶 là (𝑎;𝑏;𝑐). Tổ ng 𝑇 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐. Câu 21. Trong không gian với hệ toạ độ 𝑂𝑥𝑦𝑧,cho hai mặt cầu (𝑆1):𝑥2 + 𝑦2 + (𝑧 − 1)2 = 16và mặt cầu (𝑆 ):𝑥2 + (𝑦 − 12)2 + (𝑧 + 4)2 = 1 và đường thẳ ng 𝛥:𝑥−12 = 𝑦+1 = 𝑧−3. Các điểm 𝑀,𝑁,𝑃 2 1 2 2 di chuyển và lần lượt thuộc (𝑆1),(𝑆2),𝛥 (tham khảo hình vẽ ). Tìm giá trị nhỏ nhất củ a tổ ng 𝑀𝑃 + 𝑃𝑁 (kết quả làm tròn đến hàng phần chục). . 0889335518 15 Tran Dang Khoa
Trang 16
Câu 22.Trong không gian với hệ tọa độ 𝑂𝑥𝑦𝑧, cho điểm 𝑀(2;1;1) và đường thẳng 𝑑:𝑥−3 = 𝑦−3 = 𝑧+1. Đường thẳng 𝛥 đi qua 𝑀, song song với mặt phẳng (𝑄):𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 − 3 = 0 1 −1 −2 và tạo với 𝑑 góc nhỏ nhất. Gọi 𝐴(−8;𝑎;𝑏) là một điểm nằm trên đường thẳng 𝛥. Tính giá trị 𝑎 + 𝑏. Câu 23.Cho hình chóp 𝑆.𝐴𝐵𝐶 với 𝑆𝐴 = 3,𝑆𝐵 = 4,𝑆𝐶 = 5. Một mặt phẳ ng (𝛼) thay đổ i luôn đi qua trọng tâm củ a 𝑆.𝐴𝐵𝐶 cắt các cạnh 𝑆𝐴,𝑆𝐵,𝑆𝐶 tại các điểm 𝐴1,𝐵1,𝐶1. Giá trị nhỏ nhất củ a biểu thứ c 𝑃 = 1 + 1 + 1 có d ạng 𝑃 = 𝑎 ,𝑎,𝑏 ∈ ℤ,𝑏 ≠ 0;𝑎,𝑏 nguyên tố cùng nhau. Tính 𝑎 + 2𝑏? 𝑆𝐴2 𝑆𝐵2 𝑆𝐶2 𝑏 1 1 1 Câu 24. Người ta muốn thiết kế một bệ đỡ để đặt quả đị a cầu lên trên đó, b ằng phần mềm 3D. Biết trong không gian 𝑂𝑥𝑦𝑧 mặt cầu có phương trình: 𝑥2 + 𝑦2 + (𝑧 − 2)2 = 2 (𝑆). Xét đi ểm𝑀 di động trên trục 𝑂𝑥, từ M người ta muốn làm ba giá đỡ là ba thanh sắt 𝑀𝐴,𝑀𝐵,𝑀𝐶tiếp xúc với(𝑆) (𝐴,𝐵,𝐶 là các tiếp điểm), và một bệ đỡ dạng đường tròn đi qua ba điểm 𝐴,𝐵,𝐶 sao cho đường tròn này có bán kính nhỏ nhất. Khi đó bán kính củ a đường tròn là 𝑟 = 𝑎 thì𝑀(𝑚;0;0). Tính giá trị củ a biểu thứ c 𝑃 = 5𝑎 − 3𝑚. Câu 25. Trong không gian 𝑂𝑥𝑦𝑧, cho mặt cầu (𝑆):𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 − 2𝑥 − 4𝑦 + 6𝑧 − 13 = 0 và 𝑥 = −1 + 𝑡 đường thẳ ng𝑑:{𝑦 = −2 + 𝑡. Gọi 𝑀(𝑎;𝑏;𝑐) với 𝑎 < 0 là điểm thuộc đường thẳ ng 𝑑 sao cho từ 𝑧 = 1 + 𝑡 𝑀kẻ được ba tiếp tuyến 𝑀𝐴,𝑀𝐵,𝑀𝐶đến mặc cầu (𝑆) (𝐴,𝐵,𝐶 là các tiếp điểm) thỏa mãn 𝐴𝑀𝐵̂ = 60∘; 𝐵𝑀𝐶̂ = 90∘; 𝐶𝑀𝐴̂ = 120∘. Tính giá trị củ a biểu thứ c 𝑃 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐. 0889335518 16 Tran Dang Khoa
Trang 17
Câu 26. Trong không gian 𝑂𝑥𝑦𝑧 (đơn vị củ a các trục tọa độ là ki – lô - mét), một mặt cầu tâm 𝐼(1;2;2),biết bán kính là 3 𝑘𝑚. Hai điểm lần lượt tại 𝑀(4;−4;2) và 𝑁(6;0;6). Gọi 𝐸(𝑎;𝑏;𝑐) với 𝑎 < 0 là một điểm trên mặt cầu sao cho tổ ng khoảng cách từ 𝐸 đến vị trí 𝑀 và 𝑁lớn nhất. Tính 𝑇 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐. Câu 27. Trong không gian Oxyz cho điểm A(1;2;−3) và mặt phẳ ng (P): 2x + 2y − z +9 = 0 . Đường thẳ ng đi qua A và vuông góc v ới mặt phẳ ng (Q): 3x + 4y −4z +5 = 0 cắt mặt phẳ ng (P) tại B . Điểm M nằm trong mặt phẳ ng (P) sao cho M luôn nhìn AB dưới một góc vuông và đ ộ dài MB lớn nhất. Tính độ dài MB . 41 5 MB = 5 MB = 41 A. MB = . B. MB = . C. . D. . 2 2 Câu 28. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm A a( ;0;0), B(0; ;0b ), C(0;0;c), a 0 b 0 c 0 1 2 3 (ABC) trong đó , , và + + = 7 . Biết mặt phẳ ng tiếp xúc v ới mặt cầu a b c ( ) ( )2 ( )2 ( )2 72 OABC S : x−1 + y −2 + y −3 = . Thể tích củ a khối tứ diện là. 7 2 1 3 5 A. . B. . C. . D. . 9 6 8 6 0889335518 17 Tran Dang Khoa
Trang 18
Câu 29. Trong không gian Oxyz , Cho 3 điểm A(0;0;1 ,) B(0; 2; 2) và C(3;−1;−1). Gọi (S ) là 1 mặt cầu tâm A bán kính bằng 1 và (S )là mặt cầu tâm B bán kính bằng 3. Hỏ i có t ất cả bao 2 nhiêu mặt phẳ ng đi qua C và tiếp xúc đ ồng thời với cả hai mặt cầu (S ) (, S ). 1 2 Câu 30. Oxyz (P): x + 2y +3z + 4 = 0 Trong không gian , cho ba mặt phẳ ng , (Q): x + 2y +3z + 2 = 0 (R): x + 2y +3z +6 = 0 , . Một đường thẳ ng thay đổ i cắt ba mặt phẳ ng (P) (, Q) (, R) A B C, , AC lần lượt tại các điểm . Độ dài đoạn nằm trong khoảng nào khi biểu 27 thứ c AB + đạt giá trị nhỏ nhất? AC2 A. (2;3). B. 3; 4). C. 4;5). D. (5;6). Câu 31. Trong không gian 𝑂𝑥𝑦𝑧, cho hai điểm 𝐴(1;6;–1), 𝐵(2;–4;–1) và mặt cầu (𝑆) tâm 𝐼(1;2;–1) đi qua 𝐴. Điểm 𝑀(𝑎;𝑏;𝑐)(𝑐>0) thuộc (𝑆) sao cho IAM là tam giác tù, có di ện tích bằng2√7 và khoảng cách giữ a hai đường thẳ ng 𝐵𝑀 và 𝐴𝐼 lớn nhất. Giá trị củ a 𝑎+𝑏+𝑐 (Kết quả làm tròn đến hàng phần chục) Câu 32. Trong không gian 𝑂𝑥𝑦𝑧, cho mặt cầu (𝑆):(𝑥 − 4)2 + (𝑦 + 3)2 + (𝑧 + 6)2 = 50 và đường thẳ ng 𝑑:𝑥 = 𝑦+2 = 𝑧−3. Có bao nhiêu đi ểm 𝑀 thuộc trục hoành, với hoành độ là số nguyên, mà 2 4 −1 từ 𝑀 kẻ được đến (𝑆) hai tiếp tuyến cùng vuông góc v ới 𝑑 ? 0889335518 18 Tran Dang Khoa
Trang 19
CHUYÊN ĐỀ NÂNG CAO NGUYÊN HÀM-TÍCH PHÂN Trần Đăng Khoa Câu 1. Cho hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) thỏ a mãn 𝑓(2) = − 4 và 𝑓′(𝑥) = 𝑥3𝑓2(𝑥) ∀𝑥 ∈ ℝ. Giá trị củ a 19 𝑓(1) bằng Câu 2. Cho hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) liên tục trên ℝ\{−1;0} thỏ a mãn điều kiện: 𝑓(1) = −2𝑙𝑛 2 và 𝑥.(𝑥 + 1).𝑓′(𝑥) + 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 𝑥. Biết 𝑓(2) = 𝑎 + 𝑏.𝑙𝑛3 (𝑎, 𝑏 ∈ ℚ). Giá trị 2(𝑎2 + 𝑏2) là 0889335518 19 Tran Dang Khoa
Trang 20
Câu 3. Cho hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥). Đồ thị củ a hàm số 𝑦 = 𝑓′(𝑥)trên [−5;3] như hình vẽ (phần cong củ a đồ thị là một phần củ a parabol 𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ). Biết 𝑓(0) = 0, giá trị củ a 2𝑓(−5) + 3𝑓(2) bằng(Làm tròn đến hàng đơn vị ) Câu 4. Biết rằng hàm số 𝑓(𝑥) = 𝑚𝑥 + 𝑛 thỏ a mãn ∫1 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 3, ∫2 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 8. 0 0 Khẳ ng đị nh 𝑚 + 𝑛? Câu 5. (Câu hỏ i chùm)Có hai giá tr ị củ a số thực 𝑎 là 𝑎1, 𝑎2 (0 < 𝑎1 < 𝑎2) thỏ a mãn ∫𝑎(2𝑥 − 3)𝑑𝑥 = 0. Hãy tính 𝑇 = 3𝑎 + 3𝑎 + 𝑙𝑜𝑔 (𝑎2). 1 2 2 1 𝑎1 0889335518 20 Tran Dang Khoa
Showing the first 20 pages. Download the document to see it all.
Comments (0)
No comments yet. Be the first!