CHƯƠNG 5: LÍ THUYẾT CHUỖI §1. CHUỖI SỐ I. Đại cương về chuỗi số II. Chuỗi số dương III. Chuỗi đan dấu IV. Chuỗi có số hạng mang dấu bất kì CHƯƠNG 5: LÍ THUYẾT CHUỖI §1. CHUỖI SỐ I. ĐẠI CƯƠNG VỀ CHUỖI SỐ 1. Định nghĩa: Cho dãy số thực un . Biểu thức u1  u2  ...  un  ...  gọi là một chuỗi số thực. Kí hiệu u . n 1 n u1 , u2 ,..., un ,... là các số hạng của chuỗi. un gọi là số hạng tổng quát của chuỗi. §1. CHUỖI SỐ Tổng của n số hạng đầu tiên Sn  u1  u2  ...  un gọi là tổng riêng thứ n của chuỗi. Nếu lim Sn  S  n và có tổng là S.  thì ta nói chuỗi n 1  Khi đó ta viết u n hội tụ  u  S. n1 n Nếu lim Sn   hoặc không tồn tại thì ta nói chuỗi n   u phân kì. n 1 n §1. CHUỖI SỐ  Nếu chuỗi số u n 1 n hội tụ về S thì đặt Rn  S  Sn Rn gọi là phần dư thứ n của chuỗi. Nhận xét :  Chuỗi u n 1 n hội tụ về S  lim Rn  0. n §1. CHUỖI SỐ Ví dụ:  1    ...   ...  2 3 n n1 n là một chuỗi số ( gọi là chuỗi số điều hòa) ( Gọi là chuỗi số điều hòa vì mỗi số hạng của chuỗi là trung bình điều hòa của hai số hạng hai bên) Trung bình điều hòa của x1 , x2 là 2 1 1  x1 x2 §1. CHUỖI SỐ Ví dụ: Chuỗi    1      ...    ... 2 3 n n1 n gọi là chuỗi Riemann với tham số  . §1. CHUỖI SỐ Ví dụ: Xét sự hội tụ của chuỗi số sau:   aq , a  0 (Chuỗi cấp số nhân với công bội q) k Giải: k 0    aq  a  aq  aq  ...   aq k 2 k 0 n1 n1 Sn  a  aq  ...  aq n1 Nếu q  1, lim Sn    chuỗi phân kì. n qn 1 Nếu q  1, Sn  a . q 1 §1. CHUỖI SỐ n Khi q  1, không tồn tại lim q nên không tồn tại lim Sn n n Chuỗi phân kì. Nếu q  1, a . Chuỗi hội tụ. Có lim q  0  lim Sn  n n 1 q Nếu q  1, n Có lim q n    lim Sn  . Chuỗi phân kì. n n  Vậy chuỗi  aq k 0 k a hội tụ và có tổng là 1 q phân kì khi q  1. khi q  1, §1. CHUỖI SỐ Chẳng hạn, hội tụ và có tổng là S  Chuỗi   2. hội tụ và có tổng là S  n 1 n 0 2  1  hội tụ và