CHƯƠNG 3: ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN §1. ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ 1. Khái niệm đạo hàm a. Đạo hàm của hàm số tại một điểm b. Đạo hàm một phía c. Ý nghĩa hình học của đạo hàm d. Đạo hàm của hàm số trên một khoảng 2. Các quy tắc tính đạo hàm 3. Đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản CHƯƠNG 3: ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN §1. ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ 1. Khái niệm đạo hàm a. Đạo hàm của hàm số tại một điểm Định nghĩa: Giả sử y  f ( x) là một hàm số xác định trên khoảng (a, b), x0  (a, b) Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn f ( x0  x)  f ( x0 ) f ( x)  f ( x0 ) lim (hay lim ) x 0 x  x0 x x  x0 thì giới hạn đó gọi là đạo hàm của hàm số f tại x0 Kí hiệu f ( x0 ) hay df ( x0 ) hoặc y( x0 ) dx Khi đó ta nói f khả vi tại x0 . dy hay ( x0 ) dx §1. ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ Đạo hàm y( x0 ) biểu thị tốc độ thay đổi của hàm số y ( x) tại x0 Ví dụ: Xét hàm số f ( x)  sin x Tại mọi x0  , ta có: x  x0 x  x0 2cos sin sin x  sin x0 2 2 f ( x0 )  lim  lim x  x0 x  x0 x  x0 x  x0 x  x0 sin x  x0 2  cos x  lim cos .lim 0 x  x0 2 x x0 x  x0 2 §1. ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ b. Đạo hàm một phía f ( x)  f ( x0 ) f p ( x0 )  lim x x0 x  x0 f ( x)  f ( x0 ) ft ( x0 )  lim x x0 x  x0 Người ta còn kí hiệu các ĐH một phía như sau: f p ( x0 ) hay f ( x0 ) hay f ( x0  ) ft( x0 ) hay f ( x0 ) hay f ( x0  ) §1. ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ Nhận xét : f khả vi tại x0  f khả vi trái, khả vi phải tại x0 và ft( x0 )  f p ( x0 )  f ( x0 ) §1. ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ Định lí : Nếu f khả vi tại x0 thì f ( x0  x)  f ( x0 )  f ( x0 )x  o(x) khi x  0 Hệ quả: Nếu f khả vi tại x0 thì f liên tục tại x0 Nhận xét : a) f có thể liên tục tại x0 nhưng không khả vi tại x0 §1. ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ Chẳng hạn, xét hàm số f ( x)  x Dễ thấy f liên tục tại 0 nhưng không khả vi tại 0 vì ft (0)  1, f p (0)  1 y y x O H.2.1 x §1. ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ Xét hàm số 1   x.sin f ( x)   f liên tục tại 0 vì lim f ( x)  lim x.sin  0  f (0) x 0 x 0 x f không khả vi tại 0 vì 1 x.sin f ( x) 