Page 1
Cơ học kỹ thuật Engineering Mechanics ĐỘNG LỰC HỌC KINETICS GS.TS. Đinh Văn Phong Bộ môn Cơ học ứng dụng C3-307/308 (C1-224) 0903200960 / (024)36230949 phong.dinhvan@hust.edu.vn Department of Applied Mechanics
Page 2
CHAPTER7 Cơ học kỹ thuật: ĐỘNG LỰC HỌC Engineering Mechanics: KINETICS Động lực học vật rắn không gian Bộ môn Cơ học ứng dụng Department of Applied Mechanics
Page 3
Động lực học vật rắn không gian. 3D Kinetics of a rigid body Một số công thức tính toán véc tơ z e Phép tính vector hình học Phép tính vector đại số z (tính trong hệ quy chiếu cụ thể, với vector cơ sở) c c a b d, , , ,... z {e ,e e, } or { , ,i j k} x y z c e c y O y Ngôn ngữ hình học Ngôn ngữ đại số c y x x e Tổng của hai c a b c a b x vector c c e c e c e Tích vô hướng a b b a x x y y z z a bT b aT c [c , c , c ]T của hai vector x y z Tích vector của c a b b a c ab ba hai vector 0 c c z y Tích hỗn hợp c c 0 c a (b c) (a b) c aT (bc) z x của ba vector c c 0 y x Tích vector kép d a (b c) d abc của ba vector Department of Applied Mechanics 3
Page 4
Động lực học vật rắn không gian. 3D Kinetics of a rigid body Nội dung I. MÔMEN QUÁN TÍNH KHỐI CỦA VẬT RẮN II. ĐỘNG LƯỢNG, MÔMEN ĐỘNG LƯỢNG, ĐỘNG NĂNG CỦA VẬT RẮN III. PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG LỰC NEWTON - EULER IV. PHẢN LỰC Ổ TRỤC VẬT RẮN QUAY QUANH TRỤC CỐ ĐỊNH Hôm nay V. CHUYỂN ĐỘNG GYROSCOPE – LÝ THUYẾT GẦN ĐÚNG GYROSCOPE Department of Applied Mechanics 4
Page 5
Động lực học vật rắn không gian. 3D Kinetics of a rigid body PHƯƠNG TRÌNH NEWTON-EULER M j ma F F M a PT Newton C k adm j C P u a a C C F PT Euler (đối với khối tâm C) C dm r k d F l m (F ) M k dt C C k j O PT Euler (vật quay quanh điểm O cố định) O d l m (F ) M dt O O k j Department of Applied Mechanics 5
Page 6
Động lực học vật rắn không gian. 3D Kinetics of a rigid body Phương trình Newton-Euler (…) Định lý biến thiên động lượng d d ma F F M p mv F (1) phương trình Newton dt dt C C k j a Định lý biến thiên mômen động lượng F C k u a d C l m (F ) (A cố định hoặc là khối tâm C của vật) dm dt A A k r O d (2) Nếu chọn hệ Axyz gắn liền vật: ( l ) l m (F ) phương trình Euler dt A xyz A A k (A cố định hoặc là khối tâm C) Department of Applied Mechanics 6
Page 7
Động lực học vật rắn không gian. 3D Kinetics of a rigid body Phương trình Newton-Euler (…) M vdm j P Đối với vật rắn quay quanh điểm O cố định: F C k d r Z ( l ) l m (F ) (2) z y dt O xyz O O k phương trình Euler O Y X x Chiếu trong hệ quy chiếu Oxyz gắn liền vật Đối với vật chuyển động tổng quát rrdm rrdm M d O ( l ) l m (F ) phương trình Euler dt C xyz C C k I I M , voi I rrdm I I M , voi I uudm O O O O C C C C Department of Applied Mechanics 7
Page 8
Động lực học vật rắn không gian. 3D Kinetics of a rigid body Phương trình Newton-Euler- dạng khai triển Viết chi tiết các phương trình động lực Euler trong hệ quy chiếu Cxyz hoặc Oxyz gắn liền vật I I M , I ssdm , A C hoac A O A A A A M vdm j I I I 0 I I I M P xx xy xz x z y xx xy xz x x I I I 0 I I I M yx yy yz y z x yx yy yz y y F C I I I 0 I I I M k Z zx zy zz z y x zx zy zz z z r z y Nếu ba trục xyz là các trục quán tính chính, ta nhận được 3 phương trình sau O Y I (I I ) M xx x y z yy zz x X I (I I ) M x yy y z x zz xx y I (I I ) M zz z x y xx yy z Department of Applied Mechanics 8
Page 9
Động lực học vật rắn không gian. 3D Kinetics of a rigid body Thu gọn lực quán tính của vật rắn không gian Xét vật chuyển động với gia tốc điểm A, khối tâm C, vận tốc góc và gia tốc góc của vật: a ,a , , M A C j Thu gọn lực quán tính của vật về điểm A thuộc vật ta được: a F C C k u a (1) dFqt adm Rqt adm ma s A C C s dm A (2) m (dFqt ) s ( adm) Mqt s ( adm) s adm A A O Động học a a s ( s) A Mqt s ( s dm) s ( s dm) ms a A C A Chiếu trong hệ tọa độ Cxyz Thu gọn lực quán tính về khối tâm C, s =0, s = u: gắn liền vật C Rqt ma Rqt ma C C C C Mqt u ( u dm) u ( u dm) Mqt (I I ) C C C C Department of Applied Mechanics 9
Page 10
Động lực học vật rắn không gian. 3D Kinetics of a rigid body Thu gọn lực quán tính của vật rắn không gian (…) Rqt adm ma M A C j Mqt s ( s dm) s ( s dm) ms a a F C C A C A k u a s C Trường hợp vật rắn quay quanh O cố định, thu về O s dm O A dm Rqt ma O C P Mqt r ( r dm) r ( r dm) r O e e z y Chiếu trong hệ quy chiếu Oxyz gắn liền vật O Rqt ma O C e Mqt (I I ) x O O O Department of Applied Mechanics 10
Page 11
Động lực học vật rắn không gian. 3D Kinetics of a rigid body XÁC ĐỊNH PHẢN LỰC Ổ TRỤC VẬT RẮN QUAY Thiết lập phương trình xác định phản lực ổ trục Có thể giải quyết bài toán bằng các phương pháp - Sử dụng các phương trình động lực Newton-Euler - Sử dụng nguyên lý d’Alembert (sử dụng các kết quả thu gọn lực quán tí nh của vật rắn) z z z1 B B z y1 1 C C y y O x 1 x x1 y x 1 A A Department of Applied Mechanics 11
Page 12
Động lực học vật rắn không gian. 3D Kinetics of a rigid body Thiết lập phương trình xác định phản lực ổ trục Xét vật rắn quay quanh trục z cố định dưới tác dụng của các lực và ngẫu lực. z, z 0 Cần xác định phản lực tại các ổ đỡ A và B: R ,R R A B B B Gắn vào vật hệ trục tọa độ Oxyz (Oz là trục quay). Oxyz : { ,i j k, } Chọn điểm A = O ta có: F 1 b s x i y j z k, k, k F s n C C C C z k C C a k s k ( k s ) O C C z z C j a i a j ( y x 2)i (x y 2)j i y Cx Cy C C z C C z x a Sử dụng phương trình Newton-Euler, chiếu trong hệ quy F R A chiếu Oxyz gắn liền vật (quay cùng vật) 2 A ma F R R C k A B I I M m (R ) m (R ) O O O O A O B Department of Applied Mechanics 12
Page 13
Động lực học vật rắn không gian. 3D Kinetics of a rigid body Thiết lập phương trình xác định phản lực ổ trục (…) z, z k Tính toán trong hệ quy chiếu Oxyz gắn liền vật (quay cùng vật) 0 R B B ma F m( y x 2) R R F Cx x C C z Ax Bx kx ma F m x( y 2) R R F F 1 b Cy y C C z Ay By ky ma F 0 R F F n s Cz z z Az kz C C O I I I 0 0 I I I 0 M y j xx xy xz z y xx xy xz x I I I 0 0 I I I 0 M x i a yx yy yz z x yx yy yz y I I I 0 I I I M F R A zx zy zz z y x zx zy zz z z 2 A I 0 0 I M I I 2 m (F ) aR bR xz z z xz z x xz z yz z x k Ay By I 0 0 I M I I 2 m (F ) aR bR yz z z yz z y yz z xz z y k Ax Bx I 0 0 0 I M I M m (F ) zz z zz z z zz z z z k Department of Applied Mechanics 13
Page 14
Động lực học vật rắn không gian. 3D Kinetics of a rigid body Thiết lập phương trình xác định phản lực ổ trục (…) m( y x 2) R R F (1) z, z k 0 C z C z Ax Bx kx R m x( y 2) R R F (2) B B C z C z Ay By ky 0 R F (3) Az kz F 1 b I I 2 M m (F ) aR bR (4) xz z yz z x x k Ay By F n s I I 2 M m (F ) aR bR (5) C C yz z xz z y y k Ax Bx O I M m (F ) (6) y j zz z z z k Giải hệ 5 phương trình (1-5) xác định được các thành phần phản lực toàn x i a phần R ,R ,R ,R ,R R Ax Ay Az Bx By F A 2 A Phương trình (3) khác với các phương trình còn lại (như thế nào?) Phương trình (6) chính là phương trình vi phân chuyển động của vật quay quanh trục z cố định I M m (F ) (6) zz z z z k Department of Applied Mechanics 14
Page 15
Động lực học vật rắn không gian. 3D Kinetics of a rigid body Thiết lập phương trình xác định phản lực ổ trục (…) Phần do chuyển động của vật gây nên được gọi là phản lực động ổ trục. z, z Các thành phần này được xác định từ các phương trình sau 0 k R B B R R m( y x 2) Ax Bx C z C z phản lực động ổ trục R R m x( y 2) Ay By C z C z R ,R ,R ,R F 1 b aR bR I I 2 Ax Ay Bx By F Ay By xz z yz z n s aR bR I I 2 C C Ax Bx yz z xz z O Để các thành phần phản lực động ổ trục triệt tiêu y j x y 0, I I 0 Trục quay z phải là trục quán i tính chính trung tâm. x a C C xz yz Khái niệm cân bằng tĩnh và cân bằng động trục máy F R A 2 • Trục máy được gọi là cân bằng tĩnh nếu khối tâm của nó nằm trên trục quay. A • Trục máy là cân bằng động nếu các thành phần phản lực động ổ trục triệt tiêu khi chi tiết chuyển động quay quanh một trục cố định là trục quán tính chính trung tâm. • Quá trình điều chỉnh chi tiết quay để trục quay trở thành trục quán tính chính trung tâm được gọi là quá trình cân bằng động. Department of Applied Mechanics 15
Page 16
Động lực học vật rắn không gian. 3D Kinetics of a rigid body Ví dụ Khối trụ tròn đồng chất có khối lượng m, bán kính r, chiều dài h quay quanh trục z qua khối tâm C với vận tốc góc hằng . Trục z tạo với trục đối xứng z của trụ một góc . Xác định phản lực động tại hai ổ trục A và B. 1 Lời giải B z Y B z1 X Sử dụng các phương trình B X X m( y x 2) y b A B C z C z X X 0 1 A B Y Y m x( y 2) Y Y 0 C A B C z C z A B aY bY I I 2 aY bY I 2 y A B xz z yz z A B yz aX bX I I 2 aX bX 0 x a 1 A B yz z xz z A B x Với x y 0 C C 0 z I ?? A Y , I 0 yz A z xz X A Department of Applied Mechanics 16
Page 17
Động lực học vật rắn không gian. 3D Kinetics of a rigid body Ví dụ (…) Tính mômen tích quán tính I ?? z Y yz B B z z1 I = − yzdm dm y yz X z 1 B y b y = y cos − z sin , 1 1 1 1 z = y sin + z cos C 1 1 y yz = (y cos − z sin )(y sin + z cos ) y 1 1 1 1 = (y2 − z2)sin cos + y z (cos2 − sin2 ) x a 1 1 1 1 1 = 1 (y2 + x2) − (z2 + x2) sin 2 + y z cos 2 x 2 1 1 1 1 1 1 sin 2 −yzdm = −[(y2 + x2) −(z2 + x2)]dm y z dm = 0 1 1 1 1 2 A Y 1 1 A sin 2 X I = (I − I ) A yz y z 2 1 1 Có thể dùng công thức xoay trục (đã biết) I 1 mr2, z 2 I 1 1 m h( 2 3r2) sin 2 1 yz 2 12 I I 1 m h( 2 3r2) x y 12 1 1 Department of Applied Mechanics 17
Page 18
Động lực học vật rắn không gian. 3D Kinetics of a rigid body Ví dụ (…) Ta nhận được hệ B z Y X X 0 z B A B 1 Y Y 0 X A B aY bY I 2 B y b A B yz 1 aX bX 0 C A B y Giải hệ trên được x a 1 I 2 X X 0, Y Y yz x A B A B a b Với A Y A I 1 (I I )sin 2 1 1 m h( 2 3r2)sin 2 X A yz 2 y1 z1 2 12 Lưu ý: góc quay khi chuyển từ hệ yz sang hệ y z ở đây là góc quay dương (quay ngược chiều trục x). 1 1 Department of Applied Mechanics 18
Page 19
Động lực học vật rắn không gian. 3D Kinetics of a rigid body Ví dụ Một đĩa tròn đồng chất khối lượng m, bán kính R, tâm C quay quanh trục z B Y đứng Oz với vận tốc góc hằng . Biết rằng trục z1 của đĩa (vuông góc với đĩa) B nghiêng với trục quay z góc , khoảng cách giữa O và tâm C là OC = e. Bỏ qua X z B 1 bề của đĩa. Xác định phản lực động tại hai ổ trục A và B. b Lời giải C y Với , 0 O z x 0, y e cos , z e sin a C C C x1 y x 1 Sử dụng các phương trình A X X m( y x 2) 0 Y X A A B C z C z A Y Y m x( y 2) me 2 cos A B C z C z aY bY I I 2 I 2 A B xz z yz z yz aX bX I I 2 0 I 0, I ?? A B yz z xz z xz yz Department of Applied Mechanics 19
Page 20
Động lực học vật rắn không gian. 3D Kinetics of a rigid body 2. Ví dụ áp dụng I ?? Do hệ Ox’ y’ z’ hệ trục quán tính chính, áp dụng công thức: z B Y yz 1 1 1 B X z sin 2 I = 1 mR2, B 1 I = (I − I ) y1 z’1 4 b yz y1 z1 2 I = I + me2 = 1 mR2 + me2 C z 1 z1 2 y sin 2 sin 2 O I = (I − I ) = −(1 mR2 + me2) yz y1 z1 2 4 2 x y a 1 x’ 1 Lưu ý: góc quay khi chuyển từ hệ yz về hệ y’ z’ là góc quay âm (quay 1 x 1 1 cùng chiều kim đồng hồ). A X X 0 Y X X 0 A B X A A B A me 2b cos I 2 Y Y me 2 cos Y yz A B A a b aY bY I 2 A B yz me 2a cos I 2 aX bX 0 Y yz A B B a b Department of Applied Mechanics 20
Showing the first 20 pages. Download the document to see it all.
Comments (0)
No comments yet. Be the first!