Cơ sở tính toán (Chương 1) - Nguyễn Quang Hoàng

UN
Uni24h
0 downloads
23
0

Generating preview...

Next by this authorStatics and stiffness analysis - Nguyễn Quang HoàngPrevious in courseĐộng lực học robot: Phương trình Newton-Euler không đệ quy - Nguyễn Quang HoàngNext in courseStatics and stiffness analysis - Nguyễn Quang Hoàng

Document content

Page 1

Chương 1. Cơ sở tính toán -1- Chương 1. Cơ sở tính toán -2- Nhắc lại một số khái niệm về ma trận – véc tơ Chương 1. Cơ sở tính toán Khái niệm ma trận – các phép tính ma trận Nhắc lại đại số tuyến tính Véc tơ hình học – véc tơ đại số véc tơ hình học – véc tơ đại số Các phép tính véc tơ trong không gian 3D Đạo hàm theo biến véc tơ – Jacobi Tích kronecker Đạo hàm theo biến véc tơ Nguyễn Quang Hoàng Ma trận Jacobi Email: hoang.nguyenquang@hust.edu.vn Tenxơ hạng hai Xem thêm bai giảng của gs. Choi Nguyen Quang Hoang Nguyen Quang Hoang Department of Applied Mechanics Department of Applied Mechanics Chương 1. Cơ sở tính toán -3- Chương 1. Cơ sở tính toán -4- Ma trận và các phép tính ma trận Ma trận và các phép tính ma trận Ma trận A cỡ mxn là một mảng chữ nhật có trật tự, gồm mxn phần tử sắp xếp Ma trận tam giác trên thành m hàng và n cột. Ma trận vuông U cỡ nxn là ma trận tam giác trên nếu u  0,i  j ij a a .. a  a Là phần tử thuộc hàng (i) và cột (j) u u .. u   11 12 1n   11 12 1n  ij a a .. a   0 u .. u  A  21 22 2n Ma trận là vuông khi số hằng U   22 2n ,  .. .. .. ..  bằng số cột, m = n. 0 0  ..     a a .. a   0 0 0 u    nn m1 m2 mn Chuyển vị của ma trận A cỡ mxn là ma trận cỡ nxm, ký hiệu là AT, nhận được Ma trận tam giác dưới bằng cách chuyển hàng thứ (i) thành cột thứ (i) Ma trận vuông L cỡ nxn là ma trận tam giác dưới nếu l  0,i  j ij   l 0 0 0  a a .. a  11   11 21 m1  l l 0 0 a a .. a L   21 22 , AT   12 22 m2   .. ..  0   .. .. .. ..      l l .. l  a a .. a  n1 n 2 nn  1n 2n mn  Nguyen Quang Hoang Nguyen Quang Hoang Department of Applied Mechanics Department of Applied Mechanics

Page 2

Chương 1. Cơ sở tính toán -5- Chương 1. Cơ sở tính toán -6- Ma trận và các phép tính ma trận Ma trận và các phép tính ma trận Ma trận vuông A cỡ nxn là ma trận đường chéo nếu a  0, i  j Ma trận vuông A cỡ nxn là ma trận đối xứng nếu ij a 0 0 0   11  A  AT , a  a  0 a 0 0  ij ji A  22 ,  0 0  0  Ma trận vuông A cỡ nxn là ma trận đối xứng lệch (skew-symmetric)    0 0 0 a  nn T A  A , a  a , a  0 Ma trận không là ma trận có tất cả các phần tử bằng 0, a  0,i j, ij ji ii ij A  AT  0 Ma trận đơn vị cỡ nxn là ma trận có các phần tử trên đường chéo bằng 1, còn lại bằng 0 a  1, a  0,i  j Ví dụ ma trận đối xứng lệch cỡ 3x3 ii ij 1 0 .. 0  0 z y      0 z y 0 1 .. 0     I   diag([1, 1, ..., 1]) A   z 0 x , AT  A    z 0 x , nn .. ..  ..       AI  IA  A y x 0  y x 0  0 0 .. 1 Nguyen Quang Hoang Nguyen Quang Hoang Department of Applied Mechanics Department of Applied Mechanics Chương 1. Cơ sở tính toán -7- Chương 1. Cơ sở tính toán -8- Ma trận và các phép tính ma trận Véc tơ [đại số] Vết của ma trận vuông A cỡ nxn là tổng các phần tử trên đường chéo chính Véc tơ đại số là trường hợp đặc biệt của ma trận. Một véc tơ trong không gian n chiều (véc tơ n phần tử), là một ma trận cỡ nx1. n trace(A)  a trace(I )  n a  a  ii nn 1 1 i1     a  a  Vết của ma trận đối xứng lệch bằng 0. a  2 , a  [a , a , ..., a ]T a  [a , a , ..., a ], aT   2   1 2 n 1 2 n  ..  ..  Phép nhân ma trận với một số a  a   n   n  A  [a ]  A  [a ] Trong toán học sử dụng hai loại véc tơ: Véc tơ hàng và véc tơ cột. Còn trong cơ i j, i j, học sử dụng véc tơ cột. Phép cộng hai ma trận cùng cỡ Các phép tính cộng (trừ) hai véc tơ c  a  b, c  a  b , i  1, 2, ...,n C  A  B, c  a  b , i  1, 2, ...,m; j  1, 2, ...,n i i i ij ij ij Nhân véc tơ với một số (scale) C  A  B  B  A c  a, c  a , i  1, 2, ...,n i i Nguyen Quang Hoang Nguyen Quang Hoang Department of Applied Mechanics Department of Applied Mechanics

Page 3

Chương 1. Cơ sở tính toán -9- Chương 1. Cơ sở tính toán -10- Véc tơ [đại số] Ma trận và các phép tính ma trận Tích vô hướng hai véc tơ [nội tích] là một số Phép nhân hai ma trận A(mxp) với B(pxn) n p r  aT b  a b  i i C  AB, c  a b , i  1, 2, ...,m; j  1, 2, ...,n i1 ij ik kj k 1 Độ dài của véc tơ (chuẩn Euclide) (ABC)T  CT B AT T n a  aT a  a a AB  BA i i i1 Hạng của ma trận = số lớn nhất các véc tơ hàng độc lập tuyến tính. Hai véc tơ a và b trực giao nhau nếu n r  rank(A )  max(m n, ) r  aT b  a b  0 i i mn i1 Các véc tơ độc lập tuyến tính: Các véc tơ a , a , ..., a là độc lập tuyến tính, nếu 1 2 n n  a  0 chỉ khi tất cả   0, i  1, ...,n i i i i1 Nguyen Quang Hoang Nguyen Quang Hoang Department of Applied Mechanics Department of Applied Mechanics Chương 1. Cơ sở tính toán -11- Chương 1. Cơ sở tính toán -12- Ma trận và các phép tính ma trận Ma trận và các phép tính ma trận Định thức của ma trận vuông A : Có nhiều cách khác nhau để định nghĩa định Định thức con và phần phụ đại số: Cho ma trận A cỡ nxn: thức của ma trận vuông. Ở đây đưa ra cách định nghĩa hồi quy như sau. Bắt • định thức con Mik của phần tử aik là định cấp n-1 suy ra từ A bằng cách bỏ đi đầu từ định thức của ma trận vuông cấp 2 (định thức cấp 2). cột i và hàng k. • phần phụ đại số của phần tử aik, ký hiệu Aik, được định nghĩa bởi: a a  a a A   11 12 , det(A)  A  11 12  a a  a a A  (1)ik M a a a a 11 22 21 12 ik ik  21 22  21 22 Định thức của ma trận A vuông cấp n (định thức cấp n) Định thức của ma trận vuông cấp 3 (định thức cấp 3)   a a .. a a a .. a    11 12 1n  11 12 1n a a a a a .. a a a .. a  11 12 13  A   21 22 2n  , d  det(A)  21 22 2n A  a a a ,  .. ..  ..  n .. ..  .. 21 22 23   a a a   31 32 33  a a .. a  a a .. a n1 n 2 nn n1 n 2 nn a a a a a a det(A)  a 22 23  a 21 23  a 21 22 được tính theo công thức truy hồi theo các định thức cấp n-1 như sau: 11 a a 12 a a 13 a a n n n n 32 33 31 33 31 32  ik   ik  d  A  (1) a M  a A d  A  (1) a M  a A  n ik ik ik ik n ik ik ik ik i1 i1 k 1 k 1 Nguyen Quang Hoang Nguyen Quang Hoang Department of Applied Mechanics Department of Applied Mechanics

Page 4

Chương 1. Cơ sở tính toán -13- Chương 1. Cơ sở tính toán -14- Ma trận và các phép tính ma trận Ma trận và các phép tính ma trận Định thức của ma trận A (theo cách định nghĩa khác): det(A) or | A | Khi hoán vị hai hàng hoặc hai cột định thức của ma trận đổi dấu. Định thức của ma trận vuông cấp n là tổng đại số của n! (n giai thừa) số hạng, Nếu trong ma trận có hai hàng hoặc hai cột giống nhau, định thức của ma trận mỗi số hạng là tích của n phần tử lấy trên các hàng và các cột khác nhau của bằng 0. ma trận A, mỗi tích được nhân với phần tử dấu là +1 hoặc -1 theo phép thế tạo bởi các chỉ số hàng và chỉ số cột của các phần tử trong tích. Gọi S là nhóm Ma trận có định thức bằng không được gọi là ma trận kỳ dị (singular matrix) n các hoán vị của n phần tử 1,2,...,n ta có: (Công thức Leibniz)  n Định thức của ma trận bằng định định thức của ma trận chuyển vị của nó: det(A)  sgn( )a i, ( )i det(A)  det(AT ) S i1 n Áp dụng với các ma trận vuông cấp 1,2,3 ta có Đối với ma trận vuông bất kỳ, giá trị định thức không thay đổi khi cộng hai hàng hoặc hai cột bất kỳ. a a a   11 12 13  Định thức của ma trận đơn vị bằng 1 A  a a a  21 22 23 a a a  det( )I  1  31 32 33  det(A)  Nguyen Quang Hoang Nguyen Quang Hoang Department of Applied Mechanics Department of Applied Mechanics Chương 1. Cơ sở tính toán -15- Chương 1. Cơ sở tính toán -16- Ma trận và các phép tính ma trận Ma trận và các phép tính ma trận det( )I  1 Ma trận A là ma trận kỳ dị det(A )  0, rank(A)  n (singular matrix). nn det(AT )  det(A) Lưu ý: det(A1)  [ det(A)]1 rank(A) < n hoặc det(A) = 0 => không tồn tại ma trận nghịch đảo của A det(AB)  det(A) det(B) rank(A) = n hoặc det(A)  0 => tồn tại ma trận nghịch đảo A-1 của A det(cA)  cn det(A), A  nn A x  b , det(A)  0  x  A1b n n n 1 n 1 n n Khi rank(A) = n hoặc det(A)  0 => tồn tại ma trận nghịch đảo A-1 det(U)   u , det(L)  l U, L là ma trận ii ii tam giác của A, ma trận nghịch đảo của ma trận A ký hiệu A-1 thỏa mãn i1 i1 n AA1  A1A  I det(A)  a A là ma trận đường chéo nn ii i1 Nguyen Quang Hoang Nguyen Quang Hoang Department of Applied Mechanics Department of Applied Mechanics

Page 5

Chương 1. Cơ sở tính toán -17- Chương 1. Cơ sở tính toán -18- Ma trận và các phép tính ma trận Ma trận và các phép tính ma trận Đối với các ma trận chính quy (không kỳ dị), phép nghịch đảo có Cho ma trận vuông A cấp n và phần tử a . Định thức của ma trận các tính chất sau ij cấp n-1 suy ra từ A bằng cách xóa đi dòng thứ i, cột thứ j được gọi là định thức con của A ứng với phần tử a , ký hiệu là M . I1  I, (AB)1  B1A1, (A1)T  (AT )1 ij ij Định thức con Mij với dấu bằng (-1)i+j được gọi là phần phụ đại số của phần tử aij, kí hiệu là Aij. A là ma trận trực giao (các cột của A trực giao với nhau từng đôi một) A  [a ,a , ..., a ] : aT a  0, i  j Nếu det(A)  0 thì ma trận nghịch đảo của A được tính bằng công 1 2 n i j thức: A là ma trận trực chuẩn nếu AAT  I  AA1  A1  AT C C Là chuyển vị của ma trận chứa các 0, i  j A1  t t A  [a ,a , ..., a ] : aT a   det(A) phần bù đại số (phần phụ đại số) 1 2 n i j 1, i  j  Nguyen Quang Hoang Nguyen Quang Hoang Department of Applied Mechanics Department of Applied Mechanics Chương 1. Cơ sở tính toán -19- Chương 1. Cơ sở tính toán -20- Ma trận và các phép tính ma trận Ma trận và các phép tính ma trận Ma trận xác định dương Ma trận khối Ma trận A  nn là ma trận xác định dương nếu Một ma trận có thể được tạo thành bởi các ma trận con a a a a  T n1 nn  11 12 13 14  x Ax  0, x  0 , x   , A   , A  0 a a a a A A  A   21 22 23 24    11 12  a a a a  A A   31 32 33 34   21 22  Ví dụ a a a a  41 42 43 44 2 1 x  A   , x   1  với 1 2 x  a a  a a  2  11 12   13 14  A  a a , A  a a  2 1 x  11  21 22  12  23 24  xT Ax  x x     1  a a  a a   1 2  1 2 x  31 32 33 34    2      A  a a , A  a a  2 2 2 21 41 42 22 43 44  x  (x  x )  x  0, x  0 1 1 2 2 Nguyen Quang Hoang Nguyen Quang Hoang Department of Applied Mechanics Department of Applied Mechanics

Page 6

Chương 1. Cơ sở tính toán -21- Chương 1. Cơ sở tính toán -22- Ma trận và các phép tính ma trận Ma trận và các phép tính ma trận Hệ phương trình đại số tuyến tính, A vuông Hệ phương trình đại số tuyến tính, A vuông Ax  b, A  nn , b x,  n1, det(A)  0 Ax  b, A  nn , b x,  n1, det(A)  0  x  A1b, Phương pháp phân tích LU Ax  b y = .. Phương pháp khử Gauss l 0 0 0  y  b  1 1. Phân tích LU ma trận A  11   1   1  a a a a  b  l l 0 0 y b y = .. 11 12 13 14 1  21 22   2    2  2     A  LU l l l 0  y  b  a a a a  b  y = .. Ax  b, A  21 22 23 24 , b  2  31 32 33   3   3  3 a a a a  b  Ax  b  LUx  b l l l l  y  b   31 32 33 34   3   41 42 43 44   4   4  y = .. a a a a b 4  41 42 43 44   4  2. Giải hệ 1 x = .. u u u u  x  y  4 u u u u  c  Ly  b  y  11 12 13 14   1   1   11 12 13 14   1  0 u u u x y x = ..  0 u u u  c  3. Giải hệ 2  22 23 24   2    2  3 Ux  c, U   22 23 24 , c   2   0 0 u u  x  y  x = .. 0 0 u u c Ux  y  x  33 34   3   3  2  33 34   3   0 0 0 u  x  y   0 0 0 u  c   44   4   4  x = ..  44   4  1 Nguyen Quang Hoang Nguyen Quang Hoang Department of Applied Mechanics Department of Applied Mechanics Chương 1. Cơ sở tính toán -23- Chương 1. Cơ sở tính toán -24- TRỊ RIÊNG, VÉC TƠ RIÊNG CỦA MA TRẬN • TRỊ RIÊNG, VÉC TƠ RIÊNG CỦA MA TRẬN Cho A là một ma trận vuông cấp n. Số  được gọi là trị riêng và vectơ khác không x là vectơ riêng của A nếu chúng thoả mãn điều kiện Ax = lx  (A - lE x) = 0 Phương trình đặc trưng x ¹ 0  det(A - lE) = 0 P (l) = ln + a ln-1 + ... + a l + a = 0 Lưu ý: n 1 n-1 n 1. Ma trận A thực đối xứng sẽ có các trị riêng thực và các véc tơ riêng ứng với các trị riêng khác nhau sẽ trực giao nhau. 2. Ma trận A thực đối xứng xác định dương sẽ có các trị riêng thực dương. Nguyen Quang Hoang Nguyen Quang Hoang Department of Applied Mechanics Department of Applied Mechanics

Page 7

Chương 1. Cơ sở tính toán -25- Chương 1. Cơ sở tính toán -26- Véc tơ hình học và véc tơ đại số • VÉC TƠ HÌNH HỌC • SƠ LƯỢC PHÉP TÍNH VECTOR • VÀ VÉC TƠ ĐẠI SỐ • 1. Đại lượng vô hướng, đại lượng có hướng, véctơ đơn vị • Khi khảo sát các đại lượng cơ học ta thường gặp hai dạng đó là: • 1.1 Đại lượng vô hướng • Biểu thị bằng giá trị số • không phụ thuộc việc chọn hệ tọa độ • không có hướng Nguyen Quang Hoang Nguyen Quang Hoang Department of Applied Mechanics Department of Applied Mechanics Chương 1. Cơ sở tính toán -27- Chương 1. Cơ sở tính toán -28- Véc tơ hình học và véc tơ đại số Véc tơ hình học và véc tơ đại số • 1.2 Đại lượng véctơ • A: Điểm gốc (đầu) điểm đặt.  a B • Các đặc trưng: • B: Điểm mút (cuối). • Biểu thị bằng giá trị số • không phụ thuộc việc chọn hệ tọa độ  A  • Có hướng Môđun của AB là chiều dài của nó, ký hiệu: | AB | • Biểu diễn véctơ:  • Đoạn thẳng có hướng AB  Ký hiệu vector: Thường người ta kí hiệu véctơ a B bằng một chữ cái có dấu mũi tên:  a  AB   a  AB   A Ký hiệu môđun của a : a |a | Nguyen Quang Hoang Nguyen Quang Hoang Department of Applied Mechanics Department of Applied Mechanics

Page 8

Chương 1. Cơ sở tính toán -29- Chương 1. Cơ sở tính toán -30- Véc tơ hình học và véc tơ đại số Véc tơ hình học và véc tơ đại số • Véctơ không gắn vào đường thẳng hoặc điểm nào thì gọi làB • Véctơ đơn vị  véctơ tự do.  a • Véctơe gọi là véctơ đơn vị của véctơ : A – Hướng trùng vớia • Véctơ gắn với đường thẳng mà nó hướng theo đườngB – Modul bằng 1 đơn vị, thẳng này thì gọi là véctơ trượt. A • Véctơ gắn với điểm đặt của nó → véctơ buộc. a    a  ae  B e a  a A Nguyen Quang Hoang Nguyen Quang Hoang Department of Applied Mechanics Department of Applied Mechanics Chương 1. Cơ sở tính toán -31- Chương 1. Cơ sở tính toán -32- Véc tơ hình học và véc tơ đại số Véc tơ hình học và véc tơ đại số • Hai véctơ bằng nhau nếu: • Biểu diễn véc tơ trong không gian 2D và 3D: • Cùng môđun    • Cùng phương, chiều y a  a e  a e y x x y y • Hướng theo các đường thẳng song song    • Về cùng một phía.  a  xe  ye e x y y  O  x   a   e x  a x  [e , e ] x  a  b     x y a    a  b  Các véc tơ cơ sở trong không gian 2D  y  |a |  |b | b    T  e  [e , e ] a |a | a2  a2 x y x y Nguyen Quang Hoang Nguyen Quang Hoang Department of Applied Mechanics Department of Applied Mechanics

Page 9

Chương 1. Cơ sở tính toán -33- Chương 1. Cơ sở tính toán -34- Véc tơ hình học và véc tơ đại số Véc tơ hình học và véc tơ đại số  • Biểu diễn véc tơ trong không gian 2D và 3D: • Nhân vectora với một số (vô hướng) m ta được vector     cùng phương vectora , chiều cùng hoặc ngược tùy thuộc m z a  a e  a e  a e (dương hay âm). z x x y y z z   xe  ye  ze  a x y z e a  z   e     x    e O y  e e e  a a  ae x y x  x y z   y  y a  a x  z     e  b  mae Các véc tơ cơ sở trong không gian 3D a       T  b  ma e  [e , e , e ] a |a | a2  a2  a2 x y z x y z Nguyen Quang Hoang Nguyen Quang Hoang Department of Applied Mechanics Department of Applied Mechanics Chương 1. Cơ sở tính toán -35- Chương 1. Cơ sở tính toán -36- Véc tơ hình học – không gian 3D. Véc tơ đại số Cosin chỉ hướng Các thành phần hình chiếu của véc tơ Cosin chỉ hướng: cosin chỉ hướng của vec tơ a trong một hqc R0: hình học trong một hệ trục tọa độ (hệ quy z      z a  a e 0  a e 0  a e 0 a  |a | 0  chiếu)  x 1 y2 z 3  o a     a  (a cos)e 0  (a cos )e 0  e   3 a = a e + a e + a e e  1 2 x x y y z z  z  (a cos)e 0 z e 3   é ù e A y   a x x y   ê x ú x y a e 0 a eo eo y a = êa ú Véc tơ đại số    cos  x  1 0 ê y ú a a 1 x 2 êa ú e ,e ,e   0 êë z úû x y z a e 0 a   cos   y  2 cos  e 0 a Véc tơ đại số chứa các tọa độ của véc tơ hình học trong a a   1  0  |a | 1  cos   e 0 a một hệ quy chiếu. a e a 2 cos  z  3   0  Cùng một véc tơ hình học, có vô số véc tơ đại số tương a a  cos  e a 3 ứng. (tùy theo hệ quy chiếu) là các cosin chỉ hướng của vec tơ a trong một hệ quy chiếu R . 0 Nguyen Quang Hoang Nguyen Quang Hoang Department of Applied Mechanics Department of Applied Mechanics

Page 10

Chương 1. Cơ sở tính toán -37- Chương 1. Cơ sở tính toán -38- Véc tơ hình học – không gian 3D. Véc tơ đại số Véc tơ hình học – không gian 3D. Véc tơ đại số     Các phép tính trên véc tơ hình học a + b = b + a Độ dài véc tơ a =| a |         c (a + b ) + c = a + (b + c ) a Nhân véc tơ với một số (scale)         b a + 0 = 0 + a = a b = aa, a Î Â     b Cộng (trừ) hai véc tơ a + (-a) = 0    a      c a(a + b ) = aa + ab, a b, Î Â c = a + b quy tắc hình bình hành       Vẽ hai véc tơ nối tiếp (a + b)a = aa + ba c = a - b nhau     a b( a) = aba = a + (-b )       1a = a, (-1)a = -a, 0a = 0 Nguyen Quang Hoang Nguyen Quang Hoang Department of Applied Mechanics Department of Applied Mechanics Chương 1. Cơ sở tính toán -39- Chương 1. Cơ sở tính toán -40- Véc tơ hình học – không gian 3D. Véc tơ đại số Véc tơ hình học – không gian 3D. Véc tơ đại số Các véc tơ độc lập tuyến tính Nội tích (tích vô hướng) hai véc tơ            Tập các véc tơ [a ,a , ...,a ] là độc lập tuyến tính, nếu a ⋅b =| a ||b | cos( ,a b ) = b ⋅a 1 2 m       k a + k a + ... + k a = 0 =| a ||b | cos a a 1 1 2 2 m m   b Khi và chỉ khi các hệ số Hai véc tơ trực giao k = k = ... = k = 0     1 2 m a ^ b  a ⋅b = 0  Giả sử nếu k ¹ 0 a m =90o   1 (    ) b  a = - k a + k a + ... + k a m k 1 1 2 2 m-1 m-1 m Nguyen Quang Hoang Nguyen Quang Hoang Department of Applied Mechanics Department of Applied Mechanics

Page 11

Chương 1. Cơ sở tính toán -41- Chương 1. Cơ sở tính toán -42- Véc tơ hình học – không gian 3D. Véc tơ đại số Véc tơ hình học – không gian 3D. Véc tơ đại số Độ dài véc tơ, (chuẩn Euclide) Tích vô hướng: tính chất           a ⋅a =| a || a | cos 0 = a2 (aa + bb )⋅c = aa ⋅c + bb ⋅c       a ⋅b = b ⋅a a = a ⋅a    a ⋅a = a2 ³ 0 a       b z a = a e + a e + a e Góc giữa hai véc tơ   xx y y z z      a b = b e + b e + b e a ⋅b a ⋅b e x x y y z z z   cos a =   =    z e   e A y  | a ||b | a ⋅a b ⋅b x x y x y  a ⋅b = a b + a b + a b x x y y z z Nguyen Quang Hoang Nguyen Quang Hoang Department of Applied Mechanics Department of Applied Mechanics Chương 1. Cơ sở tính toán -43- Chương 1. Cơ sở tính toán -44- Véc tơ hình học – không gian 3D. Véc tơ đại số • Hình chiếu của véc tơ trên một trục Tích vô hướng: tính chất z         a a = hc (a ) e ⋅e = e ⋅e = e ⋅e = 1 e u  u z  = a ⋅e x x y y z z e a A y  u e ⋅e = e ⋅e = e ⋅e = 0  e y e = a cos a x y y z z x x u x    e ,e ,e    x y z {e ,e ,e } Trong hệ trục tọa độ (Oxyz), với các véc tơ đơn vị x y z     a = a e + a e + a e , a = [a a a ] ,T  xx y y z z x y z b = b e + b e + b e , b = [b b b ]T   x x y y z z     x y z a ⋅b = a b + a b + a b = b ⋅a a ⋅b = a bT = b aT x x y y z z Nguyen Quang Hoang Nguyen Quang Hoang Department of Applied Mechanics Department of Applied Mechanics

Page 12

Chương 1. Cơ sở tính toán -45- Chương 1. Cơ sở tính toán -46- Véc tơ hình học – không gian 3D. Véc tơ đại số • Hình chiếu của véc tơ trên một mặt phẳng     Ngoại tích (tích có hướng) hai véc tơ là một véc tơ vuông góc a = a¢¢ + a¢ a¢¢  với hai véc tơ đó   a ìï    a¢¢ ^ E, ïc ^ a c, ^ b c  a    ïïï b  ¢  c = a ´b íright hand rule a  E a¢ ïï     ïï| c |=| a ||b | sin a  a¢ = a cos a     ïî a E a¢ a  b  c = 0,      c = a ´b = -b ´a   c = a ´b = diện tích hình bình hành tạo bởi 2 véc tơ. Nguyen Quang Hoang Nguyen Quang Hoang Department of Applied Mechanics Department of Applied Mechanics Chương 1. Cơ sở tính toán -47- Chương 1. Cơ sở tính toán -48- Véc tơ hình học – không gian 3D. Véc tơ đại số Véc tơ hình học – không gian 3D. Véc tơ đại số Ngoại tích (tích có hướng) : các tính chất Ngoại tích (tích có hướng) : các tính chất           a ´b = -b ´a   a ´(b ´c ) ¹ (a ´b )´c   c c       b b (ka)´b = k a( ´b ) = a ´(kb ) Ví dụ                 i ´(i ´ j ) = i ´k = -j  a       a a ´(b + c ) = a ´b + a ´c        (i ´ i )´ j = 0 ´ j = 0 (a + b )´c = a ´c + b ´c Nguyen Quang Hoang Nguyen Quang Hoang Department of Applied Mechanics Department of Applied Mechanics

Page 13

Chương 1. Cơ sở tính toán -49- Chương 1. Cơ sở tính toán -50- Véc tơ hình học – không gian 3D. Véc tơ đại số Ngoại tích (tích có hướng) : các tính chất Ngoại tích (tích có hướng) : các véc tơ đơn vị             e ´e = e ´e = e ´e = 0 c = a ´b, | c |=| a ||b | sin a   x x y y z z    c e ´e = e , e ´e = e , e ´e = e b x y z y z x z x y  2   c = (| a ||b | sin a)2           =| a | |2 b |2 (1 - cos2 a) a i ´ j = k, j ´k = i ,         k  =| a | |2 b |2 - | a | |2 b |2 cos2 a k ´ i = j, j       = (a ⋅a)(b ⋅b ) - (a ⋅b )2          a ´b = (a ⋅a)(b ⋅b ) - (a ⋅b )2 i Nguyen Quang Hoang Nguyen Quang Hoang Department of Applied Mechanics Department of Applied Mechanics Chương 1. Cơ sở tính toán -51- Chương 1. Cơ sở tính toán -52- Tích hỗn hợp 3 véc tơ cho một vô hướng Tích hỗn hợp 3 véc tơ cho một vô hướng         a ⋅(b ´c ) = (a e + a e + a e )⋅(b ´c ) x x y y z z     e e e   a    x y z b ´c = (a e + a e + a e )⋅ b b b x x y y z z x y z  c c c b c x y z a a a  a x y z a   = b b b   b x y z a ⋅(b ´c ) = a cos b(bc sin a) c c c  x y z = hS c  b = V Thể tích hình hộp tạo bởi 3 véc tơ. Nguyen Quang Hoang Nguyen Quang Hoang Department of Applied Mechanics Department of Applied Mechanics

Page 14

Chương 1. Cơ sở tính toán -53- Chương 1. Cơ sở tính toán -54- Véc tơ hình học – không gian 3D. Véc tơ đại số   Tích hỗn hợp 3 véc tơ : tính chất b ´c  Tính toán tích có hướng hai véc tơ trong một hệ trục tọa độ         a vuông góc (trong một cơ sở), với các véc tơ đơn vị {e ,e ,e } a ⋅(b ´c ) = c ⋅(a ´b ) x y z    = b ⋅(c ´a) b  c  a b Tính trên véc tơ hình học Tính trên véc tơ đại số     a = [a a a ]T a = a e + a e + a e , x y z c = ab Điều kiện 3 véc tơ đồng phẳng, V = 0  xx y y z z b = [b b b ]T       b = b e + b e + b e , x y z  x x y y z z c = [c c c ]T a ⋅(b ´c ) = c ⋅(a ´b ) c = c e + c e + c e , x y z    x x y y  z z  é ù é ù é ù = b ⋅(c ´a) = 0 e e e êc ú ê 0 -a a ú êb ú  ê x ú ê z y ú ê x ú   x y z c = a 0 -a b , c = a ´b = a a a ê y ú ê z x ú ê y ú           x y z êc ú ê-a a 0 ú êb ú (w ´u)2 = (w ´u) (⋅ w ´u) = w ⋅[u ´(w ´u)] b b b ê ú ê ú ê ú x y z ë z û ë y x û ë z û Nguyen Quang Hoang Nguyen Quang Hoang Department of Applied Mechanics Department of Applied Mechanics Chương 1. Cơ sở tính toán -55- Chương 1. Cơ sở tính toán -56- Véc tơ hình học – không gian 3D. Véc tơ đại số Một số tính chất của toán tử sóng Toán tử sóng (tạo ra ma trận đối xứng lệch cỡ 3x3 từ một véc tơ đại số 3 phần tử) aa =aS( )a =S(aa)=aa é 0 -a a ù ê z y ú a = [a a a ]T  a = S(a) = ê a 0 -a ú S(a + b) = S( )a + S(b) = a + b x y z ê z x ú ê-a a 0 ú   êë y x úû    ab = S( )a b = -S(b a) = -ba  a ´b = -b ´a Sử dụng khi tính tích véc tơ hai véc tơ hình học    aa = S( )a a = 0  a ´a = 0 véc tơ hình học Tính trong một hệ trục tọa độ (tính trên véc tơ đại số)  ab = baT - aT bE      3´3 c = a ´b = -b ´a, c = ab = -ba   S(ab ) = baT - abT = ab - ba   l = a bc( ) = abc l = a ´(b ´c )       = (a c bT ) - (a b cT ) ab + abT = ba + baT = (a ⋅c b) - (a ⋅b c) Nguyen Quang Hoang Nguyen Quang Hoang Department of Applied Mechanics Department of Applied Mechanics

Page 15

Chương 1. Cơ sở tính toán -57- Chương 1. Cơ sở tính toán -58- Véc tơ hình học – không gian 3D. Véc tơ đại số Các phép tính đại số véc tơ Ngôn ngữ hình học Ngôn ngữ đại số véc tơ hình học Tính trong một hệ trục tọa độ (tính trên véc tơ đại số)        Tổng của hai véc tơ c = a + b c = a + b a = a ⋅b = b ⋅a a = aT b = b aT Tích vô hướng của hai         véc tơ a = a ⋅b a = aT b = b aT c = a ´b = -b ´a, c = ab = -ba  Tích véc tơ của hai véc         c = a ´b c = ab l = a ´(b ´c) l = a bc( ) = abc tơ      Tích hỗn hợp của ba a = a ⋅(b ´c) a = aT (bc )     = (aT c b) - (aT b c) véc tơ = (a ⋅c b) - (a ⋅b c)       Tích véc tơ kép của ba d = a ´(b ´c) d = abc     a = aT (bc ) = bT (ca) véc tơ a = a ⋅(b ´c) = b ⋅(c ´a) Nguyen Quang Hoang Nguyen Quang Hoang Department of Applied Mechanics Department of Applied Mechanics Chương 1. Cơ sở tính toán -59- Chương 1. Cơ sở tính toán -60- Tích véc tơ kép Tích hỗn hợp 3 véc tơ : tính chất Tích véc tơ kép 3 véc tơ cho véc tơ                 a ⋅(b ´c ) = c ⋅(a ´b ) b ´c  a ´(b ´c ) = (a ⋅c b) - (a ⋅b c)    a             = b ⋅(c ´a) (a ´b )´c = -c ´(a ´b ) = (a ⋅c b) - (b ⋅c a) b  a Đồng nhất thức Lagrange b              c (a ´b )⋅(c ´d ) = (a ⋅c )(b ⋅d ) - (a ⋅d )(b ⋅c )             (a ´b )´(c ´d ) = [a ⋅(b ´d )]c - [a ⋅(b ´c )]d Nguyen Quang Hoang Nguyen Quang Hoang Department of Applied Mechanics Department of Applied Mechanics

Page 16

Chương 1. Cơ sở tính toán -61- Chương 1. Cơ sở tính toán -62- • Tích Kronecker – đạo hàm theo biến véc tơ – ma trận       Jacobi u ´(w ´u) = u ´ -( u ´ w)    = -u ´(u ´ w)         (w ´u) (⋅ w ´u) = w ⋅[u ´(w ´u)] Nguyen Quang Hoang Nguyen Quang Hoang Department of Applied Mechanics Department of Applied Mechanics Chương 1. Cơ sở tính toán -63- Chương 1. Cơ sở tính toán -64- Tích Kronecker – đạo hàm theo biến véc tơ - Jacobi Tích Kronecker – đạo hàm theo biến véc tơ - Jacobi Tích Kronecker: là phép nhân hai ma trận có cỡ tùy ý theo luật sau đây Ví dụ q  1 0  1  I   , q  q , A  mn ,B  pq : C  A  B, C  mpnq 22 0 1 2   q   3  a B a B .. a B   11 12 1n  C  A  B   .. .. .. ..  a B a B .. a B  m1 m2 mn mpnq q 0  q 0   1   1  Ví dụ a a  b b b  q 0   0 q  A   11 12 , B   11 12 13  2 q I 1 a a b b b q 0 q 0   1  q 0   22 22   21 22 23  I  q      3  q  I  q I   2  22 0 q   0 q  22  2   0 q   b b b  b b b  62  1  q I  2  a  11 12 13  a  11 12 13  0 q 3 62 q 0 a B a B 11 b b b 12 b b b  2   3    21 22 23   21 22 23   0 q   0 q  C  A  B   11 12      3   3  a B a B  b b b  b b b  21 22 46 a  11 12 13  a  11 12 13   21 b b b  22 b b b    21 22 23   21 22 23  46 Tích Kronecker không có tính chất giao hoán A  B  B  A Nguyen Quang Hoang Nguyen Quang Hoang Department of Applied Mechanics Department of Applied Mechanics

Page 17

Chương 1. Cơ sở tính toán -65- Chương 1. Cơ sở tính toán -66- ĐẠO HÀM CỦA VÉC TƠ VÀ MA TRẬN ĐẠO HÀM CỦA VÉC TƠ VÀ MA TRẬN Đạo hàm theo biến thời gian Đạo hàm theo biến thời gian Xét các véc tơ và ma trận có cỡ phù hợp và số thực : a b A B, , , & a Xét các véc tơ và ma trận có cỡ phù hợp và số thực : a b A B, , , & a da     dA   = a = [a ,a ,...,a ]T = A = {a } dt 1 2 n dt ij d d   d   (a + b) = a + b (aA) = aA + aA, (A + B) = A + B dt a b, Î Â3 : dt dt d d   d   (aa) = aa + aa d (AB) = AB + AB, (Ab) = Ab + Ab dt (ab ) = ab + ab, dt dt dt d T T T    (a b) = a b + a b a = a AA-1 = E  dt d (AA-1) = AA -1 + A d (A-1) = 0  d (A-1) = -A-1AA -1 dt dt dt Nguyen Quang Hoang Nguyen Quang Hoang Department of Applied Mechanics Department of Applied Mechanics Chương 1. Cơ sở tính toán -67- Chương 1. Cơ sở tính toán -68- ĐẠO HÀM CỦA VÉC TƠ VÀ MA TRẬN Tích Kronecker – đạo hàm theo biến véc tơ - Jacobi Đạo hàm theo biến véctơ Bài tập. Với A  mn , q  n1, a  n1 Đạo hàm một vô hướng chứng minh các công thức sau a q( ), b q( )  m1, q  n1 a(q)  a a a  q  n1, a  a(q)     ...  b q q q q  b  Aq   A [aT (q b q) ( )] [b q( )] [aT (q)]  1 2 n  q  aT (q)  [I  b q( )] q q q nn [q]  I q nn q  n1, A  pq , b  q1  J  pn Đạo hàm một véc tơ q  n1, a  a q( )  m1 b(q)  q aT  a qT , a  const [A q b( ) ] [A q( )]  a a a  J   (b  I ), q q nn  1 1 .. 1   q q q  [ (b q)] [q aT ] [a qT ] a q( )  1 2 n     aT J   ... .. .. .. , J q( )  mn Ma trận Jacobi A  AT  nn ,q  n1 q   q q q a a a   m m .. m    q q q  b(q)  q AqT , A  const [q AqT ]  q AT  q AT  2q AT Lưu ý: 1 2 n q [ (b q)] [qT Aq] (aT ) a a a a a a a a    qT (AT  A) 2    1 , 1 , ..., 1 2 , 2 , ..., 2 .. m ,..., m  : J  R1mn q q [q AqT ]  (2q AT )  2A q  q q q q q q q q  qT q qT 1 2 n 1 2 n 1 n Nguyen Quang Hoang Nguyen Quang Hoang Department of Applied Mechanics Department of Applied Mechanics

Page 18

Chương 1. Cơ sở tính toán -69- Chương 1. Cơ sở tính toán -70- Tích Kronecker – đạo hàm theo biến véc tơ - Jacobi Đạo hàm hàm hợp t  , q  q( )t  n1, r  r q( , )t  m1 • KHÁI NIỆM TEN XƠ  d[ ( , )]r q t r  dt   Ma trận Jacobi r r r r  1 q  1 q  ...  1 q  1     q 1 q 2 q n t  r r r   1 2 ... n   1 1 .. 1     q q q  r r r r  r  1 2 n   m q  m q  ...  m q  m  J   .. .. .. ..  q 1 q 2 q n t  q   1 2 n r r r   r   m m .. m   r r r   1  q q q  1 1 .. 1  q  t  1 2 n  q q q  1     1 2 n  q  ..    .. .. .. ..   2      ..   ..  d[ ( , )]r q t r r r r      r   Jq   m m .. m  q  r   q q q  n  m  dt t 1 2 n  t   r  Jq  t Nguyen Quang Hoang Nguyen Quang Hoang Department of Applied Mechanics Department of Applied Mechanics Chương 1. Cơ sở tính toán -71- Chương 1. Cơ sở tính toán -72- KHÁI NIỆM TEN XƠ KHÁI NIỆM TEN XƠ Trong toán học hay vật lý và nói riêng trong cơ học, ta thường gặp các loại đại lượng : có loại chỉ quan hệ với giá trị bằng số (nhiệt độ, khối lượng, .. ), có loại Các quy luật vật lý và cơ học được biểu diễn dưới dạng các hệ thức tenxơ. ngoài giá trị số còn phải kể đến hướng của nó trong không gian (vận tốc, gia Viết các phương trình dưới dạng tenxơ, cho phép thiết lập các quy luật bất tốc,...), có loại đặc trưng cho một trạng thái (biến dạng, ứng suất, ..). biến, không phụ thuộc váo cách chọn hệ tọa độ. Các đại lượng thuộc loại thứ nhất được đặc trưng bởi các vô hướng, loại thứ 2 là Do tính chất tuyến tính và đồng nhất của các phép biến đổi tenxơ, nên các vector và tổng quát hơn cả là loại thứ 3 được đặc trưng bởi các tenxơ. phương trình tenxơ đã đúng trong hệ tọa độ này thì cũng đúng trong hệ tọa Dựa vào khái niệm tenxơ, ta có thể bao quát mọi đặc trưng của tất cả các đại độ khác. Tính bất biến của hệ thức tenxơ đối với phép biến đổi tọa độ là một lượng: trong những nguyên nhân cơ bản để sử dụng có hiệu quả phép tính tenxơ tenxơ hạng không (vô hướng), hạng nhất (véctơ) và hạng bất kỳ. trong cơ học và vật lý. Tenxơ có đặc điểm chung là không phụ thuộc vào cách chọn hệ tọa độ dùng để Định nghĩa Tenxơ: mô tả chúng, nghĩa là trong mỗi hệ tọa độ có thể cho tenxơ bằng một hệ thống A tensor is a collection of objects which, combined the right way, transform the đại lượng nào đấy, gọi là các thành phần của tenxơ. same way as the coordinates under infinitesimal (proper) symmetry transformations. Nếu các thành phần của tenxơ đã cho trong một hệ tọa độ, thì nó được xác định Một tensor là một bộ sưu tập của các đối tượng, tổ hợp theo đúng cách, biến trong bất kỳ một hệ tọa độ nào khác, vì trong định nghĩa tenxơ đã bao hàm quy đổi theo cùng một cách như các tọa độ theo phép biến đổi đối xứng (thích luật biến đổi các thành phần của nó. hợp) vô cùng nhỏ. Nguyen Quang Hoang Nguyen Quang Hoang Department of Applied Mechanics Department of Applied Mechanics

Page 19

Chương 1. Cơ sở tính toán -73- Chương 1. Cơ sở tính toán -74- KHÁI NIỆM TEN XƠ KHÁI NIỆM TEN XƠ Tenxơ (cách viết khác: ten xơ, ten-xơ, tensơ) là đối tượng hình học miêu tả quan hệ tuyến tính giữa các đại lượng vectơ, vô hướng, và các tenxơ với Bởi vì chúng thể hiện mối quan hệ giữa các vectơ, tenxơ phải độc lập với nhau. Những ví dụ cơ bản về liên hệ này bao gồm tích vô hướng, tích vectơ, bất kỳ sự lựa chọn hệ tọa độ nào. Khi chọn một cơ sở tọa độ hoặc hệ quy và ánh xạ tuyến tính. Đại lượng vectơ và vô hướng theo định nghĩa cũng là chiếu và áp dụng tenxơ vào nó sẽ cho kết quả là một mảng đa chiều được tenxơ. Có nhiều cách biểu diễn tenxơ, như mảng giá trị số đa chiều. Bậc (hay tổ chức đại diện cho tenxơ đó trong cơ sở hay hệ quy chiếu đó. Sự độc lập hạng) của một tenxơ bằng số chiều của mảng cần để biểu diễn nó, hay tương của tenxơ được phát biểu thành định luật biến đổi "hiệp biến" liên hệ giữa đương với số chỉ số cần để đánh dấu các thành phần của mảng. mảng được tính toán trong một hệ tọa độ với mảng đó được tính trong hệ tọa độ khác. Định luật biến đổi này cũng được sử dụng để xây dựng khái Ví dụ, một ánh xạ tuyến tính biểu diễn dưới dạng ma trận 2 chiều, mảng 2 niệm tenxơ với ý nghĩa hình học hay vật lý, và dạng chính xác của định luật chiều, do đó nó là tenxơ bậc (hạng) 2. biến đổi xác định lên loại (hay kiểu) của tenxơ. Vector có thể coi là mảng 1 chiều và là tenxơ hạng 1. Đại lượng vô hướng là các giá trị số và là tenxơ hạng 0. Tenxơ là khái niệm quan trọng trong vật lý học bởi vì nó cung cấp một khuôn khổ toán học ngắn gọn cho việc thiết lập và giải các vấn đề vật lý Tenxơ thường được sử dụng để biểu diễn quan hệ tương ứng (ánh xạ) giữa trong nhiều lĩnh vực như cơ học môi trường liên tục, lý thuyết đàn hồi. các tập vectơ hình học. Nguyen Quang Hoang Nguyen Quang Hoang Department of Applied Mechanics Department of Applied Mechanics Chương 1. Cơ sở tính toán -75- Chương 1. Cơ sở tính toán -76- TEN XƠ HẠNG 2 TEN XƠ HẠNG 2 Mục tiêu của phép tính Tenxơ là xây dựng một công cụ toán học để có thể mô tả Mục tiêu của phép tính Tenxơ là xây dựng một công cụ toán học để có thể mô tả một cách đầy đủ quan hệ giữa các đại lượng vật lý và các đại lượng hình học. một cách đầy đủ quan hệ giữa các đại lượng vật lý và các đại lượng hình học. Các đại lượng vật lý này được xác định không chỉ bởi một giá trị mà có thể qua Các đại lượng vật lý này được xác định không chỉ bởi một giá trị mà có thể qua hai hay nhiều hơn hai giá trị. Các đại lượng vật lý có thể được thể hiện bởi: hai hay nhiều hơn hai giá trị. Các đại lượng vật lý có thể được thể hiện bởi: 1. Vô hướng : Đại lượng vật lý được mô tả hoàn toàn bằng một số thực.  Ví dụ như: nhiệt độ, khối lượng, thể tích, thế năng, … 3. Tenxơ A : Một ten xơ hạng 2 định nghĩa một phép biến đổi mà nó biến đổi Việc biểu diễn thành phần của nó độc lập với việc lựa chọn hệ tọa độ. một véc tơ thành một véc tơ khác Một ten xơ chứa thông tin về các hướng và trị số theo các hướng đó.  2. Véc tơa : Đại lượng vật lý có thể được mô tả bằng giá trị (độ lớn) và hướng. Nói chung, Ten xơ hạng 0 là các vô hướng a, b, c,…, Ví dụ như vận tốc, lực, dòng nhiệt, ….    Việc biểu diễn thành phần của nó (các thành phần hình chiếu) phụ thuộc vào Ten xơ hạng 1 là các véc tơ hình học, a b c, , ,...    việc lựa chọn hệ tọa độ. Ten xơ hạng 2 được ký hiệu bởi A I, ,D,... VD: Tenxơ ứng suất, Tenxơ mô men quán tính khối của vật rắn. Nguyen Quang Hoang Nguyen Quang Hoang Department of Applied Mechanics Department of Applied Mechanics

Page 20

Chương 1. Cơ sở tính toán -77- Chương 1. Cơ sở tính toán -78- TEN XƠ HẠNG 2 TEN XƠ HẠNG 2 Tích ten xơ của hai véc tơ trong không gian ba chiều      Ma trận của toán tử tuyến tínha Ä b trong cơ sở {e ,e ,e }        1 2 3  a = a e + a e + a e , & b = b e + b e + b e Định nghĩa: Tích ten xơ của hai véc tơ trong không gian ba chiều a & b   1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 ký hiệu a Ä b , là một toán tử tuyến tính biến đổi phần tử (véc tơ) x thành một Theo định nghĩa tích ten xơ phần tử (véc tơ)  theo quy luật sau: y                    (a Ä b e) = y = (b ⋅e )a = b a = b a e + b a e + b a e (a Ä b x) = y = (b ⋅x a) , "x Î E 3 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 3 3            (a Ä b e) = y = (b ⋅e )a = b a = b a e + b a e + b a e Tích ten xơ của hai véc tơ còn được gọi là tích dyad.  2 2  2 2 2 1 1 2 2 2 2 3 3             Chọn {e ,e ,e } là cơ sở tự nhiên của không gian ba chiều, theo định nghĩa (a Ä b e) = y = (b ⋅e )a = b a = b a e + b a e + b a e 1 2 3 3 3 3 3 3 1 1 3 2 2 3 3 3 tích ten xơ, ta có             Ma trận của toán tử tuyến tínha Ä b trong cơ sở {e ,e ,e } có dạng (e Ä e )e = (e ⋅e )e = g e , k l m, , = 1, 2, 3 1 2 3 k l m l m k lm k éa b a b a b ù ìï ê 1 1 1 2 1 3 ú   ï1, l = m A = êa b a b a b ú = abT g = (e ⋅e ) = íï ê ú Ma trận của toán tử tuyến phụ lm l m ï ê 2 1 2 2 2 3 ú thuộc vào việc chọn cơ sở của ïïî0, l ¹ m a b a b a b êë 3 1 3 2 3 3 úû không gian Nguyen Quang Hoang Nguyen Quang Hoang Department of Applied Mechanics Department of Applied Mechanics Chương 1. Cơ sở tính toán -79- Chương 1. Cơ sở tính toán -80- TEN XƠ HẠNG 2 TEN XƠ HẠNG 2     Trong không gian ba chiều với cơ sở {e ,e ,e } ten xơ hạng hai D được Ví dụ về ten xơ hạng 2 (ten xơ ứng suất) 1 2 3 biểu diễn như sau:      3 3   {e ,e ,e } D = å åD e Ä e 1 2 3 ij i j i=1 j=1  Các đại lượng D được gọi là các tọa độ của Tenxơ D trong không gian ba ij     chiều với cơ sở {e ,e ,e }. Thực ra, ten xơ hạng hai D là một đại lượng trong      f (e ) = s e + s e + s e 1 2 3 2 D   21 1 22 2 23 3 không gian véc tơ Â9 , là các tp tọa độ trong cơ sở e Ä e , i j, = 1, 2, 3 ij i j Một cách biểu diễn khác như sau: éD D D ù  3 3   ê 11 12 13 ú   D = å åD e Ä e = êD D D úe Ä e ij i j ê 21 22 23 ú i j i=1 j=1 êD D D ú êë 31 32 33 úû (T hay f - lực tại điểm khảo sát trên mặt cắt  e2) Nguyen Quang Hoang Nguyen Quang Hoang Department of Applied Mechanics Department of Applied Mechanics

Showing the first 20 pages. Download the document to see it all.

Comments (0)

Sign in to join the discussion

No comments yet. Be the first!

Related documents

Kỹ thuật Robot - PGS.TS.Nguyễn Trường Thịnh

Premium4494 pages

Mô tả vị trí và hướng các khâu (Chương 2) - Nguyễn Quang Hoàng

Premium125 pages

Động lực học Robot - Phương trình động lực Kane - Nguyễn Quang Hoàng

Free022 pages

Động học: vận tốc và Jacobi (Chương 4) - Nguyễn Quang Hoàng

Premium026 pages

Động học robot: thuận và ngược (Chương 3) - Nguyễn Quang Hoàng

Premium023 pages
Same author

Giáo trình Pháp luật đại cương 2021 - ĐH Thương Mại

Free0237 pages

Đề thi môn Đại số tuyến tính (NN2) (Kèm đáp án)

Premium38 pages

Luyện dạng thường gặp - Toán (HSA) - Dạng 1

Free74 pages

Đề khảo sát tháng 8 - Đề VACT Toán (Có đáp án chi tiết)

Free1311 pages

TSAP Thi thử đợt trải nghiệm - Toán

Premium912 pages