Page 1
Cơ học kỹ thuật II Engineering ĐỘ NG LỰ C HỌ C Mechanics GS.TS. Đinh Văn Phong Bộ môn Cơ học ứng dụng C3-307/308 (C1-224) 0903200960 / (024)36230949 phong.dinhvan@hust.edu.vn Department of Applied Mechanics
Page 2
Mộ t số khá i niệ m cơ bả n củ a cơ họ c giả i tí ch Cá c phương phá p cơ bả n để giả i quyế t bà i toá n độ ng lự c họ c (nhắ c lạ i) 2 cá ch tiế p cậ n: - Phương phá p vector (cá c đạ i lượ ng tiên quyế t là cá c đạ i lượ ng vector: lự c,vậ n tố c, gia tố c, độ ng lượ ng...) - Phương phá p năng lượ ng (cá c đạ i lượ ng tiên quyế t là cá c đạ i lượ ng vô hướ ng: công, độ ng năng,…) Cá c phương phá p cơ bả n: - Lự c – Gia tố c (Đị nh lý chuyể n độ ng khố i tâm, phương trì nh vi phân chuyể n độ ng củ a điể m, vậ t rắ n,..) - Công – Năng lượ ng (Đị nh lý độ ng năng, bả o toà n cơ năng,…) - Xung lự c – Độ ng lượ ng (Đị nh lý độ ng lượ ng, định lý moment độ ng lương,…) - Mộ t số nguyên lý cơ họ c vớ i cả 2 cá ch tiế p cậ n - Nguyên lý di chuyể n khả dĩ (công ả o) - Nguyên lý D’Alembert - Nguyên lý D’Alembert-Lagrange - Phương trì nh Lagrange loạ i 2 Hôm nay Chú ý: vớ i từ ng phương phá p cầ n lưu ý phân loạ i lự c - Nộ i lự c-Ngoạ i lự c - Lự c hoạ t độ ng- lự c liên kế t - Lự c có khả năng sinh công- Lự c không có khả năng sinh công Department of Applied Mechanics 2
Page 3
CHAPTER6 Cơ học kỹ thuật: ĐỘNG LỰC HỌC Engineering Mechanics: KINETICS ĐỘ NG LỰ C HỌ C CƠ HỆ : PHƯƠNG TRÌ NH LAGRANGE LOẠ I 2 Department of Applied Mechanics
Page 4
Phương trì nh Lagrange loạ i 2 Nguyên lý d'Alembert – Lagrange (nhắ c lạ i) Đối với hệ N chất điểm chịu các liên kết lý tưởng Xét chất điểm thứ k: m a Fa Fc Fc m a Fa k k k k k k k k m 1 Fc Nhân vô hướng hai vế với di chuyển ảo của chất điểm k và tính tổng với tất m k z k cả các chất điểm thuộc hệ Các liên kết là lý tưởng r N N k N F a Fc r ( m a Fa ) r k k k k k k k Fc r 0 y k 1 k 1 k k x k 1 Nguyên lý d’Alembert-Lagrange. Đối với cơ hệ chịu các liên kết giữ và lý tưởng, tại mỗi thời điểm tổng công ảo của các lực hoạt động và các lực quán tính trong mọi di chuyển ảo của cơ hệ đều bằng không. N N (Fa m a ) r 0 Fa m x x Fa m y y Fa m z z 0 k k k k kx k k k ky k k k kz k k k k 1 k 1 Phương trình này còn được gọi là phương trình tổng quát động lực học hệ chất điểm. Đối với hệ N vật rắn phẳng chịu các liên kết lý tưởng N (Fa m x ) x (Fa m y ) y (M a I ) 0 Ckx k Ck Ck Cky k Ck Ck Ck Ck k k k 1 Department of Applied Mechanics 4
Page 5
Phương trì nh Lagrange loạ i 2 PHƯƠNG TRÌNH LAGRANGE LOẠI 2 1. Thiết lập phương trình Lagrange loại 2 2. Ví dụ áp dụng 3. Các tích phân đầu Department of Applied Mechanics 5
Page 6
Phương trì nh Lagrange loạ i 2 Thiết lập phương trình Lagrange loại 2 Xét hệ nhiều vật với các liên kết holonom, giữ, dừng và lý tưởng. Số bậc tự do = f Chọn tọa độ suy rộng đủ q [q ,q ,...,q ]T 1 2 f Nhắc lại Nguyên lý d’Alembert-Lagrange đối với hệ N chất điểm: f (Q Qqt ) q 0 N i i i (Fa m a ) r 0 i 1 k k k k k 1 Q Qqt 0, i 1, 2,..., f i i đối với hệ N vật rắn phẳng: N N (Fa r Ma ) ( m a r I ) 0 Ck Ck Ck k k Ck Ck Ck k k k 1 k 1 Hệ quả: Tại mỗi thời điểm lực suy rộng của các lực hoạt động và các lực quán tính triệt tiêu. Department of Applied Mechanics 6
Page 7
Phương trì nh Lagrange loạ i 2 Thiết lập phương trình Lagrange loại 2 (...) Lực suy rộng của các lực quán tính d T T Qqt , i dt q q i i 1 N Với hệ nhiều vật rắn phẳng holonom: T m v2 I 2 2 k Ck Ck k k 1 Phương trình Lagrange loại 2 cho cơ hệ nhiều chất điểm và vật rắn chịu liên kêt với các tọa độ suy rộng đủ d T T Qqt Q 0 Q Qkt i i dt q q i q i i i i Định nghĩa hàm Lagrange của hệ L T q( ,...,q ,q ,...,q , )t (q ,...,q ) 1 f 1 f 1 f d L L Qkt T q( ,...,q ,q ,...,q , )t là biểu thức động năng dt q q i 1 f 1 f i i (q ,...,q ) là biểu thức thế năng của hệ 1 f Department of Applied Mechanics 7
Page 8
Phương trì nh Lagrange loạ i 2 Thiết lập phương trình Lagrange loại 2 (...) Phương trình Lagrange loại 2 là phương trình vi phân chuyển động của hệ các chất điểm và các vật rắn chịu liên kết hình học ở dạng tọa độ suy rộng đủ với số phương trình đúng bằng số bậc tự do của hệ. Với cơ hệ f bậc tự do có các toa độ suy rộng đủ [q1,q2,…,qf],: d L L d T T Qkt Qkt , (i 1, 2,..., f ) dt q q i dt q q q i i i i i i Động năng của 1 số trường hợp 1 Vật rắn tịnh tiến T mv2 2 C 1 Vật rắn quay quanh trục z cố định T I 2 2 z Vật rắn chuyển động phẳng 1 1 T mv2 I 2 2 C 2 Cz Department of Applied Mechanics 8
Page 9
Phương trì nh Lagrange loạ i 2 Quy trình giải bài toán với phương trình Lagrange loại 2 Phương trình Lagrange loại 2: d L L d T T Qkt Qkt , (i 1, 2,..., f ) dt q q i dt q q q i i i i i i 1. Phân tích cơ hệ : - số chất điểm, vật rắn và các chuyển động của chúng - các lực hoạt động - số bậc tự do và chọn các tọa độ suy rộng đủ 2. Tính động năng của các chất điểm và các vật rắn 3. Biểu diễn các đại lượng động học theo các tọa độ suy rộng 4. Tính động năng tổng cộng của cả cơ hệ 5. Tính các đạo hàm (3f đạo hàm) 6. Tính các lực suy rộng (3+1 phương pháp) 7. Viết phương trình Lagrange loại 2 8 Viết các tích phân đầu (nếu có) Department of Applied Mechanics 9
Page 10
Phương trì nh Lagrange loạ i 2 Ví dụ: Phương trình Lagrange loại 2 Lập PTVP CĐ cho con lắc vật lý y Hệ 1 bậc tự do, f = 1. Chọn tọa độ suy rộng q = IO O u a1=OC Động năng và thế năng hệ: C 1 1 T I 2 I 2, mga cos x 2 O 2 O 1 mg Lực suy rộng không thế Qkt u Phương trình Lagrange loại 2 Tính các đạo hàm d T T Qkt T T d T dt 0, I , I O dt O Phương trình vi phân chuyển động: mga sin 1 I mga sin u O 1 Department of Applied Mechanics 10
Page 11
Phương trì nh Lagrange loạ i 2 Ví dụ: Phương trình Lagrange loại 2 Hãy sử dụng phương trình Lagrange loại 2 thiết lập phương trình vi x x 1 2 phân chuyển động cho hệ. F(t) 1. Hệ hai bậc tự do f =2. m 2 2. Chọn tọa độ suy rộng đủ: x và x mô tả dịch chuyển hai vật. k m k k 1 1 2 3 1 2 3. Biểu thức động năng, thế năng của hệ có dạng Hệ dao động 2 bậc tự do 1 1 1 1 1 T = m x2 + m x2 & = k x2 + k (x − x )2 + k x2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2 1 2 3 2 4. Tính lực suy rộng của các lực không thế x Qkt = F t( ) 1 = F t( ), Qkt = 0 1 x 2 1 5. Tính các đạo hàm T d T T = m x , = m x , = 0, = (k + k )x − k x x 1 1 dt x 1 1 x x 1 2 1 2 2 1 1 1 1 Department of Applied Mechanics 11
Page 12
Phương trì nh Lagrange loạ i 2 Ví dụ: Phương trình Lagrange loại 2 (…) 5. Tính các đạo hàm 1 1 x x T = m x2 + m x2 1 2 2 1 1 2 2 2 F(t) T d T 1 1 1 = m x , = m x , = k x2 + k (x − x )2 + k x2 m 1 1 1 1 2 1 1 2 2 2 1 2 3 2 2 x dt x k m k k 1 1 1 2 3 T 1 = 0, = (k + k )x − k x x x 1 2 1 2 2 Hệ dao động 2 bậc tự do 1 1 T d T T = m x , = m x , = 0, = −k x + (k + k )x x 2 2 dt x 2 2 x x 2 1 2 3 2 2 2 2 2 6. Viết phương trình Lagrange loại 2 cho hệ. d T T Qkt , (i 1, 2) dt x x x i i i i m x + (k + k )x − k x = F t( ) m 0 x k + k −k x F t( ) 1 1 1 2 1 2 2 1 1 + 1 2 2 1 = m x − k x + (k + k )x = 0 0 m x −k k + k x 0 2 2 2 2 3 2 2 2 2 1 2 3 2 Department of Applied Mechanics 12
Page 13
Phương trì nh Lagrange loạ i 2 Ví dụ: Phương trình Lagrange loại 2 Mô hình cơ học của tay máy phẳng hai bậc tự do gồm B khâu 1 tịnh tiến theo phương ngang, khâu 2 nối với m , I khâu 1 bằng khớp quay A – trục khớp nằm ngang, y g 2 C2 0 khoảng cách C A= d. Khâu 1 có khối lượng m trượt x d l C 1 1 C2 2 không ma sát trên nền ngang dưới tác dụng của lực A ngang u . Khâu 2 có khối lượng m , khối tâm C , khoảng u x C 0 1 2 2 O 1 1 cách AC2 = lC2, mômen quán tí nh khối đối với trục ngang m qua C là I . Tại khớp quay A có mômen u tác dụng. 1 u 2 C2 2 2 Tay máy 2 bậc tự do Sử dụng PT Lagrange loại 2 để thiết lập phương trình vi phân chuyển động cho tay máy với các tọa độ suy rộng cho tay máy là x và . Department of Applied Mechanics 13
Page 14
Phương trì nh Lagrange loạ i 2 Lời giải 1. Số bậc tự do f=2. 2. Chọn tọa độ suy rộng đủ: x và B m , I 3. Biểu thức động năng, thế năng của hệ có dạng y g 2 C2 0 1 1 1 x d l C C2 2 T = m (v )2 + m (v )2 + I 2 A 2 1 C 1 2 2 C 2 2 C 2 2 x O u C 0 1 1 Tọa độ khối tâm và vận tốc góc các khâu: m 1 u x = x, y = 0 v = x, = 0, 2 C1 C 1 C 1 1 Tay máy 2 bậc tự do x = x + d + l cos x = ..., C2 C 2 C 2 y = l sin y = ..., = C2 C 2 C 2 2 (v )2 = x2 + y2 = x2 − 2l x sin + l2 2 C 2 C 2 C 2 C 2 C 2 Biểu thức thế năng 1 1 T = (m + m )x2 − m l x sin + (I + m l2 )2 = m gl sin 2 1 2 2 C 2 2 C 2 2 C 2 2 C 2 Department of Applied Mechanics 14
Page 15
Phương trì nh Lagrange loạ i 2 Lời giải (…) 4. Tính lực suy rộng của các lực không thế B A F( kt ) = u x + u Qkt = u , Qkt = u m , I k 1 2 x 1 2 y g 2 C2 0 5. Tính các đạo hàm x d l C C2 2 T A x 0, 0, u C 0 x x O 1 1 T m u (m m )x m l sin , 1 2 x 1 2 2 C 2 Tay máy 2 bậc tự do d T (m m )x m l ( sin 2 cos ) dt x 1 2 2 C 2 T T m gl cos , m l x cos , m l x sin (I m l2 ) , 2 C 2 2 C 2 2 C 2 C 2 2 C 2 d T m l (x sin x cos ) (I m l2 ) dt 2 C 2 C 2 2 C 2 Department of Applied Mechanics 15
Page 16
Phương trì nh Lagrange loạ i 2 Lời giải (…) B m , I y g 2 C2 0 6. Phương trì nh vi phân chuyển động x d l C C2 2 A x (m m )x m l sin m l 2 cos u , u C 0 O 1 1 2 2 C 2 2 1 1 m l sin x (I m l2 ) m gl cos u . m u 1 2 C 2 C 2 C 2 2 C 2 2 2 Tay máy 2 bậc tự do Phương trình PVCĐ ở dạng ma trận q x, q 1 2 m m m l sinq q m l q2 cosq u 1 2 2 C 2 2 1 2 C 2 2 2 1 m l sinq I m l2 q m gl cosq u 2 C 2 2 C 2 2 C 2 2 2 C 2 2 2 Department of Applied Mechanics 16
Page 17
Phương trì nh Lagrange loạ i 2 Bài tập: Phương trình Lagrange loại 2 Mô hì nh cầu trục cù ng với tải trọng được cho như hì nh vẽ. Xe A có x khối lượng m chuyển động trên đường ngang, lò xo có độ cứng k, cản 1 k nhớt hệ số c. Dây AB có chiều dài l, khối lượng không đáng kể và luôn căng. Tải trọng được coi như chất điểm có khối lượng m . m1 F(t) 2 A c l Thiết lập phương trì nh vi phân chuyển động với các tọa độ suy rộng x và B m2 Bài tập về nhà Department of Applied Mechanics 17
Page 18
Phương trì nh Lagrange loạ i 2 Các tích phân đầu của chuyển động - first integrals of motion Phương trình vi phân chuyển động của hệ f bậc tự do d T T f q( ,..,q ,q ,..,q ,q ,..,q ) Qkt Qkt , (i 1, 2,..., f ) (1) dt q q q i i 1 f 1 f 1 f i i i i (Hệ f phương trình vi phân cấp 2 đối với các tọa độ suy rộng) Định nghĩa tích phân đầu. Nếu có thể tìm được các hàm C (q ,...,q ,q ,...,q )mà k 1 f 1 f d C (q ,...,q ,q ,...,q ) 0 [ đạo hàm C () dọc quỹ đạo (1) ] dt k 1 f 1 f k với (q ,...,q ,q ,...,q ) thỏa mãn phương trình (1), thì biểu thức 1 f 1 f C (q ,...,q ,q ,...,q ) C const, (k 1, 2,...) k 1 f 1 f k là tích phân đầu của PTVP CĐ (1). Department of Applied Mechanics 18
Page 19
Phương trì nh Lagrange loạ i 2 Các tích phân đầu của chuyển động - first integrals of motion (…) Ví dụ về tích phân đầu. Ta xét hệ dao động khối lượng-lò xo. q Phương trình vi phân chuyển động của hệ k mq + kq = 0 (1) m Xét hàm C q q( , ) = 0.5(mq2 + kq2) Hệ khối lượng – lò xo Đạo hàm theo thời gian với chú ý đến ( 1) d C q q( , ) = mqq + kqq mq = −kq dt d C q q( , ) = mqq + kqq = q(−kq) + kqq = 0 dt Vậy ta có được tích phân đầu của hệ (1) như sau C q q( , ) = 0.5(mq2 + kq2) = const Department of Applied Mechanics 19
Page 20
Phương trì nh Lagrange loạ i 2 Các tích phân đầu của chuyển động: 2 dạ ng cơ bản trong các cơ hệ Tích phân năng lượng. Nếu hệ là bảo toàn ta có C (q ,..,q ,q ,..,q ) T C const 1 1 f 1 f 1 Tích phân cyclic. Nếu một tọa độ suy rộng nào đó thỏa mãn T Tọa độ q được gọi là tọa độ cyclic. 0, Q Qkt 0 q k q k k k k d T T Qkt dt q q q k k k k d T T 0 C ( ,q q) C const dt q q 2 2 k k Là tích phân cyclic. Department of Applied Mechanics 20
Showing the first 20 pages. Download the document to see it all.
Comments (0)
No comments yet. Be the first!