Chương 5: Ánh xạ tuyến tính

LI
lienhejb
0 downloads
25
0

Generating preview...

Next by this authorChương 4: Hệ phương trình tuyến tínhPrevious in courseChương 3: ma trận và định thứcNext in courseChương 4: Hệ phương trình tuyến tính

Document content

Trang 1

CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH  Ánh xạ tuyến tính (phép biến đổi tuyến tính) từ một không gian véc 5.1 KHÁI NIỆM ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH tơ vào không gian véc tơ là ánh xạ bảo toàn phép cộng véc tơ và 5.1.1 Định nghĩa và ví dụ phép nhân một số với véc tơ. f V W  Ánh xạ từ không gian véc tơ vào không gian véc tơ thoả mãn  Nhà toán học Peano (Italia) là người đầu tiên đưa ra khái niệm ánh với mọi u, v V,  : xạ tuyến tính (1888).  Tương ứng giữa ánh xạ tuyến tính và ma trận của nó là một đẳng f u( v)  f u( ) f v( )  cấu bảo toàn phép cộng, phép nhân một số với ma trận và phép  f(u)  f u( )  nhân hai ma trận.  Hạng của ánh xạ tuyến tính bằng hạng của ma trận của nó. được gọi là ánh xạ tuyến tính (đồng cấu tuyến tính hay gọi tắt là đồng cấu) từ V vào W.  Chính vì lý do này nên một bài toán về ma trận, hệ phương trình tuyến tính có thể giải quyết bằng phương pháp ánh xạ tuyến tính và  Khi V W thì f được gọi là tự đồng cấu. ngược lại. 10/08/2023 1 10/08/2023 2 CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Ví dụ 5.1 Sử dụng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cọng ma 1) Ánh xạ không 0 :V  W trận và tính chất kết hợp của phép nhân thể kiểm tra được đẳng thức u  0( )u  0 2) Ánh xạ đồng nhất Id :V  V  x  x '  x  x '   x  x  V u  Id ( )u  u   1  1  1  1    1  1 V               A        A   A   A     A   3) Phép vị tự tỷ số k   f :V  V                 x  x '  x  x '   x  x  u  f u( )  ku  n   n   n   n   n   n  4) Tương ứng f : n  m Do đó tương ứng xác trong 4) là một ánh xạ tuyến tính (x ,...,x )  f x( ,...,x )  (y ,...,y ) 1 n 1 n 1 m y  x  Ngược lại ta có thể chứng minh được mọi ánh xạ tuyến tính từ n vào  1   1  Xác định bởi     a     là một ánh xạ tuyến tính. m đều có dạng như trên.    ij mn   y  x   m   n  2), 3) là tự đồng cấu. 10/08/2023 3 10/08/2023 4 1

Trang 2

CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Như vậy ánh xạ tuyến tính f : n  m 5) Phép quay góc  (x ,...,x )  f x( ,...,x )  (y ,...,y ) 1 n 1 n 1 m 2 2 f v( )  (X Y, ) f :    Có công thức xác định ảnh cho bởi hệ phương trình tuyến tính theo  tọa độ ( ,x y)  f x y( , )  (X Y, ) v  ( ,x y) y  a x a x a x  1 11 1 12 2 1n n ..... ... ... ... ..... ... ... ... ..... ...  i y  a x a x a x X iY  e (x iy)  (cos i sin)(x iy)  m m1 1 m2 2 mn n Chẳng hạn f :3  2 X  iY  (x cos  y sin)  i x( sin  y cos) f x y z( , , )  (2x 3y z, 4x  3 )z là một ánh xạ tuyến tính  f x y( , )  (x cos y sin , x sin y cos) f x y z( , , )  (2x2 3 , 4y x y  3z  5) không phải ánh xạ tuyến tính Vậy phép quay góc  là một ánh xạ tuyến tính. f x y z( , , )  (2 x  3 , 4y x y  3 )z không phải ánh xạ tuyến tính 10/08/2023 5 10/08/2023 6 CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 5.1.2. Tính chất Định lý 5.3 Mỗi ánh xạ tuyến tính V vào W hoàn toàn được xác định Định lý 5.1 bởi ảnh một cơ sở của V. Ánh xạ f :V W là một ánh xạ tuyến tính khi và chỉ khi với mọi Nghĩa là với cơ sở B {e , … , e } cho trước của V, 1 n u,v V;, : khi đó với mỗi hệ véc tơ u , … , u  W: 1 n f(u  v)  f( )u  f( ).v Tồn tại duy nhất ánh xạ tuyến tính f :V W sao cho Chú ý: Định lý 5.1 cho phép ta kiểm tra một ánh xạ có phải tuyến tính hay không f e( )  u , i  1,...,n. bằng cách kiểm tra một điều kiện thay vì kiểm tra hai lần như trong định nghĩa. i i  Tồn tại: Định lý 5.2 Nếu f:V W là một ánh xạ tuyến tính thì v V : v  x e   x e Đặt f v( )  x u   x u W 1 1 n n 1 1 n n f là ánh xạ tuyến tính thỏa mãn: f e( )  u ;i  1,...,n ( )i f(0)  0 i i  Duy nhất: (ii) v V : f(v)  f v( ) Giả sử g :VW là ánh xạ tuyến tính thỏa mãn:g e( )  u ;i  1,...,n i i  n  n v V : g v( )  g x e(  ...  x e )  x g e( )  ...  x g e( )  x u  ...  x u  f v( ) (i ii ) v ,...,v V; ,...,   : f  v    f(v ). 1 1 n n 1 1 n n 1 1 n n 1 n 1 n  i i  i i g  f. i1 i1 Vậy 10/08/2023 7 10/08/2023 8 2

Trang 3

CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Ví dụ 5.2 Cho ba véc tơ u  (5, 2), u  ( 3, 7), u  (4,1)  2 1 2 3 Ví dụ 5.3 Giả sử f :V W là một đồng cấu tuyến tính. Tìm công thức xác định ảnh của ánh xạ tuyến tính f : 3  2 Chứng minh rằng f toàn ánh khi và chỉ khi tồn tại đồng cấu g:W V sao cho f g(v)v,vW. thỏa mãn điều kiện f(1, 0, 0)  u , f(0,1, 0)  u , f(0, 0,1)  u 1 2 3 3 Chứng minh: Ta có v  ( , , )x y z   : v  x(1, 0, 0)y(0,1, 0)z(0, 0,1)  Nếu tồn tại g:W V sao cho f g(v)v,vW thì f g toàn ánh do f v( )  xf(1, 0, 0)yf(0,1, 0) zf(0, 0,1) đó f toàn ánh.  x(5,2)y(3, 7)z(4,1)  (5x 3y  4 , 2z x 7y z)  Ngược lại, nếu f là một toàn ánh, B  {e , … , e } là một cơ sở củaW . 1 n Hệ quả 5.4 f,g:V W là hai ánh xạ tuyến tính Từ tính chất toàn ánh của f suy ra tồn tại u1,…,unV sao cho B {e , … ,e } là một cơ sở của V f u( )  e ,i  1,...,n. 1 n i i f  g  f e( )  g e( ); i  1,...,n. Xét ánh xạ tuyến tính g :W V xác định bởi g e( )  u ,i  1,...,n. Khi đó i i i i n n n Dễ dàng thấy f  g e( )  e ,i  1,...,n. do đó f  g v( )  v,v W. Chứng minh: v V v,  x e : f v( )  x f e( )  x g e( )  g v( ). i i i i i i i i i1 i1 i1 10/08/2023 9 10/08/2023 10 CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 5.1.3 Các phép toán trên các ánh xạ tuyến tính Với hai phép toán này thì Hom(V,W) có cấu trúc không gian véc tơ Tương tự các phép toán cọng hàm số, nhân một số với hàm số ta có dim Hom(V W, )  dimV  dimW thể định nghĩa các phép toán với các ánh xạ tuyến tính. 5.1.3.1 Hom(V,W ) Ví dụ 5.4:  Tập các ánh xạ tuyến tính từ V vào W được ký hiệu là Cho hai ánh xạ tuyến tính f, g: 3  2 có công thức xác định ảnh: Hom(V,W) hay L(V,W) f x y z( , , )  (3x 5y 2 , 4z x y 6 )z Với mọi f,g Hom(V,W), với mọi k  . g x y z( , , )  (2x  6y 7 ,z x 5 )z  Ta định nghĩa phép cộng hai ánh xạ tuyến tính bởi công thức  (3 )( , , )f x y z  3 ( , , )f x y z  (9x 15y 6 ,12z x  3y 18 )z (f  g)( )v  f v( ) g v( ), v V. (2 )( , , )g x y z  2 ( , , )g x y z  (4x 12y 14 ,2z x 10 )z  Phép nhân một số với ánh xạ tuyến tính bởi công thức (kf )( )v  kf v( ),v V.  (3f 2 )( , ,g x y z)  (5x 27y 20 ,10z x  3y 8 ).z 10/08/2023 11 10/08/2023 12 3

Trang 4

CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 5.1.3.2 EndV Cho f EndV và đa thức bậc n: p t( )  a a t a tn 0 1 n  Tập các tự đồng cấu củaV, ký hiệu EndV. Ta ký hiệu và gọi đa thức của f là: p f( )  a Id a f a fn 0 V 1 n  Với phép cộng hai ánh xạ tuyến tính và nhân một số với ánh xạ Trong đó: fn  f    f ,f 0  Id , f1  f  V tuyến tính thì EndV là một không gian véc tơ . n lÇn dim EndV  (dimV) .2 Ví dụ 5.4: Cho ánh xạ tuyến tính f : 2  2 có công thức xác định ảnh f x y( , )  (3x 5 , 4y x y).  Mặt khác hợp của hai ánh xạ tuyến tính cũng là một ánh xạ tuyến tính. Tìm công thức xác định ảnh của p(f) với p t( )  50  9t  2t2. Ví dụ 5.4: Tìm công thức xác định ảnh của ff , trong đó f : 2  2 Ta có: f2( ,x y)  ( 11x 20 ,16y x 19 )y f x y( , )  (3x 5 , 4y x y)  p f( )( ,x y)  (50 Id 9f 2f2)( ,x y) V    50( ,x y)9(3x 5 , 4y x y)2(11x 20 ,16y x 19 )y f  f x y( , ) 3(3x 5 )y 5(4x y), 4(3x 5 )y (4x y)  ( 11x 20 ,16y x 19 )y  (50x 27x 45y 22x 40 , 50y y 36x 9y 32x 38 )y  (x 5 ,y 4x 3 ).y 10/08/2023 13 10/08/2023 14 CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 5.2 NHÂN VÀ ẢNH CỦA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH  f(V) W f. là không gian véc tơ con của được gọi là ảnh của Định lý 5.5 Giả sử f :V W là một ánh xạ tuyến tính, khi đó: Ký hiệu Im f. a) Nếu V1 là không gian con củaV thì f (V1) là không gian con của W . Im f  f V( )  u W v V : u  f v( ) . S là một hệ sinh của V thì f(S) là một hệ sinh của f(V1). 1 Do đó dim f V( )  dimV .  S là một hệ sinh củaV thì f (S) là một hệ sinh của Imf. 1 1 Chứng minh: u ,u  f V( );v ,v V : u  f v( ),u  f v( ) Đặc biệt nếu B {e , … ,e } là một cơ sở củaV thì {f(e ),…, f(e )} 1 2 1 1 1 1 1 1 2 2 1 n 1 n  ,  : u  u  f v( ) f v( )  f(v  v )  f V( ) là một hệ sinh của Imf. 1 2 1 2 1 2 1 u  f V( );v V : u  f v( ) V  spane ,...,e  v  x v ...x v Do đó mọi hệ con độc lập tuyến tính tối đại của {f(e ),…, f(e )} là 1 1 1 1 n 1 1 n n 1 n  u  f v( )  f x e( 1 1 ...x en n)  x f e1 ( 1)...xnf e( n) một cơ sở của Imf.  f V( )  spanf e( ),..., f e( ) . 1 1 n 10/08/2023 15 10/08/2023 16 4

Trang 5

CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 1 Cho ánh xạ tuyến tính f :V W. Nhân, ảnh và hạng của f được b) Nếu W1 là không gian con của W thì f (W1) là không gian con củaV . định nghĩa và ký hiệu như sau. Đặc biệt f 1(0) là một không gian véc tơ con của V. W  f (V) 1  Nhân của f : Ker f  f1 0 v V f v( )  0V. ngoài ra nếu 1 thì dimW  dim f (W ). 1 1 1 v V : v  Ker f  f v( )  0. Chứng minh: v ,v  f (W );  ,  1 2 1 f(v  v )  f v( ) f v( ) W  v  v  f 1(W ). 1 2 1 2 1 1 2 1  Ảnh của f : Im f  f V( )  u W v V : u  f v( )W. Giả sử {u1, … ,un} là một hệ con độc lập tuyến tính củaW1 W  f V( )  v ,...,v  f1(W ):f v( )  u ,i  1,...,n u W : u  Im f  v V : u  f v( ). 1 1 n 1 i i  v   v  0  f( v   v )  0 1 1 n n 1 1 n n   u   u  0    ...    0  Hạng của f : r f( )  dim mI f. 1 1 n n 1 n Hệ véc tơ {v , … ,v }độc lập tuyến tính của f 1(W1) 1 n  dimW  dim f1(W ). 10/08/2023 1 1 17 10/08/2023 18 CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Trường hợp ánh xạ tuyến tính f : n  m Định lý 5.6 Với mọi ánh xạ tuyến tính f :V W ta có (x ,...,x )  f x( ,...,x )  (y ,...,y ) 1 n 1 n 1 m dimV  r f( ) dim Ker f. Có công thức xác định ảnh cho bởi hệ phương trình Giả sử {e ,...,e } là một cơ sở của Ker f (khi Ker f  { }0 thì m  0 ).  1 m y  a x a x a x Ta có thể bổ sung thêm để{e ,...,e ,e ,...,e }là một cơ sở của V;dim(V)  m k.  1 11 1 12 2 1n n 1 m m1 mk ..... ... ... ... ..... ... ... ... ..... ... (*) Ta sẽ chứng minh { (f e ),..., f e( )} là một hệ sinh độc lập tuyến tính của Imf (do  m1 mk y  a x a x a x . đó là một cở sở của Imf)  dim(Im f)  k  dim(V)  m k  dim Ker f r f( )  m m1 1 m2 2 mn n Chứng minh hệ sinh  Ảnh của f : u  (y ,...,y )  m : u  Im f  u  Im f, v V : u  f v( );v  x e ...x e x e ...x e 1 m 1 1 m m m1 m1 mk mk khi và chỉ khi hệ phương trình (*) có nghiệm. u  f v( )  x f e( )...x f e( )x f e( )...x f e( ) 1 1 m m m1 m1 mk mk  u  x f e( )...x f e( ) m1 m1 mk mk  Nhân của f : v  (x ,...,x )   :v  Ker f Chứng minh độc lập 1 n   f e( )...  f e( )  0   e ...  e  Ker f khi và chỉ khi (x ,...,x ) là nghiệm của hệ phương trình thuần nhất 1 m1 k mk 1 m1 k mk 1 n   e ...  e   e ...  e tương ứng với hệ phương trình (*). 1 m1 k mk 1 1 m m  e ...  e  e ... e  0   ...      ...    0. 1 m1 k mk 1 1 m m 1 k 1 m 10/08/2023 19 10/08/2023 20 5

Trang 6

CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Ví dụ 5.5 2 1 3 5 a 1 0 3 6 c  1 0 3 6 c        f : 4  3 3 2 3 4 b0 1 3 7 a 2c  0 1 3 7 a 2c  Cho ánh xạ tuyến tính   có công thức xác định ảnh:       1 0 3 6 c 0 1 3 7 b a c 0 0 0 0 b 2a c f x y z t( , , , )  (2x y  3z  5 , 3t x 2y  3z  4 ,t x  3z  6 ).t       Hệ phương trình có nghiệm khi b 2a c  0  b  2a c Tìm một cơ sở của Im f, Ker f. Từ đó suy ra hạng r ( f ). u  ( , , )a b c  Im f  u  ( ,2a a c c, )  a(1, 2, 0)c(0,1,1) Giải: ( , , )a b c  Im f  ( , , , )x y z t 4 : ( , , )a b c  f x y z t( , , , ) Vậy Im f có một cơ sở là (1,2, 0);(0,1,1) . Hạng r(f ) 2. Nói cách khác ( , , )a b c  Im f khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm v  ( , , , )x y z t  Ker f khi và chỉ khi (x,y,z,t) là nghiệm của hệ phương trình 2x y 3z 5t  a   2x y 3z 5t  0   3x 2y 3z 4t b  x 3z 6t  0 x  3z 6t  3x 2y 3z 4t  0        y 3z 7t  0 y  3z 7t  x 3z 6t  c  x 3z 6t  0    v  ( , , , )x y z t  ( 3z 6 ,t 3z 7 , , )t z t  z(3,3,1, 0)t(6,7, 0,1) Sử dụng phương pháp khử Gauss ta có thể tìm điều kiện để hệ phương trình có nghiệm. Vậy Kerf có một cơ sở là (3, 3,1, 0); (6, 7, 0,1) 10/08/2023 21 10/08/2023 22 CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Nhận xét 5.1: 5.3.TOÀN CẤU, ĐƠN CẤU, ĐẲNG CẤU Cho ánh xạ tuyến tính f :V W và B {e , … , e } là một cơ sở của V. 5.3.1Toàn cấu 1 n Có thể chứng minh được {f(e ),…, f(e )} là một hệ sinh của Imf. Ánh xạ tuyến tính và toàn ánh được gọi là toàn cấu. 1 n Do đó mọi hệ con độc lập tuyến tính tối đại của {f(e ),…, f(e )} là cơ Giả sử f :V W là một ánh xạ tuyến tính. 1 n sở của Imf. Ba mệnh đề sau tương đương: (i) f toàn cấu, Ánh xạ f trong Ví dụ 5.5 có hạng r(f )2, do đó hai véc tơ không tỷ lệ (ii) Ảnh của hệ sinh của V là hệ sinh của W, của Imf là một cơ sở của Imf.   (iii) r(f)dimW. Vì vậy ngoài cơ sở (1,2, 0), (0,1,1) , hai véc tơ cột bất kỳ của ma trận (i)  (ii): S là hệ sinh của V thì f(S) là một hệ sinh của f(V) và f(V)=W do đó 2 1 3 5 đều là cơ sở của Imf. Chẳng hạn: f(S) là một hệ sinh của W.           3 2 3 4 (2, 3,1),(1,2, 0) ; (2, 3,1),(1,1,1) ; (2, 3,1),(5, 4, 6) ... (ii)  (i): Giả sử e ,...,e là một cơ sở của V thì f (e1),..., f (en ) là 1 n 1 0 3 6 hệ sinh của W W  spanf (e ),..., f (e ) f V( )  f toàn cấu   là các cơ sở của Imf. 1 n (i) (iii) : f V( ) W  dim f V( ) dimW  r f( ) dimW. 10/08/2023 23 10/08/2023 24 6

Trang 7

CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 5.3.2 Đơn cấu Chứng minh: Ánh xạ tuyến tính đơn ánh được gọi là đơn cấu. (i)  (ii): Hiển nhiên Giả sử f :V W là một ánh xạ tuyến tính, (ii)  ( ):i f v( )  f v( ) 0  f v( ) f v( )  f v( v )v v  0v  v 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 Bốn mệnh đề sau tương đương: (ii)  (iii): Giả sử v1,…,vn độc lập (i) f đơn cấu, x ,...,x  : x f v( )...x f v( )  0  x v ...x v  Ker f  0 1 m 1 1 m m 1 1 m m (ii) Kerf {0}, x v ... x v  0  x  ...  x  0 1 1 m m 1 m (iii) Ảnh của hệ độc lập tuyến tính củaV là hệ độc lập tuyến tính Do đó f(v ),…,f(v ) độc lập của W, 1 n (vi) r(f )dimV . (iii)  (iv): Giả sử e1,…,en là một cơ sở của V thì f(v1),…,f(vn) là hệ sinh độc lập tuyến tính của f(V). Do đó r(f)  dimV. Ta luôn có {0} Kerf . Do đó Kerf {0}Kerf {0}. dimV  r f( )  dimKerf Vì vậy f là một đơn cấu khi và chỉ khi: f(v)0 v 0. (iv) ( ) :ii   dimKerf  0  Kerf   0 . dimV  r f( )   10/08/2023 25 10/08/2023 26 CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 5.3.3 Đẳng cấu Định lý 5.9  Ánh xạ tuyến tính vừa đơn cấu vừa toàn cấu được gọi là đẳng cấu. Giả sử f :V W là ánh xạ tuyến tính và dimV  dimW. Khi đó: f đơn cấu khi và chỉ khi f toàn cấu, do đó đẳng cấu.  Hai không gianV,W được gọi là đẳng cấu nếu có ánh xạ tuyến tính Nhận xét 5.2 đẳng cấu f :V W. 1. Giả sử f :V W là ánh xạ tuyến tính và dimV  dimW.  Nếu có ánh xạ tuyến tính đẳng cấu f :V W thì Để chứng minh f đẳng cấu ta chỉ cần chứng minh đơn cấu: r f( )  dimV (®¬n cÊu) f v( )  0  v  0.   dimV  dimW. r f( )  dimW (toμn cÊu) 2. Ta đã biết rằng ánh xạ từ một tập hữu hạn vào một tập hữu hạn có cùng số phần tử là đơn ánh khi và chỉ khi là toàn ánh (Chương 1). Định lý 5.8 Hai không gian V,W là đẳng cấu khi và chỉ khi Điều này cũng còn đúng đối với ánh xạ tuyến tính giữa hai không dimV  dimW. gian véc tơ có cùng số chiều. 10/08/2023 27 10/08/2023 28 7

Trang 8

CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Ví dụ 5.6 Ánh xạ tuyến tính f :2 2 xác định bởi Ví dụ 5.7 f :3 P xác định bởi Ánh xạ tuyến tính 2 f x y( , )  (2x y x, y) f x y z( , , )  (x  2y  3 )z  (2x  5y  6 )z t  (x  8 )z t2 là một đơn cấu vì    x 2y  3z  0 f x y( , )  (0, 0)  2x y x, y  (0, 0)  f x y z( , , )  0  2x  5y  3z  0 2x y  0    ( ,x y)  (0, 0)  x  8z  0 x y  0   do đó f là một đẳng cấu. 1 2 3 Ngoài ra ta cũng thấy hệ phương trình sau luôn tồn tại duy nhất 2 5 3  1 nghiệm 1 0 8  1 2x y  X x  (X Y)    3 Do đó hệ phương trình chỉ có nghiệm tầm thường. Vậy f là một x y Y  1  y  (X  2Y) đẳng cấu.  3 10/08/2023 29 10/08/2023 30 CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 5.4 ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH VÀ MA TRẬN  Trường hợp tự đồng cấu f của không gian véc tơ V. 5.4.1 Ma trận của ánh xạ tuyến tính f B V Ma trận của trong cùng một cơ sở  {e1,…,en} của được ký Giả sử f :V W là một ánh xạ tuyến tính. hiệu A    f B {e ,…,e }là một cơ sở củaV.  B 1 n B’ { ,…, }là một cơ sở của W.  Ma trận của ánh xạ tuyến tính trong cơ sở chính tắc được gọi là ma 1 m trận chính tắc. Ma trận của hệ véc tơ {f(e ),…, f(e )}trong cơ sở B’ 1 n Ví dụ 5.8 Xét ánh xạ tuyến tính f : 3  2 xác định bởi được gọi là ma trận của f trong cơ sở B và cơ sở B’. f x y z( , , )  (2x y  4 , 3z x  5 )z  B   Ký hiệu A    f  Nghĩa là A  f e( ),..., f e( )B f(1, 0, 0)  (2, 3)  2(1, 0) 3(0,1) B 1 n 2 1 4 f(0,1, 0)  (1, 0)  1(1, 0) 0(0,1) A    m 3 0 5  Vậy A  f e( ),..., f e( )  a  f e( )  a  ; j  1,...,n    1 n B  ij  j ij i mn f(0, 0,1)  ( 4, 5)  4(1, 0) 5(0,1) i1 10/08/2023 31 10/08/2023 32 8

Trang 9

CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Nhận xét 5.2 Nhận xét 5.2 Bằng cách tính toán như ví dụ trên ta có thể kiểm tra được rằng Ánh xạ tuyến tính f :P  P m1 n 1 Ánh xạ tuyến tính f :m  n với công thức xác định ảnh f b( b t b tm1)  (a b a b )(a b a b )t  0 1 m1 11 0 1m m1 21 0 2m m1 f x( ,...,x )  (a x a x ,...,a x a x ) (a b a b )tn1 1 m 11 1 1m m n1 1 nm m n1 0 nm m1 a  a  a  a   11 1m   11 1m  Có ma trận chính tắc A      Có ma trận chính tắc A           a  a  a  a   n1 nm   n1 nm  Ví dụ 5.9 Ví dụ 5.9 Ma trận chính tắc Ma trận chính tắc   Ánh xạ tuyến tính f : P  P xác định bởi 2 5 1 4  Ánh xạ tuyến tính f : 3  3 xác định bởi 1 2 2 3 2   A  3 4 7 0  A  3 1 5   f x y z( , , )  (x  2y  2 , 3z x  y  5 ,z x y  z)   f b( b t b t2 b t3)  (2b 5b b  4b )(3b  4b 7b )t 8 2 9 3   0 1 2 3 0 1 2 3 0 1 2   1 1 1 (8b 2b  9b  3b )t2 0 1 2 3 10/08/2023 33 10/08/2023 34 CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Ví dụ 5.10 B {e e } V.  1, … , n là một cơ sở của không gian véc tơ Toán tử đạo hàm D:P3 P2 là một ánh xạ tuyến tính thỏa mãn B’  {1, … ,  m} là một cơ sở của không gian véc tơ W. D(1)  1  0  0.1 0.t  0.t2 D t( )  t  1 1.1 0.t  0.t2 Định lý 5.10 Tương ứng: Hom(V W, )  M mn D t( 2)  (t2)  2t  0.12.t  0.t2  B f  A    f B D t( 3)  (t3)  3t2  0.1 0.t  3.t2 là một song ánh thỏa mãn các tính chất: Hoặc (xem Nhận xét 5.2) D a( a t a t2 a t3)  a 2a t  3a t2 B B B 0 1 2 3 1 2 3 f  g   f   g Do đó có ma trận trong cơ sở chính tắc của P và P là  B   B   B 3 2    B  B 0 1 0 0   : f B     f B A  0 0 2 0 B     ' 0 0 0 3 r f( )  r(  f B ).   10/08/2023 35 10/08/2023 36 9

Trang 10

CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH [f g]B (f g)(e ),...,(f g)(e ) B Cho hai ánh xạ tuyến tính f,g : V  f V '  g V " B là ma trận của hệ véc tơ cột trong cơ sở 1 n [ ]f B là ma trận của hệ véc tơ cột f e( ),..., f e( ) trong cơ sở B B {e , … ,e }, B’  {e’ , … ,e’ }, B”  {e” , … ,e”} lần lượt là B 1 n 1 m 1 l 1 n B    các cơ sở của không gian véc tơ V,V’,V”. [ ]g B là ma trận của hệ véc tơ cột g e( ),..., (g e ) trong cơ sở B 1 n B B B  B   m Do đó [f g]  [ ]f [ ]g Giả sử A   f  A  a  f e( )  a e ; j  1,...,n B B B  B  ij mn j ij i i1 [f ]B f e( ),...,f e( ) B B l B là ma trận của hệ véc tơ cột trong cơ sở      1 n B    g B B  b  g e( )  b e; i  1,...,m B B ki lm i ki k Do đó [f ]   [ ]f  k1 B B  m  m m  l  l  m  Hạng của ma trận [ ]f B là hạng của hệ véc tơ cột f e( ),..., f e( ) g f e( )ga ea g e( ) a b e  b a e B 1 n j  ij i ij i ij  ki k  ki ij k i1 i1 i1 k1 k1 i1 Mặt khác f V( )  spanf e( ),..., f e( )  1 n  B  B  B Vậy g  f B  BA    g B   f B. Do đó r A( )  dim f V( )  r f( ) 10/08/2023 37 10/08/2023 38 CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Khi V V’ V” và ta chọn cố định một cơ sở của V , lúc đó ta có Hệ quả 5.12 tương ứng 1-1 giữa các tự đồng cấu của V và các ma trận vuông cấp n. Cho f End(V), B là một cơ sở của V. Đăt A[ f ]B Định lý 5.11 Tương ứng: End(V)  M f là tự đẳng cấu khi và chỉ khi A khả nghịch. n f  A    f  B Ma trận của f 1 trong cơ sở B có dạng [f 1]B  A1 là một song ánh thỏa mãn các tính chất:       Hệ quả 5.13 f gB    f B    g B Giả sử p t( )  a a tn là một đa thức bậc n. 0 n   : f      f  B  B Ma trận của p f( )  a Id a fn trong cơ sở Blà 0 V n f  g    f   g  B  B  B p A( )  a I a An. 0 n r f( )  r   f .  B 10/08/2023 39 10/08/2023 40 10

Trang 11

CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH f :3 3 xác định bởi Ví dụ 5.13 Xét ánh xạ tuyến tính f :3 3 xác định bởi Ví dụ 5.13 Xét ánh xạ tuyến tính f x y z( , , )  (x 2y 2 , 3z x y  5 ,z x y z). f x y z( , , )  (x 2y 2 , 3z x y  5 ,z x y z). 1 2 2 1 2 2     f A  3 1 5 . Ma trận chính tắc của f là A  3 1 5 . Ma trận chính tắc của là       1 1 1 1 1 1    6 4 8  Cho đa thức p t( )  24t  3t2. 1   Có ma trận nghịch đảo A1   2 1 1 . 2   Ma trận chính tắc của p(f) là 4 3 5     25 2 34 p A( )  2I 4A 3A2  21 4 28 . Do đó f là một đẳng cấu và ánh xạ ngược xác định như sau   7 4 8 1   f1( , , )x y z  (6x 4y  8 ,2z x y z,4x  3y 5 ).z 2  p f( )( , , )x y z  (25x 2y  34 , 21z x  4y 28 ,z 7x  4y 8 ).z 10/08/2023 41 10/08/2023 42 CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 5.4.2 Ma trận của ánh xạ tuyến tính trong các cơ sở khác nhau B m A    f B2  a   f e( )  a  Giả sử f :V W là một ánh xạ tuyến tính    ki mn i ki k 1 i1  B  B   m T  tij B1 là ma B  e ,...,e  sang B e,...,e  của V A    f B2  aij   f e( j)  aij i trận 1 1 n 1 1 n 1 mn 1 i1 B chuyển B   B   B m B n P  p  2   ,...,  ,..., của W P  p B2 ;  p  T  t  1 e  t e   cơ sở 2 1 m 2 1 m  ki  ' i ki k  ij B j ij i ki B 2 i1 2 B 1 i1 B B m m  m  m  m  A    f B1 f e( )  a   a p      p a    là ma trận của , j ij i ij  ki k   ki ij  k 2  f 1 2 i1 i1 k1  k1i1  B B B  A    f 1 trong cơ sở ,  n  n n  m  m  n   B 1 2 f e( )  f t e   t f e( )  t a      a t  2 j  ij i  ij i ij  ki k   ki ij  k B B B B i1  i1 i1 k1  k1i1  p  2 f  1  f  1 t  1 ki B B B  ij B m n 2 2 2 1   suy ra p a  a t ; j  1,...,n; k  1,...,m PA  AT Hoặc PA  AT A  P1AT ki ij ki ij i1 i1 10/08/2023 43 10/08/2023 44 11

Trang 12

CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH  Đặc biệt nếu f là tự đồng cấu của không gian véc tơ V.  Hai ma trận A,B được gọi là đồng dạng nếu tồn tại ma trận không B B suy biến T sao cho B T 1AT.  Gọi A, A’ là ma trận của f trong hai cơ sở , ’ và T là ma trận chuyển từ cơ sở B sang B’ thì  Hai ma trận của một tự đồng cấu bất kỳ trong hai cơ sở khác nhau là đồng dạng. A T1AT.  Nếu A, B đồng dạng thì detA  detB. Vì vậy ta có thể định nghĩa  B1 B B B                định thức của một tự đồng cấu f là   f B  t B    f B t B  p B   f B t B  ij    ij   ij   ij  detf  det  f .  B 10/08/2023 45 10/08/2023 46 CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH VÀ DẠNG TOÀN PHƯƠNGCHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH VÀ DẠNG TOÀN PHƯƠNGCHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Nhận xét 5.3: Ví dụ 5.10: Cho ánh xạ tuyến tính f : 2  2; f x y( , )  (2x  y x,  3 )y a) Cho ánh xạ tuyến tính f : n  n. Viết ma trận A’ của f trong cơ sở B (1,1), (0,1). 1 Gọi T là ma trận chuyển từ cơ sở chính tắc của n sang cơ sở B . 1 Cách 1: Tính trực tiếp Gọi A là ma trận của f trong cơ sở chính tắc và A’ là ma trận của f f(1,1)  (3,2)  3(1,1)5(0,1);  3 1  B  A    trong cơ sở . Khi đó A' T1AT . 5 4 1 f(0,1)  (1,3)  1(1,1) 4(0,1).   b) Cho ánh xạ tuyến tính f : n  m. Cách 2: Áp dụng Nhận xét 5.3 Gọi T là ma trận chuyển từ cơ sở chính tắc của 2 sang cơ sở B . Gọi A m B 1 Gọi P là ma trận chuyển từ cơ sở chính tắc của  sang cơ sở 2. là ma trận của f trong cơ sở chính tắc và A’ là ma trận của f trong cơ sở Gọi T là ma trận chuyển từ cơ sở chính tắc của n sang cơ sở B . B1. 1 Gọi A là ma trận của f trong cơ sở chính tắc và A’ là ma trận của f 2 1  1 0  1 0  3 1  A   ,T    T1     A' T1AT    trong cơ sở B , B . Khi đó A'  P1AT . 1 3 1 1 1 1 5 4 1 2         <7/10/2021> (47) <7/10/2021> (48) 12

Trang 13

CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH VÀ DẠNG TOÀN PHƯƠNGCHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Ví dụ 5.11: Cho ánh xạ tuyến tính f : 3  2; ( , , )f x y z  (x y  z x,  y  z) Ví dụ 5.14 1 2 0 1 f 3 0 1 2 Viết ma trận A’ của f trong cơ sở B (0,1,1),(1,0,1),(1,1,0), B (1,1),(0,1). Tự đồng cấu tuyến tính có ma trận   1 2 B A    trong cơ sở {e1,e2,e3,e4} 2 5 3 1 Cách 1: Tính trực tiếp   1 2 1 3 f(0,1,1)  (2, 0)  2(1,1)2(0,1);  2 2 2 B f(1, 0,1)  (2, 0)  2(1,1)2(0,1);  A   . Ta tìm ma trận A’của f trong cơ sở ’{e ,e ,e ,e } 2 2 0 1 3 2 4 f(1,1, 0)  (2, 2)  2(1,1)0(0,1).       Đặt e e ,e e ,e e ,e e 1 1 2 3 3 2 4 4 Cách 2: Áp dụng Nhận xét 5.3 B f e( )  f e( ) e  3e 2e e e 2e  3e e Gọi P là ma trận chuyển từ cơ sở chính tắc của 2 sang cơ sở . 1 1 1 2 3 4 1 2 3 4 1 0 2 1 2   Gọi T là ma trận chuyển từ cơ sở chính tắc của 3 sang cơ sở B1. Gọi A là f e( )  f e( )  e  3e e  3e e e 2 3 5 1 2 3 2 3 4 2 3 4   ma trận của f trong cơ sở chính tắc và A’ là ma trận của f trong cơ sở B . A    1 f e( )  f e( )  2e  5e 2e  2e  5e 2e 3 1 0 2   3 2 1 3 4 1 2 4         0 1 1   1 1 2 3 1 1 1  1 0  1 0    2 2 2        A  ,P   ,P1   ,T  1 0 1  A  P1AT   . f e( )  f e( ) e 2e e  3e e e 2e  3e 1 1 1 1 1 1 1   2 2 0 4 4 1 2 3 4 1 2 3 4       1 1 0     <7/10/2021> (49) 10/08/2023 50 CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Hoặc áp dụng công thức A T1AT 2 3 3 2 Ví dụ 5.15 Hai ánh xạ tuyến tính f :   g :    Gọi T là ma trận chuyển cơ sở B {e ,e ,e ,e } 1 2 3 4 g x y z( , , )(x2y5 ,3z x4 )y B f x y( , )  (x 2 ,y x,3x  4 )y sang cơ sở ’ {e1,e3,e2,e4}  1 2 1 0 0 0 1 0 0 0   1 2 5   1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0   Ma trận chính tắc của f và g: A   1 0  B    0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0   3 4 0  T     T 1       0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 3 4      0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1       14 22         Ma trận chính tắc của gf : BA    1 0 0 011 22 00 11 11 00 00 00 11 00 22 11 7 6            0 0 1 0 33 00 11 22 00 00 11 00 32 31 05 21 A T1AT   AT           0 1 0 0 22 55 33 11  00 11 00 00 23 31 50 12 14 22          0 0 0 1 11 22 11 33 00 00 00 11 11 11 22 33 Định thức: det(g  f)   70.             7 6 10/08/2023 51 10/08/2023 52 13

Trang 14

CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH n m m 5.4.3 Biểu thức tọa độ của ánh xạ tuyến tính v  x e f e( )  a  f v( )  y  i i i ki k k k Giả sử f :V W là một ánh xạ tuyến tính. i1 k1 k1 n n  m  m  n  n f v( )  x f e( )  x a      a x   y  a x B {e , … ,e } là một cơ sở của V. i i i  ki k   ki i  k k ki i 1 n i1 i1 k1  k1i1  i1 B’ { , … , }là một cơ sở của W. Biểu thức tọa độ của ánh xạ tuyến tính f trong cơ sở B và B’ 1 m (x ,…,x )  (v)B là tọa độ của v V trong cơ sở B .  Dạng ma trận     1 n y  x   1     1     B   (y ,…, y ) (f (v))B là tọa độ của f (v)W trong cơ sở B’.     a     f v( )B    f B   v B 1 m ’   ij mn   B y  x      B B’  m   n    f B  a  là ma trận của f trong cơ sở , . ij mn  Dạng hệ phương trình y  a x a x a x n  1 11 1 12 2 1n n m m  v  x ei i f e( )  a  f v( )  y  .            i ki k k k  i1 k1 k1 y  a x a x a x m m1 1 m2 2 mn n 10/08/2023 53 10/08/2023 54 CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 5.4.4 Ánh xạ tuyến tính và hệ phương trình tuyến tính Giả sử f : V W là một ánh xạ tuyến tính B {e , … ,e } là một cơ sở của V. 1 n Từ biểu thức tọa độ của ánh xạ tuyến tính viết dưới dạng hệ B ’  { , … , } là một cơ sở của W. phương trình tuyến tính 1 m  Tìm Im f : b W, b  b  b  . 1 1 m m y  a x ... a x a x ...a x b  1 11 1 1n n  11 1 1n n 1 ................................. b  Im f  Hệ phương trình.................................. có nghiệm   y  a x  ...a x am1 1x ...amnxn bm  m m1 1 mn n  Tìm Ker f : v  x e  x e V. 1 1 n n Cho phép giải quyết các bài toán về ánh xạ tuyến tính thông qua hệ v Ker f khi và chỉ khi (x1,… ,xn) là nghiệm của hệ phương trình phương trình tuyến tính và ngược lại. tuyến tính thuần nhất: a x ...a x  0  11 1 1n n ..............................  a x ...a x  0. m1 1 mn n 10/08/2023 55 10/08/2023 56 14

Trang 15

CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH f : P  P xác định bởi q b b t b t2  Im f  p  a a t a t2 a t3 : f p( )  q Ví dụ 5.16 Cho ánh xạ tuyến tính 0 1 2 0 1 2 3 3 2 a  f a( a t a t2 a t3)  (5a  2a 3a a )(4a a 2a  3a )t b  5 2 3 1   0 Điều này tương5a 2a 3a a b 0 1 2 3 0 1 2 3 0 1 2 3  0   a   0 1 2 3 0 (a a a 2a )t2. b   4 1 2 3   1  đương hệ 4a a 2a  3a b 0 1 2 3  1   a   0 1 2 3 1      2  phương trình  b  1 1 1 2    a  a  a 2a b Đặt f a( a t a t2 a t3)  b b t b t2. 2 a  sau có nghiệm  0 1 2 3 2 0 1 2 3 0 1 2  3 5 2 3 1 b  1 1 1 2 b  2 1 0 7 2b b  Biểu thức tọa độ của f trong cơ sở chính tắc có dạng ma trận  0  2   2 1  4 1 2 3 b   3 0 1 5 b b    3 0 1 5 b b   1  1 2   1 2  1 1 1 2 b  0 0 0 0 b b b   0 0 0 0 b b b     2   2 1 0  2 1 0     a   b 5 2 3 1 0 Dạng b  5a 2a 3a a  0   a   0 0 1 2 3 Vậy hệ phương trình có nghiệm khi b b b  0  b  b b . b   4 1 2 3   1 phương b  4a a 2a  3a 2 1 0 0 1 2  1   a   1 0 1 2 3 q b b t b t2  Im f  q  (b b )b t b t2 b (1t)b (1t2). b  1 1 1 2  2  trình b  a  a  a 2a 0 1 2 1 2 1 2 1 2  2     a   2 0 1 2 3  3 Vậy Im f có một cơ sở là q  1t q,  1t2. 1 2 10/08/2023 57 10/08/2023 58 CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Ngoài ra có thể tìm cơ sở của Imf như sau: Tương tự p  a a t a t2 a t3  Ker f 0 1 2 3 5a 2a 3a a  0  0 1 2 3 Ta đã chứng minh được {f(1), f(t),f(t2), f(t3)} là một hệ sinh của Imf. khi và chỉ khi a ,a ,a ,a là nghiệm (*) 4 a a 2a  3a  0 0 1 2 3  0 1 2 3 của hệ phương trình thuần nhất:  Do đó mọi hệ con độc lập tuyến tính tối đại của  a  a  a 2a  0 0 1 2 3 {f(1), f(t),f(t2),f(t3)} là một cơ sở của Imf. 5 2 3 1            5 2 3 1  0 0 0 0   0 0 0 0   0 0 0 0  A  4 1 2 3            4 1 2 3   4 1 2 3    4 1 2 3    2 1 0 7 Ma trận chính tắc của f có hạng bằng 2, do đó hai   1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 3 0 1 5 3 0 1 5 véc tơ cột độc lập bất kỳ của ma trận A đều là cơ   Imf 2a a 7a  0 a  2a  7a sở của . (*)   0 1 3   1 0 3  3a a  5a  0 a  3a  5a Vậy Imf có các cơ sở là  0 2 3  2 0 3 p  a a t a t2 a t3  Ker f {q ,q };{q ,q };{q ,q };{q ,q };{q ,q };{q ,q }. 0 1 2 3 1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4  p  a (2a  7a )t (3a 5a )t2 a t3 trong đó 0 0 3 0 3 3  p  a (12t  3t2)a (7t  5t2 t3) q  5  4t t2, q  2 t t2, q  32t t2, q  1 3t 2t2. 0 3 1 2 3 4 Vậy Kerf có một cơ sở là p  12t  3t2; p  7t  5t2 t3. 1 2 10/08/2023 59 10/08/2023 60 15

Trang 16

CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Nhận xét 5.4: 5.5 CHÉO HOÁ MA TRẬN  Từ hai Định lý 5.11, 5.12, hệ quả và các ví dụ trên ta thấy rằng một Trong phần này ta xét bài toán: bài toán về ánh xạ tuyến tính có thể chuyển sang bài toán ma trận f V  Với tự đồng cấu tuyến tính của không gian , hãy tìm một cơ sở hoặc bài toán hệ phương trình tuyến tính và ngược lại. của V để ma trận của f trong cơ sở này có dạng chéo:  Chẳng hạn để chứng minh định thức của ma trận A khác 0 ta chỉ cần f A[f]  0  0  chứng minh tự đồng cấu tuyến tính với B là đơn cấu hoặc toàn  1  cấu, hoặc hệ phương trình tuyến tính tương ứng có duy nhất nghiệm.  0   0   .  dimKerf là chiều của không gian nghiệm của hệ phương trình thuần         nhất có hạng của ma trận hệ số bằng hạng của f.  0 0     n   Áp dụng định lý chiều của không gian nghiệm hệ phương trình thuần nhất ta nhận được đẳng thức đã biết  Bài toán tương ứng với ma trận: Cho ma trận A tìm ma trận không suy biến T sao cho T 1AT có dạng chéo. dimV  r f( ) dim Kerf. 10/08/2023 61 10/08/2023 62 CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 5.5.1 Không gian con bất biến 5.5.2 Véc tơ riêng, giá trị riêng  Không gian con W của không gian V được gọi là bất biến đối với tự   được gọi là giá trị riêng của ma trận A[aij]nn nếu tồn tại x1,…,xn đồng cấu f của V nếu f(W)W. không đồng thời bằng 0 sao cho:  Giả sử dimW k, ta có thể chọn cơ sở củaV sao cho ma trận của f x  x       1   1  x   0 trong cơ sở này có dạng     1 A     (AI)          hay     (5.30) x  x  x   0  n   n   n      Khi đó v  (x ,… ,x )n,v  0 được gọi là véc tơ riêng ứng với giá 1 n trị riêng  của ma trận A.  Như vậy các véc tơ riêng ứng với giá trị riêng  là các nghiệm khác Nếu V W W ,W ,W bất biến đối với f thì có thể chọn cơ sở để không của phương trình thuần nhất (5.30). Không gian nghiệm của 1 2 1 2 f (5.30) được gọi là không gian riêng ứng với giá trị riêng . ma trận của có dạng. 10/08/2023 63 10/08/2023 64 16

Trang 17

CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH   được gọi là một giá trị riêng của tự đồng cấu f nếu tồn tại c) Phép quay góc  véc tơ v V,v 0 sao cho f(v) v. f :2  2   v là véc tơ riêng ứng với giá trị riêng . ( ,x y)  f ( ,x y)  (x cos y sin , x sin y cos)  Ví dụ 5.17 f v( )  a) Xét ánh xạ đồng nhất Id :V V. Với mọi v V, Id (v)  v. v V V Vậy 1 là một giá trị riêng của IdV và mọi véc tơ v  0 là véc tơ riêng. b) f : 2  2 xác định bởi: f(x,y) (3x y,2x 4y).  Khi   0, f là ánh xạ đồng nhất Id : chỉ có giá trị riêng là 1. 2 Dễ dàng thấy f(x,x)2(x,x).  Khi   , f : chỉ có giá trị riêng là 1.  Vậy 2 là một giá trị riêng và mọi véc tơ v  (x,x); x  0 là véc tơ riêng  Khi   0, , f không có giá trị riêng. tương ứng. 10/08/2023 65 10/08/2023 66 CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Cho tự đồng cấu f của V. Với mỗi , ký hiệu Nhận xét 5.4 V  {v V f v( )  v}  Ker(f  Id ). Cho f End (V), B là một cơ sở củaV. Đăt A  [f ]B.  V Khi đó v V là véc tơ riêng ứng với giá trị riêng  của f khi và chỉ khi Định lý 5.14 (v)B là véc tơ riêng ứng với giá trị riêng  của ma trận A. 1)  là giá trị riêng của f khi và chỉ khi V {0}. 2) Nếu  là giá trị riêng của f thì mọi véc tơ v  0 của V đều là véc Nghĩa là  tơ riêng ứng với giá trị riêng  . x   0  1    v V;( )v  (x ,...,x ),v  0 : f v( )  v  (AI)      3) Với mọi , không gian con V bất biến đối với f . Nghĩa là B 1 n      x   0  n     v V  f v( )  v  f f v( ( ))  f(v)  f v( )  f v( ) V .   10/08/2023 67 10/08/2023 68 17

Trang 18

CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 5.5.3 Đa thức đặc trưng Định lý 5.15  A là một ma trận vuông cấp n. Định thức 0 là giá trị riêng của A (tương ứng của f ) khi và chỉ khi 0 là nghiệm P( )  det(AI) của đa thức đặc trưng của A (tương ứng của f ). A Chứng minh: là một đa thức bậc n của  được gọi là đa thức đặc trưng của A.  là giá trị riêng khi và chỉ khi V 0 0 0 f End (V) B V A [f ] Điều này tương đương với các điều sau:  Cho , là một cơ sở của . Đăt  B a) Ánh xạ f 0 IdV không đơn cấu x   0 Khi đó định thức 1 b) Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất A I       có nghiệm P( )  detf  Id  det(AI) không tầm thường 0 x     0 n f V Vậy  là giá trị riêng khi và chỉ khi r f  Id  n không phụ thuộc vào cơ sở củaV, cũng được gọi là đa thức đặc 0 0 V do đó det f  Id  0 hoặc detA I 0 trưng của f. 0 V 0 Nghĩa là P ( )  0 A 0 10/08/2023 69 10/08/2023 70 CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Ví dụ 5.18  Véc tơ riêng v(x,y) ứng với giá trị riêng  2 là nghiệm của hệ 1 Tìm véc tơ riêng và giá trị riêng của tự đồng cấu của không gian 2  x  0 32 1   x  0 A I       hay           (Ví dụ 5.17) 1 y 0 2 4 2 y 0                f : 2  2 xác định bởi: f(x,y)(3x y,2x 4y) Hệ phương trình tương đương với phương trình x y  0  y  x  3 1 Vậy v (x,x)x (1,1), x  0. có ma trận chính tắc A    2 4     Véc tơ riêng v (x,y) ứng với giá trị riêng  5 là nghiệm của hệ 2 Đa thức đặc trưng  x  0            2 1  x  0 A I      hay        P 3 1 2 1 2 1 2 y 0 2 1 y 0 ( )     (2 )(5 )                A 2 4  2 4  0 5  Hệ phương trình tương đương với phương trình 2x y  0  y  2x Vậy f có hai giá trị riêng là 2 và 5. Vậy v (x,2x)x(1,2),x 0. 10/08/2023 71 10/08/2023 72 18

Trang 19

CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Ví dụ 5.19 Phép quay góc  có công thức xác định ảnh Định lý 5.15 f ( ,x y)  (x cos y sin,x sin y cos)  Mọi tự đồng cấu f trong không gian thực n chiều (n1) đều có ít  nhất một không gian con bất biến một chiều hoặc hai chiều Đa thức đặc trưng  i. Nếu đa thức đặc trưng có nghiệm thực 0 do đó tồn tại véc tơ riêng P   cos  sin v  0, ( )  det f  Id   (cos )2  sin2  0 f V sin cos  Không gian con một chiều sinh bởi {v0} bất biến đối với f . Do đó f chỉ có giá trị riêng  thỏa mãn ii. Nếu đa thức đặc trưng có nghiệm phức 1 a ib    0 {v,u}  Suy ra tồn tại hệ hai véc tơ độc lập thỏa mãn  2   cos   1 (cos )  0   (cos )2  sin2   0      f v( )  av bu Wspan{v,u} sin2   0 sin2   0     là không gian con hai      f u( )  bv  au chiều bất biến đối với f .   1   10/08/2023 73 10/08/2023 74 CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Trường hợp phương trình P()  0 không có nghiệm thực thì có ít  y1,..., yn không thể đồng thời bằng 0 (vì nếu y1 ... yn  0 thì nhất một nghiệm phức   a ib x1,..., xn là nghiệm thực của phương trình) 1  z   0 x ,..., x y ,..., y  1    1 n và 1 n không tỉ lệ Xét hệ phương trình tuyến tính phức A I        1      Nếu x1  ky1, ... , xn  kyn thì (z1,... , zn)  (k i)(y1,..., yn)  z   0  n    z  y   0 y   0    1  1    1   Vì det A 1I  0 nên hệ phương trình tồn tại nghiệm z1, ..., zn không đồng A I     A Ik i        A I        1     1       1      thời bằng 0 z  y   0 y   0  n  n     n    Hệ phương trình này không thể có nghiệm thực vì nếu z1, ..., zn thực Đặt v  x e  ...  x e , u  y e  ...  y e 1 1 n n 1 1 n n  z1  z1 vì x1,...,xn và y1,..., yn không đồng thời bằng 0 và không tỉ lệ nên hệ hai véc thì A   thực nhưng (a ib)   phức, vô lý v u,      tơ độc lập  z   z                      n n  x y   x y   x y   x y    1  1   1  1   1  1   1  1 Giả sử z  x iy , ... , z  x  iy thì A    i     (a i b)    i     a     b  i b    a    1 1 1 n n n                      x  y   x  y   x  y   x  y  x ,..., x   n  n   n  n   n  n   n  n  1 n không thể đồng thời bằng 0 (vì nếu x1 ... xn  0 thì f v( )  av bu y ,..., y là nghiệm thực của phương trình)   Do đó W spanv u,  là không gian con hai chiều bất biến đối với f 1 n f u( )  bv au  10/08/2023 75 10/08/2023 76 19

Trang 20

CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 5.5.4 Tự đồng cấu chéo hoá được Định lý 5.16 Giả sử v1, … ,vm là các véc tơ riêng ứng với các giá trị riêng  Tự đồng cấu f của không gian véc tơ V chéo hoá được nếu tồn  , … , f A phân biệt 1 m của tự đồng cấu (hoặc ma trận ) thì hệ tại một cơ sở củaV để ma trận của f trong cơ sở này có dạng véc tơ {v , … ,v } độc lập tuyến tính. 1 m chéo. Ta chứng minh quy nạp theo k rằng hệ v ,...,v  độc lập tuyến tính với 1 k  m 1 k  Như vậy f chéo hoá được khi và chỉ khi tồn tại một cơ sở củaV Giả sử hệ v ,...,v  với 1 k  m1 độc lập tuyến tính 1 k gồm các véc tơ riêng của f . x v ...x v x v  0 (*) 1 1 k k k1 k1  f x v( ... x v  x v )  0   x v ... x v  x v  0 (**) 1 1 k k k1 k1 1 1 1 k k k k! k1 k1  Ma trận vuông A chéo hoá được nếu tồn tại ma trận không suy Nhân k1 vào (*) rồi trừ cho (**) ta được 1 (   )x v ... (   )x v  0 biến T sao cho T AT là ma trận chéo. k1 1 1 1 k1 k k k Vì v ,...,v  độc lập và các  ,..., khác nhau từng đôi một suy ra 1 k 1 m x  ...  x  0  x  0 1 k k1 10/08/2023 77 10/08/2023 78 CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Hệ quả 5.17 () :Trong mỗi V ta chọn một cơ sở gồm m véc tơ i i Nếu đa thức đặc trưng của tự đồng cấu f trong không gian n chiềuV Hệ n véc tơ gộp lại từ các véc tơ của các cơ sở vừa chọn là một hệ độc lập tuyến tính, do đó hệ này là một cơ sở củaV gồm các véc tơ riêng của f. (hoặc ma trận A vuông cấp n) có đúng n nghiệm thực phân biệt thì f Vậy f chéo hoá được. (tương ứng ma trận A) chéo hoá được. (): Giả sử f chéo hoá được, khi đó tồn tại cơ sở gồm các véc tơ Chứng minh: riêng để ma trận f có dạng chéo Vì đa thức đặc trưng có đủ n nghiệm thực phân biệt nên n véc tơ riêng tương     ứng với n giá trị riêng này là một hệ độc lập, do đó là một cơ sở của V gồm  1      P( )  ( 1) (n   )...(  ) các véc tơ riêng của f. Vậy f chéo hoá được.   1 n    P  n  Hệ quả 5.18 Giả sử ( )  ( 1) (n   )m1...(  )mk Do đó các giá trị riêng  ,..., phải trùng với  ,..., 1 k 1 n 1 k m … m n và các giá trị  , … , khác nhau từng đôi một. Vì vậy trong các giá trị riêng 1,..., n có đúng mi giá trị bằng i , với 1 k 1 k i  1,...,k m  và có đúng i véc tơ riêng độc lập ứng với giá trị riêng i Khi đó f (tương ứng ma trận A) chéo hoá được khi và chỉ khi Nói cách khác dimV  m . dimV  m ;  i  1,...,k i i i i 10/08/2023 79 10/08/2023 80 20

Showing the first 20 pages. Download the document to see it all.

Comments (0)

Sign in to join the discussion

No comments yet. Be the first!

Related documents

Bộ đề ôn Đại số - Thi cuối kỳ HUST

Free923 pages

Đề minh họa Đại số tuyến tính (HUST)

Free72 pages

Tổng hợp Đề thi cuối kỳ đại số HUST BK0ST

Free729 pages

Giải Đề cương Đại số - Chương 4 (2024) (CLB HTHT HUST)

Free320 pages

Đề thi môn Đại số tuyến tính (NN2) (Kèm đáp án)

Premium38 pages
Same author

Đề thi TSA Khoa học giải quyết vấn đề - Khảo thí số 01

Free123 pages

Đề Đọc hiểu TSA - Khảo thí 01

Free26 pages

Đề Toán TSA - Khảo thí Toán học số 1 (Có đáp án)

Premium116 pages

Phiếu dự tuyển Vietcombank 2026 (VCB)

Free53 pages

Phiếu dự tuyển Vietcombank (VCB)

Free53 pages