Chương 3: ma trận và định thức

LI
lienhejb
0 downloads
23
0

Generating preview...

Next by this authorChương 5: Ánh xạ tuyến tínhPrevious in courseMở đầu về lôgic mệnh đề, tập hợp ánh xạ, đại số Boole (Đại số - Chương 1)Next in courseChương 5: Ánh xạ tuyến tính

Document content

Trang 1

CHƯƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC CHƯƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC 3.1 MA TRẬN 3.1.1 KHÁI NIỆM MA TRẬN  Lý thuyết ma trận thực sự ra đời từ đầu thế kỷ 19, mặc dù nhiều loại  Một bảng số có m hàng n cột bảng số có tính chất đặc biệt đã được biết đến từ hàng trăm năm nay. a a ... a   Các ma trận vuông xuất hiện đầu tiên ở đầu thế kỷ 19 trong các công  11 12 1n  a a ... a  trình về dạng toàn phương và về các phép thế tuyến tính. A   21 22 2n         Phép nhân hai ma trận vuông cấp 3 được Gauss (Gau-xơ) đưa ra   a a ... a  vào năm 1801.  m1 m2 mn   Tên gọi ma trận (Matrix) được nhà toán học Anh Sylvester (Synvét) được gọi là một ma trận cỡ m  n đưa ra năm 1850. aij là phần tử ở hàng thứ i và cột j .  Cayley (Kê-li) là người đầu tiên mô tả một cách tổng quát các phép tính với các ma trận bất kỳ và ma trận nghịch đảo (1858).  Tùy theo tính chất các phần tử aij ta có ma trận tương ứng.  Peano là người đầu tiên đưa ra cách biểu diễn một ánh xạ tuyến tính  Ma trận A được gọi là ma trận nguyên (thực, phức), hàm số nếu qua các ma trận. Gauss là người đầu tiên sử dụng ma trận để nghiên các phần tử aij là các số nguyên (số thực, số phức), hàm số... cứu các dạng toàn phương.  Nếu không chỉ rõ cụ thể thì ta xem A là ma trận thực. 08/08/2023 1 08/08/2023 2 CHƯƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC CHƯƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC  Ma trận A cỡ m  n có thể được viết tắt dạng  Hai ma trận bằng nhau khi cùng cỡ và có các phần tử tương ứng đều bằng nhau  i1,m   m  m ' A  a  hoặc A  a   ij j1,n ij mn      a   b   n  n ' ij mn ij m 'n '   Khi m = n ta nói A là ma trận vuông cấp n a b , i  1,m ; j  1,n  ij ij  Tập hợp tất cả các ma trận cỡ m  n được ký hiệu M 3x 3y  x  4 x y  6 m  n Ví dụ 3.2          M 3z 3w z w 1 2w  3   Tập hợp tất cả các ma trận vuông cấp n được ký hiệu n 3x  x  4 2x  4 x  2       0 1   3y  x  y  6 2y  x  6 y  4 Ví dụ 3.1   là một ma trận cỡ 2  3       3 2 5 3z  z w 1 2z  w 1 z  1      3w  2w  3 w  3 w  3    08/08/2023 3 08/08/2023 4 1

Trang 2

CHƯƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC CHƯƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC 3.1.2 CÁC PHÉP TOÁN MA TRẬN Ví dụ 3.5 Tìm x, y, z và w thỏa mãn 3.1.2.1. Phép cộng ma trận (Thực hiện được khi cùng cỡ) x y   x 6   4 x  y 3  =      a   b  = c  , c = a b ;i = 1,m ; j = 1,n z w 1 2w z  w 3   ij mn  ij mn  ij mn ij ij ij Thực hiện phép cộng ma trận và nhân một số với ma trận ta được Ví dụ 3.3 2 3 0   0 8 5 2 5 5      =   3x 3y   x  4 x  y  6 9 4 1 3 1 7 6 5 6   =   3z 3w z  w  1 2w  3  3.1.2.2. Phép nhân một số với ma trận 3x = x  4 2x = 4 x = 2 k a  = ka  3y = x  y  6 2y = x  6 y = 4  ij   ij        mn mn 3z = z  w  1 2z = w 1 z = 1    Ví dụ 3.4 1 1 2 1 0  1 4 1 2 0 3w = 2w  3 w = 3 w = 3   =   2  3 8 10 3 2 4 5 08/08/2023 5 08/08/2023 6 CHƯƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC CHƯƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC Ta cũng kiểm chứng được các tính chất sau đúng với mọi số thực k, h Tính chất 3.1 với mọi ma trận cỡ mn Các tính chất sau đây đúng đối với các ma trận cùng cỡ mn 5) k A(  B) = kA  kB 1) A(B C)  (AB)C 6) (k  h A) = kA  hA 2) Ma trận có các phần tử đều bằng 0 gọi là ma trận không và ký 7) k hA( ) = (kh A) hiệu 0 thỏa mãn 8) 1A = A A 0  0 A  A  Với 8 tính chất này tập M là một không gian véc tơ. m  n 3) A  (A)  0, trong đó A  a   Ký hiệu E là ma trận cỡ m  n có các phần tử đều bằng 0 ngoại trừ  ij mn ij phần tử ở hàng i cột j bằng 1. 4) AB B A  Hệ các ma trận E i  1,m ;j  1,n là một cơ sở của M ij m  n Vậy dim M = m.n m  n 08/08/2023 7 08/08/2023 8 2

Trang 3

CHƯƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC CHƯƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC Ví dụ 3.6 3.1.2.3 Phép nhân ma trận Ma trận cỡ 23 bất kỳ có thể biểu diễn duy nhất thành tổ hợp tuyến Tích hai ma trận A = a  và B = b   ij mp  ij pn tính các ma trận Eij: là ma trận cỡ m  n được ký hiệu và định nghĩa bởi AB = c   ij mn aa aa aa  a 1 00 00 0 a0 10 00 0 0a 0 1  1111 1212 1313 == a 11  a 12  a  13   p aa aa aa  1100 00 00 012 00 00 0 0 130 00 0 0 c  a b víi mäi i  1,m ; j  1,n  2121 2222 2323            ij ik kj k1  00 00 00 0 00 00 00 00 0 0 0  Tồn tại ma trận tích AB khi số cột của ma trận A bằng số hàng của a  a   a    21a 1 00 00 022 a0 10 0 0 2300a 0 1  21   22    23   ma trận B. = a E a E a E a E a E a E  Phần tử ở hàng thứ i cột thứ j của ma trận tích AB bằng tổng của 11 11 12 12 13 13 21 21 22 22 23 23 tích các phần tử hàng thứ i của ma trận A với các phần tử tương Vậy dim M = 6 ứng cột thứ j của ma trận B. 2 3 08/08/2023 9 08/08/2023 10 CHƯƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC CHƯƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC j Ví dụ 3.7  b  1 3     1j  1 2 3   9 15     b    1 0 =       2 j  1 2 5   7 17 i  c  = a a a    2 4  ij   i1 i2 ip         2 2 8 4     b    1 4 2 =   pj 3   3 12 6       Vậy phần tử ở hàng thứ i cột thứ j của AB bằng tổng của tích  1 3  x  3z y  3w    x y    các phần tử hàng thứ i của A với các phần tử tương ứng cột 1 0   =  x y    z w thứ j của B. 2 4 2x  4z 2y  4w     08/08/2023 11 08/08/2023 12 3

Trang 4

CHƯƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC CHƯƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC Chẳng hạn, xét  Ta thấy rằng tích của hai ma trận A và B định nghĩa được khi 1 0 0  0 1 2 0  0 số cột của A bằng số hàng của B.      2 3 0  0 3 0 0  0 A =  0 0 0  0 B = 0 0 0  0  Vì vậy có thể định nghĩa AB nhưng không định nghĩa được                BA nếu số cột của B không bằng số hàng của A.  0 0 0 0 0 0 0 0 0 0      Khi A, B là hai ma trận vuông cùng cấp thì ta có đồng thời AB 1 2 0  0  3 6 0  0 11 4 0  0 3 0 0  0 và BA. Mặc dầu vậy chưa chắc có đẳng thức AB = BA.     AB =  0 0 0  0  BA =  0 0 0  0                  Nói cách khác tích ma trận không có tính giao hoán.  0 0 0 0 0  0 0 0 0 0     08/08/2023 13 08/08/2023 14 CHƯƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC CHƯƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC Tính chất 3.2 5) Với mọi số tự nhiên dương n ta xét ma trận In vuông cấp n có các phần tử trên đường chéo bằng 1 và các phần tử ở vị trí khác Giả sử A, B, C là các ma trận với số cột số hàng thích hợp để các đều bằng 0. phép toán sau xác định được, khi đó ta có các đẳng thức: 1 0  0 1) A(BC) = (AB)C tính kết hợp.   0 1   I =   n    0 2) A(B C) = AB AC tính phân phối bên trái phép nhân ma trận   0  0 1 với phép cộng. 3) (B C )A = BACA tính phân phối bên phải phép nhân ma trận  Khi đó với mọi ma trận A cỡ mn ta có. với phép cộng. I A  A  AI m n 4) Với mọi k  , k(AB) = (kA)B = A(kB).  Ma trận In được gọi là ma trận đơn vị cấp n. 08/08/2023 15 08/08/2023 16 4

Trang 5

CHƯƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC CHƯƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC Chẳng hạn Khác với phép nhân các số: tích hai số khác 0 là một số khác 0. a a a  Tuy nhiên ta có thể tìm được hai ma trận khác 0 có tích là ma Xét ma trận A cỡ 2 3 A =  11 12 13  a a a  21 22 23 trận 0. 1 0 0 Chẳng hạn     a a a    a a a  1 2 0  0  2 6 0  0 AI   11 12 13  0 1 0   11 12 13   A 2 4 0  0 1 3 0  0 3 a a a    a a a       21 22 23 0 0 1  21 22 23 0 0 0  0  0 0 0  0   A    B                         0 0 0 0 0  0 0 0 0 0 1 0 a a a  a a a      I A  11 12 13  11 12 13  A 2 0 1  a a a  a a a     21 22 23  21 22 23 A B,  0 nhưngAB  0. 08/08/2023 17 08/08/2023 18 CHƯƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC CHƯƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC 3.1.2.4 Đa thức ma trận vuông 3.1.2.5 Ma trận chuyển vị Giả sử p(t) = a0  a1t    ak t k là một đa thức bậc k. Cho ma trận A cỡ m  n, nếu ta đổi các hàng của ma trận A thành Với mọi ma trận A vuông cấp n, ta định nghĩa đa thức của ma trận A các cột (và do đó các cột thành các hàng) thì ta được ma trận mới cỡ như sau: n  m, gọi là ma trận chuyển vị của ma trận trên A, ký hiệu At . p A( )  a I a A a Ak. 0 1 k At  c  , c  a ;i  1,n ;j  1,m  ij  ij ji Ví dụ 3.8 nm 1 2  Cho ma trận A    và đa thức p t( )  54t 2t3. 4 3 Ví dụ 3.9     4 1   4 2 5      3   A   2 0  At    1 0 1 2  1 2  13 52     1 0 9 p A( )  5  4   2     .  5 9   0 1 4 3 4 3 104 117   08/08/2023 19 08/08/2023 20 5

Trang 6

CHƯƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC CHƯƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC Tính chất 3.3 3.1.3 MA TRẬN CỦA MỘT HỆ VÉC TƠ  a    3.1.3.1 Định nghĩa ma trận của một hệ véc tơ 1) (A B)t  At  Bt  ij       =    B t t    Giả sử V là không gian n chiều, xét một cơ sở ={e1, … ,en} và 2) (kA)  kA     B    a  {v1, … ,vm} là một hệ véc tơ của V có tọa độ trong cơ sở : 3) (AB)t  B At t    ij t  n A A v  a e , j  1,...,m j ij i i1  Nếu A = At thì A được gọi là ma trận đối xứng (A là ma trận  Khi đó ma trận A  a   ij nm vuông có các phần tử đối xứng nhau qua đường chéo thứ nhất). {v , … ,v } B có các cột là tọa độ của các véc tơ 1 m trong cơ sở  A =  At thì A được gọi là phản đối xứng (A là ma trận vuông có gọi là ma trận của hệ véc tơ {v , … ,v } trong cơ sở B. 1 m các phần tử đối xứng và trái dấu qua đường chéo thứ nhất, các  Ngược lại, với ma trận A cỡ n  m cho trước thì ta có hệ m véc tơ phần tử trên đường chéo thứ nhất bằng 0). mà toạ độ của nó trong cơ sở B là các cột của A. 08/08/2023 21 08/08/2023 22 CHƯƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC CHƯƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC Nói riêng, nếu u  x e ... x e 3.1.3.2 Ma trận chuyển cơ sở 1 1 n n    Giả sử B = {e , … ,e }, B= {e ,… ,e } là hai cơ sở của V. ta ký hiệu x 1 n 1 n    1  u B  (x ,...,x )  u     B B 1 n   B    Ma trận của hệ véc tơ trong cơ sở được gọi là ma trận x  B B  n  chuyển từ cơ sở sang cơ sở . Ví dụ 3.10 n B Nghĩa là nếu e  t e , j  1,...,n thì T  t  Xét hệ véc tơ: v  (4,1, 3,2), v  (1,2,3,2), v  ( , , , )x y z t j ij i  ij B 1 2 3 i1 Có ma trận trong cơ sở chính tắc  4 1 x là ma trận chuyển từ cơ sở B sang cơ sở B .  1 2 y   n n n  n  n  n   3 3 z         u V : u  x e  x e   x  t e    t xe .   i i j j j  ij i  ij j  i 2 2 t  i1 j1 j1 i1 i1j1  08/08/2023 23 08/08/2023 24 6

Trang 7

CHƯƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC CHƯƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC  Ta có công thức đổi tọa độ Ví dụ 3.11 x   t  x Hai hệ véc tơ B =e , e , B’= e’ , e’        1 2 1 2 i n1  ij nn  j n1 với e1 = (1, 0), e2 = (0, 1) và e1 = (1,1), e2 = (4,3)    B    B u  t  u   u  p u   B  ij B  B  B  ij B  B là hai cơ sở của không gian véc tơ 2 (Xem ví dụ 2.16 Chương 2) , B u  ( ,x y)  xe ye  (4y 3 ) 'x e (x y e) '  Nếu A, A lần lượt là ma trận của {v , … ,v } trong cơ sở 1 2 1 2 1 n và B thì u  ( ,x y) u  (4y 3 ,x x y) B B'  B  B A  t  A Hoặc A  p  A  ij B  ij B 08/08/2023 25 08/08/2023 26 CHƯƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC CHƯƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC B B’ B=e =(1, 0),e =(0, 1) B’=e =(1,1),e =(4,3)} =e1 = (1, 0),e2 = (0, 1) =e1 = (1,1),e2 = (4,3)} 1 2 1 2 B 1 4 uB'  (4y 3 ,x x y)  e B'  ( 3,1); e B'  (4,1) B B     1 2  Ma trận chuyển từ cơ sở sang cơ sở  là T  t   ij B 1 3 B B   Ma trận chuyển từ cơ sở  sang cơ sở là 1 4 x 1 4 4y 3x  x   do đó              B 3 4  1 3 y 1 3  x y   y P  p                   ij B  1 1   uB'  (4y 3 ,x x y)  e B'  ( 3,1); e B'  (4,1) Gọi A,A lần lượt là ma trận của hệ véc tơ sau trong cơ sở B, B’ 1 2  4 5 x B B B 3 4  v = (4,3), v = (5, 8); v = ( ,x y)  A     Ma trận chuyển từ cơ sở  sang cơ sở là P  p     1 2 3 3 8 y  ij B  1 1     3 4   x x 4y 3x B 3 4   4 5 x 24 17 4y 3x do đó            A  p  A          1 1  y y  x y   ij B  1 1 3 8 y  7 3 x y                   08/08/2023 27 08/08/2023 28 7

Trang 8

CHƯƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC CHƯƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC 3.1.4 HẠNG CỦA MA TRẬN  Vì vậy khi ta thực hiện liên tiếp các phép biến đổi sau, gọi là các Ta gọi hạng của hệ các véc tơ cột của A là hạng của ma trận A phép biến đổi sơ cấp, thì spanS không đổi do đó hạng của hệ không thay đổi: ký hiệu r(A). 1) Đổi chỗ cho nhau hai véc tơ của hệ. 3.1.4.1 Tìm hạng của ma trận bằng phép biến đổi sơ cấp 2) Nhân vào một véc tơ của hệ một số khác 0.  Ta tìm hạng của ma trận A thông qua tìm hạng của hệ véc tơ 3) Cộng vào một véc tơ của hệ một tổ hợp tuyến tính các véc tơ cột và sử dụng các kết quả sau. khác của hệ.  Hạng r(S) của một hệ véc tơ S của không gian V là số véc tơ của  Vì vậy để tìm hạng của một ma trận ta thực hiện các biến đổi sơ một hệ con độc lập tuyến tính tối đại của S hay là chiều của spanS cấp lên các cột (sau này ta sẽ chứng minh được rằng ta cũng có thể biến đổi theo các hàng) để đưa ma trận về dạng hình bậc thang, (xem Định lý 2.16). từ đó suy ra hạng của ma trận cần tìm. 08/08/2023 29 08/08/2023 30 CHƯƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC CHƯƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC     c  c Ví dụ 3.12 1 2 1 1 1 c  c 1 1 1 1 2  1 1   1 4   c c  c a 1 1 1 1 c  c5 1 1 1 a 1 1 2 2 B   c2  c   c c  c    1 a 0 1 1 c3  c1 0 1 1 1 a  1 3 3  1 3 4 2  3 c1c2 c2 1 0 0 0  c4  c2         5 3   c c  c   4 c1c3 c3    1 2 2 1 1  2 1 1 1 2   1 4 4 A   2 1 1 4   2 7 7 0 2c c  c 2 c c c   1 5 5 1 2 1 2 1 4 4 1 5 5 0     1 0 0 0 0 1 0 0 0 0    c  c   1 0 2 a1 3  c1  c1 1 2 0 0 0    c2  c3   c1  c1  1 0 0 0 0 1 1 1 a (a  3)c (a3 1)c2 2c  c 0 1 1 0 0      2 3 4 4   c  c   2 1 1 3 2  (3 2 )a c2 3c3 2c5  c5   2 2  2 7 0 0   2 1 1 22a 22a c c  c       2 3 3 1 5 0 0     1 0 0 0 0 1 2 0 0 0 4 nÕu a  1 Vậy r(A) = 2   Vậy r B( )   0 1 1 0 0 3 nÕu a  1    2 1 1 22a 0   08/08/2023 31 08/08/2023 32 8

Trang 9

CHƯƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC CHƯƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC 3.1.4.2 Các ma trận tương ứng với các phép biến đổi sơ cấp 1) Nếu nhân R(k,) vào bên phải của ma trận A thì ma trận tích Xét các ma trận vuông cấp n sau: AR(k,) có được bằng cách nhân thêm  vào cột k của ma trận A. a b c d  1 0 0 0 a b c d   1 1 1 1     1 1 1 1 a b c d  0  0 0 a b c d   2 2 2 2      2 2 2 2 a b c d  0 0 1 0 a b c d   3 3 3 3    3 3 3 3 a b c d  0 0 0 1 a b c d   1 0 0 0  4 4 4 4      4 4 4 4 0 i  j    Chẳng 0  0 0 a  1 i  j  k R(2,)    ij  hạn 0 0 1 0  i  j  k    0 0 0 1   08/08/2023 33 08/08/2023 34 CHƯƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC CHƯƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC 2) Nếu nhân P(i,j) vào bên phải của ma trận A thì ma trận tích AP(i,j) có được bằng cách đổi chỗ hai cột i và j của A cho nhau. a b c d  0 0 1 0 c b a d   1 1 1 1    1 1 1 1 a b c d  0 1 0 0 c b a d    2 2 2 2      2 2 2 2  1 k  l  i j; a b c d  1 0 0 0 c b a d    3 3 3 3    3 3 3 3 0 k  l vμ b»ngi hay j 0 0 1 0          a b c d   0 0 0 1 c b a d  a  1 k  i l,  j Chẳng 0 1 0 0 4 4 4 4  4 4 4 4 kl  P(1, 3) =    hạn 1 0 0 0 1 k  j l,  i    0 0 0 1 0 trong c¸c trêng hîp kh¸c  08/08/2023 35 08/08/2023 36 9

Trang 10

CHƯƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC CHƯƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC 3) Nếu nhân Q(i,j,) vào bên phải của ma trận A thì ma trận tích AQ(i,j,) có được bằng cách nhân  vào cột i và cộng vào cột j của ma trận A. a b c d  1 0 0 0 a c b c d   1 1 1 1     1 1 1 1 1 a b c d  0 1 0 0 a c b c d   2 2 2 2      2 2 2 2 2 a b c d   0 1 0 a c b c d     3 3 3 3    3 3 3 3 3 1 k  l 1 0 0 0 a b c d  0 0 0 1 a c b c d   0 1 0 0  4 4 4 4      4 4 4 4 4 a   k  i l,  j Chẳng Q(3,1;)    kl  hạn  0 1 0    0 trong c¸c trêng hîp kh¸c 0 0 0 1    08/08/2023 37 08/08/2023 38 CHƯƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC CHƯƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC 4) Nếu nhân P,Q,R vào bên trái của ma trận A thì ta có các kết quả 3.2 ĐỊNH THỨC  Định thức của ma trận vuông cấp 2 bằng tích đường chéo thứ nhất tương tự như trên, trong đó các tác động lên cột đổi thành tác trừ tích đường chéo thứ hai động lên hàng. a a 11 12  a a a a 1 0 0  a b c   a b c  a a 11 22 12 21       21 22 Chẳng hạn 0  0 a b c  a b c  Định thức của ma trận vuông cấp n tổng quát được xét trong       0 0 1 a b c      chương này.      a b c     Ma trận và định thức ngày nay luôn đi liền với nhau và hầu như mọi người đều cho rằng khái niệm định thức phải ra đời sau khái niệm 1 0 0  a b c   a b c        ma trận, nhưng sự thực ngược lại. 0 1 0 a b c   a b c   Định thức hình thành là nhằm để giải các hệ phương trình tuyến       0  1 a b c a a b b c c tính mà việc làm này đã có một lịch sử lâu đời trước đó.         Khái niệm định thức lần đầu tiên được Leibniz (Lépnít) đưa ra vào năm 1693 khi bàn đến việc giải hệ phương trình tuyến tính. 08/08/2023 39 08/08/2023 40 10

Trang 11

CHƯƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC CHƯƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC  Định thức được tiếp tục phát triển và nghiên cứu qua các công trình 3.2.1 HOÁN VỊ VÀ PHÉP THẾ của Cramer (Cờrame) (Thụy sĩ), Jacobi (ia-cô-bi) (Đức), Laplace  Mỗi song ánh : {1, 2, … ,n}  {1,2,…,n} được gọi là một phép (Pháp), Vandermonde (Vănđécmông) (Hà Lan). ... n thế bậc .  Cauchy (Cô-si) (Pháp) là người đầu tiên nghiên cứu khái niệm định thức một cách hệ thống.  Ta thường ký hiệu một phép thế bằng một ma trận có hàng thứ nhất là các số 1, 2, … , n sắp theo thứ tự tăng dần còn hàng thứ  Ngoài ứng dụng để giải hệ phương trình tuyến tính, định thức còn hai là ảnh của nó   được sử dụng để nghiên cứu những vấn đề của ma trận như: ma 1 2 ... n    . trận nghịch đảo, hạng của ma trận, tìm giá trị riêng... (1) (2) ... ( )n     Khảo sát tính chất độc lập của một hệ véc tơ.   Ảnh của một phép thế được gọi là hoán vị. Với phép thế ta có  Định thức Jacobi được sử dụng trong phép đổi biến số của tích phân hoán vị tương ứng   nhiều lớp. (1) (2) ... ( ) .n     Định thức Wronsky (vrông-xki) dùng để kiểm tra tính chất độc lập  Tập các phép thế bậc n ký hiệu S Tập S có đúng n! phần tử. n . n tuyến tính của các nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất.  Chẳng hạn S2 có 2 phần tử, S3 có 6 phần tử ... 08/08/2023 41 08/08/2023 42 CHƯƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC CHƯƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC Dấu của phép thế Cách tìm số các nghịch thế của phép thế   Mỗi cặp i<j mà (i) >(j) được gọi là một nghịch thế của phép  Gọi k1 là số các số trong [(1) (2)…(n)] đứng trước (i1)=1; thế  . (k là số các nghịch thế ứng với 1). 1  Giả sử k là số các nghịch thế của , ta định nghĩa và ký hiệu dấu  i i  i k  Xóa ( 1) = 1, tồn tại 2 sao cho ( 2) = 2, gọi 2 là số các số còn của phép thế  là lại trong [ (1)  (2) …  (n)] đứng trước  (i ); sgn  ( 1) .k 2 (k2 là số các nghịch thế ứng với 2).  Phép thế nhận dấu  nếu số các nghịch thế chẵn và nhận dấu  nếu số các nghịch thế lẻ.  Xóa  (i2) = 2 và tiếp tục đếm như thế ... 1 2 3 Cuối cùng số các nghịch thế của  là: k  k k ...k . Ví dụ 3.13 Hoán vị [1 3 2] ứng với phép thế     1 2 n1 1 3 2   có một nghịch thế. Ví dụ 3.14 Hoán vị 4 3 1 2 có k = 2,k = 2, k = 1.   1 2 3 Vậy sgn  ( 1)1  1. Vậy k = 5 và sgn  ( 1)5  1. 08/08/2023 43 08/08/2023 44 11

Trang 12

CHƯƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC CHƯƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC Tính chất 3.4 3) Với mọi , S sgn(  )  sgn sgn n 1) Cặp (i, j) là một nghịch thế của phép thế  khi và chỉ khi dấu của Thật vậy, khi (i,j) chạy khắp tập i  j và  (i)   (j) trái dấu. Vậy   1, 2, ..., n1, 2, ..., n \(1,1), (2,2) ..., (n,n) sgn   dÊu ( )i ( )j . ( ) ij thì (i), (j) cũng chạy khắp tập này 1  i j n ( )i  ( )j   ( ( ))i   ( ( ))j   ( ( ))i   ( ( ))j  2) Phép thế chuyển vị  = [i j ] là phép thế chỉ biến đổi hai phần tử sgn   dÊu    dÊu    dÊu  0 0  i  j   ( )i  ( )j   ( )i  ( )j  1  i j n 1( )i ( )j n 1  i j n i0, j0 cho nhau và giữ nguyên các phần tử còn lại  ( ( ))i   ( ( ))j  ( )i  ( )j   sgnsgn   dÊu   dÊu     ( )i  ( )j   i  j  1 2 ... i ... j ... n 1  i j n   1  i j n      0 0 . 1 2 ... j ... i ... n  ( ( ))i   ( ( ))j   0 0    dÊu   sgn(  )  i  j  1  i j n k  ...  k  0 k  j i k  ...  k  1 1 i 1 i 0 0 i 1 j 1 4) Với mọi chuyển vị [i j ] và phép thế  0 0 0 0 0 0 k  ...  k  0  k  2(j i )1  sgn  ( 1)k  1.   j n 0 0 sgn  i j   sgn 0 0 0 08/08/2023 45 08/08/2023 46 CHƯƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC CHƯƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC 3.2.2 ĐỊNH NGHĨA ĐỊNH THỨC  Định thức của ma trận vuông cấp 2 có thể biểu diễn như sau: Khi giải hệ phương trình tuyến tính ax  by = c Xét nhóm đối xứng S2 có 2 phần tử a x b y = c  1 2 1 2 ta tính các định thức     và     có dấu sgn  1, sgn  1 1 1 2 2 2 1 1 2     a b c b a c D = = ab ba; D = = cb bc; D = = ac ca. a a a b x c b y a c A  11 12  a a a a a a 11 22 12 21 21 22 a a  Như vậy định thức của ma trận vuông cấp 2: A   11 12   sgn a a  sgn a a a a  1 11( )1 21(2) 2 12( )1 22( )2  21 22  a11 a12   sgn a a A   a a a a 1 (1) 2(2) a a 11 22 12 21 S 21 22 2 Từ công thức này ta có thể mở rộng thành định nghĩa định thức cấp n 08/08/2023 47 08/08/2023 48 12

Trang 13

CHƯƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC CHƯƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC Định thức của ma trận vuông cấp n bất kỳ được mở rộng như sau Ví dụ 3.15 Nhóm đối xứng S3 có 6 phần tử là 1 2 3 1 2 3 1 2 3  Định thức của ma trận vuông A  a               ij  1 1 2 3 2 1 3 2 3 3 2 1 nn       được ký hiệu là detA hay |A| và xác định bởi biểu thức 1 2 3 1 2 3 1 2 3             4 2 1 3 5 2 3 1 6 3 1 2       detA   sgn a1 (1) 2 a (2)...an( )n sgn  sgn  sgn  1 sgn  sgn  sgn  1 S 1 5 6 2 3 4 n Vậy a a a  Như vậy định thức của ma trận vuông cấp n là tổng của n! số hạng, 11 12 13 mỗi số hạng là tích của n phần tử trên cùng một hàng nhân với các a a a  sgn a a a 21 22 23 1(1) 2(2) 3(3) a a a S 3 phần tử tương ứng ở trên n cột khác nhau của ma trận và nhân với 31 32 33 dấu của hoán vị tương ứng. = a a a a a a a a a  a a a  a a a a a a 11 22 33 11 23 32 12 21 33 12 23 31 13 21 32 13 22 31 08/08/2023 49 08/08/2023 50 CHƯƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC CHƯƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC Ví dụ 3.17 1 2 ... n Ví dụ 3.16 Xét phép thế     Tính định thức 0 1 2 ... n   2 5 x a a a ... a  ( )k  k,k  1,...,n. 11 12 13 1n 0 3 y 4  2. .6y  5.4.z  x.3.1x y z. . 5.3.6 2.4.1 a a ... a sgn  ( 1)0  1 22 23 2n có 0 z 1 6 D = a ... a n 33 3n Với mọi   S  12y  20z  3x xyz 90 8   n a nếu    thì tồn tại k sao cho 0  3x 12y 20z xyz 98. nn ( )k  k do đó tồn tại k’ sao cho (k ')  k '  a  0  a ...a  0 k '(k ') 1 (1) n(n) Vậy D   sgn a ...a  sgn a ...a  a ...a . n 1 (1) n(n) 0 11 nn 11 nn S n 08/08/2023 51 08/08/2023 52 13

Trang 14

CHƯƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC CHƯƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC Tương tự Ví dụ 3.19 Tính định thức Xét phép thế a 11 1 2 ... n a a a     21 22 1n 1 n n 1 ... 1 D ' = a a a = a ...a a a   n 31 32 33 11 nn 2,n1 2n     D =    n thoả mãn  ( )k  k  n 1 a a a ... a a ... ... a 1 n1 n2 n3 nn n1,2 n1n a a ... ... a k  n 1, k  n 2,...,k  1 n1 n2 nn 1 2 n1 Ví dụ 3.18 n n( 1) n n( 1) sgn  ( 1) 2 2 a b c 1 0  0  k  1...(n 1)  1 2 0 7 d e 0 1  0 Với mọi  S , nếu    thì tồn tại k sao cho ( )k  k  n  1. 2 ( 7) ( 1) 3  42 n  * : det(I ) 1 n 1 0 0 1 f n      a  0  a ...a  0 0 0 0 3 0   1 k( )k 1 (1) n(n) D   sgn a ...a  sgn a ...a ...a n 1 (1) n(n) 1 n1 k n, k 1n S n 08/08/2023 53 08/08/2023 54 CHƯƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC CHƯƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC Tương tự  Định thức của ma trận A = [a ] của hệ véc tơ {v , … , v } ij nn 1 n a a ... a a B 11 12 1n1 1n trong cơ sở của không gian véc tơ V cũng được gọi là định thức a a ... a 21 22 2n1 n n( 1) {v , … , v } D {v , … , v }. D     ( 1) 2 a ...a ...a của hệ véc tơ 1 n và ký hiệu B 1 n Vậy n n1 k n, k 1n   DB v ,...,v  detA a 1 n n1 Ví dụ 3.21 Ví dụ 3.20 Hệ véc tơ v  (2, 4,1), v  (3, 6,2), v  ( 1, 5,2) 1 2 3 0 0 0 0 x B a b x có ma trận trong cơ sở chính tắc cùa 3 là 3.2 0 0 0 y a 5.4 25 c y 0  ( 1) 2 xyz  xyz 0 0 z a a  ( 1) 2 xyztu  xyztu 2 3 1 34 35   z 0 0 0 t a a a A  4 6 5    43 44 45   Vậy DB v ,v ,v  detA  49 u a a a a   1 2 3 52 53 54 55 1 2 2  08/08/2023 55 08/08/2023 56 14

Trang 15

CHƯƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC CHƯƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC 3.3.3 CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA ĐỊNH THỨC 2) Định thức có tính chất tuyến tính đối với mỗi hàng 1) Nếu đổi chỗ hai hàng của ma trận thì định thức đổi dấu. Ma trận   k C = c  có hàng thứ là tổ hợp tuyến tính của  ij nn a nÕu i  k m, Đổi chỗ hai  ij A  a  , A  a  , a  a nÕu i  m hàng thứ k của A = a  và B = b   ij   ij  ij  kj hàng m và ij nn  ij nn nn nn  a nÕu i  k k cho nhau c  a  b nÕu i  k  mj Nghĩa là  ij ij ij thì detA = detA c  a  b ; víi mäi j  1,...,n.  kj kj kj Chứng minh: detA' =  sgn a ' a ' ...a ' =  sgn a a ...a ; ' =  (m k) thì detC  detA  detB 1(1) 2(2) n(n) 1 '(1) 2 '(2) n '(n) S S n n =   sgn 'a  a  ...a  =   sgn 'a  a  ...a  = detA Chứng minh: 1 '(1) 2 '(2) n '(n) 1 '(1) 2 '(2) n '(n) S  'S n n Ví dụ 3.22 a b c a b c detC   sgnc ...c ...c   sgnc ...(a  b )...c 1 (1) k( )k n(n) 1 (1) k( )k k( )k n(n) S S a b c   a b c n n    sgna ...(a )...a    sgnb ...(b )...b  detA  detB 1 (1) k( )k n( )n 1 (1) k( )k n(n) a b c a b c Sn Sn 08/08/2023 57 08/08/2023 58 CHƯƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC CHƯƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC Ví dụ 3.23 3) Từ 1) và 2) suy ra rằng trong một ma trận có hai hàng tỷ lệ thì định a b c a b c a b c thức bằng 0. a' b' c'   a' b' c'  a' b' c' a  a b b c c a b c a b c Ví dụ 3.24 a b c a b c a b c 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2 2 a b c = k a b c = k a b c = 0 Nhận xét: Tính chất 2) chỉ ra rằng định thức có tính chất tuyến tính đối với ka kb kc a b c a b c mỗi hàng, do đó ta cần chú ý một số trường hợp cụ thể sau. a b c a b c a b c a b c 4) Nếu ta cộng vào một hàng một tổ hợp tuyến tính các hàng khác thì a b c  a b c  a' b' c'  a b c định thức không thay đổi. a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c  Với mọi ma trận A,B vuông cấp n: det(A)  n detA a ' b' c'  a ' b ' c '   a ' b' c'   a ' b ' c ' n1 a " a  a ' b " b  b ' c" c  c ' a " b " c " a b c a ' b' c '  Nếu thì có thể: det(A  B)  detA  detB 08/08/2023 59 08/08/2023 60 15

Trang 16

CHƯƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC CHƯƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC 5) Định thức của ma trận chuyển vị bằng định thức của ma trận đó Ví dụ 3.26 a 1 1 ... 1 a n 1 1 1 ... 1 detAt = detA. 1 a 1 ... 1 a n 1 a 1 ... 1 D  1 1 a ... 1  a n 1 1 a ... 1 n Ví dụ 3.25           a b c a a ' a " 1 1 1 ... a a n 1 1 1 ... a a ' b' c '  b b ' b" a " b " c " c c' c" 1 1 1 ... 1 1 0 0 ... 0 1 a 1 ... 1 1 a 1 0 ... 0 6) Từ 5) suy ra rằng các tính chất của định thức đúng với hàng thì  (a n 1) 1 1 a ... 1  (a n 1) 1 0 a 1 ... 0 cũng đúng với cột và ngược lại. Vì vậy ta chỉ cần chứng minh các           định lý về định thức đúng với hàng. Chẳng hạn, từ 4) suy ra nếu ta 1 1 1 ... a 1 0 0 ... a 1 cộng vào một cột một tổ hợp tuyến tính các cột khác thì định thức D  (a n 1)(a 1)n1 không thay đổi. n 08/08/2023 61 08/08/2023 62 CHƯƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC CHƯƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC 7) Định thức của mọi hệ n véc tơ phụ thuộc tuyến tính của không gian 3.2.4 CÁC CÁCH TÍNH ĐỊNH THỨC véc tơ n chiều đều bằng 0. 3.2.4.1 Khai triển theo hàng, theo cột Nếu hệ véc tơ v1,...,vn phụ thuộc tuyến tính thì có một véc tơ là tổ hợp tuyến tính của Cho ma trận A = [a ] các véc tơ còn lại. Chẳng hạn v = v  v  v ij nn n 1 1 2 2 n1 n1  detA  DB v ,...,v ,v  DB v ,...,v , v   v   v  Ký hiệu M là định thức của ma trận cấp n1 có được bằng cách xoá 1 n1 n 1 n1 1 1 2 2 n1 n1 ij Tách cột cuối thành tổng của n1 định thức ta được hàng i cột j của ma trận A detA  DB v ,...,v , v DB v ,...,v , v  0  0  0 1 n1 1 1 1 n1 n1 n1 a ... a a a ... a a 11 1n 11 12 1j 1n 8) det(A)(modp)   sgna ...a     .      1 (1) n(n) S a ... a i A  ( 1)ij M Ví dụ 3.27 n n1 nn M  ai1 ai2 ... aij ain Hàng ij ij ij A = a        ij  1 ... 1 được gọi là phần bù đại số của a nn mod2 mod2 a a ... a a ij a = 1 det(A)( )      0( ) detA chẵn n1 n2 nj nn ij 1 ... 1 Cột j 08/08/2023 63 08/08/2023 64 16

Trang 17

CHƯƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC CHƯƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC Công thức khai triển định thức của A theo cột thứ j Công thức khai triển định thức của A theo hàng thứ i detA = a A  ...  a A detA  a A ...a A 1j 1j nj nj i1 i1 in in Nhận xét 3.5 a11 a12 ... a1j a1n a a ... a a 11 12 1j 1n Công thức khai triển theo cột thứ j và công thức khai triển theo hàng thứ           1j i (trong đó việc chọn hàng thứ i và cột thứ j là tùy ý) cho phép tính định a a ... a a  a (1) a a ... a a i1 i2 ij in 1j i1 i2 ij in thức cấp n theo tổng các số hạng dạng a A . Nếu ở hàng thứ i hoặc cột           ij ij a a ... a a j có số hạng aij = 0 thì aijAij = 0. Vì vậy để tính định thức ta thực hiện a a ... a a n1 n2 nj nn các bước sau: n1 n2 nj nn a a ... a a Chọn hàng i hoặc cột j có nhiều phần tử bằng 0 hoặc dễ triệt tiêu. 11 12 1j 1n      ... nj Thực hiện các phép biến đổi để triệt tiêu các phần tử trên hàng (hoặc a (1) a a ... a a nj i1 i2 ij in cột) đã chọn, cuối cùng trên hàng (hoặc cột) này chỉ có một phần tử      a a ... a a khác 0 (nếu chọn hàng thì ta biến đổi theo cột, tương tự thế đối với chọn cột). n1 n2 nj nn Khai triển theo hàng hoặc cột đã triệt tiêu. 08/08/2023 65 08/08/2023 66 CHƯƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC CHƯƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC Ví dụ 3.28 c c  c 3.2.4.2 Định lý khai triển Laplace (theo k hàng k cột) 1 2 3 4 1 3 3 1 2 2 2 1 0 1 2 2 c1 c4  c4 A [a ] k i i k j j D  1 0 0 0  Từ ma trận = ij nn ta để ý hàng 1, … , k và cột 1, … , k. 3 1 1 0  3 1 4 6 k k k. 1 2 0 5  Giao của hàng và cột này là một ma trận vuông cấp 1 2 1 7 Khai triển theo hàng thứ 2 ta được  Định thức của ma trận vuông cấp k này được ký hiệu là M j1,...,jk     2 2 2 i ,...,i 1 k     D  ( 1)21  1  1 4 6  Từ ma trận A ta xóa k hàng i1, … , ik và k cột j1, … , jk thì ta được     2 1 7 ma trận con cấp nk. Định thức của ma trận vuông cấp nk này     j ,...,j được ký hiệu là M 1 k . Tiếp tục triệt tiêu hàng thứ nhất của định thức trên ta có i ,...,i 1 k  Phần bù đại số của M j ,...,j được ký hiệu là 2 0 0 1 k 3 5 1 5 i ,...,i 1 k D   1 3 5  2  ( 2)(3)  6(95)  24 j ,...,j 3 9 1 9 Aj ,...,j  ( 1)i ...i j ...j M 1 k . 2 3 9 1 k 1 k 1 k i ,...,i i ,...,i 1 k 1 k 08/08/2023 67 08/08/2023 68 17

Trang 18

CHƯƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC CHƯƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC Ví dụ 3.29 Định lý 3.4 (Khai triển Laplace) a a a a a  Hàng 1 Chọn hàng 1, 3  11 12 13 14 15  k i , … , i a a a a a 1) Khai triển hàng 1 k  21 22 23 24 25  Chọn cột 2, 5 A = a a a a a  Hàng 3 detA   M j ,...,j Aj ,...,j  31 32 33 34 35  1 k 1 k a a a a a i ,...,i i ,...,i   1j ...j n 1 k 1 k 41 42 43 44 45 1 k a a a a a   51 52 53 54 55  Định thức của A bằng tổng tất cả các định thức con cấp k nằm Cột 2 Cột 5 trên k hàng cố định i , … , i nhân với phần bù đại số tương ứng a a 1 k M25  12 15 Xóa hàng 1,3 cột 2,5. của nó. 13 a a 32 35 a a a a a a 2) Khai triển k cột j1, … , jk 21 23 24 21 23 24 A25  ( 1)1  3 2 5 a a a  a a a  j ,...,j j ,...,j 13 41 43 44 41 43 44 detA  M 1 k A 1 k a a a a a a i ,...,i i ,...,i 1i ...i n 1 k 1 k 51 53 54 51 53 54 1 k 08/08/2023 69 08/08/2023 70 CHƯƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC CHƯƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC Ví dụ 3.30 Từ điều kiện 1  j  ...  j  n  k  j  n. 1 k k a ... a 0 ... 0  Nếu j  k thì M j1,...,jk  0 vì định thức này có ít nhất cột j bằng 0. 11 1k k 1,...,k k       a  a a ... a 0 ... 0 11 1k  Nếu j = k thì M j ,...,j  M1,...,k     . D  k1 kk 1 k k 1,...,k 1,...,k n a ... a a ... a a  a k11 k1k k1k1 k1n k1 kk       a ... a a ... a a ... a k1k1 k1n và A1,...,k ( 1)1  k 1 k    n1 nk kk1 nn 1,...,k a ... a nk1 nn Khai triển k hàng đầu i1 =1, … ,ik =k. a ... a a ... a 11 1k k1k1 k1n detA   M j1,...,jk Aj1,...,jk Vậy Dn        1,...,k 1,...,k 1j ...j n a ... a a ... a 1 k k1 kk nk1 nn 08/08/2023 71 08/08/2023 72 18

Trang 19

CHƯƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC CHƯƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC Ví dụ 2.31 Xét định thức cấp 2n a b 0 0 0 0  0 c d 0 0 0 2 2 2 a b a    D  e f 2 2 2  1 4 6 ij  24(ad bc) 0  0 g h 1 4 6 c d 2 1 7 D  i j 2 1 7 2n 1 0 0 0  0 b ij Ví dụ 3.32 Với mọi ma trận cùng cấp A,B luôn có 0 0 1 detAB  detAdetB Theo Ví dụ 3.30, khai triển Laplace theo n hàng đầu ta có:       n Giả sử A  a  B  b  C  AB  c  c  a b D  detAdetB. ij nn ij nn ij nn ij ik kj 2n k1 08/08/2023 73 08/08/2023 74 CHƯƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC CHƯƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC Nhân b11 với cột 1 cộng vào cột n1 thì định thức D2n trở thành: Tiếp tục biến đổi tương tự như trên cuối cùng được Tiếp tục nhân b21 với cột 2, …., nhânbn1 với cột n của D2n xong cộng a ... a c ... c 11 1n 11 1n tất cả vào cột n1 thì định thức D2n trở thành:       a ... a c ... c aa ...... aa a b a b...a b 0 0 0 0 D  n1 nn n1 nn 1111 1n1n 11 11 11 11 1n n1 2n 1 0 0         1 aa ...... aa a b ab...a b 0 0 0 0 1 0 0 DD = nn11 nnnn n1 11 n1 11 nn n1 22nn 11 0 0 b b b b 12 12 1n 1n 11      Khai triển Laplace theo n hàng cuối ta được 11 b 0 b b b b 1 c ... c n1 n2 nn n2 nn 11 1n 2 (2n n1) 1 2 ...   n n 1 ...2n n D  ( 1) 1     ( 1) 2 detC 2n a b ...a b  c … a b ...a b  c 1 c ... c 11 11 1n n1 11 n1 11 nn n1 n1 n1 nn 08/08/2023 75 08/08/2023 76 19

Trang 20

CHƯƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC CHƯƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC 3.2.5 ỨNG DỤNG ĐỊNH THỨC ĐỂ TÌM MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO Điều kiện cần và đủ để ma trận A tồn tại ma trận nghịch đảo là detA  0.  Ma trận vuông A được gọi là khả nghịch nếu tồn tại ma trận  Điều kiện cần vuông cùng cấp B sao cho detAdetA1  detAA1  detI  1  detA  0. AB  BA  I.  Điều kiện đủ Ma trận nghịch đảo A1 của ma trận A có dạng  Phép nhân ma trận có tính kết hợp nên ma trận B ở định nghĩa trên nếu tồn tại thì duy nhất, ta gọi ma trận này là ma trận 1 1 t A  B detA nghịch đảo của A. B = A  được gọi là ma trận phụ hợp của A  ij nn  Ma trận nghịch đảo của A, ký hiệu A1. Aij là phần bù đại số của phần tử aij của ma trận A = [aij]nn . 08/08/2023 77 08/08/2023 78 CHƯƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC CHƯƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC Chứng minh: Vậy: a a   a detA nÕu i  k 11 12 1n k a A ...a A   Khai triển theo hàng thứ i1 k1 in kn 0 nÕu i  k Hàng k a a   a  k1 k2 kn       a A ...a A  detA k1 k1 kn kn       a a   a a a  a  A A  A  detA 0  0  Hàng i 11 12 1n 11 21 n1 i1 i2 in a a  a  A A  A   0 detA  0  ABt   21 22 2n  21 22 n2    (detA I) a a   a                   n1 n2 nn       a a  a  A A  A   0 0  detA  n1 n2 nn   n1 2n nn   a a   a Khai triển theo hàng thứ k 11 12 1n Hàng k a a   a  ABt  (detA I) i1 i2 in       a A ...a A  0 i1 k1 in kn  1  1   1 i a a   a  A Bt   ABt  I  A1  Bt Hàng i1 i2 in detA  detA detA a a   a n1 n2 nn 08/08/2023 79 08/08/2023 80 20

Showing the first 20 pages. Download the document to see it all.

Comments (0)

Sign in to join the discussion

No comments yet. Be the first!

Related documents

Bộ đề ôn Đại số - Thi cuối kỳ HUST

Free923 pages

Tổng hợp Đề thi cuối kỳ đại số HUST BK0ST

Free729 pages

Đề minh họa Đại số tuyến tính (HUST)

Free72 pages

Giải Đề cương Đại số - Chương 4 (2024) (CLB HTHT HUST)

Free320 pages

Đề thi môn Đại số tuyến tính (NN2) (Kèm đáp án)

Premium38 pages
Same author

Đề thi TSA Khoa học giải quyết vấn đề - Khảo thí số 01

Free123 pages

Đề Đọc hiểu TSA - Khảo thí 01

Free26 pages

Đề Toán TSA - Khảo thí Toán học số 1 (Có đáp án)

Premium116 pages

Phiếu dự tuyển Vietcombank 2026 (VCB)

Free53 pages

Phiếu dự tuyển Vietcombank (VCB)

Free53 pages