Trang 1
Bộ đề thi cuối kỳ môn Đại số - HUST BỘ ĐỀ THI CUỐI KỲ MÔN ĐẠI SỐ Dành cho sinh viên trường Đại học Bách khoa Hà Nội Biên soạn: Tài liệu HUST ĐỀ CK ĐẠI SỐ DANH SÁCH ĐỀ THI ĐỀ CUỐI KỲ ĐẠI SỐ 20191 – ĐỀ 1 (Nhóm ngành 1).........................................................................2 ĐỀ CUỐI KỲ ĐẠI SỐ 20191 – ĐỀ 2 (Nhóm ngành 1).........................................................................3 ĐỀ CUỐI KỲ ĐẠI SỐ 20191 – ĐỀ 3 (Nhóm ngành 1).........................................................................4 ĐỀ CUỐI KỲ ĐẠI SỐ 20191 – ĐỀ 4 (Nhóm ngành 1).........................................................................5 ĐỀ CUỐI KỲ ĐẠI SỐ 20191 – ĐỀ 5 (Nhóm ngành 2).........................................................................6 ĐỀ CUỐI KỲ ĐẠI SỐ 20191 – ĐỀ 6 (Nhóm ngành 2).........................................................................7 ĐỀ CUỐI KỲ ĐẠI SỐ 20191 – ĐỀ 7 (Nhóm ngành 3).........................................................................8 ĐỀ CUỐI KỲ ĐẠI SỐ 20193 – ĐỀ 2 (Nhóm ngành 1).........................................................................9 ĐỀ CUỐI KỲ ĐẠI SỐ 20193 – ĐỀ 4 (Nhóm ngành 2).......................................................................10 ĐỀ CUỐI KỲ ĐẠI SỐ 20181 – ĐỀ 1 (Nhóm ngành 1).......................................................................11 ĐỀ CUỐI KỲ ĐẠI SỐ 20181 – ĐỀ 2 (Nhóm ngành 1).......................................................................12 ĐỀ CUỐI KỲ ĐẠI SỐ 20181 – ĐỀ 3 (Nhóm ngành 1).......................................................................13 ĐỀ CUỐI KỲ ĐẠI SỐ 20181 – ĐỀ 4 (Nhóm ngành 1).......................................................................14 ĐỀ CUỐI KỲ ĐẠI SỐ 20181 – ĐỀ 5 (Nhóm ngành 2).......................................................................15 ĐỀ CUỐI KỲ ĐẠI SỐ 20181 – ĐỀ 8 (Nhóm ngành 3).......................................................................16 ĐỀ CUỐI KỲ ĐẠI SỐ 20183 – ĐỀ 1 (Nhóm ngành 1).......................................................................17 ĐỀ CUỐI KỲ ĐẠI SỐ 20171 – ĐỀ 1 (Nhóm ngành 1).......................................................................18 ĐỀ CUỐI KỲ ĐẠI SỐ 20171 – ĐỀ 3 (Nhóm ngành 1).......................................................................19 ĐỀ CUỐI KỲ ĐẠI SỐ 20171 – ĐỀ 4 (Nhóm ngành 1).......................................................................20 ĐỀ CUỐI KỲ ĐẠI SỐ 20171 – ĐỀ 5 (Nhóm ngành 2).......................................................................21 ĐỀ CUỐI KỲ ĐẠI SỐ 20173 – ĐỀ 5 (Nhóm ngành 3).......................................................................22 ĐỀ CUỐI KỲ ĐẠI SỐ 20173 – ĐỀ 6 (Nhóm ngành 3).......................................................................23 Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 1
Trang 2
Bộ đề thi cuối kỳ môn Đại số - HUST ĐỀ CUỐI KỲ ĐẠI SỐ 20191 – ĐỀ 1 (Nhóm ngành 1) n 1+i 3 Re(z )= 0 Câu 1 (1 điểm). Cho z = ,n . Tìm n nhỏ nhất để . n 3 +i n 0 a +b Câu 2 (1 điểm). Chứng minh W = X∣ X = :a b, là không gian con của a −b 0 không gian véctơ các ma trận vuông cấp 2 trên . Tìm dimW . Câu 3 (2,5 điểm). Ký hiệu P ( )x là không gian véctơ các đa thức có bậc 2. 2 1. Hệ u ( )x = 2+ x+3x2,u ( )x = − +1 2 ,x u ( )x =1+8x+6x2 có phải là cơ sở của P ( )x 1 2 3 2 không? Vì sao? 2. Cho toán tử tuyến tính f : P ( )x → P ( )x được xác định bởi: 2 2 f (a+bx+ x2 )= 6a−2b−2c+(2a−3 )b x+(4a+b−2 )c x2 a) Viết ma trận của f theo cơ sở chính tắc 1, ,x x2 của P ( )x . 2 b) Tìm dim Ker f . Câu 4 (2,5 điểm). Trong 3 , tích vô hướng của a = (a ,a ,a ),b = (b b, ,b ) được xác định bởi 1 2 3 1 2 3 a b, = a b +a b +a b . 1 1 2 2 3 3 1. Cho u = (1,1, 0),u = (0,1,1). Tìm véctơ v (0, 0, 0) sao cho v u, = 0 với mọi 1 2 uSpanu u, . 1 2 2. Cho toán tử tuyến tính f : 3 → 3 được xác định bởi: f ( ,x y z, ) = (2x −2y −2 ,z −2x +5y + z, 2x + y +5 )z Tìm cơ sở trực chuẩn của 3 để ma trận của f theo cơ sở đó là ma trận đường chéo. Câu 5 (1 điểm). Với 0a, ký hiệu C ={ ( )f x ∣ f x( ) liên tục trên [−a a, ]} Ánh xạ [−a a, ] :C → ,( f ) = a f ( )dx x có phải là đơn ánh không? Tại sao? [−a a, ] −a Câu 6 (1 điểm). Cho A, B là 2 ma trận vuông cùng cấp thoả mãn A2019 = 0 và AB = A+ B. Chứng minh rằng det(B) = 0. Câu 7 (1 điểm). Cho V là không gian véctơ hữu hạn chiều và toán tử tuyển tính f :V →V . Chứng minh rằng dim Ker( f 2 ) 2dim(Ker f ). Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 2
Trang 3
Bộ đề thi cuối kỳ môn Đại số - HUST ĐỀ CUỐI KỲ ĐẠI SỐ 20191 – ĐỀ 2 (Nhóm ngành 1) n 2 +i 6 Im(z )= 0 Câu 1 (1 điểm). Cho z = ,n *. Tìm n nhỏ nhất để . n − +1 i n a +b 0 Câu 2 (1 điểm). Chứng minh W = X∣ X = :a b, là không gian con của 0 a −b không gian véctơ các ma trận vuông cấp 2 trên . Tìm dimW . Câu 3 (1 điểm ). Ký hiệu P ( )x là không gian véctơ các đa thức có bậc 2. 2 1. Hệ u ( )x =1− x+ x2,u ( )x =3+2x−3x2,u ( )x =1+3x−5x2 có phải là cơ sở của P ( )x 1 2 3 2 không? Vì sao? 2. Cho toán tử tuyến tính f : P ( )x → P ( )x được xác định bởi: 2 2 f (a+bx+ x2 )= 2a−b+c+(a−2 )b x+(a+b+c x) 2 a) Viết ma trận của f theo cơ sở chính tắc 1, ,x x2 của P ( )x . 2 b) Tìm dim Ker f . Câu 4 (2,5 điểm). Trong 3 tích vô hướng của x = (x ,x ,x ), y = (y , y , y ) được xác định bởi 1 2 3 1 2 3 x y, = x y + x y + x y . 1 1 2 2 3 3 1. Cho u = −( 2,1,1),u = (1,1,−1). Tìm véctơ v (0, 0, 0) sao cho v u, = 0 với mọi 1 2 uSpanu u, . 1 2 2. Cho toán tử tuyến tính f : 3 → 3 được xác định bởi: f ( ,x y z, ) = (3x −2 ,y −2 ,5 )x z Tìm cơ sở trực chuẩn của 3 để ma trận của f theo cơ sở đó là ma trận đường chéo. Câu 5 (1 điểm). Với a b, ký hiệu C ={f ( )x ∣ f ( )x liên tục trên [ ,a b]}. Ánh xạ [a b, ] :C → ,( f ) = b f ( )dx x có phải là toàn ánh không? Tại sao? [a b, ] a Câu 6 (1 điểm). Cho A, B là 2 ma trận vuông cùng cấp thoả mãn B2020 = 0 và 2AB =2A+3B. Chứng minh rằng det(A) = 0. Câu 7 (1 điểm). Cho V là không gian véctơ hữu hạn chiều và toán tử tuyến tính f :V →V . Chứng minh rằng dim Ker( f 2 ) 2dim(Ker f ). Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 3
Trang 4
Bộ đề thi cuối kỳ môn Đại số - HUST ĐỀ CUỐI KỲ ĐẠI SỐ 20191 – ĐỀ 3 (Nhóm ngành 1) Câu 1 (1 điểm). Cho f ( )z = z3 −(2+i z) 2 +(2+2 )i z −2i . Tính f ( )i và giải phương trình f ( )z = 0. Câu 2 (1 điểm). Ánh xạ f : 2 → , f ( ,x y) = (x2 + y)+(y− x i) có đơn ánh không? Vì sao? x+ 2y + az = 3 2x− y −az =1 Câu 3 (1 điểm). Tìm a b, để hệ có vô số nghiệm. 2x+ y + z = b Câu 4 (1,5 điểm). Cho E =e e, ,e là cơ sở trực chuẩn của không gian Euclide V và phép 1 2 3 1 −1 −1 f :V →V E A = −1 1 −1 . biến đổi tuyến tính có ma trận theo cơ sở là Tìm cơ sở trực −1 −1 1 chuẩn F =f , f , f sao cho ma trận của f theo cơ sở F là ma trận đường chéo. 1 2 3 Câu 5 (1 điểm). Cho E =e e, ,e là cơ sở của không gian véctơ V . Hệ các véctơ 1 2 3 F =f = 2e +4e −e , f = e −2e +2e , f = e +6e −2e có phải là một cơ sở của V hay 1 1 2 3 2 1 2 3 3 1 2 3 không? Vì sao? Câu 6 (2,5 điểm). Ký hiệu P ( )x là không gian véctơ các đa thức có bậc 2. 2 1. Cho toán tử tuyến tính f : P ( )x → P ( )x xác định bởi: 2 2 f (ax2 +bx+c)= (a−b x) 2 +(3b+c x) +a+2b+c . Tìm dim Im f . P ( )x p x( ),q x( ) = 1 p x q x( ) ( )dx u ( )x =1 2. Trên cho tích vô hướng và ; 2 0 1 u ( )x = x2; ( )v x = x. Tìm hình chiếu trực giao của véctơ v x( ) lên Span u ,u . 2 1 2 Câu 7 (1 điểm). Cho A là ma trận vuông cấp n khả nghịch thoả mãn A = 4A−1 . Tính det(A2019 − A). Câu 8 (1 điểm). Trong không gian véctơ các hàm số liên tục trên [a, b], chứng minh hệ véctơ u ( )x = x − ,k =1,n với ,i j i j; , =1,n độc lập tuyến tính. k k i j Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 4
Trang 5
Bộ đề thi cuối kỳ môn Đại số - HUST ĐỀ CUỐI KỲ ĐẠI SỐ 20191 – ĐỀ 4 (Nhóm ngành 1) Câu 1 (1 điểm). Cho f ( )z = z3 +(1+2 )i z2 +(1+2 )i z +2i. Tính f ( 2 )− i và giải phương trình f ( )z = 0. Câu 2 (1 điểm). Anh xạ f : 2 → , f ( ,x y) =(x3 +2y2 )+(3x3 +7y i) có toàn ánh không? Vì sao? 2x + y + az = −2 x +y + 2z = 3 Câu 3 (1 điểm). Tìm , để hệ có vô số nghiệm. 2x −y − z =1 Câu 4 (1 điểm). Cho E =e e, ,e là cơ sở trực chuẩn của không gian Euclide V và phép biến 1 2 3 0 1 1 f :V →V E A = 1 0 1 . đổi tuyến tính có ma trận theo cơ sở là Tìm cơ sở trực chuẩn 1 1 0 F =f , f , f sao cho ma trận của f theo cơ sở F là ma trận đường chéo. 1 2 3 Câu 5 (1 điểm). Cho E =e e, ,e là cơ sở của không gian véctơ V . Hệ các véctơ 1 2 3 F =f = e +2e −2e , f = 2e −3e +e , f = 3e −e −e có phải là một cơ sở của V hay 1 1 2 3 2 1 2 3 3 1 2 3 không? Vì sao? Câu 6 (2,5 điểm). Ký hiệu P ( )x là không gian véctơ các đa thức có bậc 2. 2 1. Cho toán tử tuyến tính f : P ( )x → P ( )x xác định bởi: 2 2 f (a+bx+cx2 )= 2a−b+(2b+c x) +(a+b+c x) 2 . Tìm dim Im f . P ( )x p x( ),q x( ) = 1 p x q x( ) ( )dx u ( )x =1 2. Trên cho tích vô hướng và ; 2 0 1 u ( )x = x v x; ( ) = x2 . Tìm hình chiếu trực giao của véctơ v x( ) lên Spanu u, . 2 1 2 Câu 7 (1 điểm). Cho A là ma trận vuông cấp n khả nghịch thoả mãn 9A = A−1 . Tính det(A− A2017 ). Câu 8 (1 điểm). Trong không gian véctơ các hàm số liên tục trên [a, b], chứng minh hệ véctơ u ( )x = x − ,k =1,n với ,i j i j; , =1,n độc lập tuyến tính. k k i j Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 5
Trang 6
Bộ đề thi cuối kỳ môn Đại số - HUST ĐỀ CUỐI KỲ ĐẠI SỐ 20191 – ĐỀ 5 (Nhóm ngành 2) Câu 1 (1 điểm). Giải phương trình sau trong trường số phức: z3 −(2+3 )i z2 −(1−3 )i z = 0. 1 0 Câu 2 (1.5 điểm). Cho A = , với c là một số thực cho trước. c 1 a) Chứng minh rằng A luôn khả nghịch. b) Tìm ma trận X thoả mãn phương trình: A X3 (A−1 )2 = E , trong đó E là ma trận đơn vị cấp 2 Câu 3 (1.5 điểm). Biện luận số nghiệm của hệ phương trình sau theo hệ số thực m : x −2x − x +3x =1 1 2 3 4 2x −4x + x = 5 1 2 3 x −2x + 2x −3x = m 1 2 3 4 Trong trường hợp hệ vô số nghiệm, hãy biểu diễn nghiệm theo x ,x . 2 4 Câu 4 (2 điểm). Cho ánh xạ tuyến tính f : 3 → 3 xác định bởi: f ( ,x y z, ) = (y + z x, + z x, + y),( ,x y z, ) 3. a) Tìm các giá trị riêng của ánh xạ tuyến tính f b) Tìm một cơ sở của 3 để ma trận của f theo hệ cơ sở đó có dạng đường chéo. Câu 5 (3 điểm). Trong không gian véctơ 4 trang bị tích vô hướng chính tắc, cho: V =Spanv = (1;0;1;0),v = (1;1;1;0),v = (1;1;0;0),v = (1;−1;3;0) . 1 2 3 4 4 a) Hệ véctơ v có phải là một hệ trực giao không? j j=1 b) Hãy tìm một hệ cơ sở của V . c) Tìm hình chiếu của véctơ = (2;0;−1;3) lên V . Câu 6 (1 điểm). Giả sử rằng AM ( ) - tập các ma trận thực vuông cấp n A, 2019 = 0 và A n chéo hoá được. Chứng minh rằng: A phải là ma trận không. Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 6
Trang 7
Bộ đề thi cuối kỳ môn Đại số - HUST ĐỀ CUỐI KỲ ĐẠI SỐ 20191 – ĐỀ 6 (Nhóm ngành 2) Câu 1 (1 điểm). Giải phương trình trong trường số phức: z4 −(2+3 )i z3 −(1−3 )i z2 = 0. 1 c Câu 2 (1.5 điểm). Cho A = , với c là một số thực cho trước. 0 1 a) Chứng minh rằng A luôn khả nghịch. b) Tìm ma trận X thoả mãn phương trình: A X5 (A−1 )4 = E , trong đó E là ma trận đơn vị cấp 2 Câu 3 (1 điểm). x −2x − x +3x =1 1 2 3 4 4x −8x − x +6x = 5 1 2 3 4 x −2x + 2x −3x = a 1 2 3 4 Trong trường hợp hệ vô số nghiệm, hãy biểu diễn nghiệm theo x ,x . 2 4 Câu 4 (1 điểm). Cho ánh xạ tuyến tính f : P x[ ]→ P x[ ] xác định bởi: 2 2 f (1) = x+ x2, f ( )x =1+ x2, f (x2 )=1+ x. a) Tìm các giá trị riêng của ánh xạ tuyến tính f b) Tìm một cơ sở của 3 để ma trận của f theo hệ cơ sở đó có dạng đường chéo. Câu 5 (1 điểm). Trong không gian véctơ 4 trang bị tích vô hướng chính tắc, cho: V =Spanv = (1;−1;0;1),v = (1;1;0;0),v = (1;1;0;1),v = (0;−2;0;−1) . 1 2 3 4 4 a) Hệ véctơ v có phải là một hệ trực giao không? j j=1 b) Hãy tìm một hệ cơ sở của V . c) Tìm hình chiếu của véctơ = (2;0;3;1) lên V . Câu 6 (1 điểm). Giả sử rằng AM ( ) - tập các ma trận thực vuông cấp n A, 2019 = 0 và A n chéo hoá được. Chứng minh rằng: A phải là ma trận không. Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 7
Trang 8
Bộ đề thi cuối kỳ môn Đại số - HUST ĐỀ CUỐI KỲ ĐẠI SỐ 20191 – ĐỀ 7 (Nhóm ngành 3) Câu 1 (1 điểm). Cho các mệnh đề A, B, C. Các mệnh đề A (B → C) và (A B) → C có tương đương logic không? Vì sao? Câu 2 (1 điểm). Giải phương trình phức sau: z4 −(2+4 )i z2 −3−4i = 0. Câu 3 (1 điểm). Cho ma trận vuông A = a và thực hiện đổi chỗ hàng 1 và hàng 2, ta thu ij 3 3 được ma trận B . Chứng tỏ luôn tồn tại ma trận X để XA = B. x − x +3x + mx = n+1 1 2 3 4 Câu 4 (2 điểm). Cho hệ x + x + mx + x = n (m n, là tham số). 1 2 3 4 x + mx + 4x − x = 2 1 2 3 4 a) Tìm m, n để hệ có một nghiệm là (2;1;3;1) . b) Tìm điều kiện của m, n để hệ có nghiệm. Câu 5 (1 điểm). Trong 3 cho các véctơ: u = (1;0;1),u = −( 3; 2;1),u = (2;−1;0),u = (5;6;7).$ 1 2 3 4 Tìm số chiều của không gian U =Span(u u, ,u ) và kiểm tra xem u có thuộc vào không gian 1 2 3 4 U hay không? Câu 6 (2.5 điểm). Cho biến đổi tuyến tính f : P x[ ]→ P x[ ] xác định bởi: 1 1 f (a +a x)= (a +a )+(3a −a )x. 0 1 0 1 0 1 a) Tìm ma trận của f đối với cơ sở chính tắc của P x[ ] và kiểm tra f có đơn ánh không? 1 b) Tìm các trị riêng và các véctơ riêng của f . Câu 7 (1.5 điểm). Trong 4 với tích vô hướng chính tắc, cho các véctơ: u = (1; 2;1;1),u = (2;1;1; 2). 1 2 a) Tìm một cơ sở trực chuẩn B của không gian W =Span(u ,u ). 1 2 b) Tìm hình chiếu trực giao của véctơ u = 2u +3u lên không gian W . 1 2 Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 8
Trang 9
Bộ đề thi cuối kỳ môn Đại số - HUST ĐỀ CUỐI KỲ ĐẠI SỐ 20193 – ĐỀ 2 (Nhóm ngành 1) Câu 1 (1 điểm). Cho ánh xạ f : → , f ( )x = x2 + x và tập A= {0, 1, 2}. Xác định f (A); f −1(A) x + x − x + x = 2 1 2 3 4 x + 2x + x +3x = 7 1 2 3 4 Câu 2 (2 điểm). Cho hệ phương trình: −x −3x + 2x = −2 1 2 3 3x + 4x −4x +(m+3)x = m+6 1 2 3 4 a) Giải hệ phương trình bằng phương pháp khử Gauss với m=3. b) Tìm m để hệ phương trình có vô số nghiệm. Câu 3 (3 điểm). Cho ánh xạ tuyến tính f 3 → 3 xác định bởi: f (x ,x ,x )=(6x −2x +5x , 2x − x + x ,x +2x ). 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 3 a) Tìm ma trận của f trong cơ sở chính tắc của 3 b) Tìm dim Im f ; dim Ker f . c) Véctơ u=(3, 2, 1) có thuộc Im f không? Tại sao? 12 3 −3 −8 2 4 Câu 4 (2 điểm). Chéo hoá ma trận biết rằng 3; 6 là các trị riêng của nó. 10 5 1 Câu 5 (1.5 điểm). Cho không gian Euclide 3 với tích vô hướng chính tắc. Cho W = Span{(1,1,1), (3, 4,5), (6, 7,8)}. a) Tìm một cơ sở trực chuẩn của W. b) Tìm hình chiếu trực giao của u=(4,2,6) lên W. Câu 6 (1 điểm). Cho A là một ma trận thực vuông. Chứng minh rằng det(A2 + I) 0, ở đó I là ma trận đơn vị cùng cấp với A. Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 9
Trang 10
Bộ đề thi cuối kỳ môn Đại số - HUST ĐỀ CUỐI KỲ ĐẠI SỐ 20193 – ĐỀ 4 (Nhóm ngành 2) Câu 1 (1 điểm). Cho các tập hợp A, B, C. Chứng minh rằng nếu A C thì AB CB. Câu 2 (2 điểm). Cho ánh xạ f : \{2}→ ; g : → xác định bởi: x2 +3 f ( )x = x + 2,g x( ) = . x2 + 4 a) Ánh xạ g có phải toàn ánh không? Tìm Im g. b) Xác định ánh xạ tích g f . Câu 3 (2 điểm). Cho các véctơ u = −( 1, 4,−2,−5,1), u = (5,1,7,6, 2), u = (3, 2, 4,6,0), u = (2,−1,3,0, 2) trong không gian 1 2 3 4 5. Tìm số chiều và một cơ sở của không gian sinh bởi các véctơ này. Câu 4 (1 điểm). Cho ánh xạ tuyến tính f : P x[ ]→ P x[ ] xác định bởi: 3 2 f (a+bx+cx2 +dx3 )= (a+b)+2cx+dx2 với mọi a b c d, , , . Xác định ma trận f theo cặp cơ sở chính tắc của các không gian P x , P x . 3 2 3 0 2 Câu 5 (2 điểm). Chéo hoá ma trận A = −2 2 −4 . 0 0 2 Câu 6 (1 điểm). Trong không gian Euclide 4 với tích vô hướng thông thường, cho các véctơ u=(-2, 0, -1, 1) và v=(1, -2, 1, 0). a) Tính khoảng cách giữa 2 véctơ u, v. b) Trực chuẩn hoá Gram-Schmidt hệ véctơ u, v. Câu 7 (1 điểm). Cho là argument của số phức 1+i 2 , và n là một số nguyên dương. Rút gọn số phức z =(1+i 2)n +(1−i 2)n theo n và . Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 10
Trang 11
Bộ đề thi cuối kỳ môn Đại số - HUST ĐỀ CUỐI KỲ ĐẠI SỐ 20181 – ĐỀ 1 (Nhóm ngành 1) Câu 1 (1 điểm). Cho các tập hợp con của là A =[1;3] và B = (m m; +3) . Tìm m để (A\ B) (A B) . Câu 2 (1 điểm). Tìm các số phức z thoả mãn z3 = 4 3 −4i , với i là đơn vị ảo. 3 7 2 3 6 Câu 3 (1 điểm). Giải phương trình ma trận X = − X . 3 4 3 1 4 x − x + x + x = 0 1 2 3 4 Câu 4 (4 điểm). Cho hệ phương trình 2x − x +3x −2x = 0 với m là tham số 1 2 3 4 −x +(m−3)x −3x +7x = m 1 2 3 4 a) Giải hệ phương trình khi m=2. b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm. c) Khi m=0, các nghiệm của hệ phương trình lập thành một không gian véctơ con U của 4 . Tìm số chiều và một cơ sở của U . d) Trong 4 với tích vô hướng chính tắc, tìm hình chiếu trực giao của v = (4; 5; −6; −9) lên không gian con của U ở câu c. Câu 5 (2 điểm). Cho biến đổi tuyến tính f : 3 → 3 xác định bởi: f (x ;x ;x )= −( 2x +3x + x ;−x − x + x ;−3x +2x +2x ). 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 a) Tìm m để véctơ u = (1;3;m)Im( f ) . Ánh xạ trên có phải là toàn ánh không? Vì sao? b) Tìm cơ sở của 3 để đối với cơ sở đó, ma trận của f có dạng đường chéo. Câu 6 (1 điểm). Trong không gian véctơ các hàm số liên tục trên , chứng minh hệ véctơ B ={sin x, cos x, sin 2 , cos 2 ,x x , sin10 , cos10 }x x là hệ độc lập tuyến tính. Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 11
Trang 12
Bộ đề thi cuối kỳ môn Đại số - HUST ĐỀ CUỐI KỲ ĐẠI SỐ 20181 – ĐỀ 2 (Nhóm ngành 1) Câu 1 (1 điểm). Cho các tập hợp con của là A =[2; 4] và B = (m m; +1). Tìm m để (B \ A) (A\ B) . Câu 2 (1 điểm). Tìm các số phức z thoả mãn z3 = 4 3 +4i, với i là đơn vị ảo. 3 2 1 2 3 Câu 3 (1 điểm). Giải phương trình ma trận X = + X . 5 4 4 5 6 x − x + x − x = m 1 2 3 4 Câu 4 (4 điểm). Cho hệ phương trình 3x −2x + 2x + x = 0 1 2 3 4 −x + mx −2x − x = 0 1 2 3 4 a) Giải hệ phương trình khi m=1. b) Tìm m để hệ phương trình vô nghiệm. c) Khi m=0, các nghiệm của hệ phương trình lập thành một không gian véctơ con U của 4 . Tìm số chiều và một cơ sở của U . d) Trong 4 với tích vô hướng chính tắc, tìm hình chiếu trực giao của v = (5; 2; 4; −3) lên không gian con của U ở câu c. Câu 5 (2 điểm). Cho biến đổi tuyến tính f : 3 → 3 xác định bởi: f (x ;x ;x )=(2x −3x + x ;x + x + x ;3x −2x +2x ). 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 a) Tìm m để véctơ u = (3;5;m)Im( f ) . Ánh xạ trên có phải là toàn ánh không? Vì sao? b) Tìm cơ sở của 3 để đối với cơ sở đó, ma trận của f có dạng đường chéo. Câu 6 (1 điểm). Trong không gian véctơ các hàm số liên tục trên , chứng minh hệ véctơ B ={sin x, cos x, sin 2 , cos 2 ,x x , sin10 , cos10 }x x là hệ độc lập tuyến tính. Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 12
Trang 13
Bộ đề thi cuối kỳ môn Đại số - HUST ĐỀ CUỐI KỲ ĐẠI SỐ 20181 – ĐỀ 3 (Nhóm ngành 1) Câu 1 (1 điểm). Cho cáo mệnh đề A, B, C. Lập bảng giá trị chân lý của mệnh đề: (A B) →C. Câu 2 (1.5 điểm). Cho ánh xạ f : → xác định bởi f ( )z = 2z3 −1. Ảnh xạ f có phải là đơn ánh không? Vì sao? Xác định tích các môđun của các phần tử trong tập nghịch ảnh f −1({5+2 })i . 1 3 −2 Câu 3 (2 điểm). Cho ma trận A = 2 −1 3 . 3 2 1 a) Tính det(A+2E)5 , trong đó E là ma trận đơn vị cấp 3. b) Giải phương trình ma trận AX =0 0 0T . Câu 4 (1.5 điểm). Trong không gian P x[ ], cho hệ vécto: 3 u =1+2x−x3, u = 2−x+ x2 +2x3, u = − +1 x−x2 −x3, u = 4+2x2 1 2 3 4 và các không gian véctơ con V = spanu u, ,V = spanu ,u . Tìm số chiều và một cơ sở của 1 1 2 2 3 4 các không gian con V +V và V V 1 2 1 2 Câu 5 (2 điểm). Cho biến đồi tuyến tính trên không gian 3 xác định bởi: f (1; 2;−1) = (2; 2; 4), f (2;1;3) = (1; 2;−1), f (1;1; 2) = (2;3;1). a) Xác định Im( f ) b) Tìm các trị riêng của f Câu 6 (2 điểm). Cho dạng toàn phương: h x( ,x ,x )= ax2 +3x2 +2x2 −4x x +2x x −2x x . 1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3 a) Tìm điều kiện của a để dạng toàn phương xác định dương. b) Với a=2, ta có duy nhất một tích vô hướng u v, trên 3 thoả mãn u u, = h u( ) . Tìm một cơ sở trực chuẩn của 3 với tích vô hướng này thông qua việc trực chuẩn hoá Gram- Smith cơ sở chính tắc của 3 Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 13
Trang 14
Bộ đề thi cuối kỳ môn Đại số - HUST ĐỀ CUỐI KỲ ĐẠI SỐ 20181 – ĐỀ 4 (Nhóm ngành 1) Câu 1 (1 điểm). Cho các mệnh đề A, B, C. Lập bảng giá trị chân lý của mệnh đề: A → (B C).$ Câu 2 (1.5 điểm). Cho ánh xạ f : → xác định bởi f ( )z = 2z3 +1. Ánh xạ f có phải là toàn ánh không? Vì sao? Xác định tích các môđun của các phần tử trong tập nghịch ảnh f −1({5−2 })i 1 3 2 Câu 3 (2 điểm). Cho ma trận A = 2 −1 −3 . 3 2 −1 a) Tính det(A−2E)5 , trong đó E là ma trận đơn vị cấp 3. b) Giải phương trình ma trận XA =0 0 0. Câu 4 (1.5 điểm). Trong không gian P x[ ], cho hệ véctơ: 3 u =1−2x−x3, u = 2−x−x2 +2x3, u = − +1 x−x2 −x3, u = 4−4x+2x2 +2x3 1 2 3 4 và các không gian véctơ con V = spanu ,u ,V = spanu ,u . Tìm số chiều và một cơ sở của 1 1 2 2 3 4 các không gian con V +V và V V 1 2 1 2 Câu 5 (2 điểm). Cho biến đổi tuyến tính trên không gian 3 xác định bởi: f (2;3;−1) = (6; 2;−2), f (1;1;3) = (2;3;−1), f (3;1;−1) = (5; 4;−2). a) Xác định Im( f ) b) Tìm các trị riêng của f Câu 6 (2 điểm). Cho dạng toàn phương: h x( ,x ,x )= ax2 +3x2 +2x2 +4x x −2x x +2x x . 1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3 a) Tìm điều kiện của a để dạng toàn phương xác định dương. b) Với a=2, ta có duy nhất một tích vô hướng u v, trên 3 thoả mãn u u, = h u( ) . Tìm một cơ sở trực chuẩn của 3 với tích vô hướng này thông qua việc trực chuẩn hoá Gram- Smith cơ sở chính tắc của 3 Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 14
Trang 15
Bộ đề thi cuối kỳ môn Đại số - HUST ĐỀ CUỐI KỲ ĐẠI SỐ 20181 – ĐỀ 5 (Nhóm ngành 2) Câu 1 (1 điểm). Tìm các nghiệm phức của phương trình z4 = ( 3 +i)6 thoả mãn điều kiện | z −2 |i 3. 1 3 8 7 Câu 2 (1 điểm). Cho các ma trận A = , B = . 4 4 14 11 Tìm ma trận X thoả mãn AX = B− X . Câu 3 (2 điểm). Trong không gian P x[ ] cho các véctơ: 2 v =1+ x+ x2, v = 2+mx−x2, v = 4+5x+ x2, v =10+11x−5x2. 1 2 3 a) Xác định m để hệ B =v v, ,v phụ thuộc tuyến tính. 1 2 3 b) Với m=2, chứng minh B lập thành cơ sở của không gian P x[ ]. Tìm toạ độ của véctơ v đối 2 với cơ sở B . Câu 4 (3 điểm). Cho ánh xạ tuyến tính f : 3 → 3 thoả mãn: f (1,1, 0) = (3,3,9), f (2,−1,1) = −( 1,3,1), f (0,1,1) = (1,1,3). a) Lập ma trận của f đối vói cơ sở chính tắc của 3 . b) Xác định f (3, 4,5) . c) Xác định số chiều và một cơ sở của ker f . Câu 5 (2 điểm). Trong 4 với tích vô hướng chính tắc, cho các véctơ: v = (1,1, 2,−1), v = (1, 2,1,1), v = (3, 4,5,−1). Cho V =Spanv v, ,v . 1 2 3 1 2 3 a) Xác định số chiều và một cơ sở của V. b) Tìm hình chiếu trực giao của vecto v=(4,1,0,4) lên V . Câu 6 (1 điểm). Cho ma trận A cỡ mn với m n , có hạng bằng m . Chứng minh tồn tại ma trận B cõ nm sao cho AB = E , với E là ma trận đơn vị. Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 15
Trang 16
Bộ đề thi cuối kỳ môn Đại số - HUST ĐỀ CUỐI KỲ ĐẠI SỐ 20181 – ĐỀ 8 (Nhóm ngành 3) Câu 1 (1 điểm). Cho mệnh đề P: " x , y : y x ". a) Xác định mệnh đề phủ định của P . b) Mệnh đề P muốn khẳng định điều gì? Câu 2 (1 điểm). Cho các tập hợp A, B, C. Chứng minh rằng: A(BC) = (AB)(AC). Câu 3 (2 điểm). Cho các vecto v = (2,1,0,−3),v = (1,−1, 2,5),v = (5,3,1, 2),v = (8,5,6,1). 1 2 3 4 a) Chứng minh v ,v ,v ,v lập thành một cơ sở của không gian 4 . 1 2 3 4 b) Tìm toạ độ của véctơ u = (23,14,17,−5) đối với cơ sở trên. Câu 4 (3 điểm). Cho ánh xạ tuyến tính f : 3 → 3 xác định bởi: f (1, 2,3) = (13,−7,−2), f (1, 2, 0) = (4, 2,−2), f (2, 0, 0) = (4, 0, 4). a) Tìm ma trận của f đối với cơ sở chính tắc của 3 . b) Tìm các giá trị riêng, véctơ riêng của f . c) Tìm số chiều của không gian hạt nhân và không gian ảnh của f . Câu 5 (2 điểm). Trong không gian 5 với tích vô hướng chính tắc, cho các véctơ: v = (1,−1,−1,1,1), v = (2,1, 4,−4, 2), v = (4,−3,−2,6,0). 1 2 3 Ký hiệu V là không gian sinh bởi v ,v ,v . 1 2 3 a) Tìm một cơ sở trực chuẩn của V bằng phương pháp Gram-Schmidt. b) Tìm hình chiếu trực giao của véctơ v = (0, 2, 4, 6,8) lên V . Câu 6 (1 điểm). Chứng minh rằng nếu ma trận A đồng dạng với ma trận B , thì A4 cũng đồng dạng với B4 . Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 16
Trang 17
Bộ đề thi cuối kỳ môn Đại số - HUST ĐỀ CUỐI KỲ ĐẠI SỐ 20183 – ĐỀ 1 (Nhóm ngành 1) Câu 1. Xét xem mệnh đề sau đúng hay sai: "Nếu số thực x thoả mãn phương trình x2 −2x +10 = 0 thì x phải là số âm". Câu 2. Gọi là tập hợp các số phức. Xét ánh xạ f : → xác định bởi công thức f ( )z = z6 −2z3 −2+i . Xác định tập hợp f −1({1+i}). 2 1 2 4 3 4 Câu 3. Cho các ma trận A = 1 1 0 , B = . 4 2 −2 1 1 2 Tìm ma trận X thoả mãn XA = B. Câu 4. Gọi G là tập hợp các ma trận vuông cấp n với định thức khác 0. Chúng minh rằng G là một nhóm với phép nhân ma trận. Câu 5. Trong 4 với tích vô hướng chính tắc, cho các véctơ: v = (1;1;0;1), v = (2;1;−1; 2), v = −( 1; 2;1;0), v = (1; 2;−1; 2). 1 2 3 4 Đặt U =Spanv v, ,V =Spanv ,v . 1 2 3 4 a) Tìm giá trị m sao cho véctơ = (11;5;m;12) thuộc không gian U +V . b) Xác định số chiều và một cơ sở của U V . c) Tìm hình chiếu trực giao của véctơ v = (3; 2;0;6) lên U . 1 2 1 Câu 6. Ánh xạ tuyến tính f : P x[ ]→ P x[ ] có ma trận A = 1 3 −1 đối với cơ sở 2 2 1 1 3 B =v v, ,v , với v =1,v =1+ x v, = 2−x+ x2 . 1 2 3 1 2 3 a) Xác định ma trận của f đối với cơ sở chính tắc E =1,x x, 2. Tính f (4+3x+2x2 ). b) Tìm số chiều và một cơ sở của ker( f ) . Câu 7. Cho A là ma trận thực vuông cấp 4. Biết rằng đa thức đặc trưng det(A−E) nhận các số phức =1+ 2i và = 3−2i làm nghiệm. Tính det(A) . 1 2 Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 17
Trang 18
Bộ đề thi cuối kỳ môn Đại số - HUST ĐỀ CUỐI KỲ ĐẠI SỐ 20171 – ĐỀ 1 (Nhóm ngành 1) Câu 1 (1 điểm). Cho ánh xạ f : → xác định bờ f ( )x = x2 +2x−1 và tập hợp A ={2;1;−3}. Xác định tập ảnh f (A) và tập nghịch ảnh f −1(A). Câu 2 (1.5 điểm). Cho phương trình phức z4 +16i = 0. Biểu diễn hình học các nghiệm của phương trình trên. Câu 3 (1 điểm). Giải phương trình ma trận AX + AT = 2B, với 2 −3 −1 2 A = và B = . −5 8 1 −1 mx + 2x − x = 3 1 2 3 Câu 4 (1 điểm). Tìm m để hệ phương trình x + mx + 2x = 4 có nghiệm duy nhất. 1 2 3 2x +3x + x = −m 1 2 3 Câu 5 (1.5 điểm). Trong không gian P x[ ], cho các véctơ u =1+ x− x2,u =3x−x2 , 2 1 2 u = 2+3 ,x u = − +1 x−2x2 . Đặt U = spanu ,u và U = spanu ,u . Xác định số chiều và 3 4 1 1 2 2 3 4 một cơ sở của không gian U U . 1 2 Câu 6 (2 điểm). Cho toán tử tuyến tính trên 3 xác định bởi: f (1; 2;−1) = (4;−2;−6); f (1;1; 2) = (5;5;0); f (1;0;0) = (1; 2;1) a) Tìm m để u = (6;−3;m)Im( f ). b) Tìm các giá trị riêng và véctơ riêng của f . Câu 7 (1.5 điểm). Trong 4 với tích vô hướng chính tắc. a) Trực chuẩn hóa Gram-Schmidt hệ gồm 2 véctơ sau: u = (1;1;1;0) và u = (0;1;1;1). 1 2 b) Cho vecto v=(3;2 ;4 ;2). Xác định véctơ uSpanu u, sao cho ‖ u −v‖ nhỏ nhất. 1 2 Câu 8 (0.5 điểm). Trong không gian P [ ]x , tìm một cơ sở và số chiều của không gian 2018 V ={p x( )∣ p(1) = p(2) = 0}. Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 18
Trang 19
Bộ đề thi cuối kỳ môn Đại số - HUST ĐỀ CUỐI KỲ ĐẠI SỐ 20171 – ĐỀ 3 (Nhóm ngành 1) Câu 1 (1 điểm). Giải phương trình trên trường số phức: (z +i)7 = (z −i)7 . 1 0 −1 1 0 Câu 2 (1 điểm). Câu 2 (1 diểm). Giải phương trình ma trận: X = . 2 1 2 2 Câu 3 (1.5 điểm). Giải và biện luận theo hệ số thực a hệ phương trình: x + 2x + x = 0 1 2 3 ax +(1−a x) +(a2 +1)x = 0 2 3 4 2 x +(2−a x) − x −2a x = 0 1 2 3 4 Câu 4 (3 điểm). Cho ánh xạ tuyến tính f : 3 → 3 xác định bởi: f ( ,x y z, ) = (4x −2y +2 ,z −2x + y − z, 2x − y + z). a) Với tích vô hướng chính tắc của 3,hãy tìm một cơ sở trực chuẩn để ma trận của f theo hệ cơ sở đó có dạng đường chéo. b) Tìm toạ độ của véctơ = (1, 0,1) theo hệ cơ sở trực chuẩn đó. c) Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau, với điều kiện x2 + y2 + z2 = 9 : ( ,x y z, ) = 4x2 + y2 + z2 −4xy +4xz −2yz, ( ,x y z, ) 3. Câu 5 (1.5 điểm). Trong không ain vec to 4 trang bị tích vô hướng chính tắc, cho: V =Spanv = (1; 2;3;1),v = (1;3;3; 2) 1 1 2 V =Spanv = (1; 2;5;3),v = (1;3; 4;3) 2 3 4 Tìm một cơ sở trực chuẩn của V +V . Tìm hình chiếu của = (1;1; 2;0) lên V +V . 1 2 1 2 Câu 6 (1 điểm). Cho P x[ ] là tập các đa thức hệ số thực có bậc nhỏ hơn hoặc bằng 2, và ánh xạ 2 : P x[ ]→ 3 xác định bởi (p x( )) = (p(0), p(1), p( 1))− . Hỏi có phải là một đẳng cấu 2 không? Giải thích? Câu 7 (1 điểm). Ký hiệu Mn,1( ) là tập các ma trận thực kích cỡ n1. Giả sử rằng A, B là 2 ma trận vuông thực cấp n, (0 n ) thoả mãn: X AYt = X BYt ,X Y, M ( ) . n,1 Chứng minh rằng A = B . Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 19
Trang 20
Bộ đề thi cuối kỳ môn Đại số - HUST ĐỀ CUỐI KỲ ĐẠI SỐ 20171 – ĐỀ 4 (Nhóm ngành 1) Câu 1 (1 điểm). Giải phương trình trên trường số phức: (z +i)9 = (z −i)9 . 2 0 −1 1 0 Câu 2 (1 điểm). Giaii phương trình ma trận: X = . 4 2 1 1 Câu 3 (1.5 điểm). Giải và biện luận theo hệ số thực a hệ phương trình: x + 2x − 2x − x = 0 1 2 3 4 ax +(1−a x) +(a2 +1)x = 0 2 3 4 2 2x +(4−a x) −4x −2(a +1)x = 0 1 2 3 4 Câu 4 (31.5 điểm). Cho ánh xạ tuyến tính f : 3 → 3 xác định bởi f ( ,x y z, ) = (4x +2y −2 , 2z x + y − z,−2x − y + z). a) Với tích vô hướng chính tắc của 3,hãy tìm một cơ sở trực chuẩn để ma trận của f theo hệ cơ sở đó có dạng đường chéo. b) Tìm toạ độ của véctơ = (1, 0,1) theo hệ cơ sở trực chuẩn đó. c) Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau, với điều kiện x2 + y2 + z2 =16 : ( ,x y z, ) = 4x2 + y2 + z2 +4xy −4xz −2yz,( ,x y z, ) 3. Câu 5 (1.5 điểm). Trong không ain vec to 4 trang bị tích vô hướng chính tắc, cho: V =Spanv = (1; 2;3;1),v = (1;3;3; 2) 1 1 2 V =Spanv = (1; 2;5;3),v = (1;3; 4;3) 2 3 4 Tìm một cơ sở trực chuẩn của V V . Tìm hình chiếu của = (1;1;0;1) lên V V . 1 2 1 2 Câu 6 (1 điểm). Cho P x[ ] là tập các đa thức hệ số thực có bậc nhỏ hơn hoặc bằng 2 , và ánh xạ 2 : P x[ ]→ 3 xác định bởi (p x( )) = (p(0), p( 1),− p(1)) . Hỏi có phải là một đẳng cấu 2 không? Giải thích? Câu 7 (1 điểm). Ký hiệu Mn,1( ) là tập các ma trận thực kích cỡ n1. Giả sử rằng A, B là 2 ma trận vuông thực cấp n, (0 n ) thoả mãn: X AYt = X BYt ,X Y, M ( ) . Chứng minh n,1 rằng A = B. Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 20
Showing the first 20 pages. Download the document to see it all.
Comments (0)
No comments yet. Be the first!