Trang 1
TRẠI HÈ PHƯƠNG NAM CHUYÊN ĐỀ HẠT CHUYỂN ĐỘNG TRONG HỘP THẾ Đơn vị:Trường THPT chuyên Trần Văn Giàu – tỉnh Long An GV: Đặng Hà Xuyên Năm 2025
Trang 2
MỤC LỤC A. MỞ ĐẦU....................................................................................................................1 1. Lý do chọn đề tài.....................................................................................................1 2. Mục đích của đề tài.................................................................................................1 B. NỘI DUNG.................................................................................................................3 I. Cơ sở lý thuyết.........................................................................................................3 1. Hệ đơn vị chuẩn SI...........................................................................................3 2. Hạt chuyển động trong hộp thế........................................................................3 II. Một số bài tập vận dụng.......................................................................................12 1. Một số bài tập cơ bản.....................................................................................12 2. Một số bài tập trích từ các đề thi trong nước và quốc tế................................26 C. KẾT LUẬN..............................................................................................................42 1. Những vấn đề quan trọng của đề tài......................................................................42 2. Những đề xuất, ý kiến...........................................................................................42 TÀI LIỆU THAM KHẢO.............................................................................................44
Trang 3
Chuyên đề: Hạt chuyển động trong hộp thế A. MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi tại trường THPT, giáo viên và học sinh đều đặt ra mục tiêu là đạt kết quả cao trong kỳ thi học sinh giỏi Quốc Gia và có cơ hội tham gia vào kỳ thi học sinh giỏi Quốc Tế. Vì thế kiến thức mà các em học sinh cần phải học, nghiên cứu thì bao gồm rất nhiều nội dung Hóa học, trong đó có phần Hóa học lượng tử. Hóa học lượng tử có rất nhiều ứng dụng trong nghiên cứu cấu trúc của nguyên tử, phân tử và đóng góp vào sự phát triển của các ngành công nghiệp tiên tiến như: chế tạo thuốc và dược phẩm; sản xuất các vật liệu tiên tiến như siêu dẫn, vật liệu nano, và pin năng lượng cao; phát triển các hệ thống máy tính lượng tử và các thiết bị quang học tiên tiến;… Các ứng dụng của Hóa học lượng tử không ngừng mở rộng, góp phần quan trọng vào sự tiến bộ khoa học và công nghệ trong thế kỷ 21. Việc giáo viên giảng dạy và học sinh học tập nội dung này rất phù hợp với xu hướng phát triển của Hóa học hiện đại. Trong các đề thi học sinh giỏi Quốc gia và Quốc tế, phần Hóa lượng tử cụ thể là ứng dụng của phương trình Schrodinger cho hộp thế một chiều, hai chiều và ba chiều được đề cập đến. Nội dung này đã xuất hiện từ lâu ở các đề thi Quốc Tế như đề thi chuẩn bị năm 2007, đề thi chuẩn bị năm 2010, đề thi chuẩn bị năm 2015 và trong đề thi chính thức năm 2012. Còn ở Việt Nam, nội dung này xuất hiện đầu tiên ở đề chọn đội tuyển vòng 2 năm 2005. Đến năm 2013, trong đề thi học sinh giỏi Quốc gia thì nội dung này xuất hiện ở vòng 1 và vòng 2. Sau đó, đến năm 2017 trong đề thi Quốc Gia vòng 1 nội dung này được hỏi ở ngày 2 ở câu 4.1. Tuy kiến thức ứng dụng của phương trình Schrodinger cho hộp thế một chiều, hai chiều và ba chiều được hỏi không chiếm nhiều trong đề thi nhưng nó là một phần kiến thức không thể tách rời khi học sinh học tập và ôn luyện. Từ thực tế này, với mục đích xây dựng một chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi gồm hệ thống lý thuyết và bài tập liên quan đến nội dung trên nhằm giảng dạy cho các em học sinh thi học sinh giỏi Quốc Gia và Quốc tế, tôi đã chọn đề tài bài tập về “Hạt chuyển động trong hộp thế” phục vụ bồi dưỡng học sinh giỏi môn Hóa học ở trường THPT chuyên. 2. Mục đích của đề tài Mục đích của đề tài “Bài tập về hạt chuyển động trong hộp thế phục vụ bồi dưỡng học sinh giỏi môn Hóa học ở trường THPT chuyên” là nghiên cứu và xây dựng hệ thống lý thuyết và bài tập có lời giải chi tiết, nhằm giúp học sinh hiểu rõ và vận dụng thành thạo 1
Trang 4
Chuyên đề: Hạt chuyển động trong hộp thế các kiến thức về ứng dụng của phương trình Schrödinger khi vi hạt chuyển động trong hộp thế một chiều, hai chiều và ba chiều. Đề tài hướng đến việc nâng cao khả năng tư duy, sử dụng chính xác đơn vị các đại lượng và kỹ năng giải quyết các bài tập để chuẩn bị tốt cho các kỳ thi học sinh giỏi Quốc gia và Quốc tế. Cụ thể, đề tài nhằm đạt được các mục đích sau: - Nhắc lại các đơn vị của các đại lượng được sử dụng khi tính toán trong các công thức. - Trình bày cơ sở lý thuyết về Hóa học lượng tử, sử dụng phương trình Schrödinger để chứng minh được công thức năng lượng và hàm sóng của hạt chuyển động trong hộp thế một chiều và suy ra các công thức tương tự cho hộp thế ba chiều, giúp học sinh nắm vững về lý thuyết. - Sưu tầm và hệ thống các bài tập từ cơ bản đến nâng cao, có hướng dẫn giải chi tiết và có đáp án rõ ràng cho mỗi bài tập, giúp học sinh làm quen với các dạng bài tập từ cơ bản đến nâng cao nhằm rèn luyện kỹ năng giải quyết vấn đề và phát triển khả năng tư duy của các em học sinh. - Đề tài được viết để phù hợp với mục đích bồi dưỡng học sinh giỏi của trường để chuẩn bị tham gia các kỳ thi học sinh giỏi Quốc gia và cao hơn là Quốc tế, đồng thời làm tài liệu học tập cho học sinh các lớp chuyên Hóa học và tài liệu tham khảo cho các giáo viên trong việc giảng dạy môn Hóa học tại các trường THPT chuyên. 2
Trang 5
Chuyên đề: Hạt chuyển động trong hộp thế B. NỘI DUNG I. Cơ sở lý thuyết 1. Hệ đơn vị chuẩn SI Trong tính toán, các em học sinh cần nắm rõ các đơn vị chuẩn SI để khi áp dụng vào bài tập không bị sai. Một số đơn vị chuẩn cần nhớ như: Thời gian: giây (s) Độ dài: mét (m) Khối lượng: kilogam (kg) Cường độ dòng điện: Ampe (A) Nhiệt độ: Ken-vin (K) Lượng chất: mol Cường độ ánh sáng: Candela (cd) Khi gặp các công thức mới thì học sinh nên đổi các đơn vị trong biểu thức công thức về các đơn vị chuẩn để tính toán, sau đó tùy vào yêu cầu đề bài mà tiếp tục đổi đơn vị cho ra đáp án cuối cùng chính xác nhất. 2. Hạt chuyển động trong hộp thế Vì đề tài này nói về Hạt trong hộp thế nên cơ sở lý thuyết sẽ được đề cập đến việc chứng minh Hàm sóng và năng lượng của vi hạt chuyển động trong hộp thế. Phương trình sóng Schrödinger, H^ ψ=Eψlà kiến thức cốt lõi của cơ học lượng tử khi nghiên cứu về các nguyên tử. Như đã biết H^là biểu diễn của toán tử Hamiltonian chính là lấy toán tử năng lượng E (tổng của thế năng và động năng) tác dụng lên hàm sóng. Hàm sóngψ phụ thuộc vào tọa độ x, y và z của vị trí electron trong không gian. Lưu ý rằng phương trình Schrödinger yêu cầu rằng khi ψ bị tác dụng bởi toán tử H^ thì kết quả là bằng ψ được nhân với năng lượng E (E là biểu diễn tổng năng lượng của trạng thái cụ thể được mô tả bởi ψ). Như vậy, sẽ có rất nhiều nghiệm thỏa mãn cho phương trình Schrödinger đối với một hệ được cho ở trên. Ví dụ, đối với nguyên tử hydrogen, có nhiều hàm thỏa mãn phương trình Schrödinger, mỗi hàm tương ứng với một năng lượng cụ thể cho electron của hydrogen. Mỗi hàm sóng cụ thể này đối với nguyên tử hydrogen được gọi là 1 orbital. Bằng cách sử dụng phương trình sóng để mô tả một hệ rất đơn giản, hệ giả thuyết này thường được gọi là "hạt trong hộp thế", một mô hình tưởng tượng trong đó một vi hạt bị mắc kẹt trong một không gian hình hộp và ngoài khu vực này, do có một trường lực 3
Trang 6
Chuyên đề: Hạt chuyển động trong hộp thế đặc biệt nào đó tác dụng lên hạt làm tăng lên vô tận nên hạt này không thể vượt ra khỏi giới hạn trên. Hay mô hình này được hình dung như một chiếc hộp giới hạn bởi “thành” thế năng và gọi là hộp thế. Điều quan trọng là nhớ rằng giả thiết này không phải là một mô hình vật lý chính xác cho nguyên tử hydrogen đây chỉ là một mô hình tưởng tượng hay lý tưởng. Các lý do để xem xét vi hạt chuyển động trong hộp thế là (1) nó minh họa toán học của cơ học sóng, (2) nó cung cấp một dấu hiệu về các đặc điểm của hàm sóng, và (3) nó cho thấy sự xuất hiện của lượng tử hoá năng lượng. Vì vậy, việc xem một vi hạt trong hộp thế minh họa cho mô tả cơ học sóng của nguyên tử hydrogen, nhưng không nên được coi là một đại diện chính xác của chính nguyên tử hydrogen. a. Hộp thế một chiều Chúng ta sẽ xét mô hình hạt chuyển động trong giếng thế một chiều để làm chuẩn. Xem xét một vi hạt có khối lượng m di chuyển tự do qua lại theo một chiều (giả sử chọn trục x) giữa các giá trị x = 0 và x = L (tức là, chúng ta đang xem xét một "hộp thế" một chiều có kích thước L mét). Giả định rằng thế năng V(x) của hạt là bằng 0 ở tất cả các điểm trong chiều hộp thế, ngoại trừ ở các đầu x = 0 và x = L, nơi V(x) là vô cùng lớn. Trên thực tế, có một rào cản có độ lớn vô hạn ở mỗi đầu của cái hộp thế. Do đó, hạt được giam giữ trong một hộp thế một chiều với những bức tường thành không thể xuyên thủng. Hình 1 Biểu diễn sơ đồ của một hạt trong một hộp thế một chiều với hai thành thế năng vô cùng lớn. Như đã biết, phương trình Schrödinger chứa toán tử năng lượng H^. Trong trường hợp này vì thế năng là bằng 0 trong hộp, năng lượng duy nhất là động năng của hạt khi nó di chuyển qua lại trên trục x. Toán tử cho động năng này là −ℏ2 d2 2m dx2 4
Trang 7
Chuyên đề: Hạt chuyển động trong hộp thế d2 với ℏ là hằng số Plank bị chia cho 2, m là khối lượng của hạt và là đạo hàm bậc 2 dx2 theo x. Hình thức của toán tử này xuất phát từ mô tả về sóng trong vật lý cổ điển. Việc chèn toán tử này vào phương trình Schrödinger H^ ψ=Eψ viết lại là −ℏ2 d2ψ =Eψ 2m dx2 trong đó ψlà một hàm của x{[ψ (x)]}. Chúng ta có thể sắp xếp lại phương trình này như sau: d2ψ −2mE = ψ dx2 ℏ2 Sau đó chúng ta tìm các hàm cụ thể ψ(x) thỏa mãn phương trình này. Lưu ý rằng các nghiệm của phương trình này là những hàm mà đạo hàm bậc hai của chúng thỏa mãn d2ψ = (hằng số) ψ. Tức là, mỗi nghiệm phải là một hàm mà đạo hàm bậc hai có dạng dx2 giống như hàm ban đầu. Một hàm có tính chất như vậy chính là hàm sin. Ví dụ, hãy xét hàm A.sin(kx), trong đó A và k là các hằng số. Bây giờ sẽ tính đạo hàm bậc hai của hàm này theo biến x: d2 ( Asinkx)=A d (dsinkx )=A d (kcoskx) d x2 dx dx dx ¿ Ak(dcoskx )=Ak (−k sinkx) dx ¿−A k2 sinkx=−k2 Asinkx Do đó, ta có: d2 ( Asinkx)=−k2( Asinkx) d x2 Đây là 1 loại hàm mà thỏa mãn phương trình Schrödinger cho vi hạt trong hộp thế. Thật vậy, khi so sánh dạng tổng quát của phương trình Schrödinger: d2ψ −2mE = ψ d x2 ℏ2 với d2 ( Asinkx) =−k2( Asinkx) d x2 chúng ta thấy rằng 5
Trang 8
Chuyên đề: Hạt chuyển động trong hộp thế −k2=−2mE ℏ2 từ đó suy ra năng lượng ℏ2 k2 E= 2m Vậy ý nghĩa của phương trình này là gì? Chúng ta có thể thấy rằng A và k là hằng số. Vậy giá trị của những hằng số này là gì? Chú ý rằng nếu chúng có thể nhận bất kì giá trị nào thì phương trình này sẽ dẫn đến vô số nghiệm và có những mức năng lượng được tăng liên tục. Tuy nhiên, điều này không chính xác vì những lí do mà chúng ta sẽ thảo luận bên dưới và chỉ có một số năng lượng là thỏa phương trình nghĩa là hệ này được lượng tử hóa. Phép lượng tử hóa được đưa vào mô tả cơ học sóng của vi hạt trong một hộp thế thông qua các điều kiện biên. Các điều kiện biên phát sinh từ những yêu cầu vật lý của các hệ tự nhiên. Vì chúng ta phải khăng định rằng mô tả của chúng ta về các hệ tự nhiên phải có ý nghĩa vật lý. Ví dụ, giả sử trong việc mô tả một dung dịch nước có chứa acid, chúng ta dẫn đến biểu thức ¿¿. Các nghiệm của biểu thức này là ¿ và ¿. Trong việc giải quyết một bài toán như vậy, chúng ta tự động loại bỏ nghiệm thứ hai vì nó không có ý nghĩa vật lý cho nồng độ âm. Những gì chúng ta đã làm ở đây là áp dụng một loại điều kiện biên cho bài toán nồng độ này. Các điều kiện biên cho vi hạt trong hộp thế quy định như sau: Hạt không thể ở bên ngoài hộp thế - nó bị ràng buộc bên trong hộp thế. Trong một trạng thái nhất định, xác suất tổng để tìm thấy hạt trong hộp phải là 1. Hàm sóng phải liên tục. Chúng ta đã chứng minh ở trên rằng hàm ψ=Asin(kx) thỏa mãn phương trình Schrödinger H^ ψ=Eψ. Bây giờ chúng ta sẽ định nghĩa các hằng số k và A để hàm này cũng thỏa mãn các điều kiện biên dựa trên ba ràng buộc đã nêu ở trên. Bởi vì hạt phải ở trong hộp thế, và vì hàm sóng phải liên tục, giá trị của ψ(x) phải bằng 0 ở mỗi “thành hộp”. Cụ thể là: ψ(0) = 0 và ψ(L) = 0. Nhớ rằng hàm sin bằng 0 tại các góc 0°, 180° ( radians), 360° (2 radians), …. Do đó, hàm A sin(kx) = 0 khi x = 0. Yêu cầu biên là hàm sóng cũng phải bằng 0 tại thành hộp còn lại hay viết là ψ(L) = A sin(kL) = 0, nghĩa là k bị giới hạn ở các giá trị n/L, trong đó n là một số nguyên (1, 2, 3, ...). Cụ thể là: 6
Trang 9
Chuyên đề: Hạt chuyển động trong hộp thế ψ (x)=Asin ( nπ x) thì ψ (L)=Asin(nπ .L)=Asin(nπ)=0 L L Để gán giá trị cho hằng số A, chúng ta cần đưa ra một khái niệm mới. Trong việc áp dụng cơ học sóng để mô tả vật chất, các nhà khoa học đã học cách liên kết một bình phương của hàm sóng với xác suất. Điều này có nghĩa là bình phương của hàm sóng tại một điểm nhất định sẽ bằng xác suất tương đối của việc tìm thấy hạt gần điểm đó. Khái niệm này có liên quan đến các điều kiện biên của vi hạt trong hộp thế vì xác suất tổng ở một trạng thái nhất định phải bằng 1. Để chính xác hơn, xác suất tìm thấy hạt trên một đoạn của trục x có chiều dài dx xung quanh điểm x là ψ2(x) dx. Bởi vì có một vi hạt trong hộp thế, nên tổng của tất cả những xác suất đó dọc theo trục x từ x = 0 đến x = L phải bằng 1. Chúng ta cộng những xác suất này trên chiều dài của hộp (từ x = 0 đến x = L) bằng cách lấy tích phân từ x = 0 đến x = L: L Tổng xác suất tìm thấy hạt trong hộp thế = ∫ψ2 (x)dx=1 0 Thay ψ (x)=Asin [(nπ )x] ta có: ∫L ψ2 (x)dx=∫L A2 sin2( nπ x)dx=1 L L 0 0 ∫L sin2(nπ x)dx= 1 L A2 0 Bây giờ ta tính giá trị tích phân từ cận x = 0 đến x = L: 1−cos ( πn x) Ta có: sin2(πn x)= L nên L 2 1−cos(πn x) ∫L sin2(nπ x)dx=∫L L dx=∫L ( 1−1 cos(πn x)dx L 2 2 2 L 0 0 0 1 x−1 . 1 sin(2πn x)|L 1 x− L .sin(2πn x)¿|L = (2 2 2πx L 0 =[2 4 πx L 0 L = [1 L− L .sin(2πn L)¿−[1 0− L .sin(2πn 0)] = L 2 4 πx L 2 4 πx L 2 Vậy L= 1 và A=√2 2 A2 L Bây giờ chúng ta đã biết các giá trị cho phép của k và A nên có thể xác định hàm sóng cho vi hạt trong một hộp thế một chiều là: ψ(x)=√2 sin( nπ x) L L 7
Trang 10
Chuyên đề: Hạt chuyển động trong hộp thế Chúng ta cũng có thể thay thế giá trị của k vào biểu thức tính năng lượng: ℏ2 k2 ℏ2(nπ/L)2 E= = 2m 2m Thay ℏ=h/2π ta được n2 h2 E= 8mL2 với n = 1, 2, 3, 4,… Từ phương trình này dẫn đến một loạt các nghiệm cho phương trình Schrödinger, trong đó mỗi hàm tương ứng với một trạng thái năng lượng nhất định như: n Hàm sóng Năng lượng 1 ψ =√2 sin( π x) E1= h2 1 L L 8mL2 2 ψ =√2 sin( 2π x) E2= 4h2 = h2 2 L L 8mL2 2mL2 3 ψ =√2 sin( 3π x) E3= 9h2 3 L L 8mL2 4 ψ =√2 sin( 4 π x) E2= 16h2 = 2h2 4 L L 8mL2 mL2 … … … Hãy chú ý đến một điều rất quan trọng về những kết quả này. Việc áp dụng các điều kiện biên đã dẫn đến một loạt các mức năng lượng định lượng. Nghĩa là, chỉ có một số mức năng lượng nhất định được cho phép thì hạt mới bị ràng buộc trong hộp. Kết quả này rất phù hợp với bằng chứng thực nghiệm, như quang phổ phát xạ hydrogen, đó là không cho phép các mức năng lượng liên tục như vật lý cổ điển. Lưu ý rằng các mức năng lượng được định lượng, bởi vì các điều kiện biên yêu cầu n chỉ nhận các giá trị nguyên. Do đó, n được gọi là số lượng tử cho hệ này. Chúng ta biểu diễn đồ thị của hàm sóng tương ứng với mỗi mức năng lượng phụ thuộc vào n như hình dưới đây: 8
Trang 11
Chuyên đề: Hạt chuyển động trong hộp thế Hình 2. (a) Ba mức năng lượng đầu tiên của một hạt trong một hộp một chiều với mỗi bậc tăng là h2/(8mL2). (b) Các hàm sóng cho ba mức đầu tiên theo hàm số của x. (c) Bình phương của các hàm sóng Lưu ý rằng mỗi hàm sóng đều bằng 0 ở các thành của hộp thế để thỏa yêu cầu của các điều kiện biên. Hay nói cách khác là các sóng đứng đại diện cho vi hạt phải có bước sóng sao cho một số nguyên các nửa bước sóng bằng chính xác kích thước của hộp. Các sóng có bất kỳ bước sóng nào khác sẽ không thể tồn tại vì chúng sẽ giao thoa phá hủy. Cũng lưu ý từ Hình 2 rằng xác suất khác biệt rõ rệt cho ba giá trị n. Đối với n = 1 (mức năng lượng thấp nhất hoặc trạng thái cơ bản), vi hạt có khả năng được tìm thấy cao nhất gần trung tâm của hộp. Ngược lại, đối với n = 2 vi hạt có khả năng không tồn tại ở trung tâm của hộp. Điểm 0 này được gọi là một nút. Lưu ý rằng số lượng nút tăng lên theo n. Một đặc điểm thú vị khác của hạt trong hộp là hạt không thể có năng lượng bằng 0 (tức là, n không thể bằng 0). Ví dụ, nếu n = 0, ψ sẽ bằng 0 ở mọi nơi trong hộp thế (sin 0 0 = 0). Điều này có nghĩa là ψ 2 cũng sẽ bằng 0. Trong trường hợp này, sẽ không có hạt nào 0 trong hộp, điều này mâu thuẫn với các điều kiện biên. Thực tế rằng hạt phải có năng lượng khác 0 trong trạng thái cơ bản của nó, đây là một đặc điểm của tất cả các hạt có năng lượng định lượng. Ngoài ra, đối với hạt trong hộp, giá trị năng lượng bằng 0 có nghĩa là hạt đang đứng yên (động năng bằng 0). Điều này sẽ vi phạm nguyên lý bất định vì chúng ta sẽ đồng thời biết được các giá trị chính xác của động lượng (0) và vị trí của hạt. Vậy nên, tất cả các hạt định lượng phải có một năng lượng tối thiểu, thường được gọi là năng lượng điểm không. Ví dụ bài toán electron trong hộp thế một chiều: Giả định rằng một electron bị giới hạn trong một hộp thế một chiều, có chiều dài 1,50 nm. Hãy tính toán ba mức năng lượng thấp nhất cho electron này và tính toán bước 9
Trang 12
Chuyên đề: Hạt chuyển động trong hộp thế sóng ánh sáng cần thiết để nâng electron này từ trạng thái cơ bản lên trạng thái kích thích đầu tiên. Lời giải: Để giải, chúng ta cần thay thế các giá trị thích hợp vào biểu thức chung tính năng lượng: n2 h2 E= 8mL2 Biết khối lượng của một electron (m) là 9,11.10-31 kg; chiều dài của hộp (L) là 1,50 nm = 1,50.10-9 m; và giá trị của hằng số Planck là h=¿6,626. 10-34 J.s. Với n = 1: Tương tự, với n = 2: Với n = 3: Chúng ta viết gọn như sau: h2 h2 E =n2 =n2 E suy ra E =22 =4 E và E = 9E n 8mL2 1 2 8mL2 1 3 1 Để tính bước sóng của ánh sáng cần thiết để kích thích electron từ mức 1 lên mức 2 (trạng thái kích thích đầu tiên), trước tiên chúng ta cần xác định biến thiên năng lượng giữa hai mức: h2 ∆ E=E −E =(n2−n2) =(3)(2,68.10−20 J )=8,04.10−20 J 2 1 2 1 8mL2 Từ đó suy ra được bước sóng cần thiết dựa vào phương trình: ∆ E=hc λ Thay giá trị các hằng số thì được: hc (6,626.10−34 J .s)(2,9979.108 m/s) λ= = =2,47.10−6 m=2470nm. ΔE 8,04.10−20 J b. Hộp thế ba chiều Mở rộng cho hạt chuyển động trong hộp thế ba chiều. 10
Trang 13
Chuyên đề: Hạt chuyển động trong hộp thế Trong các bài toán thực tế về cấu tạo nguyên tử, các vi hạt không chỉ chuyển động trên một phương xác định mà chuyển động trong một vùng không gian hữu hạn. Một cách tổng quát, chúng ta khảo sát mô hình hộp thế ba chiều với giả thiết là khu vực chuyển động của vi hạt là một hình hộp với các cạnh là a, b, c. Thế năng của vi hạt trong hộp thế ba chiều là dạng tổng của ba số hạng, mỗi số hạng là 1 hàm của 1 tọa độ Vx(x), Vy(y), Vz(z) hay Vx , Vy ,Vz . Theo giả thiết về hộp thế thì Vx = Vy = Vz = 0. Hình 3. Hộp thế 3 chiều. Phương trình Schrödinger cho hạt chuyển động trong hộp thế ba chiều: d2ψ d2ψ d2ψ −2mE + + = ψ d x2 d y2 d z2 ℏ2 Với năng lượng toàn phần E = Ex + Ey + Ez. Mặt khác, ta đặt: ψ (x,y,z) = X(x).Y(y).Z(z) = X.Y.Z Rồi thay vào phương trình trên ta được: d2 X d2Y d2 Z −2mE YZ +XZ +XY = X .Y .Z d x2 d y2 d z2 ℏ2 1 d2 X 1 d2Y 1 d2 Z −2mE Hay . + . + . = X d x2 Y d y2 Z d z2 ℏ2 1 d2 X 1 d2Y 1 d2 Z 2m ⇔ . + . + . + (E +E +E )=0 X d x2 Y d y2 Z d z2 ℏ2 x y z Phương trình này có thể xem là tổng của ba phương trình có dạng hoàn toàn giống nhau: d2 X 2mE + x X=0 d x2 ℏ2 d2Y 2mE + y Y=0 d y2 ℏ2 d2 Z 2mE + z Z=0 d z2 ℏ2 11
Trang 14
Chuyên đề: Hạt chuyển động trong hộp thế Lời giải của mỗi phương trình trên giống như trường hợp hộp thế một chiều mà ta đã giải ở trên: n π X(x) = A sin x x vớin =1,2,3,... x a x n π Y(y) = A sin y y vớin =1,2,3,... y a y n π Z(z) = A sin z z vớin =1,2,3,... z a z Do đó hàm sóng thu được sẽ là tích của ba hàm trên: ψ(x,y,z) = X(x).Y(y).Z(z) (mô tả trạng thái của hạt trong hộp thế ba chiều). Tương ứng với hàm sóng đó, ta có năng lượng của hạt trong hộp thế ba chiều: ℏ2 π2 ℏ2 π2 ℏ2 π2 ℏ2 π2 n2 n2 n2 E = E + E + E = n2 + n2 +n2 = ( x + y + z ) x y z x 2ma2 y 2mb2 z 2mc2 2m a2 b2 c2 ℏ= h Thay 2π ta được: h2 n2 n2 n2 E = E + E + E = ( x + y + z ) x y z 8m a2 b2 c2 Ở đây, trong bài toán về hộp thế ba chiều ta thấy xuất hiện ba số lượng tử nx, ny, nz. Số các số lượng tử như vậy bằng số bậc tự do của hạt chuyển động. Cũng từ đó xuất hiện các tình huống đặc biệt là có thể có một số trạng thái khác nhau được mô tả bằng những hàm sóng khác nhau (vì bộ ba số lượng tử nx, ny, nz khác nhau) nhưng lại ứng với cùng một mức năng lượng E. Ví dụ ở ba trạng thái của hạt trong hộp thế ba chiều có ba cạnh bằng nhau a = b = c ứng với: nx = 2 ny = 1 nz = 1 nx = 1 ny = 2 nz = 1 nx = 1 ny = 1 nz = 2 đều có cùng một mức năng lượng là h2 h2 h2 E = (22+12+12) =(12+22+12) =(12+12+22) 8ma2 8ma2 8ma2 Mức năng lượng E đó được gọi là mức năng lượng suy biến. II. Một số bài tập vận dụng Trong hóa học, minh họa cho hộp thế một chiều là phân tử có hệ nối đôi liên hợp. Hộp thế ba chiều là thanh kim loại trong đó electron hóa trị chuyển động tự do trong khắp thanh kim loại. 12
Trang 15
Chuyên đề: Hạt chuyển động trong hộp thế 1. Một số bài tập cơ bản Các bài tập này mục đích nhằm để học sinh hiểu được công thức bằng cách chứng minh lại và làm quen với các công thức tính toán cũng như thay số vào đúng đơn vị và rèn luyện kĩ năng làm bài. Bài 1. Cho hàm thử ψ = x(a – x) để mô tả sự chuyển động của vi hạt trong hộp thế một chiều với kích thước hộp là a. Hãy chứng minh rằng hàm ψ thoả mãn điều kiện biên của bài toán. Lời giải: Hàm thử ψ = x(a – x) Ở điều kiện biên: x = 0 → ψ (0) = 0(a – 0) = 0 x = a → ψ (a) = a(a – a) = 0 Như vậy hàm thử ψ đã thoả mãn điều kiện biên của bài toán. Bài 2. Hãy viết phương trình Schrodinger đầy đủ ở dạng khai triển cho trường hợp electron chuyển động tự do trong hộp thế một chiều với chiều dài cạnh là a. Lời giải: Ta biết phương trình Schrodinger ở trạng thái dừng có dạng: ∇2Ψ +2m (E−U )Ψ=0 h2 Khi electron chuyển động tự do trong hộp thế một chiều theo trục x thì thế năng U = 0. Vậy phương trình trên viết lại là d2Ψ 2m + EΨ=0 d x2 h2 Giải phương trình này: a Tổng xác suất tìm thấy hạt trong hộp thế = ∫ψ2 (x)dx=1 0 Thay thế ψ (x)=Asin [(nπ )x] ta có a 13
Trang 16
Chuyên đề: Hạt chuyển động trong hộp thế a a nπ ∫ψ2 (x)dx=∫A2 sin2( x)dx=1 a 0 0 hay ∫a sin2(nπ x)dx= 1 a A2 0 Bây giờ ta tính giá trị tích phân từ cận x = 0 đến x = a: 1−cos ( πn x) Ta có: sin2(πn x)= a nên a 2 1−cos(πn x) ∫a sin2(nπ x)dx=∫a a dx=∫a ( 1−1 cos(πn x)dx a 2 2 2 a 0 0 0 ¿( 1 x−1 . 1 sin ( 2πn x)|a [1 1 a 2πn ]|a 2 2 2πx a 0 = x− . sin ( x) 2 2 4nπ a 0 a = [1 a− a sin( 2πn .a)]−[1 .0− a sin( 2nπ .0)]= a 2 4nπ a 2 4nπ a 2 Vậy là a2= 12 và A = √2 A a Bây giờ chúng ta đã biết các giá trị cho phép của k và A, chúng ta có thể xác định hàm sóng cho hạt trong một hộp thế một chiều là ψ(x)=√2 sin( nπ x) a a Bài 3. Giả thiết mô t hô p thế mô t chiều với đô rô ng a = 10 nm có mô t vi hạt chuyển đô ng được mô tả bằng hàm sóng: ψ=√2 sin π x với n=1 a a Hãy xác định xác suất tìm thấy vi hạt trong các trường hợp sau đây: a) Giữa x=4,95 nm và 5,05 nm; b) Giữa x=1,95 nm và 2,05 nm; c) Giữa x=9,90 nm và 10,00 nm; d) Ở chính giữa a; e) x ở 1/3a; 14
Trang 17
Chuyên đề: Hạt chuyển động trong hộp thế Lời giải: Xác suất P là: d P(c,d)=∫ψ2 dx (với c, d là độ dài hộp thế nằm trong khoảng 0 đến a). c P(c,d)=∫d ψ2 dx=∫d (√2 sin π x)2 dx=∫d 2 sin2( π x)dx=2∫d sin2 π =2∫d 1(1−cos 2π x)dx=1 [(x− a a a a a a a a 2 a 2 2π c c c c c ¿ d−c− 1 (sin 2π d−sin 2π c) a 2π a a a) P(4,95;5,05)=0,10− 1 (sin 2π.5,05−sin 2π.4,95) 10 2π 10 10 ¿0,010− 1 (−0,03141−0,03141)=0,02 2π b) P(1,95;2,05=0,10− 1 (sin 2π 2,05−sin 2π 1,95)=0,007 10 2π 10 10 Mô t cách tương tự ta cũng thu được giá trị P: c) P(9,90;10) = 6,56.10−6 d) P(5,00;10) = 0,5; e) P(1 a; 2 a)=1− 1 (sin 2π . 2 a−sin 2π . 1 a) 3 3 3 2π a 3 a 3 Sau khi biến đổi và khai triển ta thu được: P = 0,61. Bài 4. Cho 1 electron chuyển đô ng trong hộp thế mô t chiều với đô dài a = 1,0 nm. Hãy tính sự biến thiên năng lượng ∆ Etheo J; kJ/mol; eV và cm−1 giữa các mức năng lượng ứng với a) n =2;n =1 2 1 b) n =6;n =5 2 1 Biết 1 eV = 1,6.10−19 J; 1 cm−1=1,986.10−23J Lời giải: h2 Áp d ụng công thức chung năng lượng E = n2 8ma2 Để giải gọn và không bị sai, hãy tính phần cố định trước: h2 (6,62.10−34 Js)2 = =6,02.10−20 J 8ma2 8.9,1.10−31 kg.(1,0.10−9 m)2 Mặt khác các hệ số chuyển đổi: 15
Trang 18
Chuyên đề: Hạt chuyển động trong hộp thế N E(kJ/mol) = A .E(J ) = 10−3 .6,02.10−23 E(J ) 103 1 eV = 1,6.10−19 J; 1 cm−1=1,986.10−23J Từ các số liệu này, ta dễ dàng tính được ∆ Etheo J; kJ/mol; eV và cm−1 h2 a. ∆ E (J )=E −E =(22−12) =3.6,02.10−20 J=18,06.10−20 J 2→1 2 1 8ma2 ∆ E (kJ/mol)=∆ E (J ).10−3 .6,02.10−23=108,36kJ/mol 2→1 2→1 ∆ E (J ) ∆ E (eV )= 2→1 =1,125eV 2→1 1,6.10−19 ∆ E (J ) ∆ E (cm−1)= 2→1 =9093,6cm−1 2→1 1,986.10−23 h2 b. ∆ E (J )=E −E =(62−52) =6,62.10−19 J 6→5 6 5 8ma2 Tương tự như câu a có các giá trị ∆ E ≈398,5kJ/mol;4,14eV ;33,333cm−1 . 6→5 Bài 5. Một electron chuyển động trong hộp thế 1 chiều bị kích thích bằng ánh sáng có bước sóng 1,374.10-5 m để chuyển từ mức cơ bản lên mức cao hơn. Xác định mức năng lượng cao hơn mà electron cần chuyển tới. Biết chiều rộng hộp thế là 10nm. Lời giải: Năng lượng ánh sáng cần để kích thích electron theo giả thiết là Để kích thích electron từ mức n = 1 lên mức n’ > n 16
Trang 19
Chuyên đề: Hạt chuyển động trong hộp thế Bài 6. Tính bước sóng của một bức xạ điện từ cần để kích thích một electron từ trạng thái cơ bản lên mức năng lượng n = 5 trong một hộp thế một chiều dài 40 pm. Lời giải: Năng lượng ở mức n có dạng: Năng lượng cần để kích thích một electron từ trạng thái cơ bản lên mức năng lượng n = 5 Bằng với năng lượng của bức xạ điện từ Bài 7. Một electron trong một hộp thế một chiều cần bước sóng 8080 nm để kích thích từ trạng thái n = 2 lên n = 3. Tính độ dài của hộp thế này. Lời giải: Năng lượng ở mức n có dạng: Năng lượng cần để kích thích một electron từ mức năng lượng n = 2 lên n = 3 là Bằng với năng lượng của bước sóng 17
Trang 20
Chuyên đề: Hạt chuyển động trong hộp thế Bài 8. Hãy xác định xác suất tìm thấy electron ở giữa 0,49 L là 0,51 L chuyển động trong hộp thế một chiều với độ rộng của hộp là L cho các trường hợp sau: a) n=1; b) n=2. Giả thiết hàm sóng mô tả electron đối với trường hợp này được xem là hằng số trong khoảng 0,49 L ÷ 0,51 L. Lời giải: Xác suất tìm thấy electron trong hộp thế được biểu diễn bằng: vì hàm là const. Ta lại biết: a) Với n = 1 thì 1 L Vì ở giữa nên x = 2 thì Vậy xác suất tìm thấy electron trong hộp thế sẽ là: P = 2 = 2(0,51 - 0,49) L= 2.0,02L = 0,04 Ψ ∆ x 1 L L b) Với n = 2 thì 1 L Vì ở giữa nên x = 2 thì Vậy P = Ψ2.∆ x= 0 2 18
Showing the first 20 pages. Download the document to see it all.
Comments (0)
No comments yet. Be the first!