Trang 1
“HẠT CHUYỂN ĐỘNG TRONG HỘP THẾ” PHẦN I: MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Chuyên đề “Hạt chuyển động trong hộp thế” tuy không phải một nội dung chuyên đề chủ đạo nhưng cũng chiếm một vị trí quan trọng trong giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi, đặc biệt chương trình bồi dưỡng học sinh Quốc gia. Nội dung hộp thế nằm trong lĩnh vực Hóa học lượng tử. Đây là một nội dung lớn và là cơ sở lý thuyết để nghiên cứu các lĩnh vực khác. Cơ học lượng tử ra đời vào những năm đầu của thế kỉ XX, ngày nay đã phát triển mạnh mẽ và trở thành một trong lĩnh vực quan trọng của khoa học tự nhiên hiện đại. Để đảm bảo tính cập nhật giáo dục – khoa học, nội dung về hoá lượng tử và ứng dụng của hoá lượng tử trong nghiên cứu cấu trúc của nguyên tử, phân tử, các phản ứng hoá học đã được đề cập trong các đề thi học sinh giỏi Hóa học Quốc gia và Olympic Hóa quốc tế. Trong quá trình giảng dạy nội dung Hóa lượng tử, phần nội dung về hộp thế, tôi thấy học sinh còn gặp những khó khăn nhất định như: - Tài liệu hóa lượng tử về hộp thế chỉ được đề cập đến như một nội dung nhỏ trong các sách đại cương. - Các tài liệu tham khảo Hóa đại cương có các cách khai thác nội dung khác nhau. Một số tài liệu khai thác sâu về mặt toán học dẫn đến việc học sinh khó hiểu, khó tiếp cận với các kết quả mà Hóa học lượng tử đã chứng minh. Để khắc phục điều này, mỗi giáo viên dạy trường chuyên mất rất nhiều thời gian và công sức tìm và nghiên tài liệu, trao đổi với đồng nghiệp, … để biên soạn bài tập phục vụ cho việc giảng dạy của mình. Trong năm học này theo tinh thần của Ban tổ chức Trại hè phương Nam và sự phân công của lãnh động Nhà trường, tôi biên soạn chuyên đề “Hạt chuyển động trong giếng thế”. Chuyên đề này, gồm hai phần chính: Phần 1 – Cơ sở lý thuyết, Phần 2 – Một số bài tập luyện tập. Phần cơ sở lý thuyết được hệ thống lại từ những kiến thức về các thuyết trước khi cơ học lượng tử ra đời, kết quả giải phương trình Schrodinger và các mô hình hộp thế cơ bản. Đây là phần để thầy cô và các em học sinh có thể tự đọc, nghiên cứu để hiểu việc sử dụng các định luật hay công thức cho những trường hợp cụ thể. Bên cạnh
Trang 2
Hạt chuyển động trong hộp thế đó, mỗi phần lý thuyết, tôi cũng biên soạn thêm bài tập áp dụng phù hợp với nội dung được đề cập. Phần 2 gồm các công thức cần ghi nhớ được tổng hợp ngắn gọn và các bài tập được chọn nhiều nguồn khác nhau, bao gồm cả những bài cơ bản và nâng cao, được sắp xếp theo một vài dạng bài nhất định. Khi làm bài tập theo từng phân dạng, học sinh có thể hệ thống lại kiến thức riêng từng phần. 2. Mục đích của đề tài Nâng cao chất lượng và hiệu quả dạy học môn hóa học. Hệ thống hóa kiến thức, sưu tầm, lựa chọn, xây dựng hệ thống câu hỏi, bài tập mở rộng và nâng cao xoay quanh các vấn đề liên quan đến giếng thế để làm tài liệu phục vụ cho giáo viên trường chuyên giảng dạy, ôn luyện, bồi dưỡng học sinh giỏi các cấp và làm tài liệu học tập cho học sinh chuyên. Rất mong tài liệu này sẽ hỗ trợ quá trình giảng dạy của thầy cô và là tài liệu để các học sinh ôn luyện chuyên đề này. 1
Trang 3
Hạt chuyển động trong hộp thế PHẦN I: MỞ ĐẦU........................................................................................................1 1. Lý do chọn đề tài....................................................................................................1 2. Mục đích của đề tài................................................................................................2 PHẦN II: NỘI DUNG...................................................................................................4 I. CƠ SỞ LÝ THUYẾT.............................................................................................4 I.1. Phương trình Einstein.................................................................................4 I.2. Phương trình Planck...................................................................................4 I.3. Lưỡng tính sóng hạt - Thuyết De Broglie..................................................5 I.4. Phương trình Schrodinger tổng quát.......................................................11 I.5. Mô hình hộp thế một chiều.......................................................................11 I.6. Mô hình hộp thế ba chiều..........................................................................16 II. MỘT SỐ BÀI TẬP LUYỆN TẬP.....................................................................19 II.1. Một số công thức cần ghi nhớ.................................................................19 II.2. Một số bài tập về đại cương cơ học lượng tử.........................................20 II.3. Bài toán giếng thế 1 chiều trong hệ liên hợp..........................................20 II.4. Bài tập tự luyện........................................................................................35 PHẦN III: KẾT LUẬN...............................................................................................41 2
Trang 4
Hạt chuyển động trong hộp thế PHẦN II: NỘI DUNG I. CƠ SỞ LÝ THUYẾT I.1. Phương trình Einstein Khối lượng và năng lượng là những thuộc tính của vật chất. Khối lượng là thước đo quán tính và năng lượng là thước đo vân động của vật chất. Theo thuyết tương đối Einstein thì giữa khối lượng m và năng lượng E của một vật thể có hệ thức: E = mc2 trong đó: c = 2,9979.108 m/s. Trong mọi quá trình, sự biến thiên năng lượng E của một hệ nào đó luôn luôn kèm theo sự biến thiên về khối lượng m của hệ và ngược lại. Khi đó, ta có: E = mc2 Đối với hệ vi mô, đơn vị năng lượng thường được sử dụng là electronvolt (eV). Đó là năng lượng 1 điện tử có được khi chuyển động dưới 1 hiệu điện thế 1V. Vì điện tích nên ; . Theo hệ thức E = mc2 thì ứng với một khối lượng bằng một đơn vị khối lượng nguyên tử ( ), ta có: Như vậy, m = 1u thì có E = 931,5 MeV hay 1u= 931,5 I.2. Phương trình Planck Theo Planck, một dao động tử dao động với tần số chỉ có thể phát ra hay hấp thụ năng lượng theo từng đơn vị nguyên vẹn, từng lượng gián đoạn, được gọi là lượng tử năng lượng. Lượng tử năng lượng đó tỉ lệ thuận với tần số của dao động. trong đó h – hằng số Planck, h = 6,625.10-34 J.s - tần số dao động ( , c- tốc độ ánh sáng trong chân không, c 3.108m/s) - độ dài sóng (m). 3
Trang 5
Hạt chuyển động trong hộp thế Ý nghĩa quan trọng của thuyết lượng tử Plank là đã phát hiện ra tính chất gián đoạn hay tính chất lượng tử của năng lượng trong các hệ vi mô. Năng lượng của electron trong nguyên tử,năng lượng quay....đều nhận những giá trị gián đoạn là : Mặt khác, vì năng lượng của dao động tử phát ra hay hấp thụ dưới dạng năng lượng bức xạ nên thuyết lượng tử Planck cũng có nghĩa là: “Ánh sáng hay bức xạ nói chung gồm những lượng tử năng lượng ”. BTVD 1. Căn cứ vào thuyết lượng tử của Planck, hãy xác định năng lượng theo J và khối lượng theo kg của photon ứng với bước sóng phát xạ màu đỏ . Cho Đáp số: I.3. Lưỡng tính sóng hạt - Thuyết De Broglie I.3.1. Hiệu ứng quang điện Hiệu ứng quang điện là hiện tượng giải phóng ra các electron khỏi bề mặt kim loại dưới tác dụng của bức xạ chiếu vào. Đối với kim loại xác định , điều kiện để có hiệu ứng quang điện là bức xạ được chiếu vào bề mặt kim loại phải có một tần số tối thiểu gọi là tần số giới hạn. Nếu bức xạ có tần số thì năng lượng của bức xạ một phần dùng vào việc giải phóng electron khỏi bề mặt kim loại, một phần truyền động năng cho electron: BTVD 2. Cho biết tần số giới hạn (ngưỡng quang điện) của một số kim loại sau 0 đây : Kim loại Cs K Ca Zn (s 1) 4,71014 5,51014 7,11014 10,41014 0 a. Hãy tính công bứt điện tử Eo ứng với các kim loại đó khi chiếu tia H (tím) có 4340A0 vào các kim loại đó thì đối với những kim loại nào có thể xảy ra hiệu ứng quang điện ? 4
Trang 6
Hạt chuyển động trong hộp thế b. Trong trường hợp có hiệu ứng quang điện hãy tính động năng của electron và từ đó suy ra vận tốc của electron khi bắn ra khỏi bề mặt kim loại. Cho m =9,1110- e 31kg. Phân tích: Để có hiệu ứng quang điện xảy ra thì bức xạ chiếu vào bề mặt kim loại phải cú năng lượng tối thiểu bằng với năng lượng ion húa của kim loại. Năng lượng tối thiểu này ứng với tần số gọi là tần số giới hạn. Ta có năng lượng tối thiểu để tách e ra khỏi kim loại E h . Đối với các kim 0 0 loại trên ta có kết quả sau: Kim loại Cs K Ca Zn Eo(J) 31,13810-20 36,43810-20 47,03810-20 69,90010-20 Năng lượng của hạt ánh sáng H chiếu vào kim loại : hc 6, 62510 34 3 108 E 45, 7910 20 J 434010 10 Hiệu ứng quang điện chỉ xảy ra khi E E . Vậy chỉ có Cs và K là có hiệu ứng 0 quang điện. 1 2(E E ) E E mv2 v 0 0 2 m b. Theo hệ thức Einstein : e Đối với Cs, electron bắn ra có động năng bằng: 2(E E ) 2(45, 7910 20 31,13810 20 ) v 0 5, 65105 m / s m 9,11 1 0 31 e Đối với K, electron bắn ra có động năng bằng: 2(E E ) 2(45, 7910 20 36, 4410 20) v 0 4,53105 m / s m 9,11 1 0 31 e BTVD 3. Ánh sáng nhìn thấy có phân hủy được Br2(g) thành các nguyên tử không? Biết rằng năng lượng phá vỡ liên kết giữa hai nguyên tử là 190kJ.mol-1. Tại sao hơi Br2 có màu? Biết h = 6,662510-34 J.s; c = 3108 m.s-1; N = 6,0221023 mol-1. A Phân tích: Ánh sáng nhìn thấy là bức xạ điện từ có bước sóng nằm trong vùng quang phổ nhìn thấy được bằng mắt thường (tức là từ khoảng 380 nm đến 740 nm). Mỗi photon 5
Trang 7
Hạt chuyển động trong hộp thế hc E ánh sáng có năng lượng . Ở đây ta giả sử rằng mỗi phân tử hấp thụ một photon để phân ly thành 2 nguyên tử tự do. 190103 hc E Năng lượng cần thiết để phân hủy một phân tử Br là N 2 A Vậy bước sóng của ánh sáng chiếu vào là : 190103 hc hc 6, 6251034 3 108 E 6,310 7 m N N 190103 6, 0221023 190103 A A nằm trong vùng các tia sáng nhìn thấy (bước sóng này ứng với ánh sáng màu cam) nên ánh sáng nhìn thấy phân hủy được Br2 (khí) và hơi Br2 có màu. I.3.2. Lưỡng tính sóng - hạt của vật chất Sự chuyển động của mọi hạt vật chất có khối lượng m và tốc độ v đều liên hệ với một sóng có độ dài được xác định bởi hệ thức de Broglie: trong đó - động lượng của hạt. BTVD 4. Tính độ dài sóng của một hạt bụi khối lượng 0,01mg chuyển động với v=1,0mm/s và độ dài sóng của một electron khối lượng 9,1 10-31kg chuyển động với tốc độ 1,0 106m/s. Giải: Electron Hạt bụi: Đô dài sóng của hạt bụi quá nhỏ, chỉ thể hiện khi tương tác với mạng nhiễu xạ có khe hở khoảng 6,6 10-23m. Khoảng cách như thế nhỏ hơn nhiều so với kích thước nguyên tử (cỡ 10-10m) nên khi tương tác với đối tượng thực, tính chất sóng của hạt bụi không thể hiện. Trong khi đó bước sóng của electron lớn hơn nhiều. Sự nhiễu xạ của sóng như vậy có thể quan sát được khi các electron tương tác với các nguyên tử trong tinh thể. BTVD 5. Hạt electron tương đối tính chuyển động với vận tốc 2.108m/s. Tính bước sóng de Broglie của nó. 6
Trang 8
Hạt chuyển động trong hộp thế Giải: BTVD 6. Hạt electron không vận tốc đầu được gia tốc qua một hiệu điện thế U. Tính U biết rằng sau khi gia tốc, hạt electron chuyển động ứng với bước sóng de Broglie 1Å. Động lượng của electron là: Động năng của electron là: Hiệu điện thế gia tốc là: BTVD 7. Xác định bước sóng de Broglie của hạt electron có động năng bằng 1keV. - Động lượng của electron là: - Bước sóng de Broglie của hạt electron là: I.3.3. Nguyên lý bất định Heisenberg Theo Heisenberg, không thể xác định đồng thời chính xác cả vị trí lẫn động lượng của vi hạt. Chẳng hạn, một hạt chuyển động theo phương x với độ bất định về tọa độ là x và độ bất định về động lượng là p thì hệ thức bất định có dạng: x x p x v x 2 hoặc x 2m BTVD 8. Phép đo tọa độ x của electron có độ chính xác vào khoảng 10-3 đường kính nguyên tử (khoảng 10-8cm). Có thể xác định được chính xác tốc độ chuyển động của electron hay không? Giải: Khối lượng của electron là 9,110-31 kg. Theo đầu bài ta có x 10 8 10 3cm 10 11cm 10 13 m . x v v Ta có x 2m x 2mx h 1, 0510 34 J s. 2 v 5, 76108 m/ s Thay vào tính được x mà tốc độ ánh sáng trong chân không là 3108m/s. Vậy không thể xác định được vận tốc v của x 7
Trang 9
Hạt chuyển động trong hộp thế electron khi đã biết tọa độ của nó. Từ ví dụ này ta thấy tầm quan trọng của nguyên lý bất định ở quy mô nguyên tử. Chẳng hạn, không thể biết chính xác quỹ đạo chuyển động của electron trong nguyên tử. BTVD 9. Áp dụng nguyên lý bất định Heisenberg, hãy tính độ bất định về vận tốc v trong các trường hợp sau đây: min Cho hằng số Planck rút gọn = h/2 = 1,0510-34J.s ; m =9,110-31kg ; m = 1, 6726210 27 kg e p a. Một electron trong phân tử H2 ( biết đường kính phân tử H2 là 0,74A0). b. Một phân tử H2 chuyển động trong ống nano có chiều dài 10-9m. c. Một phân tử O2 chuyển động trong một căn phòng rộng 5m. Biết phép đo tọa độ x có độ chính xác vào khoảng 10-3 tọa độ x. Có nhận xét gì về kết quả thu được. Phân tích: Ở ví dụ này, dựa vào giá trị của x,v vừa tính được ta kết luận được phép đo min đó có chính xác hay không. Nếu một trong hai phép đo rất kém chính xác thì không thể xác định được quỹ đạo chuyển động của hạt và có thể coi hạt là vi mô. x p x v Nguyên lý bất định Heisenberg có dạng: x 2 hoặc x 2m v = min 2mx Ta rút ra rằng : a. Một electron trong phân tử H2 (biết đường kính phân tử H2 là 0,74A0) ta có: x 10 30, 7410 10 0, 7410 13m 1,0510 34 v = = 0,78109 m/s=7,8108 m/s min 29,110 31 0,7410 13 v 7,8108 m / s x mà tốc độ ánh sáng trong chân không là 3108m/s. Vậy không thể xác định được vận tốc v của electron khi đã biết tọa độ của nó do đó không x thể xác định quỹ đạo của electron . b. Một phân tử H2 chuyển động trong ống nano có chiều dài 10-9m. x 10 310 9 10 12 m 8
Trang 10
Hạt chuyển động trong hộp thế 1,0510 34 v = = 15700 m/s min 2 2 1,6726210 27 1 10 12 Trong trường hợp này tọa độ x đo được chính xác (x rất nhỏ) nhưng v khá lớn nên vận tốc v đo được kém chính xác. c. Một phân tử O2 chuyển động trong một căn phòng rộng 5m. x 10 3 5 5 10 3 m 1,0510 34 v = = 19,7610 8 m/s min 0.032 3 2 5 10 6,0231023 Tọa độ x đo được khá chính xác (x nhỏ), v rất nhỏ nên vận tốc v được coi min là xác định được, như vậy trong trường hợp này xác định được đồng thời cả tọa độ và vận tốc hay xác định được quỹ đạo chuyển động của hạt. Vậy trường hợp này không coi là hạt vi mô. BTVD 10. Áp dụng hệ thức bất định Heisenberg, hãy tính độ bất định về vị trí , về vận tốc trong các trường hợp sau đây và cho nhận xét: a. Electron trong nguyên tử Hydrogen với giả thiết v 106 m / s b. Điện tử trong tia âm cực với vận tốc v= 106m/s được xác định với độ chính xác 0,01%. c. Quả bóng bàn bay với m=10g, vị trí có thể xác định chính xác đến 0,01mm. Hướng dẫn 1,0510 34 x = 0,57710 10m 0,577A0 min 2mv 29,110 31 106 a. Ta giả thiết độ bất định về vận tốc rất lớn ( xấp xỉ bằng chính vận tốc) nhưng kết quả cho thấy độ bất định về vị trí còn lớn hơn đường kính của nguyên tử (cỡ 0,53 A0). Trong trường hợp này vô nghĩa khi nói đến vị trí và quỹ đạo của electron. 106 0, 01 102 m / s b. 100 1,0510 34 x = 6 10 3 m min 2m v 29,110 31 102 Trong trường hợp này x tương đối nhỏ nên xác định được cả tọa độ và vận tốc hay ta có thể nói đến quỹ đạo của elctron ở tia âm cực. 9
Trang 11
Hạt chuyển động trong hộp thế 1,0510 34 v = 0,52510 27 m / s min 2m x 20,0110 5 c. v rất nhỏ, vận tốc v được coi là có giá trị xác định do đó hệ thức bất định min Heisenberg trở nên vô nghĩa đối với hệ vĩ mô. I.4. Phương trình Schrodinger tổng quát Schrodinger là người đầu tiên đưa ra phương trình mô tả được trạng thái của các vi hạt, chẳng hạn của electron trong nguyên tử. Đối với vi hạt (electron chẳng hạn) có khối lượng m, chuyển động trong trường thế năng U(x,y,z), phương trình Schrodinger cho trạng thái dừng (là trạng thái của vi hạt không phụ thuộc vào thời gian) có dạng: Trong đó là hàm riêng của toán tử Hamilton , E là trị riêng của ứng với hàm riêng . Hay - hằng số Planck rút gọn E- năng lượng toàn phần của hệ - toán tử Laplace, Giải phương trình Schrodinger sẽ tìm được hàm và năng lượng E của electron. Tuy nhiên việc giải chính xác phương trình này chỉ thực hiện đươc với nguyên tử hydrogen và ion dạng hydrogen (nguyên tử và ion có 1 electron, như He+, Li2+, Be3+…..Đối với nguyên tử nhiều electron người ta phái dùng phương pháp gần đúng. I.5. Mô hình hộp thế một chiều Trong những bài toán thực tế, ta thường gặp những trường hợp hạt chỉ chuyển động trong một phạm vi giới hạn bởi một hàng rào thế năng có chiều cao khá lớn, ví dụ như electron trong mạng tinh thể hay nucleon trong hạt nhân bền, khi đó ta nói 10
Trang 12
Hạt chuyển động trong hộp thế rằng hạt ở trong giếng thế năng. Ta hãy xét trường hợp hạt nằm trong giếng thế năng có thành cao vô hạn và chuyển động theo một phương x bên trong giếng thế. Thế năng U được xác định theo điều kiện: Như vậy bên trong giếng thế hạt chuyển động tự do và Hình 1. Hộp thế 1 chiều không thể vượt ra ngoài giếng. Phương trình Schrodinger của hạt trong giếng thế (U = 0) một chiều (chiều x) có dạng: Đặt , ta có (*) Nghiệm của phương trình (*) có dạng: (x) = A sin kx + B cos kx A, B là những hằng số được xác định từ điều kiện của hàm sóng. Theo đầu bài thì hạt chỉ ở trong giếng thế, do đó xác suất tìm hạt tại vùng ngoài giếng thế bằng không và hàm sóng trong các vùng đó cũng bằng 0. Từ điều kiện liên tục của hàm sóng ta suy ra: , . Thay điều kiện này vào (1) ta có: B = 0và B = 0 nên A phải khác 0 (vì nếu A = 0 thì ψ luôn bằng 0 và là một nghiệm tầm thường). Do đó ta có: sin ka = 0 = sin n với n = 1,2,… Từ đó rút ra: Như vậy ta có một dãy nghiệm hàm sóng có dạng: thỏa mãn điều kiện biên của miền. Hằng số A được xác định từ điều kiện chuẩn hóa của hàm sóng. Vì hạt không thể ra khỏi giếng thế nên xác suất tìm thấy hạt trong giếng là chắc chắn. Tính giá trị tích phân: 11
Trang 13
Hạt chuyển động trong hộp thế Như vậy hàm sóng được xác định hoàn toàn: Năng lượng của hạt trong giếng thế cũng được tìm thấy: Hình 2. Ba trạng thái đầu của hạt trong hộp thế 1 chiều Từ các kết quả trên ta rút ra một số kết luận sau: a. Mỗi trạng thái của hạt ứng với một hàm sóng b. Năng lượng của hạt trong giếng phụ thuộc vào số nguyên n, nghĩa là biến thiên gián đoạn. Ta nói rằng năng lượng đã bị lượng tử hóa. Với n = 1 ta có mức năng lượng cực tiểu 0 ứng với hàm sóng mô tả trạng thái chuyển động cơ bản của hạt. Hàm sóng tại mọi điểm trong giếng, tại các vị trí biên. c. Khoảng cách giữa hai mức năng lượng kế tiếp nhau ứng với các số nguyên n và n+1 bằng: 12
Trang 14
Hạt chuyển động trong hộp thế càng lớn khi a và m càng nhỏ. Điều đó có nghĩa là trong phạm vi thế giới vi mô, sự lượng tử hóa càng thể hiện rõ rệt. Cụ thể, nếu xét hạt electron m = 9,1.10-31 kg chuyển động trong miền a 5.10-10 m thì , khoảng cách giữa En+1 và En tương đối lớn, năng lượng bị lượng tử hóa. Nhưng nếu xét 1 hạt có m= 10-26 kg chuyển động trong miền a 10 cm thì khoảng cách giữa các mức năng lượng khá nhỏ. Trong trường hợp này có thể coi năng lượng của hạt biến thiên liên tục. d. Mật độ xác suất tìm thấy hạt trong giếng thế: Mật độ xác suất cực đại khi: Do đó, xác suất tìm thấy hạt lớn nhất tại Ví dụ: Khi n=1 xác suất tìm thấy hạt ở điểm a/2 là lớn nhất. Mật độ xác suất cực tiểu khi: Do đó, xác suất tìm thấy hạt nhỏ nhất tại BTVD 11. Vận dụng lưỡng tính sóng – hạt của vật chất và hệ thức de Broglie, hãy chứng minh công thức tính năng lượng của hạt trong giếng thế 1 chiều có chiều dài L. Hướng dẫn: Bài tập này là bài tập gợi ý cho HS chứng minh được công thức năng lượng của hạt trong giếng thế 1 chiều mà không phải vận dụng công thức toán học phức tạp. - Khi chuyển động trong hố thế một chiều, năng lượng của vi hạt lúc này chỉ có động năng (1) 13
Trang 15
Hạt chuyển động trong hộp thế - Thế biểu thức vào (1) ta có (2) - Mặt khác, khi chuyển động trong hố thế một chiều với độ dài L (m) bị giới hạn hai đầu, vi hạt chỉ có thể chuyển động với số nguyên lần của nửa bước sóng để đi từ đầu này tới đầu kia (độ dài L) Trong đó: n = 1, 2, 3… (3) - Thế 3 vào 2 ta có (4) - Công thức 4 chính là công thức dùng để tính năng lượng chuyển động của vi hạt trong hố thế một chiều cần chứng minh. BTVD 12. Một electron chuyển động trong giếng thế 1 chiều bị kích thích bằng ánh sáng có bước sóng 1,374.10-5 m để chuyển từ mức cơ bản lên mức cao hơn, xác định mức năng lượng cao hơn mà electron cần chuyển tới. Biết rộng giếng thế là 10nm. Hướng dẫn Ánh sáng để kích thích electron theo yêu cầu của đề bài có năng lượng Năng lượng ánh sáng để kích thích electron từ mức n = 1 lên mức n’ > n BTVD 13. Xác định sự biến thiên giữa 2 mức năng lượng n =2 và n = 1 theo J; 14
Trang 16
Hạt chuyển động trong hộp thế kJ/mol; eV; cm-1 cho 1e chuyển động trong giếng thế 1 chiều rộng 1nm. Năng lượng cho 1 mol electron Năng lượng tính theo cm-1: Năng lượng tính theo eV: BTVD 14. Một electron chuyển động trong hộp thế 1 chiều cần bước sóng có độ dài 8080 nm để kích thích từ mức n = 2 lên mức n = 3. Tính chiều dài hộp thế. Hướng dẫn Năng lượng của ánh sáng kích thích electron từ mức n = 2 lên mức n = 3: I.6. Mô hình hộp thế ba chiều Trong các bài toán thực tế về cấu tạo nguyên tử, các electron không chỉ chuyển động trên một phương xác định mà chuyển động trong một vùng không gian hữu hạn. Để hiểu một cách khái quát về cách giải những bài toán này chúng ta khảo sát mô hình hộp thế ba chiều. Ở đây, ta giả thiết là khu vực chuyển động của vi hạt là một hình hộp với các cạnh là a, b, c. Thế năng của vi hạt trong hộp thế có giá trị xác định, không đổi, để tiện lợi ta chọn làm điểm gốc và do đó Ux = Uy = Uz = 0. Hình 3. Hộp thế ba chiều 15
Trang 17
Hạt chuyển động trong hộp thế Phương trình Schroedinger cho vi hạt chuyển động trong hộp thế ba chiều: Năng lượng toàn phần E = Ex + Ey + Ez. Đặt và thay vào cho phương trình (**), ta được: Chia tất cả cho XYZ, ta được: Phương trình này được tách làm ba phương trình, mỗi phương trình có dạng giống hoàn toàn phương tình của bài toán hộp thế một chiều. Nghiệm của các phương trình: Từ đó, ta có: 16
Trang 18
Hạt chuyển động trong hộp thế Và Hàm sóng cũng như năng lượng của hạt trong hộp thế ba chiều như vậy phụ thuộc vào ba số lượng tử . Số các số lượng tử bằng số bậc tự do tức là thành phần độc lập của chuyển động. Sau này, khi xét bài toán điện tử trong nguyên tử (không gian ba chiều) sẽ xuất hiện ba số lượng tử n, l, m. BTVD 15. Cho phân tử N2 chuyển động giới hạn trogn hình hộp với thể tích là 1,00 m3. Giả thiết ở T= 300K phân tử đạt được giá trị năng lượng là . a. Hãy cho biết giá trị bằng bao nhiêu trong trương hợp này. b. Tính giá trị giữa hai mức năng lượng n và (n+1). c. Xác định bước sóng liên kết de Broglie (theo m) d. Từ kết quả thu được có nhận xét gì về chuyển động tịnh tiến cho N2 khi áp dụng lí thuyết cổ điển. Cho ; N=14. Hướng dẫn a. Theo lí thuyết cổ điển, năng lượng tịnh tiến được biểu diễn bằng biểu thức . Mặt khác, theo thuyết lượng tử thì Ta có: 17
Trang 19
Hạt chuyển động trong hộp thế b. Muốn xác định liên kết theo hệ thức de Broglie, ta phải biết chuyển động của phân tử N2. Điều này có thể rút ra từ c. d. Do đó, với giá trị tính được, ta có thể nói rằng chuyển động tịnh tiến của phân tử N2 cũng có thể biểu diễn bằng lý thuyết cổ điển. II. MỘT SỐ BÀI TẬP LUYỆN TẬP II.1. Một số công thức cần ghi nhớ hc E h - Năng lượng của ánh sáng (photon): - Hiệu suất lượng tử : H=số photon hấp thụ / tổng số photon bức xạ. h h - Hệ thức về sóng vật chất de Broglie : mv p mv2 mv2 h I h - Hiệu ứng quang điện: 2 0 2 x p x v - Hệ thức bất định Heisenberg: x 2 hoặc x 2m - Mật độ xác suất tìm thấy hạt trong giếng thế 1 chiều: - Năng lượng của hạt trong giếng thế 1 chiều cũng được tìm thấy: - Khoảng cách giữa hai mức năng lượng kế tiếp nhau trong giếng thế 1 chiều ứng với các số nguyên n và n+1 bằng: 18
Trang 20
Hạt chuyển động trong hộp thế (a: chiều dài giếng thế) II.2. Một số bài tập về đại cương cơ học lượng tử Câu 1. Người ta chiếu vào mặt 2 mẫu như nhau của cùng một kim loại bằng các ánh sáng có tần số lần lượt là 3, 21016 Hzvà 2 1016 Hz . Động năng của electron 1 2 thoát ra trong trường hợp 2 chỉ bằng một nửa động năng của electron trong trường hợp 1. Tính tần số của kim loại. 0 (Đáp số: 8 1015 Hz ) 0 Câu 2. Tầng ozone là là chắn bảo vệ trái đất tránh bức xạ năng lượng cao của mặt trời. a. Hãy viết phương trình hóa học để xác nhận vai trò đó của ozon. b. Tính năng lượng theo kJ do 1m3 ozon hấp thụ từ tia mặt trời có độ dài sóng 3400 Å : Biết hiệu suất hấp thụ năng lượng là 100% ở nhiệt độ 300oC; áp suất 0,5 atm. Cho h = 6,62610-34J.s; c ≈ 3108m.s-1 Đáp số. hv O O a. O3 2 b. Năng lượng đã được hấp thụ là: E 3746, 7kJ Câu 3. Tính năng lượng kJ mol-1 ứng với các mức n = 1, 2 và 3 cho một electron trong giếng thế có độ rộng 0,25 nm. Nếu electron này có sự chuyển mức từ n = 2 về n = 1, tính bước sóng của bức xạ phát ra. Câu 4. Tính số lượng tử của năng lượng tương ứng với mức năng lượng 3 kT của 2 nguyên tử heli tại 25 ºC trong hố thế có chiều dài 1 nm; 10-6 m; 10-2 nm. Câu 5. a. Xét 1(mg) natri, giả sử các nguyên tử này tạo thành a mạch 1 chiều. Hãy tính hiệu năng lượng giữa mức HOMO và LUMO mức n = 1. Biết rằng L = a0 (n-1) với a0 = 0,36nm, n = số nguyên tử natri. b. Giả sử nhiệt năng ở nhiệt độ phòng là 25 meV. Có bao nhiêu nguyên tử natri thỏa mãn điều kiện hiệu năng lượng giữa các mức HOMO và LUMO nhỏ hơn nhiệt năng? II.3. Bài toán giếng thế 1 chiều trong hệ liên hợp - Hệ liên hợp: hệ có các liên kết đôi và đơn xen kẽ. 19
Showing the first 20 pages. Download the document to see it all.
Comments (0)
No comments yet. Be the first!