Trang 1
Chuyên đề “Hạt chuyển động trong hộp thế” HẠT CHUYỂN ĐỘNG TRONG HỘP THẾ A. Phần MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Trong thực tế giảng dạy hoá học ở các trường phổ thông, việc hiểu biết và vận dụng kiến thức về cấu tạo nguyên tử sẽ giúp học sinh hiểu đầy đủ và sâu sắc cấu tạo các chất hóa học, giải thích được các quy luật biến đổi tính chất lý hóa của đơn chất, hợp chất cũng như các quá trình hoá học, giúp giáo viên không những biết cách dạy bản chất vấn đề mà còn thiết kế chính xác, sáng tạo các tình huống vận dụng cho học sinh, kích thích học sinh say mê học tập, khám phá thế giới hóa học đầy màu sắc với những ứng dụng thực tế mà môn học hoá học mang lại cho các em. Để thúc đẩy nghành khoa học nghiên cứu về cấu tạo nguyên tử phát triển nhanh chóng và đạt được những thành tựu rực rỡ cần đẩy mạnh việc vận dụng cơ học lượng tử trong hóa học. Sự vận dụng Cơ học lượng tử vào hoá học khai sinh ra một lĩnh vực mới là Hoá học lượng tử. Nội dung về hoá lượng tử và ứng dụng của hoá lượng tử trong nghiên cứu cấu trúc của nguyên tử, phân tử, các phản ứng hoá học đã được đề cập nhiều trong các đề thi học sinh giỏi Hóa học Quốc gia và Olympic Hóa quốc tế. Trong thực tế giảng dạy ở các trường phổ thông nói chung và ở các trường THPT chuyên - là nơi có nhiệm vụ bồi dưỡng nhân tài, đòi hỏi cao trong việc cập nhật kiến thức khoa học hiện đại và đổi mới phương pháp dạy và học, việc dạy và học môn Hóa ở các lớp chuyên Hóa, việc bồi dưỡng học sinh giỏi Quốc gia đòi hỏi giáo viên phải có năng lực chuyên môn tốt, có trách nhiệm, có quyết tâm tự học, tự bồi dưỡng. Từ thực tế trên, với mục đích xây dựng một hệ thống lý thuyết và bài tập phục vụ cho bồi dưỡng học sinh giỏi, giúp giáo viên giải quyết được nhiều vấn đề thắc mắc của học sinh trong quá trình giảng dạy, tôi đã chọn đề tài: “Hạt chuyển động trong hộp thế” 2. Mục đích của đề tài Đề tài “Hạt chuyển động trong hộp thế” trong hóa học lượng tử là rất đa dạng và sâu sắc, đóng vai trò nền tảng trong việc hiểu rõ bản chất của thế giới vi mô. Mặc dù đơn giản, mô hình hộp thế là bước đệm quan trọng để tiếp cận và hiểu các hệ lượng tử phức tạp hơn. Nghiên cứu hạt chuyển động trong hộp thế không chỉ là một bài tập lý thuyết mà còn là cánh cửa đầu tiên để khám phá và nắm vững những nguyên tắc cốt lõi, những hiện tượng kỳ lạ và những ứng dụng tiềm năng của thế giới lượng tử. Trang 1
Trang 2
Chuyên đề “Hạt chuyển động trong hộp thế” Sử dụng tính toán hóa học lượng tử trong hóa học phổ thông để giải thích một số vấn đề về cấu tạo nguyên tử, phân tử và một số quá trình hoá học. Hệ thống lý thuyết và sưu tầm, phân loại một số bài tập vận dụng hoá học lượng tử trong hoá học phổ thông phục vụ việc dạy và học môn Hoá ở các trường chuyên, đặc biệt là bồi dưỡng học sinh giỏi. B. Phần NỘI DUNG Hạt chuyển động trong hộp thế là một trong những bài toán cơ bản và quan trọng nhất trong Cơ học lượng tử. Nó giúp minh họa rõ ràng các khái niệm then chốt của lượng tử như lượng tử hóa năng lượng, hàm sóng và nguyên lý bất định. Mô hình “Hộp thế” - Mô hình này hình dung một hạt vi mô (ví dụ: electron) bị nhốt trong một không gian giới hạn, nơi nó có thể chuyển động tự do. Bên ngoài không gian đó, thế năng là vô cùng lớn, ngăn cản hạt thoát ra. Điều này tương tự như một quả bóng bị nhốt trong một chiếc hộp không thể xuyên thủng. Có hai loại hộp thế phổ biến: • Hộp thế 1 chiều: Hạt chỉ có thể chuyển động dọc theo một đường thẳng (trục x) trong một khoảng hữu hạn (ví dụ từ x = 0 đến x = L). Bên ngoài khoảng này, thế năng U(x) = ∞. Bên trong hộp, thế năng U(x) = 0. • Hộp thế 2 chiều hoặc 3 chiều: Mở rộng ra không gian 2 hoặc 3 chiều, nơi hạt bị giới hạn trong một hình vuông, hình chữ nhật hoặc hình hộp. CHƯƠNG 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ CƠ HỌC LƯỢNG TỬ 1.1. MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ HỌC LƯỢNG TỬ LIÊN QUAN ĐẾN CẤU TẠO NGUYÊN TỬ 1.1.1. Thuyết lượng tử Planck * Theo Planck, một dao động tử dao động với tần số ν chỉ có thể phát ra hay hấp thụ năng lượng theo từng đơn vị nguyên vẹn, từng lượng gián đoạn, được gọi là lượng tử năng lượng. Lượng tử năng lượng đó tỉ lệ thuận với tần số của dao động. c E = hν = hλ c trong đó h là hằng số Planck, h = 6,625.10–34 J.s; ν là tần số dao động (ν = λ , c là tốc độ ánh sáng trong chân không, c = 3.108 m/s, λ là độ dài sóng ,m). * Ý nghĩa quan trọng của thuyết lượng tử Plank là đã phát hiện ra tính chất gián đoạn hay tính chất lượng tử của năng lượng trong các hệ vi mô. Năng lượng của electron Trang 2
Trang 3
Chuyên đề “Hạt chuyển động trong hộp thế” trong nguyên tử, năng lượng quay ... đều nhận những giá trị gián đoạn là 0, hν, 2hν, 3hν, 4hν, ..., nhν. * Mặt khác, vì năng lượng của dao động tử phát ra hay hấp thụ dưới dạng năng lượng bức xạ nên thuyết lượng tử Planck cũng có nghĩa là “Ánh sáng hay bức xạ nói chung gồm những lượng tử năng lượng E = hν”. 1.1.2. Lưỡng tính sóng hạt của ánh sáng 1.1.2.1. Hiệu ứng quang điện * Hiệu ứng quang điện là hiện tượng giải phóng ra các electron khỏi bề mặt kim loại dưới tác dụng của bức xạ chiếu vào. * Đối với kim loại xác định, điều kiện để có hiệu ứng quang điện là bức xạ được chiếu vào bề mặt kim loại phải có một tần số tối thiểu ν0 gọi là tần số giới hạn. Nếu bức xạ có tần số ν > ν0 thì năng lượng của bức xạ một phần dùng vào việc giải phóng electron khỏi bề mặt kim loại, một phần truyền động năng cho electron: mν2 hν = hν + 2 0 1.1.2.2. Lưỡng tính sóng - hạt của vật chất Sự chuyển động của mọi hạt vật chất có khối lượng m và tốc độ v đều liên hệ với h h một sóng có độ dài λ được xác định bởi hệ thức de Broglie: λ = mv = p trong đó p là động lượng của hạt. Ví dụ: Tính độ dài sóng của một hạt bụi khối lượng 0,01 mg chuyển động với v = 1,0 mm/s và độ dài sóng của một electron khối lượng 9,1.10–31 kg chuyển động với tốc độ 1,0.106 m/s. Hướng dẫn giải: Electron Hạt bụi: Đô dài sóng của hạt bụi quá nhỏ, chỉ thể hiện khi tương tác với mạng nhiễu xạ có khe hở khoảng 6,6.10–23 m. Khoảng cách như thế nhỏ hơn nhiều so với kích thước nguyên tử (cỡ 10–10 m) nên khi tương tác với đối tượng thực, tính chất sóng của hạt bụi không thể hiện. Trong khi đó bước sóng của elctron lớn hơn nhiều. Sự nhiễu xạ của Trang 3
Trang 4
Chuyên đề “Hạt chuyển động trong hộp thế” sóng như vậy có thể quan sát được khi các electron tương tác với các nguyên tử trong tinh thể. 1.1.2.3. Hệ thức bất định Heisenberg Theo Heisenberg, không thể xác định đồng thời chính xác cả vị trí lẫn động lượng của vi hạt. Chẳng hạn, một hạt chuyển động theo phương x với độ bất định về tọa độ là ℏ ∆x và độ bất định về động lượng là ∆p thì hệ thức bất định có dạng: ∆x.∆p > 2 hoặc x x ℏ ∆x.∆v > 2m x Ví dụ: Phép đo tọa độ x của electron có độ chính xác vào khoảng 10–3 đường kính nguyên tử (khoảng 10–8 cm). Có thể xác định được chính xác tốc độ chuyển động của electron hay không? Hướng dẫn giải: • Khối lượng của electron là 9,1.10–31 kg • Theo đầu bài ta có ∆x = 10–8.10–3 cm = 10–11 cm = 10–13 m ; h = 6,625.10–34 J.s h ℏ • Thay ℏ = 2π = 1,05.10–34 J.s vào tính được ∆v = Δv . 2m = ≈ 5,76.108 m/s mà tốc độ x x ánh sáng trong chân không là 3.108 m/s. Vậy không thể xác định được vận tốc vx của electron khi đã biết tọa độ của nó. Từ ví dụ này ta thấy tầm quan trọng của nguyên lý bất định ở quy mô nguyên tử. Chẳng hạn, không thể biết chính xác quỹ đạo chuyển động của electron trong nguyên tử. 1.1.3. Áp dụng cơ học lượng tử về cấu tạo nguyên tử Như chúng ta đã biết, ngoài bản chất hạt, các vật thể vi mô chuyển động còn có bản chất sóng. Do đó, sự chuyển động của vi hạt tuân theo những định luật khác với những định luật của cơ học cổ điển. Điều này làm xuất hiện một ngành cơ học mới áp dụng cho các hạt vi mô. Ngành cơ học mới này được xây dựng trên cơ sở bản chất sóng của các vi hạt và thể hiện được những đặc tính riêng biệt của thế giới vi mô, đặc biệt là tính lượng tử (rời rạc, gián đoạn). Do đó, ngành cơ học mới này được gọi là cơ học sóng hay cơ học lượng tử. Đó là một ngành cơ học lý thuyết, được xây dựng trên nền một hệ các tiền đề cơ sở. Phương trình cơ bản của cơ học lượng tử là phương trình do Schrodinger tìm ra năm 1926 và được gọi là phương trình Schrodinger. Trang 4
Trang 5
Chuyên đề “Hạt chuyển động trong hộp thế” Dưới đây, ta chỉ đề cập đến một số vấn đề cơ sở của cơ học lượng tử dưới dạng mô tả định tính và sự áp dụng lý thuyết này cho các bài toán về cấu trúc nguyên tử, phân tử và liên kết hoá học. Cơ sở của cơ học lượng tử sẽ được trình bày chi tiết trong giáo trình Hóa học lượng tử ở năm thứ 3 bậc đại học. Sau đây là một số khái niệm cơ sở của cơ học lượng tử: 1.1.3.1. Hàm sóng Mỗi trạng thái của một hệ vi mô được đặc trưng bởi một hàm xác định, đơn trị, hữu hạn, liên tục, phụ thuộc vào thời gian t và tọa độ q, ký hiệu là hàm (q,t) ; gọi là hàm sóng hay hàm trạng thái. Hàm sóng (q,t) không có ý nghĩa vật lý trực tiếp, song bình phương modun của hàm |ψ |2 đó, (q,t) , cho biết xác suất tìm thấy hệ lượng tử tại một thể tích đơn vị trong không gian có tọa độ q ở thời điểm t. Xác suất phát hiện electron trong yếu tố thể tích dv nào đó được xác định bằng |ψ |2 dw = (q,t) dν 2 dw |ψ | dν Mật độ xác suất: (q,t) = |ψ |2 Nếu lấy tích phân của (q,t) trong toàn không gian ta sẽ có xác suất tìm thấy hạt trong toàn không gian tức là bằng 1. ∑c Ψ i i Chú ý: Nếu hàm sóng Φ là tổ hợp tuyến tính của nhiều hàm sóng , Φ = i thì ∑c2 ν ν ∑c2 mật độ elelctron trên một nguyên tử sẽ bằng i (trong đó c là hệ số đóng góp của i ν hàm sóng ν thuộc nguyên tử đang xét). 1.1.3.2. Phương trình Schodinger Schodinger là người đầu tiên đưa ra phương trình mô tả được trạng thái của các vi hạt, chẳng hạn của electron trong nguyên tử. Đối với vi hạt (electron chẳng hạn) có khối lượng m, chuyển động trong trường thế năng U(x,y,z), phương trình Schodinger cho trạng thái dừng (là trạng thái của vi hạt không phụ thuộc vào thời gian) có dạng: Trang 5
Trang 6
Chuyên đề “Hạt chuyển động trong hộp thế” ¿ ¿ Trong đó (r) là hàm riêng của toán tử Hamilton H , E là trị riêng của H ứng với hàm riêng (r). ℏ ¿ H = –2m Δ + U(x, y, z) Hay là hằng số Planck rút gọn E là năng lượng toàn phần của hệ ∆ là toán tử Laplace, Giải phương trình Schodinger sẽ tìm được hàm (r) và năng lượng E của electron. Tuy nhiên việc giải chính xác phương trình này chỉ thực hiện đươc với nguyên tử hydrogen và ion dạng hydrogen (nguyên tử và ion có 1 electron, như He+, Li2+, Be3+ … Đối với nguyên tử nhiều electron người ta phái dùng phương pháp gần đúng. 1.1.3.3. Kết quả giải phương trình Schodinger cho nguyên tử hydrogen và ion dạng hydrogen Nguyên tử hydrogen và ion dạng hydrogen là hệ 1 electron và một hạt nhân có mô hình: Trung tâm là hạt nhân có số đơn vị điện tích Ze0, một electron có điện tích –e0 chuyển động trong trường lực hạt nhân đó. Ta có phương trình Schodinger có dạng: Kết quả lời giải phương trình Schodinger cho hệ này là: Hàm riêng là hàm orbital nguyên tử: R(r) là hàm bán kính còn Y(𝜃,𝜑) là hàm góc. Hàm là hàm phức, phụ thuộc vào 3 số lượng tử đó là: số lượng tử chính n, số lượng tử phụ l và số lượng tử từ ml. Mỗi bộ ba giá trị của n, l, ml ứng với một hàm nlml gọi là một orbital nguyên tử. Một số hàm sóng của nguyên tử hydrogen và ion dạng hydrogen Trang 6
Trang 7
Chuyên đề “Hạt chuyển động trong hộp thế” n l ml Orbital 1 0 0 1s 2 0 0 2s 2 1 2px 2 1 2py 2 1 0 2pz a0 là bán kính Bohr thứ nhất, a0 = 0,053 nm Hàm nlml có trị riêng tương ứng là mZ2 e4 0 1 2ℏ (4πε )2 n2 En = – 0 × Đây chính là năng lượng của electron, trong đó: m là khối lượng của một electron; e0 là điện tích cơ sở h ℏ =2π là hằng số Planck rút gọn; 𝜀 là hằng số điện môi trong chân không; 0 Z là số đơn vị điện tích hạt nhân Thay các giá trị hằng số trên vào ta tính được: Z2 Z2 E = –2,18×10–18× n2 (J) = –13,6× n2 (eV) n 1.1.3.4. Nguyên tử nhiều electron Trong nguyên tử nhiều electron, ngoài tương tác giữa các electron và hạt nhân còn có tương tác giữa các electron với nhau. Ví dụ nguyên tử Heli có 2 electron, coi hạt nhân đứng yên, r1 và r2 lần lượt là khoảng cách của electron thứ nhất và thứ hai với hạt nhân, r12 là khoảng cách giữa 2 electron với nhau.Toán tử Hamiltơn có dạng: ℏ e2 2 2 2 ¿ 0 H = –2m (Δ + Δ ) – 4πε (r + r + r ) 1 2 0 1 2 12 Trang 7
Trang 8
Chuyên đề “Hạt chuyển động trong hộp thế” ∆1, ∆2, là toán tử Laplace của electron thứ nhất và thứ hai 2e2 2e2 0 0 Số hạng –4πε r ; –4πε r biểu thị lực hút của elctron thứ nhất và thứ hai với hạt nhân. 0 1 0 2 e2 0 Số hạng 4πε r biểu thị lực đẩy giữa hai electron. 0 12 Phương pháp gần đúng áp dụng cho nguyên tử nhiều electron là mô hình hạt độc lập. Với mô hình này người ta coi mỗi electron trong nguyên tử chuyển động độc lập với các electron khác trong một trường xuyên tâm tạo bởi hạt nhân và các electron còn lại. Kết quả là trạng thái của mỗi electron trong nguyên tử nhiều electron cũng được đặc trưng bởi một hàm sóng . Mỗi hàm cũng phụ thuộc vào 3 giá trị của 3 số lượng tử n, l, ml gọi là một orbital nguyên tử. 1.1.3.5. Phương pháp gần đúng Slater áp dụng cho nguyên tử nhiều electron Năm 1930, Slater đã đề nghị một phương pháp gần đúng xác định hàm bán kính Rnl và năng lượng tương ứng của orbital đó là εnl (năng lượng tương ứng với phân lớp electron). Công thức xác định hàm bán kính là: Năng lượng của 1 electron ở trạng thái được mô tả bới hàm Rnl(r) là: Trong đó: Z là số đơn vị điện tích hạt nhân của nguyên tử; b là hằng số chắn; (Z-b) là số đơn vị điện tích hạt nhân hiệu dụng; n* là số lượng tử chính hiệu dụng; c là hằng số; a0 là bán kính Borh thứ nhất; e0 là điện tích cơ bản. 1.1.3.6. Số lượng tử spin. Hàm orbital spin Ngoài chuyển động orbital tạo ra mômen động lượng ⃗M , electron còn có chuyển động spin tạo ra mômen động lượng spin s. Trang 8
Trang 9
Chuyên đề “Hạt chuyển động trong hộp thế” Theo thực nghiệm, electron có spin s =1/2. Để mô tả trạng thái electron trong chuyển động spin, ta có hàm sóng spin (). Electron ở trạng thái spin được mô tả bởi hàm β, ký hiệu là ↓, ứng với trị số lượng tử 1 spin m = –2 . s Electron ở trạng thái spin được mô tả bởi hàm , ký hiệu là , ứng với trị số lượng 1 tử spin m = +2 . s Từ các nội dung trên ta thấy rằng đối với mỗi electron trong nguyên tử có hàm sóng nlml (r) hay hàm orbital, với một bộ ba số lượng tử n, l, ml, mô tả chuyển động orbital, hàm sóng spin , với một số lượng tử từ spin ms, mô tả chuyển động spin của electron đó. Vậy hàm sóng toàn phần hay hàm orbital spin với một bộ bốn số lượng tử n, l, ml, ms mô tả đầy đủ trạng thái của một electron trong nguyên tử là hàm tích: 1.2. ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER 1.2.1. Hộp thế một chiều: Bài toán hộp thế một chiều mô tả một hạt vi mô (ví dụ: một electron) có khối lượng m bị giới hạn chuyển động dọc theo một đường thẳng (trục x) trong một khoảng không gian hữu hạn. • Bên trong hộp: Thế năng U(x) = 0. Hộp thường được định nghĩa trong khoảng từ x = 0 đến x = a (hoặc L), với a là chiều dài của hộp. Điều này có nghĩa là hạt chuyển động tự do bên trong hộp, không chịu tác dụng của bất kỳ lực nào. • Bên ngoài hộp: Thế năng U(x) = ∞ (vô cùng lớn). Điều này tượng trưng cho một “bức tường” không thể xuyên thủng, ngăn cản hạt thoát ra khỏi khoảng 0 < x < a. Trong những bài toán thực tế, ta thường gặp những trường hợp hạt chỉ chuyển động trong một phạm vi giới hạn bởi một hàng rào thế năng có chiều cao khá lớn, ví dụ như electron trong mạng tinh thể hay nucleon trong hạt nhân bền, khi đó ta nói rằng hạt ở trong hộp thế (giếng thế). Trang 9
Trang 10
Chuyên đề “Hạt chuyển động trong hộp thế” Ta hãy xét trường hợp hạt nằm trong giếng thế năng có thành cao vô hạn và chuyển động theo một phương x bên trong giếng thế (Hình 1). Thế năng U được xác định theo điều kiện: U=¿{0 khi 0<x<L¿¿¿ Hình 1 Như vậy bên trong giếng thế hạt chuyển động tự do và không thể vượt ra ngoài giếng. Phương trình Schrodinger của hạt trong giếng thế (U = 0) một chiều (chiều x) có dạng: d2ψ 2mE ψ dx2 + ℏ2 = 0 (1) 2mE d2ψ Đặt k2 = ℏ2 , ta có: dx2 + k2ψ = 0 (2) Nghiệm của phương trình (1) có dạng: (x) A sin kx + B cos kx (3) A, B là những hằng số được xác định từ điều kiện của hàm sóng. Theo đầu bài thì hạt chỉ ở trong giếng thế, do đó xác suất tìm hạt tại vùng ngoài giếng thế bằng không và hàm sóng trong các vùng đó cũng bằng 0. Từ điều kiện liên tục của hàm sóng ta suy ra: (0) 0 ; (a) 0. Thay điều kiện này vào (3) ta có: (0) A sin (0) + B ⇒ B (0) và (a) = A sin (ka) = 0 B = 0 nên A phải khác 0 (vì nếu A = 0 thì luôn bằng 0). Do đó ta có: sin ka = 0 = sin n với n = 1, 2, … nπ Từ đó rút ra: k = a (4) nπ Như vậy ta có một dãy nghiệm hàm sóng có dạng: (x) = A sin a x (5) n Trang 10
Trang 11
Chuyên đề “Hạt chuyển động trong hộp thế” thỏa mãn điều kiện biên của miền. Hằng số A được xác định từ điều kiện chuẩn hóa (3) của hàm sóng. Vì hạt không thể ra khỏi giếng nên xác suất tìm thấy hạt trong giếng là chắc chắn: Tính giá trị tích phân: √2 Ta tìm được: A = a √2 nπ Như vậy hàm sóng được xác định hoàn toàn: (x) = a sin a x (6) n Năng lượng của hạt trong giếng thế cũng được tìm thấy khi ta thay biểu thức (4) vào 2mE (π )2 π2 ℏ2 n2 ( h2 ) ℏ2 a 2ma2 8ma2 k2 = = n2 và nhận được En = = n2 Từ các kết quả trên ta rút ra một số kết luận sau: a) Mỗi trạng thái của hạt ứng với một hàm sóng n (x). b) Năng lượng của hạt trong giếng phụ thuộc vào số nguyên n, nghĩa là biến thiên gián đoạn. Ta nói rằng năng lượng đã bị lượng tử hóa. π2 ℏ2 Với n = 1 ta có mức năng lượng cực tiểu: E = 2ma2 ≠ 0 ứng với hàm sóng 1 √2 π = a sin a x 1 mô tả trạng thái chuyển động cơ bản của hạt. Hàm sóng ψ1(x) khác không tại mọi điểm trong giếng, chỉ có thể bằng 0 tại các vị trí biên (Hình 2). Khoảng cách giữa hai mức năng lượng kế tiếp nhau ứng với các số nguyên n và n + 1 bằng: π2 ℏ2 ∆E = E – E = 2ma2 (2n + 1) (7) n n+1 n Trang 11
Trang 12
Chuyên đề “Hạt chuyển động trong hộp thế” ΔEn càng lớn khi a và m càng nhỏ. Điều đó có nghĩa là trong phạm vi thế giới vi mô, sự lượng tử hóa càng thể hiện rõ rệt. Cụ thể, nếu xét hạt electron m = 9,1.10-31 kg, a ~ 5.10-10 m thì ΔE ~ 1eV, khoảng cách giữa En+1 và En tương đối lớn, năng lượng bị lượng tử hóa. Nhưng nếu xét một hạt có m ~10-26 kg chuyển động trong miền a ~ 10 cm thì khoảng cách giữa các mức năng lượng ΔE ~ 10-20 eV khá nhỏ. Trong trường hợp này có thể coi năng lượng của hạt biến thiên liên tục. c) Mật độ xác suất tìm hạt trong giếng: 2 a nπ |ψ (x)| 2 a (n) = sin2 x (8) Hình 2. Hạt trong giếng thế năng một chiều, cao vô hạn nπ Mật độ xác suất cực đại khi: sin ( a x) = ± 1 a Do đó xác suất tìm thấy hạt lớn nhất tại: x = (2m + 1) 2n < a m = 0, 1, … Ví dụ: Khi n = 1 xác suất tìm thấy hạt ở điểm x = a/2 là lớn nhất. Khi n = 2 xác suất tìm thấy hạt ở điểm x = a/4 và x = 3a/4 là lớn nhất ... nπ Mật độ xác suất cực tiểu khi: sin ( a x) = 0 ma Do đó xác suất tìm thấy hạt nhỏ nhất tại x = n < a 1.2.2. Hộp thế hai chiều Bài toán hạt trong hộp thế hai chiều là sự mở rộng của mô hình hộp thế một chiều, nơi một hạt bị giới hạn chuyển động trong một mặt phẳng (hai chiều) thay vì chỉ một đường thẳng. Đây là một mô hình quan trọng trong cơ học lượng tử để hiểu về sự lượng tử hóa năng lượng trong các hệ không gian hơn. Trang 12
Trang 13
Chuyên đề “Hạt chuyển động trong hộp thế” Mô hình Hộp Thế Hai Chiều Trong mô hình này, ta xét một hạt có khối lượng m bị giam trong một giếng thế năng vô hạn (hoặc “hộp”) có dạng hình chữ nhật trong mặt phẳng xy. • Bên trong hộp: Thế năng U(x,y) = 0. Hộp thường được định nghĩa trong khoảng 0 ≤ x ≤ Lx và 0 ≤ y ≤ Ly, trong đó Lx và Ly là chiều dài của các cạnh theo trục x và y. • Bên ngoài hộp: Thế năng U(x,y) = ∞. Điều này đảm bảo hạt hoàn toàn bị nhốt bên trong hộp và không thể thoát ra. Phương trình Schrödinger Để tìm năng lượng và hàm sóng của hạt, chúng ta sử dụng phương trình Schrödinger độc lập với thời gian cho hai chiều: ℏ2 (∂2ψ(x,y) + ∂2ψ(x,y)) 2m ∂x2 ∂ y2 – + U(x,y) ψ(x,y) = E ψ(x,y) Vì V(x,y) = 0 bên trong hộp, phương trình trở thành: ℏ2 (∂2ψ(x,y) + ∂2ψ(x,y)) 2m ∂x2 ∂ y2 – = E ψ(x,y) Để giải phương trình này, người ta thường sử dụng phương pháp tách biến, giả sử hàm sóng ψ(x,y) có thể được viết dưới dạng tích của hai hàm phụ thuộc riêng vào x và y: ψ(x,y) = X(x)Y(y) Năng lượng Lượng tử hóa Khi giải phương trình Schrödinger với các điều kiện biên |ψ (x, y) = 0| tại các ranh giới của hộp), chúng ta thu được kết quả năng lượng của hạt bị lượng tử hóa và phụ thuộc vào hai số lượng tử. Công thức năng lượng cho hạt trong hộp thế hai chiều là: E = h2 (n2x + n2y ) n ,n 8m L2 L2 x y x y Trong đó: • Enx,ny là năng lượng của hạt. • nx và ny là hai số lượng tử độc lập, mỗi số tương ứng với một chiều (nx = 1, 2, 3,… và ny = 1, 2, 3,…). Trang 13
Trang 14
Chuyên đề “Hạt chuyển động trong hộp thế” • h là hằng số Planck. • m là khối lượng của hạt. • Lx và Ly là chiều dài của hộp theo trục x và y. Đặc điểm quan trọng 1. Lượng tử hóa năng lượng: Giống như hộp thế một chiều, năng lượng của hạt trong hộp thế hai chiều cũng bị lượng tử hóa. Tuy nhiên, ở đây năng lượng phụ thuộc vào hai số lượng tử thay vì một. 2. Năng lượng điểm 0: Mức năng lượng thấp nhất (trạng thái cơ bản) xảy ra khi nx = 1 h2 (1 + 1 ) L2 L2 và n = 1. Năng lượng này luôn lớn hơn 0 (E = 8m x y ), thể hiện nguyên lý y 1,1 bất định Heisenberg. 3. Suy biến (Degeneracy): Đây là một khái niệm mới xuất hiện trong các hệ nhiều chiều. Nếu Lx = Ly (hộp là hình vuông), thì có thể có các trạng thái khác nhau (với các cặp (nx, ny) khác nhau) lại có cùng một mức năng lượng. h2 2 n2 n2 Ví dụ, nếu L = L = L, thì E = 8mL ( x + y ). Trạng thái (1,2) và (2,1) sẽ có cùng x y nx,ny h2 h2 năng lượng E = 8mL2 (12 + 22) = 58mL2 Các trạng thái có cùng năng lượng nhưng hàm sóng khác nhau được gọi là trạng thái suy biến. Ứng dụng * Mô hình hạt trong hộp thế hai chiều rất hữu ích để giải thích các hiện tượng trong vật lý và hóa học, đặc biệt là trong lĩnh vực vật lý chất rắn và công nghệ nano: • Electron trong vật liệu 2D: Mô hình này được sử dụng để mô tả hành vi của electron trong các cấu trúc vật liệu hai chiều như giếng lượng tử (quantum well), dây lượng tử (quantum wire) hoặc các vật liệu như graphene, nơi chuyển động của electron bị hạn chế trong một mặt phẳng. • Phổ hấp thụ/phát xạ: Giúp hiểu về sự lượng tử hóa năng lượng trong các hệ bị giới hạn, dẫn đến phổ hấp thụ hoặc phát xạ có các vạch rời rạc. Trang 14
Trang 15
Chuyên đề “Hạt chuyển động trong hộp thế” * Mô hình hộp thế hai chiều cung cấp một cái nhìn sâu sắc hơn về cách các hạt lượng tử bị ảnh hưởng bởi môi trường giới hạn và là bước đệm để nghiên cứu các hệ phức tạp hơn trong ba chiều. 1.2.3. Hộp thế ba chiều Trong các bài toán thực tế về cấu tạo nguyên tử, các electron không chỉ chuyển động trên một phương xác định mà chuyển động trong một vùng không gian hữu hạn. Để hiểu một cách khái quát về cách giải những bài toán này chúng ta khảo sát mô hình hộp thế ba chiều. Ở đây, ta giả thiết là khu vực chuyển động của vi hạt là một hình hộp với các cạnh là a, b, c. Thế năng của vi hạt trong hộp thế có giá trị xác định, không đổi, để tiện lợi ta chọn làm điểm gốc và do đó Ux = Uy = Uz = 0. Hình. Hộp thế ba chiều Phương trình Schroedinger cho vi hạt chuyển động trong hộp thế ba chiều: ∂2ψ ∂2ψ ∂2ψ 2mE ∂x2 + ∂ y2 + ∂z2 + ℏ2 U = 0 (I) Năng lượng toàn phần E = Ex + Ey + Ez Để giải phương trình (I), ta đặt: (x,y,z) = X(x).Y(y).Z(z) = X.Y.Z (II) Đặt (II) vào (I), ta có thể tách phương trình thu được ba phương trình có dạng hoàn toàn giống nhau: d2 X 2mE X ∂x2 + ℏ2 X = 0 d2Y 2mE Y ∂ y2 + ℏ2 Y = 0 d2 Z 2mE Z ∂z2 + ℏ2 Z = 0 Trang 15
Trang 16
Chuyên đề “Hạt chuyển động trong hộp thế” Lời giải của mỗi phương trình trên giống như trường hợp hộp thế một chiều mà ta đã biết: √2 nX π X(x) = a sin a x √2 nY π Y(x) = b sin b y √2 nZ π Z(z) = c sin c z (III) Ở đây, nX = 1, 2, 3, ... ; nY = 1, 2, 3, ... ; nZ = 1, 2, 3, ... Đặt (III) vào (II) ta có hàm sóng ψ(x,y,z) = X(x).Y(y).Z(z) mô tả trạng thái của vi hạt trong hộp thế ba chiều. Tương ứng với hàm sóng đó, ta có năng lượng của vi hạt: h2 h2 h2 h2 n2 n2 n2 x y z 2 2 2 2 2 2 8m 2 E = E + E + E = n 8ma + ny 8mb + n 8mc = (a2 + b + c2 ) x y z x z Ở đây, trong bài toán về hộp thế ba chiều ta thấy xuất hiện ba số lượng tử nx, ny, nz. Số các số lượng tử như vậy bằng số bậc tự do của hạt chuyển động. CHƯƠNG 2. MỘT SỐ BÀI TẬP VẬN DỤNG LÍ THUYẾT HOÁ HỌC LƯỢNG TỬ XÂY DỰNG BÀI TẬP HỘP THẾ PHỤC VỤ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI 2.1. BÀI TẬP VỀ HOÁ HỌC LƯỢNG TỬ - HỘP THẾ 2.1.1. Hạt trong hộp thế một chiều * Electron chuyển động trong giếng thế theo phương x. * Ta giả thiết có một vi hạt (electron) chuyển động theo phương x và trong khu vực OA = a, ta có mô hình “hộp thế một chiều” * Phạm vi hạt chuyển động là: 0 < x < a. * Hai điều kiện biên của bài toán là: • Khi x = 0 ⇒ (x) = (0) = 0 • Khi x = OA = a ⇒ (x) = (a) = 0 Thế năng của hạt cũng là hàm của tọa độ x, nghĩa là U(x). {0 khi 0<x<a¿¿¿¿ Trị số của thế năng đó là: U(x) = Như vậy, trong phạm vi hộp thế, thế năng bằng 0, nghĩa là hạt chuyển động hoàn toàn tự do. Trang 16
Trang 17
Chuyên đề “Hạt chuyển động trong hộp thế” Phương trình Schrodinger trong trường hợp này có dạng: d2ψ 2mE d2ψ 8π2mE h dx2 + ℏ2 ψ = 0 hay dx2 + h2 ψ = 0 (ℏ = 2π ) Giải phương trình vi phân trên ta có: nπ √2 nπ * Hàm sóng: (x) = A sin a x = a sin a x n với n ∈ N (n ≠ 0 vì khi n = 0 thì = 0 ⇒ trong hộp thế luôn không có hạt → vô lý) n2 h2 * Năng lượng: E = 8ma2 (a = L) n n = 1, 2, 3 … số lượng tử chính; h là hằng số Plank; m là khối lượng electron; L là chiều rộng giếng thế √2 π h2 • n = 1 ⇒ (x) = a sin a x và E = 8ma2 1 1 √2 2π h2 • n = 2 ⇒ (x) = a sin a x và E = 2ma2 = 4E 2 2 1 √2 3π 9h2 • n = 3 ⇒ (x) = a sin a x và E = 8ma2 = 9E 3 2 1 Từ đó ta có các đồ thị tương ứng với các hàm sóng i, các mật độ xác suất tìm thấy hạt vi mô ψ2 i và các năng lượng Ei tương ứng. Ở đây ta chỉ vẽ các đồ thị ứng với 3 trạng thái n = 1, n = 2, n = 3. Trang 17
Trang 18
Chuyên đề “Hạt chuyển động trong hộp thế” Khi áp dụng mô hình hộp thế vào các bài toán hữu cơ, ta cần chú ý những điểm sau: 1. Xác định chính xác số electron π (đôi khi cả p) của hệ liên hợp. 2. Ứng với mỗi mức năng lượng En nêu trên, người ta xác định được một orbital phân tử (viết tắt là MO-π) tương ứng, duy nhất. Sự phân bố electron π vào các MO-π cũng tuân theo các nguyên lý và quy tắc như sự phân bố electron vào các orbital của nguyên tử. 3. Chú ý các quy ước viết tắt orbital phân tử bị chiếm cao nhất (HOMO – Highest Occupied Molecular Orbital) và orbital phân tử không bị chiếm thấp nhất (LUMO – Lowest Unoccupied Molecular Orbital). * Mô hình hộp thế được xây dựng để giải gần đúng bài toán năng lượng của hệ liên hợp carbon mạch thẳng. * Giản đồ năng lượng MO: Trang 18
Trang 19
Chuyên đề “Hạt chuyển động trong hộp thế” * Quy tắc: Có bao nhiêu AO thì có bấy nhiêu MO tương ứng tạo ra. 2.1.2. Một số bài tập vận dụng Bài 1: Một electron chuyển động trong giếng thế một chiều bị kích thích bằng ánh sáng có bước sóng 1,374.10–5 m để chuyển từ mức cơ bản lên mức cao hơn, xác định mức năng lượng cao hơn mà electron cần chuyển tới. Biết chiều rộng giếng thế là 10 nm. Hướng dẫn: * Ánh sáng để kích thích electron theo yêu cầu của đề bài có năng lượng: c 3.108 • 𝜀 = h λ = 6,625.10–34. 1,374.10−5 = 1,447.10–20 J J.s. m/s / m * Năng lượng ánh sáng nên để kích thích electron từ mức n = 1 lên mức n’ > n [(n')2 − 12]. h2 [(n')2 − 12] . (6,625.10−34)2 • 𝜀 = ∆E = E – E = 8mL2 ⇔ 1,447.10–20 = 8.9,1.10−31.(10.10−9)2 n’ 1 ⇒ n’ = 5 Bài 2: Xác định sự biến thiên ∆E giữa 2 mức năng lượng n = 2 và n = 1 theo J; kJ/mol; eV; cm–1 cho 1 electron chuyển động trong giếng thế 1 chiều rộng 1 nm. Cho 1 eV = 1,6.10–19 J Hướng dẫn: Biến thiên năng lượng của 2 mức n = 2 và n = 1 (22 − 12) (6,625.10−34)2 * ∆E (J) = E – E = 8.9,1.10−31.(1.10−9)2 = 1,809.10–19 J 2 1 * ∆E (kJ/mol) = 1,809.10–19.10–3.6,022.1023= 108,915 kJ/mol ΔE(J) 1,809.10−19 * ∆E (eV) = 1,6.10−19 = 1,6.10−19 = 1,13 eV ΔE(J) 1,809.10−19 * ∆E (cm–1) = h.c.102 = 6,625.10−34.3.108.102 = 9100,275 cm–1 Bài 3: Một electron chuyển động trong hộp thế 1 chiều cần bước sóng có độ dài 8080 nm để kích thích từ mức n = 2 lên mức n = 3. Tính chiều dài hộp thế. Hướng dẫn: Năng lượng của ánh sáng kích thích electron từ mức n = 2 lên mức n = 3. Trang 19
Trang 20
Chuyên đề “Hạt chuyển động trong hộp thế” c 3.108 (32 − 22) (6,625.10−34)2 𝜀 = ∆E ⇔ hλ = E – E ⇔ 6,625.10–34. 8080.10−9 = 8.9,1.10−31.(L)2 3 2 ⇒ L = 3,5.10–9 m Bài 4: a) Tính bước sóng của một bức xạ điện từ cần để kích thích một electron từ trạng thái cơ bản lên mức năng lượng n = 5 trong một hộp thế một chiều dài 40,0 pm. b) Một electron trong một hộp thế một chiều cần bước sóng 8080 nm để kích thích từ trạng thái n = 2 lên n = 3. Tính độ dài của hộp thế này. c) Một electron trong hộp thế một chiều 10,0 nm được kích thích từ trạng thái cơ bản đến một trạng thái cao hơn bằng cách hấp thụ một photon của bức xạ điện từ có bước sóng 1,374.1025 m. Xác định trạng thái năng lượng cuối của bước chuyển này. d) Điều gì sẽ xảy ra với các mức năng lượng của một electron bị giữ trong một hộp thế một chiều khi chiều dài hộp thế tăng lên? Dự đoán mức năng lượng ở trạng thái cơ bản của electron trong một hộp thế một chiều độ dài 10–6 m sẽ thấp hay cao hơn so với trong hộp thế 10–10 m? Hướng dẫn: (52 − 12) (6,625.10−34)2 a) ∆E = E – E = 8.9,1.10−31.(40.10−12)2 = 9,043.10–16 J 5 1 c 3.108 (32 − 22) (6,625.10−34)2 b) 𝜀 = ∆E ⇔ h λ = E – E ⇔ 6,625.10–34. 8080.10−9 = 8.9,1.10−31.(L)2 3 2 ⇒ L = 3,5.10–9 m = 3,5 nm c 3.108 (n2 − 12) (6,625.10−34)2 c) 𝜀 = ∆E ⇔ hλ = E – E ⇔ 6,625.10–34. 1,374.1025 = 8.9,1.10−31.(10.10−9)2 ⇒ n = 5 n 1 d) Theo công thức, khi L tăng lên thì En sẽ giảm và khoảng cách giữa các mức năng lượng cũng sẽ giảm. Vậy năng lượng mức trạng thái cơ bản của electron trong hộp thế 10–6 m sẽ thấp hơn so với hộp thế 10–10 m. Bài 5: Môt electron chuyển động trong giếng thế một chiều bị kích thích bằng ánh sáng hấp thu với bước sóng 1,374.10–5 m để chuyển từ mức cơ bản lên mức cao hơn. Hãy xác định mức năng lương cao hơn, n mà electron cần chuyển tới, biết rằng độ rông của giếng thế là 10,0 nm. Cho: h = 6,626.10–34 J.s ; c = 2,9979.108 m/s ;mp = 9,109.10–31 kg Hướng dẫn: Trang 20
Showing the first 20 pages. Download the document to see it all.
Comments (0)
No comments yet. Be the first!