ĐỀ THI CUỐI KÌ MÔN GIẢI TÍCH 3 – HỌC KÌ 20172 NHÓM 2 Lời giải: Trần Bá Hiếu – KSTN Dệt K64 ∞ Câu 1: Tính tổng của chuỗi số ∑ Ta có: ∑ n = 4. ∑ n nhân có số hạng đầu là và công → ∑ n= 5 = Vậy tổng của chuỗi đã cho là 4. = 1 4 Câu 2: Xét sự hội tụ, phân kỳ của các chuỗi số sau ∶ ∞ a) ∑ n=1 n+2 6n2 + 1 Chuỗi đã cho là chuỗi dương ∀n ≥ 1 Khin n → +∞ ∶ 2 ~ mà ∑ là chuỗi phân kỳ 6n + 1 6n 6n n=1 Suy ra chuỗi đã cho là chuỗi phân kỳ theo tiêu chuẩn so sánh ∞ 8n (n!)2 b) ∑ n2n n=1 Chuỗi đã cho là chuỗi dương ∀n ≥ 1 Xét giới hạn ∶ un+1 8n+1 [(n + 1)!]2 8n (n!)2 lim = lim ÷ n→+∞ un n→+∞ (n + 1)2(n+1) n2n [(n + 1)!]2 n 2n 1 1 2n = lim 8. .( = lim 8. (1 − ) . ) n→+∞ (n!)2 (n + 1)2 n→+∞ n+1 n+1 Trần Bá Hiếu – KSTN Dệt K64 1 −2n 1 2n 8 lim ln(1− ).2n lim n+1 n+1 = n→+∞ n→+∞ = lim 8. (1 − = 8. e = 8. e >1 ) n→+∞ n+1 e2 Suy ra chuỗi đã cho phân kỳ theo tiêu chuẩn Dalembert ∞ 1 c) ∑ sin ( − nπ) Ta có ∶ ∑ sin ( − nπ) = ∑(−1)n sin ( ) n n Xét f(n) = sin 1 −1 1 có f ′ (n) = 2 . cos ( ) < 0, ∀n ≥ 1 và lim sin ( ) = 0 n→+∞ n 1 → sin đơn điệu giảm dần về 0 n Suy ra chuỗi đã cho hội tụ theo tiêu chuẩn Leibnizt Câu 3: Tìm miền hội tụ của các chuỗi hàm số sau ∶ ∞ a) ∑ n=1 1 n2 (x + 1)n ∞ 1 1 Đk: x ≠ −1. Đặt t = → Chuỗi đã cho trở thành ∑ 2 . t n x+1 n n=1 Ta có an = 1 . Bán kính hội tụ của chuỗi hàm là ∶ n2 (n + 1)2 an R = lim | =1 | = lim n→+∞ an+1 n→+∞ n2 ∞ Xét tại biên t = 1, ta có chuỗi ∑ n=1 1 hội tụ n2 ∞ (−1)n Xét tại biên t = −1, ta có chuỗi ∑ hội tụ theo tc Leibnizt n2 n=1 → Chuỗi hội tụ khi chỉ khi − 1 ≤ t ≤ 1 → −1 ≤ 1 ≤ 1 → x ≤ −2 ∪ x ≥ 0 x+1 Vậy miền hội tụ của chuỗi đã cho là (−∞; −2] ∪ [0; +∞) Trần Bá Hiếu – KSTN Dệt K64 ∞ b) ∑ n=1 3x (1 + 9x 2 )n (1 + 9x 2 )n (1 + 9x 2 )n ∞ Với x = 0 → ∑ n=1 Với mọi x ≠ 0, 3x = 0, hội tụ (1 + 9x 2 )n 1 <1 1 + 9x 2 → Chuỗi đã cho là tổng của cấp số nhân công bội là 1 1 + 9x 2 1 2 1 và có tổng là ∶ S = 3x. 1 + 9x = , hội tụ 1 3x 1− 1 + 9x 2 Suy ra miền hội tụ của chuỗi là R ∞ (−1)n nx + 1 c) ∑ (−1)n nx + 1 (−1