ĐỀ THI GIỮA KỲ MÔN GIẢI TÍCH 3 HỌC KÌ 20181 – NHÓM NGÀNH 2 Lời giải: Trần Bá Hiếu – KSTN Dệt K64 Câu 1: Xét sự hội tụ, phân kỳ của chuỗi số ∞ a) ∑ n=2 (−1)n √n ln n Chuỗi đã cho là chuỗi đan dấu 1 { } là dãy dương, đơn điệu giảm dần về 0 √n ln n → Chuỗi đã cho hội tụ theo tiêu chuẩn Leibnitz ∞ b) ∑ ( Chuỗi đã cho là chuỗi dương ∀n ≥ 1 Áp dụng tiêu chuẩn Cauchy, ta có ∶ 2 n−1 n 1 n √ lim ( ) = lim (1 − ) = e−1 < 1 n→+∞ n→+∞ n n n → Chuỗi đã cho hội tụ Bài 2: Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm ∞ (x − 1)2n a) ∑ 2 n −n+1 n=1 Đặt (x − 1)2 = t , t ≥ 0 ∞ Chuỗi đã cho trở thành ∑ an t n , với an = n=1 1 n2 − n + 1 Bán kính hội tụ là ∶ (n + 1)2 − (n + 1) + 1 an n2 + n + 1 R = lim | | = lim | | = lim | 2 |=1 n→+∞ an+1 n→+∞ n→+∞ n − n + 1 n2 − n + 1 Xét t = 1, ∑ 2 ~ ∑ 2 hội tụ n −n+1 n → Chuỗi hội tụ khi 0 ≤ t ≤ 1 Trần Bá Hiếu – KSTN Dệt K64 → 0 ≤ (x − 1)2 ≤ 1 → −1 ≤ x − 1 ≤ 1 → 0≤x≤2 Miền hội tụ là x ∈ [0; 2] ∞ 2 b) ∑ n2−x n=1 Chuỗi đã cho hội tụ ↔ 2 − x 2 < −1 → x2 > 3 → x > √3 ∪ x < −√3 → Miền hội tụ là x ∈ (−∞; −√3) ∪ (√3; +∞) Câu 3: Giải phương trình vi phân y a) y ′ + = x 3 x 1 Thừa số tích phân p(x) = e∫xdx = eln x = x. Nhân cả 2 vế với p(x) → x. y′ + y = x 4 → (x. y)′ = x 4 x5 → x. y = + C 5 x4 C →y= + 5 x x4 C → Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân đã cho là y(x, C) = + 5 x −x + 2y b) y ′ = , y(1) = 2 x 2 → y ′ = −1 + . y x 2 → y ′ − . y = −1 x 2 1 Thừa số tích phân p(x) = e∫ −xdx = e−2 ln x = 2 . Nhân cả 2 vế với p(x) → 2 . y′ − 3 . y = 2 x x x Trần Bá Hiếu – KSTN Dệt K64 ′ 1 −1 → ( 2 . y) = 2 → 2.y = +C x x → y = x + C. x 2 Lại có y(1) = 2 → 2 = 1 + C → C = 1 → Nghiệm riêng của phương trình vi phân đã cho là y(x) = x + x 2 c) (1 − y. e−x )dx + e−x dy = 0 ∂(1 − y. e−x ) ∂(e−x ) Ta thấy = = −e−x ∂y ∂x → thỏa mãn điều kiện phương trình vi phân toàn phần Giả sử du(x, y) = (1 − y. e−x )dx + e−x dy Xuất phát từ điều kiện u′x = 1 − y. e−x → u(x, y) = ∫ 1 − y. e−x dx = x + y. e−x + g(y) → u′y = e−x + g ′ (y) = e−x → g ′ (y) = 0. Ta chọn g(y) = 0 → tích phân