ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH OXYZ A. MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Kiến thức về hình học giải tích là một bộ phận quan trọng trong chương trình môn Toán ở bậc THPT. Bài toán cực trị trong hình học giải tích là một bài toán khó, gây ra nhiều khó khăn, lúng túng cho học sinh khi tìm hướng giải. Đạo hàm là một công cụ tốt cho việc giải quyết bài toán tìm cực trị của hàm số. Các hàm số xuất hiện trong bài toán cực trị của hình học giải tích Oxyz: Hàm số khoảng cách, hàm số liên quan đến công thức tính góc hầu hết đều là những hàm số mà học sinh có thể dễ dàng khảo sát và tìm cực trị của nó. Khó khăn của học sinh là việc thiết lập các hàm số này. Thông qua việc giải quyết bài toán cực trị, học sinh có thêm định hướng và phương pháp giải quyết các bài toán khác của hình học giải tích Oxyz: Bài toán viết phương trình mặt phẳng, bài toán viết phương trình đường thẳng thỏa mãn điều kiện cho trước. Nhằm giúp các em học sinh có định hướng tốt khi tìm lời giải, cũng như giải quyết được bài toán cực trị một cách trọn vẹn, rõ ràng và mạch lạc, tôi chọn nghiên cứu chuyên đề: “ ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH OXYZ ” 2. Mục đích nghiên cứu Chuyên đề cung cấp cho học sinh một phương pháp để giải quyết bài toán cực trị trong hình học Oxyz, rèn luyện cho học sinh kĩ năng chuyển đổi bài toàn toán cực trị trong hình học sang bài toán cực trị trong giải tích. Từ đó, với công cụ đạo hàm học sinh có thể giải quyết trọn vẹn bài toán cực trị. Đồng thời, chuyên đề cũng nhằm giúp học sinh có thể giải quyết tốt các bài toán khác của hình học giải tích. 3. Phương pháp nghiên cứu + Tổng hợp kiến thức, kiểm nghiệm qua thực tế dạy học. + Tập hợp những vấn đề nảy sinh, những băn khoăn, lúng túng của học sinh trong quá trình giải quyết bài toán cực trị trong hình học giải tích Oxyz. Từ đó, đề xuất phương án giải quyết, tổng kết thành kinh nghiệm. 4. Phạm vi nghiên cứu Trong bài toán cực trị của hình học giải tích Oxyz: Cực trị liên quan đến khoảng cách và Cực trị liên quan đến góc trong không gian. Song ở đây, tôi chỉ tập trung nghiên cứu các bài toán cực trị có thể giải quyết được bằng phương pháp khảo sát hàm số. Trong chuyên đề, tôi tổng hợp và đúc rút những kinh nghiệm từ thực tế giảng dạy vấn đề này cho học sinh lớp 12 ôn thi ĐH – CĐ. 1 5. Điểm mới của chuyên đề + Chuyên đề tập trung rèn luyện cho học sinh kĩ năng dùng đạo hàm để giải quyết bài toán cực trị trong hình học Oxyz. + Đặc biệt, chuyên đề đã xây dựng một phương pháp giải toán hiệu quả đối với một lượng lớn các bài toán cực trị và giải quyết hầu hết các dạng toán đặt ra. + Ngoài ra, chuyên đề còn cung cấp cho học sinh các phương pháp tiếp cận khác đối với bài toán cực trị và rèn luyện thêm cho học sinh phương pháp giải các bài toán khác của hình học giải tích. (Thông qua các nhận xét sau mỗi ví dụ). 2 B. NỘI DUNG I. BÀI TOÁN CỰC TRỊ LIÊN QUAN ĐẾN KHOẢNG CÁCH 1.1 Kiến thức cơ sở Các công thức về khoảng cách: • Khoảng cách giữa hai điểm: Cho hai điểm ( ; ; ) A x y z A A A và ( ; ; ) B x y z B B B . Khi đó: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 AB AB x x y y z z = = − + − + − B A B A B A uuur . • Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng: Cho điểm M x y z ( M M M ; ; ) và mặt phẳng ( P Ax By Cz D ) : 0 + + + = . Khi đó: ( ( ) ) 2 2 2 , Ax By Cz D M M M d M P A B C + + + = + + . • Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng: ( ) , , MN u d M u     ∆ = uuuur r r . Trong đó, N là một điểm thuộc đường thẳng ∆ và u r là VTCP của đường thẳng ∆ . • Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: ( ) 1 2 1 2 1 2 , . , , u u AB d u u     ∆ ∆ =     ur uur uuur ur uur . Trong đó, A, B lần lượt là các điểm thuộc đường thẳng ∆1 và ∆2 . 1 u ur , 2 u uur lần lượt là các VTCP của hai đường thẳng ∆1 và ∆2 . 1.2 Các ví dụ minh họa Ví dụ 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A( 1;4;2) , B( −1;2;4) và đường thẳng 1 : 2 2 x t y t z t  = −  ∆ = − +    = . Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng ∆ sao cho biểu thức 2 2 P MA MB = + đạt giá trị nhỏ nhất. Lời giải.