第 1 页
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập LÝ THUYẾT MÔN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH CHƯƠNG II: MA TRẬN - ĐỊNH THỨC - HỆ PHƯƠNG TRÌNH Mục lục I Ma trận và các phép toán 2 1 Khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 Hai ma trận bằng nhau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 3 Các phép toán trên ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 4 Một số phép biến đổi sơ cấp trên ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 II Định thức 7 1 Khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2 Công thức khai triển . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 3 Một số tính chất của định thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 4 Kết hợp khai triển và biến đổi sơ cấp để tính định thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 III Ma trận nghịch đảo 12 1 Định nghĩa và tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2 Điều kiện cần và đủ để ma trận khả nghịch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 3 Tìm ma trận nghịch đảo sử dụng phần phụ đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 4 Tìm ma trận nghịch đảo bằng cách giải phương trình ma trận . . . . . . . . . . . . . . . 13 5 Tìm ma trận nghịch đảo bằng cách phương pháp biến đổi sơ cấp . . . . . . . . . . . . . 14 IV Hạng của ma trận 15 1 Khái niệm hạng của ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2 Ma trận bậc thang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3 Phương pháp tìm hạng của ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 V Hệ phương trình tuyến tính 19 1 Dạng tổng quát của hệ phương trình tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 Dạng ma trận của hệ phương trình tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3 Điều kiện có nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 4 Hệ Crammer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 5 Phương pháp Gauss giải hệ phương trình tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 6 Phương pháp Gauss - Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 7 Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 — Biên soạn bởi: Team Đại số - CLB Hỗ trợ Học tập — 1
第 2 页
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập I Ma trận và các phép toán 1 Khái niệm Định nghĩa 1. • Một ma trận cỡ m×n là một bảng số hình chữ nhật gồm m hàng, n cột dạng: a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n A = · · · · · · · · · · · · am1 am2 · · · amn với ai j ∈K. Số ai j gọi là phần tử của ma trận A, nằm ở hàng i, cột j, với mọi 1≤i≤m,1≤ j ≤n. Ký hiệu ma trận: sử dụng ngoặc tròn như trên hoặc ngoặc vuông. Ta viết A = ai j để chỉ A là ma trận m hàng, n cột với các phần tử ai j. m×n • Ma trận cỡ 1×ngọi là ma trận hàng. Ma trận cỡ m×1 gọi là ma trận cột. • Ma trận A = ai j với ai j = 0,∀i, j, được gọi là ma trận không, ký hiệu là θ. m×n • Nếu số hàng và số cột của A bằng nhau (m = n) thì A gọi là ma trận vuông cấp n, với các phần tử thuộc trường K . 1 1 2 3 Ví dụ 1. A = 4 là ma trận cột, B = 1 2 3 4 là ma trận hàng, và C = 4 5 6 7 7 8 9 là ma trận vuông cấp 3 . Định nghĩa 2. Cho ma trận vuông cấp n : a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n A = · · · · · · · · · · · · an1 an2 · · · ann • Các phần a11,a22, . . . ,ann gọi là các phần tử chéo, chúng lập thành đường chéo chính của A. • Nếu ai j = 0 với mọi i > j (tức là các phần tử nằm dưới đường chéo chính đều là 0 ) thì A gọi là ma trận tam giác trên. • Nếu ai j = 0 với mọi i < j (tức là các phần tử nằm trên đường chéo chính đều là 0 ) thì A gọi là ma trận tam giác dưới. • Nếu ai j = 0 với mọi i ̸= j (tức là các phần tử nằm ngoài đường chéo chính đều là 0 ) thì A được gọi là ma trận đường chéo (hoặc ma trận chéo). — Biên soạn bởi: Team Đại số - CLB Hỗ trợ Học tập — 2
第 3 页
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập • Nếu A là ma trận đường chéo và tất cả các phần tử trên đường chéo chính là 1 thì A được gọi là ma trận đơn vị cấp n. Ma trận đơn vị cấp n thường được ký hiệu là In hoặc En. Khi không quan tâm đến cấp của ma trận thì ta ký hiệu là I hoặc E. Ví dụ 2. 1 2 3 • A = 4 5 6 là ma trận vuông cấp 3 với các phần tử chéo là 1,5,9. 7 8 9 1 0 0 • B = 4 5 0 là ma trận tam giác dưới. 7 8 9 1 0 0 • C = 0 −5 0 là ma trận đường chéo. 0 0 3 1 0 0 1 0 • I = và I = 0 1 0 là các ma trận đơn vị cấp 2 và cấp 3. 2 3 0 1 0 0 1 Định nghĩa 3. Ma trận chuyển vị của ma trận A = a , ký hiệu là At, xác định bởi At = b i j m×n i j n×m trong đó b = a với mọi i = 1,2, . . . ,n và j = 1,2, . . . ,m. Ta có thể có được ma trận chuyển vị At i j ji từ ma trận A bằng cách viết hàng của A thành cột của At hoặc viết cột của A thành hàng của At một cách tương ứng. 1 4 1 2 3 Ví dụ 3. Ma trận chuyển vị của ma trận A = là At = 2 5 . 4 5 6 3 6 Định nghĩa 4. Cho ma trận A vuông cấp n. 1. A gọi là ma trận đối xứng nếu At = A. 2. A gọi là ma trận phản xứng (hay phản đối xứng) nếu At = −A. Rõ ràng, nếu A = ai j vuông cấp n là ma trận đối xứng (tương ứng phản xứng) thì ai j = aji (tương ứng ai j = −aji ) với mọi i, j = 1,2, . . . ,n. Hơn nữa, các phần tử trên đường chéo của ma trận phản xứng đều bằng 0 . — Biên soạn bởi: Team Đại số - CLB Hỗ trợ Học tập — 3
第 4 页
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập 1 2 −1 0 2 −1 Ví dụ 4. A = 2 −2 3 là ma trận đối xứng và B = −2 0 3 là ma trận phản −1 3 3 1 −3 0 xứng. 2 Hai ma trận bằng nhau Định nghĩa 5. Hai ma trận A và B gọi là bằng nhau nếu chúng có cùng cỡ và các phần tử tương ứng của chúng bằng nhau. 2 1 2 1 5 Ví dụ 5. Hai ma trận A = và B = không bằng nhau vì chúng không cùng 4 3 3 4 6 1 5 4 1 5 4 cỡ. Hai ma trận A = và B = là hai ma trận bằng nhau. −1 5 2 −1 5 2 3 Các phép toán trên ma trận 3.1 Phép cộng Định nghĩa 6. Cho hai ma trận cùng cỡ A = ai j và B = bi j . Tổng A+B là ma trận cỡ m×n m×n m×n xác định bởi A+B = ai j +bi j . m×n Như vậy, cộng hai ma trận cùng cỡ, ta cộng các phần tử tương ứng của chúng với nhau. Ví dụ 6. 1 2 3 2 −1 0 1+2 2+ (−1) 3+0 3 1 3 + = = 4 5 6 −3 1 4 4+ (−3) 5+1 6+4 1 6 10 Định nghĩa 7. • Ma trận đối của ma trận A = ai j , ký hiệu là −A, xác định bởi −A = −ai j . m×n m×n • Hiệu của hai ma trận cùng cỡ A và B, ký hiệu là A−B xác định bởi A−B = A+ (−B) Lưu ý 1. Với mọi ma trận A,B,C cùng cỡ, ta có: 1. Tính kết hợp: (A+B) +C = A+ (B+C); 2. Tính giao hoán: A+B = B+A; 3. A+θ = θ +A = A, ở đó θ là ma trận không, cùng cỡ với A; 4. A+ (−A) = (−A) +A = θ. — Biên soạn bởi: Team Đại số - CLB Hỗ trợ Học tập — 4
第 5 页
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập 3.2 Phép nhân Định nghĩa 8. Cho ma trận A = ai j trên trường K và số k ∈ K. Tích của k và A được xác định m×n bởi kA = kai j . Như vậy, nhân số k với ma trận A là nhân k vào mỗi phần tử của A. m×n 1 2 3 Ví dụ 7. Tích của 3 và ma trận A = là ma trận 4 −5 6 3·1 3·2 3·3 3 6 9 3A = = 3·4 3·(−5) 3·6 12 −15 18 Công thức 1. Với mọi ma trận cùng cỡ A,B và số k,l ∈ K, ta có: 1. k(A+B) = kA+kB; 2. (k+l)A = kA+lA; 3. k(lA) = (kl)A; 4. 1A = A,(−1)A = −A; 5. 0A = θ; 6. kθ = θ. Định nghĩa 9. Giả sử A = [aik]m×p và B = bk j là các ma trận cỡ m× p và p×n tương ứng. Tích p×n AB là ma trận C = ci j cỡ m×n, ở đó phần tử ci j(1 ≤ i ≤ m,1 ≤ j ≤ n) được xác định bởi công m×n thức p ci j = ai1b1j +ai2b2j +· · ·+aipbp j = ∑aikbk j k=1 Ví dụ 8. 0 1000 2 3 4 A = và B = 1 100 1 0 0 0 10 Phần tử C12 của ma trận tích AB là tích của vector hàng thứ nhất của A và vector cột thứ hai của B, ta có: 1000 3 h i C = ∑A B = 2 3 4 100 = 2×1000+3×100+4×10 = 2340 12 1k k2 k=1 10 — Biên soạn bởi: Team Đại số - CLB Hỗ trợ Học tập — 5
第 6 页
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập Tính tương tự với tất cả phần tử còn lại của ma trận tích C. Ta được ma trận tích AB có dạng: 0 1000 2 3 4 3 2340 C = A×B = 1 100 = 1 0 0 0 1000 0 10 4 Một số phép biến đổi sơ cấp trên ma trận Định nghĩa 10. Cho ma trận A. Các phép biến đổi sau gọi là các phép biến đổi sơ cấp: 1. Đổi chỗ hai hàng (hay hai cột) cho nhau; 2. Nhân một hàng (hay một cột) với một số khác 0 ; 3. Cộng vào một hàng (tương ứng một cột) một bội của hàng (tương ứng một cột) khác. Ký hiệu: • hi để chỉ hàng i,cj để chỉ cột j; • hi ↔ hj (tương ứng ci ↔ cj ): đổi chỗ hai hàng i, j (tương ứng hai cột i, j ) cho nhau; • λhi (tương ứng λci): nhân số λ với hàng i (tương ứng cột i); • hk +λhi → hk (tương ứng ck +λci → ck ): nhân hàng i (tương ứng cột i ) với λ rồi cộng vào hàng hk (tương ứng cột k ). Ví dụ 9. 4 5 6 1 2 3 1 2 3 1 2 3 h ↔h 2h h +(−4)h →h 1 2 3 −−1−−→2 4 5 6 −−→3 4 5 6 −−2−−−−−1−−→2 0 −3 −6 . h3+(−14)h1→h3 7 8 9 7 8 9 14 16 18 0 −12 −24 — Biên soạn bởi: Team Đại số - CLB Hỗ trợ Học tập — 6
第 7 页
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập II Định thức 1 Khái niệm Định nghĩa 11. Xét ma trận vuông cấp n a11 a12 · · · a1j · · · a1n a a · · · a · · · a 21 22 2j 2n .. .. . . . .. . . . .. . . . . A = a a · · · ai j · · · ain i1 i2 . . . . . . .. .. . . .. . . .. an1 an2 · · · an j · · · ann Ma trận vuông cấp n−1 có được từ A bằng cách bỏ đi hàng i,(i = 1,n), cột j,(j = 1,n) được gọi là ma trận con ứng với phần tử ai j. Kí hiệu Mi j. a11 a12 a13 Ví dụ 10. A = a a a có một số ma trận con tương ứng là: 21 22 23 a31 a32 a33 a22 a23 a21 a23 a21 a22 M = ; M = ; M = ; 11 12 13 a32 a33 a31 a33 a31 a32 a12 a13 a11 a13 a11 a12 M = ; M = ; M = ;... 21 22 23 a32 a33 a31 a33 a31 a32 Định nghĩa 12. Định thức của ma trận vuông A là một số, kí hiệu det (A), được định nghĩa quy nạp như sau: - A là ma trận vuông cấp 1 : A = [a11] thì det(A) = a11. a11 a12 - A là ma trận vuông cấp 2 : A = thì a21 a22 det(A) = a11 det(M11)−a12 det(M12) = a11a22 −a12a21 — Biên soạn bởi: Team Đại số - CLB Hỗ trợ Học tập — 7
第 8 页
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập a11 a12 a13 - A là ma trận vuông cấp 3 : A = a21 a22 a23 thì a31 a32 a33 det(A) = a11 det(M11)−a12 det(M12) +a13 det(M13) = a11 (a22a33 −a32a23)−a12 (a21a33 −a31a23) +a13 (a21a32 −a31a22) = a11a22a33 +a12a31a23 +a13a21a32 −(a13a22a31 +a11a32a23 +a12a21a33) a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n - A là ma trận vuông cấp n : A = . . . . thì .. .. . . .. an1 an2 · · · ann det(A) = a det(M )−a det(M ) +a det(M )− · · ·+ (−1)1+na det(M ) 11 11 12 12 13 13 1n 1n 1 −3 Ví dụ 11. Định thức của ma trận A = là: 5 7 det(A) = 1.7−(−3).5 = 22 2 Công thức khai triển Định nghĩa 13. Cho ma trận vuông cấp n : A = ai j . Với mỗi cặp (i, j),1 ≤ i, j ≤ n, ký hiệu Mi j n×n là ma trận vuông cấp (n−1) có được từ ma trận A bằng cách bỏ đi hàng i và cột j. Khi đó, ký hiệu A = (−1)i+j det M và gọi là phần phụ đại số của a . i j i j i j Công thức 2. Cho ma trận vuông A = ai j cấp n và Ai j là phần phụ đại số của ai j,1 ≤ i, j ≤ n. Khi đó: 1. Với mỗi i cố định, 1 ≤ i ≤ n, ta có (công thức khai triển theo hàng i ): det(A) = ai1Ai1 +ai2Ai2 +· · ·+ainAin 2. Với mỗi j cố định, 1 ≤ j ≤ n, ta có (công thức khai triển theo cột j ): det(A) = a1jA1j +a2jA2j +· · ·+an jAn j Lưu ý 2. Các công thức trên cho phép tính định thức cấp n qua các định thức cấp (n−1). Trong thực hành, ta nên chọn hàng hay cột có nhiều số 0 để khai triển để giảm bớt số định thức con phải tính toán. — Biên soạn bởi: Team Đại số - CLB Hỗ trợ Học tập — 8
第 9 页
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập 1 2 3 Ví dụ 12. Cho A = 2 −1 0 . Ta có: 4 5 −3 2 3 A = (−1)2+1 = 21 21 5 −3 1 3 A = (−1)2+2 = −15 22 4 −3 1 2 A = (−1)2+3 = 3, 23 4 5 ⇒ det(A) = 21.2+ (−15).(−1) +3.0 = 57. 3 Một số tính chất của định thức Tính chất 1. Định thức của ma trận A đúng bằng định thức của ma trận chuyển vị của A : det At = det(A) ⇒ Hệ quả: Trong một định thức vai trò của hàng và cột là như nhau, điều gì đã đúng cho hàng thì cũng đúng cho cột và nguợc lại. Tính chất 2. Nếu đổi chỗ 2 hàng (hoặc 2 cột) trong một định thức thì định thức sẽ đổi dấu. 2 3 −97 1 −1 0 Chẳng hạn: D = h1=↔h2 − 1 −1 0 2 3 −97 4 5 −3 4 5 −3 ⇒ Hệ quả: Một định thức có 2 hàng (hoặc 2 cột) như nhau thì bằng 0. Một định thức có 1 hàng (hoặc 1 cột) toàn số 0 thì bằng 0. Một định thức có 2 hàng (hoặc 2 cột) tỉ lệ thì bằng 0. Tính chất 3. Nếu nhân tất cả các phần tử trên một hàng hay một cột của ma trận A với một số k thì ta được một ma trận B với det(B) = kdet(A) ⇒ Hệ quả: Nếu các phần tử của một hàng (hay một cột) có thừa số chung thì ta có thể nhân thừa số chung đó ra ngoài định thức. Cho ma trận vuông A cấp n và số k. Khi đó det(kA) = kn det(A). — Biên soạn bởi: Team Đại số - CLB Hỗ trợ Học tập — 9
第 10 页
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập Tính chất 4. Nếu ma trận A có hai hàng (hay hai cột) tỉ lệ thì det(A) = 0 Tính chất 5. Một định thức có 2 hàng (hoặc 2 cột) như nhau thì bằng 0. Một định thức có 1 hàng (hoặc 1 cột) toàn số 0 thì bằng 0. Một định thức có 2 hàng (hoặc 2 cột) tỉ lệ thì bằng 0. Tính chất 6. Định thức có 1 hàng là tổ hợp tuyến tính của các hàng khác (hoặc 1 cột là tổ hợp tuyến tính của các các cột khác) thỉ định thức ấy bằng 0. 1 2 7 Ví dụ 13. Chẳng hạn ma trận A = −1 3 3 có det(A) = 0. Ta thấy h1 = 2h2 +h3 ( ta 3 −4 1 2 0 1 nói h1 là tổ hợp tuyến tính của h2 và h3 ) Ma trận B = 3 −1 2 có det(B) = 0. Ta thấy 1 1 0 c2 = c1 −2c3 ( ta nói c2 là tổ hợp tuyến tính của c1 và c3 ) Tính chất 7. Khi tất cả các phần tử của 1 hàng (hoặc 1 cột) có dạng tổng của 2 số hạng thì định thức có thể phân tích thành tổng 2 định thức. Chẳng hạn a +a′ a +a′ a a a′ a′ 11 11 12 12 = 11 12 + 11 12 . a21 a22 a21 a22 a21 a22 Tính chất 8. Khi cộng bội k của 1 hàng vào 1 hàng khác (hoặc cộng bội k của 1 cột vào 1 cột khác) thì định thức mới vẫn bằng định thức cũ. Tính chất 9. Các định thức có dạng tam giác bằng tích các phần tử chéo. Suy ra, det(I) = 1. (I là ma trận đơn vị) Tính chất 10. Với mọi ma trận vuông cùng cấp A và B, ta có det(AB) = det(A)det(B) 4 Kết hợp khai triển và biến đổi sơ cấp để tính định thức Định nghĩa 14. Phép biến đổi sơ cấp: Nhân tất cả các phần tử của 1 hàng (hoặc 1 cột) với cùng 1 số k ̸= 0, kí hiệu k.hr → hr (k.cr → cr). Đổi vị trí 2 hàng cho nhau, kí hiệu hr → hs (cr → cs). Cộng k lần 1 hàng vào 1 hàng khác, kí hiệu hs +k.hr → hs (cs +k.cr → cs). — Biên soạn bởi: Team Đại số - CLB Hỗ trợ Học tập — 10
第 11 页
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập Lưu ý 3. Tính định thức bằng biến đổi sơ cấp: Bước 1. Áp dụng các phép biến đổi sơ cấp, đưa dần định thức đã cho về dạng tam giác. Bước 2. Tính giá trị định thức dạng tam giác thu được (dựa vào tính chất 11 của định thức). 2 3 −97 −1 1 −1 0 1 Ví dụ 14. Tính định thức D = . 4 5 −3 0 0 2 −52 1 Hướng dẫn giải 1 −1 0 1 1 −1 0 1 1 −1 0 1 h ↔h 2 3 −97 −1 h +h → h 0 5 −97 −3 h −2h →h 0 1 7 −5 D 1= 2 − 2 =1 2 − 2 =4 2 − 4 5 −3 0 h3−3h1→ h3 0 9 −3 −4 0 9 −3 −4 0 2 −52 1 0 2 −52 1 0 2 −52 1 1 −1 0 1 1 −1 0 1 h −9h → h 0 1 7 −5 h −h →h 0 1 7 −5 3 =1 3 − 4 =3 4 − =−1·1·(−66)·(−30) =−1980. h4−2h2→ h4 0 0 −66 41 0 0 −66 41 0 0 −66 11 0 0 0 −30 Lưu ý 4. Khi tính định thức, việc kết hợp biến đổi sơ cấp với công thức khai triển sẽ giảm sự cồng kềnh trong trình bày. Chẳng hạn trong ví dụ trên, ta có thể viết như sau: 1 −1 0 1 1 −1 0 1 5 −97 −3 h ↔h 2 3 −97 −1 h −2h →h 0 5 −97 −3 khai triển D 1= 2 2 =1 2 − = − 9 −3 −4 4 5 −3 0 h3−4h1→h3 0 9 −3 −4 theo cột 1 2 −52 1 0 2 −52 1 0 2 −52 1 = (−1)·[(−15) +776+1404−18−(−873)−1040] = −1980. — Biên soạn bởi: Team Đại số - CLB Hỗ trợ Học tập — 11
第 12 页
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập III Ma trận nghịch đảo 1 Định nghĩa và tính chất Với n ∈ N∗, M (K) là tập hợp các ma trận cấp n trên trường K và I (hay E) là ma trận đơn vị cấp n. n Định nghĩa 15. Ma trận A ∈ Mn(K) gọi là ma trận khả nghịch nếu tồn tại ma trận B ∈ Mn(K) sao cho AB = BA = I Khi đó, ma trận B gọi là ma trận nghịch đảo của A và ký hiệu là B = A−1. Như vậy, AA−1 = A−1A = I. Hơn nữa, ma trận nghịch đảo của ma trận A ∈ M (K), nếu tồn tại, là duy n nhất. Ký hiệu GL (K) là tập hợp các ma trận khả nghịch cấp n với mọi n ∈ N∗. n 1 2 3 −2 Ví dụ 15. A = là ma trận khả nghịch với ma trận nghịch đảo là A−1 = . 1 3 −1 1 Định lý 1. 1. Ma trận đơn vị I khả nghịch và I−1 = I. −1 2. Nếu A ∈ GL (K) thì A−1 ∈ GL (K) và A−1 = A. n n 3. Nếu A ∈ GL (K) thì At ∈ GL (K) và At −1 = A−1 t. n n −1 1 −1 4. Nếu A ∈ GLn(K) và k ∈ K,k ̸= 0 thì kA ∈ GLn(K) và (kA) = A . k 5. Nếu A,B ∈ GL (K) thì AB ∈ GL (K) và (AB)−1 = B−1A−1. n n Lưu ý 5. Để chứng minh ma trận X khả nghịch với ma trận nghịch đảo là Y, ta chỉ cần chỉ ra XY = I và Y X = I. 2 Điều kiện cần và đủ để ma trận khả nghịch Định nghĩa 16. Ma trận A ∈ Mn(K) gọi là ma trận không suy biến nếu det(A) ̸= 0. Định lý 2. Ma trận A ∈ Mn(K) khả nghịch khi và chỉ khi A không suy biến. Tính chất 11. Ma trận A ∈ Mn(K) khả nghịch khi và chỉ khi tồn tại ma trận B sao cho AB = I hoặc BA = I. 3 Tìm ma trận nghịch đảo sử dụng phần phụ đại số Công thức 3. Tìm ma trận nghịch đảo bằng cách sử dụng các phần phụ đại số Bước 1. Tính det(A). Bước 2. Xác định các phần phụ đại số Ai j,∀i, j. 1 Bước 3. Lập ma trận C = A . Áp dụng công thức A−1 = Ct. i j det(A) — Biên soạn bởi: Team Đại số - CLB Hỗ trợ Học tập — 12
第 13 页
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập 1 1 1 Ví dụ 16. Tìm ma trận nghịch đảo của A = 1 2 −1 2 3 1 [Hướng dẫn giải] Ta có detA = 1 nên ma trận A khả nghịch Lập ma trận phụ đại số 2 −1 1 −1 1 2 (−1)1+1 (−1)1+2 (−1)1+3 3 1 2 1 2 3 5 −3 −1 1 1 1 1 1 1 A˜ = (−1)2+1 (−1)2+2 (−1)2+3 = 2 −1 −1 3 1 2 1 2 3 −3 2 1 1 1 1 1 1 1 (−1)3+1 (−1)3+2 (−1)3+3 2 −1 1 −1 1 2 5 2 −3 (A˜)T Do đó A−1 = = −3 −1 2 detA −1 −1 1 4 Tìm ma trận nghịch đảo bằng cách giải phương trình ma trận Tính chất 12. Xét phương trình ma trận AX = I với I là ma trận đơn vị cấp n. Vì A khả nghịch nên phương trình có nghiệm duy nhất là X = A−1. 1 2 Ví dụ 17. Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận A = . 3 4 [Hướng dẫn giải] a b Ta có det(A) = −2 ̸= 0 nên A khả nghịch. Gọi A−1 = . Khi đó c d 1 2 a b 1 0 a+2c = 1 b+2d = 0 = ⇔ và 3 4 c d 0 1 3a+4c = 0 3b+4d = 1 — Biên soạn bởi: Team Đại số - CLB Hỗ trợ Học tập — 13
第 14 页
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập −3 1 −2 1 Bởi vậy a = −2,b = −1,c = − ,d = và vì vậy A−1 = . 2 2 3 −1 2 2 5 Tìm ma trận nghịch đảo bằng cách phương pháp biến đổi sơ cấp Công thức 4. Bước 1. Viết ma trận đơn vị cấp n vào sau ma trận A để được ma trận cỡ n×2n : [A |I]. Bước 2. Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp theo hàng đưa ma trận [A | I] về ma trận có dạng [I | B] (ma trận A thành ma trận đơn vị I và ma trận đơn vị I thành ma trận B ). Khi đó, B chính là ma trận A−1 : [A | I] bdsc→ [I | B] ⇒ B = A−1. theo hàng 1 1 1 Ví dụ 18. Tìm ma trận nghịch đảo của A = 1 2 2 2 2 3 [Hướng dẫn giải] Xét ma trận bổ sung 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 2 −1 0 h2−h1→h2 h1−h2→h1 A¯ = −h−3−−−2h−1−→−h→3 −h−2−−h−3−→−h→2 1 2 2 0 1 0 0 1 1 −1 1 0 0 1 0 1 1 −1 2 2 3 0 0 1 0 0 1 −2 0 1 0 0 1 −2 0 1 2 −1 0 Vậy A−1 = 1 1 −1 −2 0 1 — Biên soạn bởi: Team Đại số - CLB Hỗ trợ Học tập — 14
第 15 页
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập IV Hạng của ma trận 1 Khái niệm hạng của ma trận a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n Định nghĩa 17. Cho ma trận cỡ m×n : · · · · · · · · · · · · am1 am2 · · · amn Cho k là một số nguyên dương, k ≤ min{m,n}. Ma trận vuông cấp k có được từ ma trận A bằng cách bỏ đi (m−k) hàng và (n−k) cột nào đó gọi là ma trận con cấp k của A. Định thức của nó gọi là định thức con cấp k của A. Lưu ý 6. Ma trận con cấp k của A tạo bởi các phần tử nằm ở giao của k hàng và k cột nào đó của A. Bởi vậy A có Ck .Ck ma trận con cấp k (có thể không phân biệt). m n 1 2 3 4 Ví dụ 19. Ma trận A = 5 6 7 8 có cỡ 3×4. 6 8 10 12 Ma trận A có C3.C3 = 4 định thức con cấp 3: 3 4 2 3 4 1 3 4 1 2 4 1 2 3 D1 = 6 7 8 ,D2 = 5 7 8 ,D3 = 5 6 8 ,D4 = 5 6 7 . 8 10 12 6 10 12 6 8 12 6 8 10 Ma trận A có C2.C2 = 18 định thức con cấp 2: 3 4 7 8 1 2 2 4 2 3 D1 = ,D2 = ,D3 = ,D3 = , . . . 12 34 13 14 10 12 6 8 6 8 6 7 Định nghĩa 18. Hạng của ma trận A, ký hiệu là rank(A) hoặc r(A), là cấp cao nhất của các định thức con khác 0 của A. Lưu ý 7. Hạng của ma trận không là 0. Như vậy, rank(A) = r khi và chỉ khi A có một định thức con cấp r khác 0 và mọi định thức con cấp cao hơn r của A đều bằng 0. — Biên soạn bởi: Team Đại số - CLB Hỗ trợ Học tập — 15
第 16 页
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập 1 2 3 4 Ví dụ 20. Với ma trận A= 5 6 7 8 , ta có D1 =D2 =D3 =D4 =0, tức là tất cả các định 6 8 10 12 thức con cấp 3 của nó đều bằng 0. Bởi vậy rank(A) < 3. Mặt khác, vì D1 = 4 ̸= 0 nên rank(A) ≥ 2. 12 Từ đó ta có rank(A) = 2. Lưu ý 8. Để tìm hạng của ma trận theo định nghĩa, chúng ta cần xét lần lượt các định thức con của A có cấp từ cao xuống thấp cho đến khi gặp một định thức con khác 0. Tính chất 13. 1. Nếu A là ma trận cỡ m×n thì 0 ≤ rank(A) ≤ min{m,n}. 2. Với mọi ma trận A ta có rank(At) = rank(A). 3. với A là ma trận vuông cấp n, nếu det(A)̸=0 thì rank(A) =n; nếu det(A) =0 thì rank(A)<n. 2 Ma trận bậc thang Lưu ý 9. Hàng không của một ma trận được hiểu là hàng có các phần tử đều là 0. Định nghĩa 19. Một ma trận gọi là ma trận bậc thang nếu thỏa mãn hai điều kiện sau: 1. Các hàng không (nếu có) phải nằm dưới các hàng khác không. 2. Với hai hàng khác không, phần tử khác 0 đầu tiên của hàng trên nằm phía bên trái phần tử khác 0 đầu tiên của hàng dưới. Lưu ý 10. Như vậy, với ma trận bậc thang, các phần tử cùng cột và nằm dưới phần tử khác 0 đầu tiên (kể từ trái qua phải) của một hàng nào đó đều bằng 0. Ví dụ 21. Cho các ma trận: 0 2 3 4 4 0 1 2 −3 4 0 1 2 −3 4 0 0 0 8 5 0 0 0 0 4 0 0 0 3 5 A = 0 0 0 0 4 ,B = 0 0 0 3 5 ,C = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Ma trận A là ma trận bậc thang, các ma trận B,C không là ma trận bậc thang. Định lý 3. Hạng của ma trận bậc thang bằng số hằng khác không của nó. 0 1 2 −3 4 0 0 0 3 5 Ví dụ 22. Hạng của ma trận A = 0 0 0 0 4 bằng 3. 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 — Biên soạn bởi: Team Đại số - CLB Hỗ trợ Học tập — 16
第 17 页
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập 3 Phương pháp tìm hạng của ma trận Lưu ý 11. Vì các phép biến đổi sơ cấp không làm thay đổi tính bằng 0 hay khác 0 của các định thức con của một ma trận nên nó cũng không làm thay đổi hạng của ma trận. Định lý 4. Hạng của ma trận không đổi khi áp dụng các phép biến đổi sơ cấp. Định lý 5. Tìm hạng ma trận A: A −bđsc−→ B : ma trận bậc thang ⇒ rank(A) = rank(B) = số hàng khác không của B. 1 1 1 1 2 1 3 2 Ví dụ 23. Tính rank(A) với A = 3 2 1 −1 2 2 −1 −2 [Hướng dẫn giải] Áp dụng các phép biến đổi sơ cấp, ta có 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 h2−2h1→h2 2 1 3 2 h3−3h1→h3 0 −1 1 0 h3−h2→h3 0 −1 1 0 A = −h−4−−−2h−1−→−h→4 −h−4−−h−3−→−h→4 3 2 1 −1 0 −1 −2 −4 0 0 −3 −4 2 2 −1 −2 0 0 −3 −4 0 0 0 0 Do đó rankA = 3. 2 3 4 −1 2 1 2 3 1 0 Ví dụ 24. Tìm hạng của ma trận A = . 3 5 7 0 2 1 1 1 0 2 [Hướng dẫn giải] Ta có: 1 2 3 1 0 1 2 3 1 0 2 3 4 −1 2 h2−2h1→h2 0 −1 −2 −3 2 A −h−1−↔−h→2 −h−3−−−3h−1−→−h→3 3 5 7 0 2 h4−h1→h4 0 −1 −2 −3 2 1 1 1 0 2 0 −1 −2 −1 2 — Biên soạn bởi: Team Đại số - CLB Hỗ trợ Học tập — 17
第 18 页
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập 1 2 3 1 0 1 2 3 1 0 h3−h2→h3 0 −1 −2 −3 2 h3↔h4 0 −1 −2 −3 2 −−−−−−→ −−−−→ ⇒ rank(A) = 3. h4−h2→h4 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 — Biên soạn bởi: Team Đại số - CLB Hỗ trợ Học tập — 18
第 19 页
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập V Hệ phương trình tuyến tính 1 Dạng tổng quát của hệ phương trình tuyến tính Định nghĩa 20. Hệ phương trình tuyến tính m phương trình, n ẩn có dạng a x +a x +· · ·+a x = b 11 1 12 2 1n n 1 a21x1 +a22x2 +· · ·+a2nxn = b2 (1) · · · am1x1 +am2x2 +· · ·+amnxn = bm trong đó ai j,bi ∈ K,i = 1,2, . . . ,m, j = 1,2, . . . ,n là các số cho trước và xj, j = 1,2, . . . ,n là các ẩn. - Các số ai j gọi là các hệ số, các số bi gọi là các hệ số tự do của hệ phương trình (1). - Dạng (1) gọi là dạng tổng quát của hệ phương trình tuyến tính. - Nếu bi = 0,∀i = 1,2, . . . ,m thì hệ (1) gọi là hệ phương trình tuyến tính thuần nhất. Lưu ý 12. Trong hệ phương trình (1),ai j là hệ số của phương trình thứ i và ẩn xj với mọi i = 1,2, . . . ,m, j = 1,2, . . . ,n. Định nghĩa 21. Nghiệm của hệ phương trình (1) là các bộ số (t ,t , . . . ,t ) ∈ Kn sao cho khi thay 1 2 n xj = tj, j = 1,2, . . . ,n vào các phương trình của hệ, ta được các đồng nhất thức trên K. 3x +2x +5x +5x = 9 1 2 3 4 Ví dụ 25. Hệ x1 +x2 +x3 −x4 = −2 là hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất, −x +3x +2x = 5 1 3 4 có 3 phương trình và 4 ẩn số. Bộ số (−1,1,0,2) là một nghiệm của hệ phương trình. 2 Dạng ma trận của hệ phương trình tuyến tính Định nghĩa 22. Xét hệ phương trình tuyến tính (1). Ma trận A = ai j gọi là ma trận hệ số. Ma m×n b1 a11 a12 · · · a1n b1 b2 a21 a22 · · · a2n b2 trận cột B = gọi là cột hệ số tự do. Ma trận A¯ = [A | B] = .. . · · · · · · · · · · · · · · · bm am1 am2 · · · amn bm — Biên soạn bởi: Team Đại số - CLB Hỗ trợ Học tập — 19
第 20 页
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập x1 x2 gọi là ma trận bổ sung. Ma trận X = . gọi là cột ẩn số. Khi đó, hệ phương trình (1) có thể viết .. xn dưới dạng AX = B (2) Phương trình (2) gọi là dạng ma trận của hệ (1). Lưu ý 13. Các phần tử trên hàng thứ i của ma trận bổ sung A¯ là các hệ số của phương trình thứ i của hệ phương trình AX = B và ngược lại. Do đó, khi cố định tên các biến, ta có sự tương ứng 1-1 (tức là tồn tại một song ánh) giữa tập hợp các ma trận bổ sung và tập hợp các hệ phương trình tuyến tính. x 1 2x1 +3x2 −4x3 +5x4 = 9 2 3 −4 5 9 x Ví dụ 26. Xét hệ ⇔ 2 = . x1 +x2 +x3 −x4 = −2 1 1 1 −1 −2 x −x +3x +2x = 5 0 −1 3 2 3 5 2 3 4 x4 2 3 −4 5 9 Ma trận bổ sung A¯ = [A | B] = 1 1 1 −1 −2 0 −1 3 2 5 3 Điều kiện có nghiệm Các phép biến đổi tương đương trên hệ phương trình tuyến tính: 1. Đổi chỗ hai phương trình; 2. Nhân hai vế của một phương trình với một số khác 0 3. Nhân một phương trình với một số rồi cộng vào phương trình khác. Nhận thấy các phép biến đổi tương đương trên một hệ phương trình tuyến tính ứng với các phép biến đổi sơ cấp trên các hàng của ma trận bổ sung của hệ đó. Định lý 6. (Kronecker-Capelli) Hệ phương trình tuyến tính có nghiệm khi và chỉ khi hạng của ma trận hệ số bằng hạng của ma trận bổ sung. Tính chất 14. Hệ quả Cho hệ phương trình tuyến tính n ẩn số AX = B. Khi đó 1. rank(A¯) ̸= rank(A) ⇔ hệ vô nghiệm. 2. rank(A¯) = rank(A) = n ⇔ hệ có nghiệm duy nhất. — Biên soạn bởi: Team Đại số - CLB Hỗ trợ Học tập — 20
评论 (0)
暂无评论。快来抢沙发吧！