Trang 1
MỤC LỤC Giới thiệu Kỳ thi Olympic Toán học quốc tế TIMO...................................................................2 Syllabus/ Khung chương trình...........................................................................................................4 Đề thi Đáp án PRELIMINARY ROUND / VÒNG LOẠI Đề số 1....................................................................................................................................5..........42 Đề số 2..................................................................................................................................10..........43 Đề số 3..................................................................................................................................15..........44 Đề số 4..................................................................................................................................19..........45 Đề số 5: Đề thi Vòng loại năm học 2020-2021...............................................................23..........46 HEAT ROUND / VÒNG QUỐC GIA Đề số 1: Đề thi Vòng quốc gia năm học 2016-2017......................................................27..........47 Đề số 2: Đề thi Vòng quốc gia năm học 2017-2018......................................................30..........48 Đề số 3: Đề thi Vòng quốc gia năm học 2018-2019......................................................33..........49 Đề số 4: Đề thi Vòng quốc gia năm học 2019-2020......................................................36..........50 Đề số 5: Đề thi Vòng quốc gia năm học 2020-2021......................................................39..........51 Heat Round Answer Sheet/ Phiếu Trả Lời Vòng Quốc Gia.......................................................52 Thông tin liên hệ..............................................................................................................................53 1 KỲ THI OLYMPIC TOÁN HỌC QUỐC TẾ TIMO (Thailand International Mathematical Olympiad) BỘ ĐỀ ÔN THI OLYMPIC TOÁN HỌC QUỐC TẾ TIMO – KHỐI THPT FERMAT Education - Email: TIMO@fermat.edu.vn – 0961 603 003 – 0917 830 455
Trang 2
GIỚI THIỆU KỲ THI OLYMPIC TOÁN HỌC QUỐC TẾ TIMO Kỳ thi Olympic Toán học quốc tế TIMO (Thailand International Mathematical Olympiad) được tổ chức hàng năm bởi Trung tâm Giáo dục Vô địch Olympiad Hong Kong (Olympiad Champion Education Centre from Hong Kong) hợp tác cùng Tổ chức Du lịch Thái Lan (Tourism Authority of Thailand). Kỳ thi được tổ chức hàng năm nhằm tạo sân chơi trí tuệ bổ ích cho học sinh các khối lớp từ mẫu giáo đến trung học phổ thông có sở thích về Toán học tham gia, mục đích kích thích và nuôi dưỡng niềm yêu thích toán học của giới trẻ, tăng cường khả năng tư duy sáng tạo của học sinh, mở rộng mối quan hệ giao lưu văn hóa quốc tế. Trong mỗi lần tổ chức, Kỳ thi Olympic Toán học quốc tế TIMO đã thu hút hàng trăm nghìn thí sinh tham dự đến từ nhiều quốc gia và vùng lãnh thổ khác nhau trên thế giới như: Australia, Brazil, Bulgaria, Cambodia, England, France, Georgia, Ghana, Hong Kong, Indonesia, India, Iran, Kazakhstan, Kyrgyzstan, Malaysia, Myanmar, Philippines, Singapore, Sri Lanka, Switzerland, Taiwan, Turkey, Thailand, Vietnam, ... I. CẤU TRÚC ĐỀ THI Vòng thi Vòng loại Vòng quốc gia Vòng quốc tế Số câu hỏi 25 25 30 Điểm mỗi câu hỏi 4 4 5 Tổng điểm 100 100 150 Tư duy lôgic 5 5 6 Số học/Đại số 5 5 6 Chủ Lý thuyết số 5 5 6 đề Hình học 5 5 6 Tổ hợp 5 5 6 Thời gian 60 phút 90 phút 120 phút Dạng đề thi Trắc nghiệm Điền đáp án Điền đáp án Tiếng Anh Thông báo sau khi có Song ngữ Ngôn ngữ (có trích dẫn thuật ngữ kết quả Anh – Việt tiếng Việt) Vòng quốc gia Lưu ý: Khối 10, 11, 12 thi chung đề và xét giải chung. II. GIẢI THƯỞNG VÀ HUY CHƯƠNG 1. Thí sinh - Cúp, huy chương và giấy chứng nhận được cấp cho thí sinh đạt thành tích cao tại Vòng quốc gia và Vòng quốc tế; - Thí sinh đạt giải Vàng vòng quốc tế của hai trong ba kỳ thi TIMO, BBB và HKIMO trong cùng năm học được tham dự (miễn lệ phí thi) Vòng quốc tế WIMO vào năm tiếp theo; - Thí sinh đạt giải Vàng vòng quốc tế cả ba kỳ thi TIMO, BBB và HKIMO trong cùng năm học với ít nhất một kỳ thi dự thi trực tiếp (onsite) được nhận giải thưởng Legendary Award. Cụ thể về điều kiện xét giải như sau: 2 KỲ THI OLYMPIC TOÁN HỌC QUỐC TẾ TIMO (Thailand International Mathematical Olympiad) BỘ ĐỀ ÔN THI OLYMPIC TOÁN HỌC QUỐC TẾ TIMO – KHỐI THPT FERMAT Education - Email: TIMO@fermat.edu.vn – 0961 603 003 – 0917 830 455
Trang 3
Điều kiện xét giải Xếp hạng Phần thưởng Vòng quốc gia Vòng quốc tế Thí sinh cao điểm nhất - Cúp Ngôi sao thế giới; Ngôi sao Việt Nam. - Miễn lệ phí dự thi Vòng thế giới (Chỉ dành cho các thí sinh quốc tế năm tiếp theo (World Star) tham dự Vòng quốc tế (nếu vượt qua vòng quốc trực tiếp tại Thái Lan) gia của năm học đó) 03 thí sinh điểm cao - Cúp Vô địch nhất mỗi khối thi. 03 thí sinh điểm cao (Champion); (Xét trên tất cả các thí Giải nhất mỗi khối thi - Cúp Á quân 1 (1st sinh tham dự - Chỉ dành Xuất sắc (Xét trên tất cả các thí Runner-up); cho các thí sinh tham dự sinh tham dự) - Cúp Á quân 2 (2nd Vòng quốc tế trực tiếp tại Runner-up). Thái Lan) Giải Vàng Thí sinh chiến thắng Thí sinh chiến thắng đạt Huy chương Vàng và (Gold Award) đạt từ 80 điểm trở lên. từ 120 điểm trở lên. Giấy chứng nhận. Giải Bạc Thí sinh chiến thắng Thí sinh chiến thắng đạt Huy chương Bạc và Giấy (Silver Award) đạt từ 60 điểm trở lên. từ 90 điểm trở lên. chứng nhận. Giải Đồng Thí sinh chiến thắng Thí sinh chiến thắng đạt Huy chương Đồng và (Bronze Award) đạt từ 40 điểm trở lên. từ 60 điểm trở lên. Giấy chứng nhận. Giải Thí sinh chiến thắng Thí sinh chiến thắng đạt Khuyến khích Giấy chứng nhận. đạt từ 20 điểm trở lên. từ 30 điểm trở lên. (Merit Award) Lưu ý: - Ban Tổ chức sắp xếp kết quả giảm dần dựa trên điểm thi và ngày sinh. Do đó, các thí sinh bằng điểm có thể nhận hai giải khác nhau. Nếu một giải thưởng đã đủ chỉ tiêu, thí sinh tiếp theo sẽ nhận giải thưởng mức liền kề phía dưới; - Các mốc điểm đạt giải có thể thay đổi dựa trên kết quả thi thực tế của tất cả thí sinh. 2. Nhà trường Trường có từ 100 học sinh tham gia Kỳ thi được tặng Kỷ niệm chương. 3 KỲ THI OLYMPIC TOÁN HỌC QUỐC TẾ TIMO (Thailand International Mathematical Olympiad) BỘ ĐỀ ÔN THI OLYMPIC TOÁN HỌC QUỐC TẾ TIMO – KHỐI THPT FERMAT Education - Email: TIMO@fermat.edu.vn – 0961 603 003 – 0917 830 455
Trang 4
SYLLABUS / KHUNG CHƯƠNG TRÌNH Topics Senior Secondary / Khối THPT Chủ đề ➢ Number pattern & Figure pattern / Dãy số và dãy hình có quy luật ➢ Speed, distance, time / Vận tốc, khoảng cách, thời gian Logical thinking ➢ Equation formation / Dạng toán lập phương trình Tư duy logic ➢ Worst case scenario / Dạng toán trường hợp xấu nhất ➢ Other logical problems / Các bài toán tư duy khác ➢ Maximum and minimum value / Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất ➢ Factorize polynomial / Tách đa thức thành nhân tử Algebra ➢ Value of algebraic expressions / Giá trị của các biểu thức đại số Đại số ➢ Advanced system of equations or Inequality / Hệ phương trình hoặc bất phương trình nâng cao ➢ Simplification on surd form / Rút gọn căn thức ➢ Divisibility / Tính chất chia hết Number theory ➢ Division with remainder / Phép chia có dư Lý thuyết số ➢ Factor and multiple / Ước và bội ➢ Unit digit / Tìm chữ số tận cùng ➢ Equal or similar triangles / Tam giác bằng nhau và tam giác đồng dạng Geometry ➢ Perimeter and area / Chu vi và diện tích Hình học ➢ Volume and Surface area / Thể tích và diện tích bề mặt ➢ Angle of regular polygons / Các góc trong đa giác đều ➢ Coordinate plane / Mặt phẳng tọa độ ➢ Permutation and combination / Chỉnh hợp và tổ hợp Combinatorics ➢ Partition of integers / Tách số nguyên thành tổng ➢ Worst case scenario / Dạng toán trường hợp xấu nhất Tổ hợp ➢ Formation of numbers / Thành lập số ➢ Advanced probability / Xác suất nâng cao *Khung chương trình mang tính chất tham khảo. 4 KỲ THI OLYMPIC TOÁN HỌC QUỐC TẾ TIMO (Thailand International Mathematical Olympiad) BỘ ĐỀ ÔN THI OLYMPIC TOÁN HỌC QUỐC TẾ TIMO – KHỐI THPT FERMAT Education - Email: TIMO@fermat.edu.vn – 0961 603 003 – 0917 830 455
Trang 5
PRELIMINARY ROUND / VÒNG LOẠI ĐỀ SỐ 1 Logical Thinking / Tư duy lô-gic 1. A box contains 2015 balls which is either Red, Green, Blue, Yellow or Black. If 1800 balls are drawn, we can ensure that at least one ball of each color is drawn. Find the minimum number of the balls needed to be drawn to ensure that balls of 3 different colors is taken. Một chiếc hộp chứa 2015 quả bóng với các màu Đỏ, Xanh lá, Xanh lam, Vàng hoặc Đen. Nếu 1800 quả bóng được lấy ra, ta chắc chắn lấy được ít nhất một quả bóng mỗi màu. Tìm số lượng quả bóng ít nhất cần phải lấy ra để chắc chắn rằng có bóng thuộc 3 màu khác nhau. A. 1797 B. 1798 C. 1368 D. 1367 2. According to the pattern shown below, what is the next number? Dựa vào quy luật dưới đây, tìm số tiếp theo. 1024、0、512、256、384、320、352、… A. 336 B. 672 C. 448 D. 310 3. x and y are prime numbers and x2 − y3 = 1 , find the value of x+ y. Cho x và y là các số nguyên tố và x2 − y3 = 1 , tìm giá trị của x+ y . A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 4. There are six teams named A, B, C, D, E and F, participating a tournament. In 5 days, each team will play one game on each day. They play with another team once in the tournament. Given that: • Team A wins Team B on the first day. • Team C is defeated by Team D on the second day. • Team E wins Team A on the third day. • Team B wins Team C on the fourth day. Which team does Team E play with on the fifth day? Có 6 đội A, B, C, D, E và F cùng tham dự một giải đấu. Trong 5 ngày, mỗi đội sẽ thi đấu một trận mỗi ngày. Họ thi đấu với mỗi đội khác đúng một lần. Biết: • Đội A thắng đội B trong ngày đầu tiên. • Độ C để thua đội D trong ngày thứ hai. • Đội E thắng đội A trong ngày thứ ba. • Đội B thắng đội C trong ngày thứ tư. Hỏi trong ngày thứ năm, đội E đã thi đấu với đội nào? A. Team F (Đội F) B. Team B (Đội B) C. Team C (Đội C) D. Team D (Đội D) 5 KỲ THI OLYMPIC TOÁN HỌC QUỐC TẾ TIMO (Thailand International Mathematical Olympiad) BỘ ĐỀ ÔN THI OLYMPIC TOÁN HỌC QUỐC TẾ TIMO – KHỐI THPT FERMAT Education - Email: TIMO@fermat.edu.vn – 0961 603 003 – 0917 830 455
Trang 6
5. There are 7 people arguing which day of week is today. Their statements are quoted as below: A: Yesterday was Wednesday. B: Tomorrow will not be Tuesday. C: Tomorrow will be Wednesday. D: Today is Tuesday or yesterday was Tuesday. E: Today is Tuesday. F: Today is neither Monday, Tuesday nor Sunday. G: Today is neither Tuesday nor Saturday. Given that only three statements are correct, which day of week is today? Có 7 người tranh luận xem hôm nay là thứ mấy. Các phát biểu của họ như sau: A: Hôm qua là Thứ Tư. B: Ngày mai không phải Thứ Ba. C: Ngày mai là Thứ Tư. D: Hôm nay hoặc hôm qua là Thứ Ba. E: Hôm nay là Thứ Ba. F: Hôm nay không phải Thứ Hai, Thứ Ba hay Chủ nhật. G: Hôm nay không phải Thứ Ba hay Thứ Bảy. Biết rằng chỉ có 3 phát biểu đúng, vậy hôm nay là thứ mấy? A. Monday (Thứ Hai) B. Wednesday (Thứ Tư) C. Friday (Thứ Sáu) D. Sunday (Chủ nhật) Algebra / Đại số 1 3 6. Express ( − i)1111 in the form of a+bi . 2 2 1 3 Biểu diễn ( − i)1111 dưới dạnga+bi . 2 2 1 3 1 3 1 3 1 3 A. + i B. − i C. − + i D. − − i 2 2 2 2 2 2 2 2 7. Given the equation x4 − x3 +ax2 +bx+3 = 0 (a and b are constants) has a double root 1. How many complex roots with non-zero imaginary part does it have? Cho phương trình x4 − x3 +ax2 +bx+3 = 0 , a và b là các hằng số. Phương trình có nghiệm kép là 1. Hỏi phương trình có bao nhiêu nghiệm phức với phần ảo khác 0? A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 10 1 8. Find the value of the expression . k2 −1 k=2 10 1 Tìm giá trị của . k2 −1 k=2 36 72 5 10 A. B. C. D. 55 55 11 11 6 KỲ THI OLYMPIC TOÁN HỌC QUỐC TẾ TIMO (Thailand International Mathematical Olympiad) BỘ ĐỀ ÔN THI OLYMPIC TOÁN HỌC QUỐC TẾ TIMO – KHỐI THPT FERMAT Education - Email: TIMO@fermat.edu.vn – 0961 603 003 – 0917 830 455
Trang 7
9. Find the remainder of (x2015 −20x−15 :) (x2 −1). Tìm phần dư của (x2015 −20x−15 :) (x2 −1) . A. 19x +15 B. 19x −15 C. −19x +15 D. −19x −15 10. Factorize x2 −3xy+2y2 + x−4y−6. Phân tích đa thức x2 −3xy+2y2 + x−4y−6 thành nhân tử. A. (x− y−3)(x−2y+2) B. (x+ y−3)(x+2y+2) C. (x− y+3)(x−2y−2) D. (x+ y−3)(x−2y+2) Number Theory / Lý thuyết số 11. Given a, b and c are positive real numbers and a2 +b2 +c2 24 , find the maximum value 2 2 2 of a3 +b3 +c3 . 2 2 2 Cho a, b và c là các số thực dương và a2 +b2 +c2 24 , tìm giá trị lớn nhất của a3 +b3 +c3 . A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 12. Given that x is a real number and −3 x 3 , find the maximum value of the algebraic expression x+ 9− x2 . Biết x là một số thực và −3 x 3 , tìm giá trị lớn nhất của x+ 9− x2 . A. 3 B. 3 2 C. 6 D. 3 3 2015 13. Given log 2 = 0.301, round log Cn to the nearest 3 decimal places. 2015 n=0 2015 Cho log 2 = 0.301 , làm tròn log Cn tới 3 chữ số sau dấu phẩy. 2015 n=0 A. 606.505 B. 606.515 C. 606.525 D. 606.535 8x 9 (mod17) 14. Find the smallest positive integral solution of . 3x 5 (mod7) 8x 9 (mod17) Tìm nghiệm nguyên dương nhỏ nhất của . 3x 5 (mod 7) A. 64 B. 65 C. 66 D. 67 15. If real number a and 23−8 7 +a 23+8 7 are rational, find a. Nếu số thực a và 23−8 7 +a 23+8 7 đều là hữu tỉ, tìm giá trị cỉa a. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 7 KỲ THI OLYMPIC TOÁN HỌC QUỐC TẾ TIMO (Thailand International Mathematical Olympiad) BỘ ĐỀ ÔN THI OLYMPIC TOÁN HỌC QUỐC TẾ TIMO – KHỐI THPT FERMAT Education - Email: TIMO@fermat.edu.vn – 0961 603 003 – 0917 830 455
Trang 8
Geometry / Hình học 16. Given that L ,L are two tangents of C : x2 + y2 = 1 passing through P(3, 4). Find the sum 1 2 of slopes of those two lines. Cho L ,L là 2 tiếp tuyến của C : x2 + y2 = 1 đi qua P(3, 4) . Tìm tổng hai hệ số góc của chúng. 1 2 A. 2 B. -3 C. -2 D. 3 17. The altitudes AD and BE of the acute angled triangle ABC intersect at point H. Join D and E. How many pairs of similar triangles are there? Đường cao AD và BE của tam giác nhọn ABC cắt nhau tại H. Nối D và E. Hỏi có bao nhiêu cặp tam giác đồng dạng? A. 10 B. 2 C. 8 D. 4 18. Given a, b and c are side lengths of a triangle, 0 a 6 b 8 c 12 . When the area of the triangle attains its maximum, find the perimeter of the triangle. Cho a, b và c là độ dài cạnh của một tam giác, 0 a 6 b 8 c 12 . Khi diện tích của tam giác đạt giá trị lớn nhất, tìm chu vi của tam giác đó. A. 24 B. 23 C. 22 D. 25 19. Find the shortest distance from the point (5, - 10) to the straight line with equation 4y = 3x in the coordinate plane. Tính khoảng cách ngắn nhất từ điểm (5, - 10) tới đường thẳng 4y = 3x trong mặt phẳng tọa độ. A. 10 B. 11 C. 8 D. 9 20. In the figure shown below, TA and DC are tangents of the circle at A and C respectively. T, B, and C is collinear. Given ATB = 500 and BCD = 750 , find the value of ABC ? Trong hình vẽ, TA và DC lần lượt là hai tiếp tuyến của đường tròn tại A và C. T, B và C thẳng hàng. Cho ATB = 500 và BCD = 750 , tìm số đo góc ABC . A. 750 B. 77.50 C. 800 D. 72.50 Combinatorics / Tổ hợp 21. Find the number of unlike terms of (a+b+c)15 (a+d+e)7 after expansion. Tìm số lượng các số hạng khác nhau của (a+b+c)15 (a+d+e)7 sau khi khai triển và rút gọn. A. 4896 B. 4897 C. 4898 D. 4899 8 KỲ THI OLYMPIC TOÁN HỌC QUỐC TẾ TIMO (Thailand International Mathematical Olympiad) BỘ ĐỀ ÔN THI OLYMPIC TOÁN HỌC QUỐC TẾ TIMO – KHỐI THPT FERMAT Education - Email: TIMO@fermat.edu.vn – 0961 603 003 – 0917 830 455
Trang 9
22. 8 boys sit on their own chairs. Then, they stand up and choose a chair to sit randomly. How many possible cases are there that “only three boys not sit on his own chair? 8 bạn nam ngồi trên ghế của chính mình. Sau đó, họ đứng lên và chọn ngẫu nhiên một ghế để ngồi. Hỏi có bao nhiêu trường hợp mà có đúng 3 bạn nam không ngồi đúng ghế của mình? A. 112 B. 56 C. 58 D. 116 23. Given x ,x ,...,x are all integers, x −3,x −2,x −1 and x ,x are positive, how 1 2 5 1 2 3 4 5 many solutions are there to the equation x + x + x + x + x = 6 ? 1 2 3 4 5 Cho x ,x ,...,x đều là số nguyên, x −3,x −2,x −1 và x ,x là số dương. Hỏi phương 1 2 5 1 2 3 4 5 trình x + x + x + x + x = 6 có bao nhiêu nghiệm? 1 2 3 4 5 A. 1000 B. 1001 C. 1002 D. 1003 24. Find the minimum number of positive integers to be chosen from 1 to 20 to ensure that there are 2 numbers such that one of them is a multiple of another Hỏi cần chọn ra ít nhất bao nhiêu số nguyên dương từ 1 đến 20 sao cho chắc chắn rằng trong đó có 2 số mà số này là bội của số kia? A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 25. How many ways are there for 5 different balls to be distributed into 4 different boxes? (The boxes may be empty after distribution.) Có bao nhiêu cách chia 5 quả bóng khác nhau vào 4 hộp khác nhau (Các hộp có thể còn trống khi chia xong). A. 1016 B. 1020 C. 1010 D. 1024 9 KỲ THI OLYMPIC TOÁN HỌC QUỐC TẾ TIMO (Thailand International Mathematical Olympiad) BỘ ĐỀ ÔN THI OLYMPIC TOÁN HỌC QUỐC TẾ TIMO – KHỐI THPT FERMAT Education - Email: TIMO@fermat.edu.vn – 0961 603 003 – 0917 830 455
Trang 10
ĐỀ SỐ 2 Logical thinking / Tư duy lô-gic 1. The lengths of 2 trains are 85m and 65m respectively. To completely cross each other, it takes them 6 seconds if they are running in opposite direction and 30 seconds if they are running in the same direction. Find the speed of the faster train in km/h. Hai đoàn tàu có độ dài lần lượt là 85m và 65m. Để hai đoàn tàu đi qua nhau hoàn toàn thì chỉ cần 6 giây nếu chúng chạy ngược chiều và cần 30 giây nếu chúng chạy cùng chiều. Tính vận tốc của đoàn tàu nhanh hơn theo đơn vị km/h. A. 63 B. 72 C. 36 D. 54 2. In the Black Friday week, the sales of a store in each day increase by 20% compared to the previous day. After 2 days, by how many percent do the sales increase compared to the original? Trong tuần lễ mua sắm, doanh thu của cửa hàng trong mỗi ngày tăng thêm 20% so với ngày hôm trước. Hỏi sau 2 ngày thì doanh thu của cửa hàng đã tăng bao nhiêu phần trăm so với ban đầu? A. 20% B. 40% C. 44% D. 24% 3. How many values for x are there, given that x + 2 and 3x + 4 are both 2-digit prime numbers? Có bao nhiêu giá trị của x để x + 2 và 3x + 4 đều là các số nguyên tố có 2 chữ số ? A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 4. If each letter below represents a different 1-digit number, find I. Biết mỗi chữ cái dưới đây biểu diễn một chữ số khác nhau, tính giá trị của I. A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 5. In a training lesson, an archer shot 30 arrows. He got 10 points for each arrow hitting the inner ring, 5 points for each arrow hitting the outer ring and lost 5 points for each arrow missing the target. After completing the training lesson, he got 100 points. At least how many arrows missed the target? Trong một buổi tập, người bắn cung đã bắn 30 mũi tên. Anh ấy được 10 điểm cho mỗi mũi tên trúng tâm, được 5 điểm cho mỗi mũi tên trúng vòng ngoài tâm và mất 5 điểm cho mỗi mũi tên bắn trượt. Sau buổi tập, anh ấy được 100 điểm. Hỏi anh ấy đã bắn trượt ít nhất bao nhiêu mũi tên? A. 1 B. 3 C. 5 D. 7 10 KỲ THI OLYMPIC TOÁN HỌC QUỐC TẾ TIMO (Thailand International Mathematical Olympiad) BỘ ĐỀ ÔN THI OLYMPIC TOÁN HỌC QUỐC TẾ TIMO – KHỐI THPT FERMAT Education - Email: TIMO@fermat.edu.vn – 0961 603 003 – 0917 830 455
Trang 11
Algebra / Đại số 6. Find the value of z if 2020−2x+ y +(x− y−2021)2 + x+ y+ z = 0 . Tìm giá trị của z biết 2020−2x+ y +(x− y−2021)2 + x+ y+ z = 0. A. 2021 B. 2023 C. – 2023 D. – 2021 4a2 +9 7. Find the minimum value of given that a is a positive real number. a+2 4a2 +9 Tìm giá trị nhỏ nhất của biết rằng a là số thực2x3 +ax2 +bx+3 dương. a+2 A. 3 B. 2.6 C. 4 D. 4.5 2a+ 20 8. a is a positive integer. How many values of a are there if a+ 2 ? a− 2 2a+ 20 Cho a là số nguyên dương. Có bao nhiêu giá trị của a thỏa mãn a+ 2 ? a− 2 A. 5 B. 6 C. 4 D. 3 9. Find the coefficient of x6 in the expansion of (2x2 −1)10 . Tìm hệ số của x6 khi khai triển đa thức (2x2 −1)10 . A. 960 B. – 960 C. – 64 D. 210 10. Let be divisible by 2x2 + x−1. Find the sum of a and b. Cho 2x3 +ax2 +bx+3 chia hết cho 2x2 + x−1. Tính tổng của a và b. A. – 6 B. – 4 C. – 9 D. – 5 Number theory / Lý thuyết số 123! 11. Find the largest integral value of n such that is also an integer. 6n 123! Tìm giá trị nguyên lớn nhất của n sao cho cũng là một số nguyên 6n A. 117 B. 59 C. 176 D. 23 12. A 3-digit number has remainder 4 when divided by 5 but has remainder 1 when divided by 4. How many different values for the number are there? Một số có 3 chữ số chia 5 dư 4 và chia 4 dư 1. Hỏi số đó có thể nhận bao nhiêu giá trị khác nhau? A. 40 B. 45 C. 50 D. 55 13. Find the remainder of 98100 divided by 20. Tìm số dư khi chia 98100 cho 20. A. 16 B. 8 C. 0 D. 4 11 KỲ THI OLYMPIC TOÁN HỌC QUỐC TẾ TIMO (Thailand International Mathematical Olympiad) BỘ ĐỀ ÔN THI OLYMPIC TOÁN HỌC QUỐC TẾ TIMO – KHỐI THPT FERMAT Education - Email: TIMO@fermat.edu.vn – 0961 603 003 – 0917 830 455
Trang 12
14. Find the last digit of 2+22 +23 +...+22020 +22021 . Tìm chữ số tận cùng của 2+22 +23 +...+22020 +22021 . A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 15. Linda combines consecutive natural numbers into 1 number as follow. At least how many digits does the number have such that it is divisible by 45? Linda ghép các số tự nhiên liên tiếp thành 1 số như dưới đây. Hỏi số đó có ít nhất bao nhiêu chữ số biết rằng số đó phải chia hết cho 45? A = 1234567891011121314... A. 79 B. 45 C. 61 D. 35 Geometry / Hình học 16. Given a circle with center O(3, 4) and the diameter MN , where the coordinates are M(2+ x y, ) and N( 2− − y x, ). Find the value of 4x+2 .y Cho hình tròn có tâm O(3, 4) và đường kính MN, với tọa độ M(2+ x y, ) vàN( 2− − y x, ). Tìm giá trị của 4x+2 .y A. 25 B. 20 C. 15 D. 30 17. Susan draws a regular polygon with n vertices on a piece of paper. Then she erases 2 vertices to create a new polygon with n – 2 vertices. She finds that the ratio of the sum of all angles between 2 polygons is 10 : 9. Find n. Susan vẽ một hình đa giác đều có n đỉnh trên một mảnh giấy. Sau đó cô bé xóa đi 2 đỉnh để tạo thành một đa giác mới có n – 2 đỉnh. Cô nhận thấy rằng tỉ số của tổng độ lớn các góc giữa hai hình đa giác là 10 : 9. Tính n. A. 22 B. 20 C. 18 D. 16 18. Let 6 and 8 be the lengths of two shortest sides of the right-angled triangle. If d is the diameter of the incircle and D is the diameter of the circumcircle of this triangle, find the value of d + D. Cho độ dài hai cạnh nhỏ nhất trong tam giác vuông lần lượt là 6 và 8. Gọi d là đường kính hình tròn nội tiếp và D là đường kính hình tròn ngoại tiếp tam giác, tính giá trị của d + D. A. 5 B. 10 C. 7 D. 14 12 KỲ THI OLYMPIC TOÁN HỌC QUỐC TẾ TIMO (Thailand International Mathematical Olympiad) BỘ ĐỀ ÔN THI OLYMPIC TOÁN HỌC QUỐC TẾ TIMO – KHỐI THPT FERMAT Education - Email: TIMO@fermat.edu.vn – 0961 603 003 – 0917 830 455
Trang 13
19. Given a triangle ABC right at A with AB = 30 and AC = 40. M is mid-point of segment BC and AH is the altitude. Find the length of MH. Cho tam giác ABC vuông góc tại A với AB = 30 và AC = 40. Cho M là trung điểm đoạn BC và AH là đường cao của tam giác. Tính độ dài đoạn MH A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 20. Given figure 1 formed by 3 identical rectangles with dimension below. They cut along the dotted line to divide it into 3 regions A, B and C as in figure 2. Find the area ratio between region A and region C. Cho hình 1 được ghép bởi 3 hình chữ nhật y hệt nhau có kích thước dưới đây. Người ta cắt theo đường nét đứt để chia hình đó thành 3 phần A, B và C như hình 2. Hỏi tỉ lệ diện tích hình A so với diện tích hình C là bao nhiêu? 1 B. 1 1 1 A. C. D. 9 7 8 6 Combinatorics / Tổ hợp 21. A fair 6-sided dice with numbers from 1 to 6 is thrown 3 times. Find the probability that the product of three numbers received is divisible by 4. Một xúc xắc 6 mặt đồng chất gồm các số từ 1 đến 6 được tung 3 lần. Tính xác suất để tích ba số nhận được là số chia hết cho 4. 5 5 3 1 A. B. C. D. 6 8 8 8 22. There are 3 black balls, 4 blue balls and 5 red balls in a box and 4 balls are drawn at random. Find the probability that at least 2 blue balls are drawn. Trong hộp có 3 bóng đen, 4 bóng xanh và 5 bóng đỏ. Người ta lấy ra ngẫu nhiên 4 quả bóng. Tính xác suất để chọn được ít nhất 2 bóng xanh. A. 1 85 67 D. 10 B. C. 11 99 165 11 13 KỲ THI OLYMPIC TOÁN HỌC QUỐC TẾ TIMO (Thailand International Mathematical Olympiad) BỘ ĐỀ ÔN THI OLYMPIC TOÁN HỌC QUỐC TẾ TIMO – KHỐI THPT FERMAT Education - Email: TIMO@fermat.edu.vn – 0961 603 003 – 0917 830 455
Trang 14
23. How many 4-digit numbers with exactly two digits “2” are there? Hỏi có bao nhiêu số có 4 chữ số mà chứa đúng hai chữ số 2? A. 570 B. 432 C. 408 D. 459 24. Students taking part in HKIMO 2021 must complete a test with 25 questions, 4 points for each question. Wrong or blank answer receives zero points. At least how many students should join this competition so that judges can always find 5 students with the same mark? Học sinh tham dự kì thi HKIMO 2021 phải hoàn thành một bài thi có 25 câu hỏi, mỗi câu đúng được 4 điểm. Trả lời sai hoặc không trả lời thì không có điểm. Hỏi cần ít nhất bao nhiêu thí sinh thi để ban giám khảo luôn tìm được 5 bạn có cùng điểm? A. 131 B. 105 C. 101 D. 126 25. There are 4 cards marked by numbers from 1 to 4. Amy and Betty take turn to draw one card from the deck. On picking numbers from 2 to 4, they must return the card to the deck and shuffle it. The first person who draw card number 1 is the winner. If Amy is the first player, find the probability Betty wins the game. Có 4 lá bài được đánh số từ 1 đến 4. Amy và Betty lần lượt rút một lá bài từ bộ bài. Nếu rút các lá từ 2 đến 4 thì người đó phải để lại lá đã rút vào bộ bài và tráo lên. Người đầu tiên bốc được lá số 1 là người chiến thắng. Biết Amy chơi trước, tính xác xuất để Betty thắng trò chơi. 3 B. 1 C. 3 3 A. D. 8 4 7 16 14 KỲ THI OLYMPIC TOÁN HỌC QUỐC TẾ TIMO (Thailand International Mathematical Olympiad) BỘ ĐỀ ÔN THI OLYMPIC TOÁN HỌC QUỐC TẾ TIMO – KHỐI THPT FERMAT Education - Email: TIMO@fermat.edu.vn – 0961 603 003 – 0917 830 455
Trang 15
ĐỀ SỐ 3 Logical Thinking / Tư duy lô-gic 1. According to the pattern shown below, what is the number in the blank? Dựa vào quy luật dưới đây, tìm số thích hợp điền vào chỗ trống. 2 、 6 、 15 、 28 、 55 、 78 、? 、…. A. 228 B. 119 C. 126 D. 151 2. There are n lines cutting a circle which separate the circle into 232 parts, find the minimum value of n. Có n đường thẳng cắt một hình tròn thành 232 phần. Tìm giá trị nhỏ nhất của n. A. 18 B. 19 C. 20 D. 21 3. If x, y and z are all prime and 6xy + yx = 3z , find the minimum value of z. Nếu x, y và z đều là các số nguyên tố và 6xy + yx = 3z , tìm giá trị nhỏ nhất của z. A. 19 B. 17 C. 31 D. 29 4. There are 31 problems in a competition. The scores of each problem are allocated in the following ways: 2 marks will be given for a correct answer, 2 marks will be deducted from a wrong answer and 2 marks will be deducted from a blank answer. Find the minimum number of candidates to ensure that 3 candidates will have the same scores in the competition. Có 31 câu hỏi trong 1 cuộc thi. Số điểm của mỗi câu hỏi được tính như sau: Mỗi câu trả lời đúng được 2 điểm, mỗi câu để trống hoặc trả lời sai bị trừ 2 điểm. Hỏi cần ít nhất bao nhiêu người tham gia để chắc chắn rằng tìm được 3 người có cùng số điểm? A. 65 B. 64 C. 63 D. 62 5. There are 17 pieces of red socks, 13 pieces of white socks and 16 pieces of blue socks in the box. If you want to get 2 pairs of socks that is not red colour and 3 pairs of socks that is not blue colour, at least how many pieces of socks are needed to be drawn at random? Có 17 chiếc tất đỏ, 13 chiếc tất trắng và 16 chiếc tất xanh ở trong hộp. Nếu muốn chắc chắn rằng lấy được 2 đôi tất không phải màu đỏ và 3 đôi tất không phải màu xanh thì ta cần lấy ra ngẫu nhiên ít nhất bao nhiêu chiếc tất? A. 21 B. 22 C. 23 D. 24 Algebra / Đại số 6. If 2x4 −19x3 +mx2 −nx+36 is divisible by x2 − 4x+3, find m + n. Biết 2x4 −19x3 +mx2 −nx+36 chia hết cho x2 − 4x+3, tìm m + n. A. 129 B. 130 C. 143 D. 144 15 KỲ THI OLYMPIC TOÁN HỌC QUỐC TẾ TIMO (Thailand International Mathematical Olympiad) BỘ ĐỀ ÔN THI OLYMPIC TOÁN HỌC QUỐC TẾ TIMO – KHỐI THPT FERMAT Education - Email: TIMO@fermat.edu.vn – 0961 603 003 – 0917 830 455
Trang 16
1 1 7. If 2019 x + = 2, calculate x2019 + . 2019 x x2019 1 1 Cho 2019 x + = 2 , tính x2019 + . 2019 x x2019 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. Find the value of x. Tìm giá trị của x. 5 3x = 2+ 5 4+ 5 4+ 4+... A. 4 B. 5 C. 2 D. 1 9. If k is an integer, find the smallest value of k such that (k2 −5)x2 + kx−2 = 0 has no real roots. Nếu k là một số nguyên, tìm giá trị nhỏ nhất của k sao cho (k2 −5)x2 + kx−2 = 0 không có nghiệm thực. A. – 3 B. – 2 C. 0 D. 2 10. Factorize 2x4 +5x3 −11x2 −20x+12 . Phân tích đa thức 2x4 +5x3 −11x2 −20x+12 thành nhân tử. A. (2x+1)(x−2)(x+2)(x+3) B. (2x+1)(x−3)(x−2)(x+2) C. (2x−1)(x−2)(x+2)(x+3) D. (2x−1)(x−3)(x−2)(x+2) Number Theory / Lý thuyết số 11. Find the smallest positive integral solution of the system of equations: Tìm nghiệm nguyên dương nhỏ nhất của hệ phương trình đồng dư: 4x 3(mod 11) 6x 2(mod 8) A. 30 B. 31 C. 32 D. 33 12. Now is September. Which month will it be after 92019 months? Hiện tại đang là tháng Chín, hỏi 92019 tháng nữa là tháng mấy? A. June (tháng Sáu) B. July (tháng Bảy) C. August (tháng Tám) D. September (tháng Chín) 13. Given x is a real number, find the maximum value of 1 . 2x2 + 32x+199 Cho x là một số thực, tìm giá trị lớn nhất của 1 . 2x2 + 32x+199 70 135 134 71 A. B. C. D. 70 135 134 71 16 KỲ THI OLYMPIC TOÁN HỌC QUỐC TẾ TIMO (Thailand International Mathematical Olympiad) BỘ ĐỀ ÔN THI OLYMPIC TOÁN HỌC QUỐC TẾ TIMO – KHỐI THPT FERMAT Education - Email: TIMO@fermat.edu.vn – 0961 603 003 – 0917 830 455
Trang 17
4000! 14. If is a positive integer, find the maximum integral value of n. 15n 4000! Nếu là một số nguyên dương, tìm giá trị nguyên lớn nhất của n. 15n A. 999 B. 998 C. 997 D. 996 15. Given that 20190316AB is a 10-digit number which is divisible by 66, find the largest value of AB. 20190316AB là một số có 10 chữ số chia hết cho 66. Tìm giá trị lớn nhất của AB. A. 9 B. 32 C. 28 D. 16 Geometry / Hình học 16. Find the area enclosed by the x-axis, the lines x = 2y−3 and 2x+ y = 9. Tìm diện tích phần giới hạn bởi trục Ox và các đường thẳng x = 2y−3,2x+ y = 9. A. 35 B. 35 C. 45 D. 45 2 4 2 4 17. Given four points on a coordinate plane A( 3,5),− B(5,7),C(6,−2),D( 2,− −1), find the area of the quadrilateral formed by using those four points as vertices. Cho 4 điểm A( 3,5),− B(5,7),C(6,−2),D( 2,− −1) trên mặt phẳng tọa độ, tìm diện tích của tứ giác có 4 đỉnh là 4 điểm này. A. 60 B. 60.5 C. 61 D. 61.5 18. An iron wire is cut and bent into 3 circles whose radius are 21. If the same wire is cut and bent into 6 identical triangles, what is the maximum value of area of one triangle? (Take 22 ) = 7 Một dây sắt được cắt và uốn thành 3 đường tròn, mỗi đường tròn có bán kính là 21. Nếu sợi dây đó được cắt và uốn thành 6 hình tam giác giống nhau, tìm diện tích lớn nhất có thể của mỗi hình tam giác? (Lấy 22 ) = 7 A. 121 B. 121 3 C. 121 2 D. 242 19. Peter goes east for 12km, then goes southwest for 12 2 km and goes east for 16km. How far is he now from the original position? Peter đi về phía đông 12km, sau đó đi về phía tây nam 12 2 km và rồi đi về phía đông 16km. Hỏi lúc này Peter cách vị trí ban đầu bao xa? A. 20km B. 18km C. 30km D. 28km 17 KỲ THI OLYMPIC TOÁN HỌC QUỐC TẾ TIMO (Thailand International Mathematical Olympiad) BỘ ĐỀ ÔN THI OLYMPIC TOÁN HỌC QUỐC TẾ TIMO – KHỐI THPT FERMAT Education - Email: TIMO@fermat.edu.vn – 0961 603 003 – 0917 830 455
Trang 18
20. There is a cuboid container with length of 15cm, width of 10cm and height of 18cm. The depth of the water inside is 3cm. 8 cubes of 5cm side length is put in the container. What is the maximum height will the water level raise (in cm)? Một cái bể hình hộp chữ nhật có chiều dài 15cm, chiều rộng 10cm, chiều cao 18cm. Mực nước ở trong bể cao 3cm. Sau đó, 8 khối lâp phương cạnh 5cm được đặt vào trong bể. Hỏi mực nước có thể dâng thêm nhiều nhất bao nhiêu cm? A. 1.5 B. 4.5 C. 6.5 D. 9.5 Combinatorics / Tổ hợp 21. Given 2 boys and 4 girls, in how many ways can they be splitted into 2 groups? Cho 2 bạn nam và 4 bạn nữ, hỏi có bao nhiêu cách chia họ thành 2 nhóm? A. 39 B. 40 C. 41 D. 42 22. In how many possible ways can 12 identical flowers be distributed to 5 distinct vases so that all vases have flowers? Có bao nhiêu cách chia 12 bông hoa giống nhau vào 5 chiếc bình phân biệt sao cho bình nào cũng có hoa? A. 495 B. 792 C. 330 D. 462 23. A fair 6-face die is thrown 3 times. Find the probability that the sum of numbers is multiple of 3. Một xúc xắc 6 mặt đồng chất được gieo 3 lần. Tìm xác suất tổng của 3 số thu được là bội của 3. 1 4 2 23 A. B. C. D. 3 27 3 72 24. There are 2 identical blue flags, 3 identical red flags and 6 identical white flags are put from left to right. How many ways of arrangement are there? Có 2 lá cờ màu xanh giống nhau, 3 lá cờ màu đỏ giống nhau, 6 lá cờ màu trắng giống nhau được xếp từ trái sang phải. Hỏi có bao nhiêu cách xếp? A. 4630 B. 463 C. 462 D. 4620 25. Given ( , , ,a b c d) is a set of integers and all of them are greater than 3. Find the number of solution set(s) of a+b+c+d = 21. Cho ( , , ,a b c d) là bộ số nguyên và tất cả các số đều lớn hơn 3. Tìm số bộ nghiệm của a+b+c+d = 21. A. 56 B. 52 C. 50 D. 48 18 KỲ THI OLYMPIC TOÁN HỌC QUỐC TẾ TIMO (Thailand International Mathematical Olympiad) BỘ ĐỀ ÔN THI OLYMPIC TOÁN HỌC QUỐC TẾ TIMO – KHỐI THPT FERMAT Education - Email: TIMO@fermat.edu.vn – 0961 603 003 – 0917 830 455
Trang 19
ĐỀ SỐ 4 Logical Thinking / Tư duy lô-gic 1. Given A, B and C are three non-zero digits such that: i. ACB is divisible by 9; ii.BCB is a cubic number. Find the 3-digit number AAB. Cho A, B và C là 3 chữ số khác 0 thỏa mãn: i. ACBchia hết cho 9. ii. BCB là số lập phương. Tìm số AAB. A. 223 B. 113 C. 332 D. 335 2. There are n lines that are not parallel with each other on a plane. There are no 3 lines intersecting at a point. If they intersect 105 times, find n. Trong mặt phẳng có n đường thẳng đôi một không song song và không có 3 đường thẳng nào đồng quy. Nếu có tất cả 105 giao điểm thì n bằng bao nhiêu? A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 3. Andy goes north for 99km, then goes east for 15km, goes south for 78km and goes west for 87km. How far is he now from the original position? Andy đi về phía bắc 99km, sau đó đi về phía đông 15km, đi về phía nam 78km và đi về phía tây 87km. Hỏi khi đó Andy cách vị trí ban đầu bao xa? A. 21km B. 72km C. 75km D. 93km 4. Given that 1st September, 2018 is Saturday. Which day of the week is 21st September, 2078? Ngày 1 tháng Chín năm 2018 là thứ Bảy. Hỏi ngày 21 tháng Chín năm 2078 là thứ mấy? A. Sunday (Chủ nhật) B. Monday (Thứ Hai) C. Tuesday (Thứ Ba) D. Wednesday (Thứ Tư) 5. There are 15 pieces of white chopsticks, 16 pieces of yellow chopsticks and 12 pieces of brown chopsticks mixed together. Close your eyes. If you want to get 1 pair of chopsticks that are not white and 1 pair of chopsticks that are not yellow, at least how many pieces of chopsticks are needed to be taken? Có 15 chiếc đũa trắng, 16 chiếc đũa vàng và 12 chiếc đũa nâu trộn lẫn với nhau. Hãy nhắm mắt lại. Nếu bạn muốn lấy được 1 đôi đũa không phải màu trắng và 1 đôi đũa không phải màu vàng thì cần lấy ra ít nhất bao nhiêu chiếc đũa? A. 20 B. 19 C. 18 D. 17 Algebra / Đại số 6. Calculate 9C1 +92C2 +93C3 +...+97C7 +98C8 . 8 8 8 8 8 Tính 9C1 +92C2 +93C3 +...+97C7 +98C8 . 8 8 8 8 8 A. 88 B. 98 C. 108 D. 108 – 1 19 KỲ THI OLYMPIC TOÁN HỌC QUỐC TẾ TIMO (Thailand International Mathematical Olympiad) BỘ ĐỀ ÔN THI OLYMPIC TOÁN HỌC QUỐC TẾ TIMO – KHỐI THPT FERMAT Education - Email: TIMO@fermat.edu.vn – 0961 603 003 – 0917 830 455
Trang 20
1 1 7. Find the coefficient of x2 in the expansion of (x+ ) (4 x− )5 . x x 1 1 Tìm hệ số của x2 trong khai triển của (x+ ) (4 x− )5 . x x A. 0 B. 6 C. 3 D. 7 8. Calculate 6− 6− 6−... . Tính 6− 6− 6−... . A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 9. If a is an integer, find the smallest value of a such that (a+2)x2 +ax−7 = 0 has no real roots. Cho a là một số nguyên, tìm giá trị nhỏ nhất của a sao cho (a+2)x2 +ax−7 = 0 không có nghiệm thực. A. – 25 B. – 2 C. – 26 D. – 3 10. Factorize 6x4 − x3 −14x2 − x+6 . Phân tích đa thức 6x4 − x3 −14x2 − x+6 thành nhân tử. A. (x+1) (2 2x−3)(3x+2) B. (x+1) (2 2x+3)(3x+2) C. (x+1) (2 2x+3)(3x−2) D. (x+1) (2 2x−3)(3x−2) Number Theory / Lý thuyết số 11. Find the smallest positive integral solution in the following system of congruence equations 3x 1(mod 5) . 5x 1(mod7) 3x 1(mod 5) Tìm nghiệm nguyên dương nhỏ nhất của hệ phương trình đồng dư . 5x 1(mod7) A. 26 B. 23 C. 20 D. 17 12. If now is June, which month will it be after 738 months? Nếu hiện tại là tháng Sáu thì 738 tháng nữa là tháng mấy? A. July (tháng Bảy) B. August (tháng Tám) C. September (tháng Chín) D. October (tháng Mười) 13. How many positive integers x are there so that x2 −22x+221 is an integer? Có bao nhiêu số nguyên dương x sao cho x2 −22x+221 là một số nguyên? A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 20 KỲ THI OLYMPIC TOÁN HỌC QUỐC TẾ TIMO (Thailand International Mathematical Olympiad) BỘ ĐỀ ÔN THI OLYMPIC TOÁN HỌC QUỐC TẾ TIMO – KHỐI THPT FERMAT Education - Email: TIMO@fermat.edu.vn – 0961 603 003 – 0917 830 455
评论 (0)
暂无评论。快来抢沙发吧！