第 1 页
CHUYÊN ĐỀ 6. KHẢO SÁT HÀM SỐ HỮU TỈ Câu 1. Trong hệ trục tọa độ cho đồ thị hàm số mô tả chuyển động của hai tàu đánh cá và (đơn vị trên mỗi trục tọa độ tính bằng ). Biết quỹ đạo chuyển động của hai tàu luôn thuộc về hai nhánh khác nhau của đồ thị . Tính khoảng cách ngắn nhất (đơn vị ) giữa hai tàu đánh cá và (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm). Lời giải Đáp án: . Ta có , Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng , gồm hai nhánh nằm về hai phía của đường thẳng . Gọi là điểm thuộc nhánh trái của đồ thị hàm số, khi đó . Đặt Gọi là điểm thuộc nhánh phải của đồ thị hàm số, khi đó . Đặt Với ta có Nên . Dấu bằng xảy . Vậy khoảng cách ngắn nhất (đơn vị ) giữa hai tàu đánh cá và là 4,39 (km). 1 Hubdocu.com
第 2 页
Câu 2. Một máy bay trình diễn có đường bay gắn với hệ trục được mô phỏng như hình vẽ, trục gắn với mặt đất. Đường bay có dạng là một phần của đồ thị hàm phân thức bậc hai trên bậc nhất có đường tiệm cận đứng là . Điểm là giao điểm của đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số và trục được gọi là điểm giới hạn. Biết máy bay bay từ vị trí cách tọa tọa độ một khoảng đơn vị và máy bay khi ở vị trí cao nhất cách điểm xuất phát đơn vị theo phương song song với trục và cách mặt đất đơn vị. Vị trí máy bay tiếp đất cách điểm giới hạn một khoảng bằng bao nhiêu? Lời giải Đáp án: . Vì tiệm cận đứng của đồ thị hàm số (hàm phân thức bậc hai trên bậc nhất) là . Hàm số có dạng . Đồ thị hàm số qua điểm và nhận làm điểm cực trị, suy ra: . Khi đó: . 2 Hubdocu.com
第 3 页
Đồ thị hàm số có tiệm cận xiên: . Tọa độ điểm . Phương trình cho hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số với trục là . . Câu 3. Trong một công viên có một hồ nước và một đường đi lát gạch hoa. Thiết lập hệ trục như hình vẽ dưới, kiến trúc sư thấy rằng bờ hồ có thể coi như một nhánh của đồ thị hàm số và đường đi khi đó ứng với đường thẳng . Để đảm bảo ánh sáng, kiến trúc sư muốn đặt 2 cột đèn trên bờ hồ và 2 cột đèn trên đường đi sao cho 4 cột đèn này tạo thành một hình vuông. Tính khoảng cách giữa hai cột đèn trên bờ hồ (làm tròn đến hàng phần trăm). Lời giải Đáp án: . Gọi (với ) song song với và cắt tại hai điểm phân biệt ( ) Phương trình hoành độ giao điểm của và : (vì ) (1) Khi đó ta có: Suy ra: 3 Hubdocu.com
第 4 页
Mặt khác chọn , ta có khoảng cách giữa hai đường thẳng bằng Để là hình vuông thì Kết hợp điều kiện (1) suy ra Vậy khoảng cách giữa hai cột đèn bên bờ hồ bằng Câu 4. Ở một vịnh biển, ngoài xa có một hòn đảo nhỏ. Người ta tiến hành lấn biển để xây một khu đô thị và làm một tuyến cáp treo nối khu đô thị với hòn đảo để phát triển du lịch. Xét trong hệ tọa độ với đơn vị đo tương ứng km có hòn đảo ở thì đương bao của phần đất lấn biển có dạng là một phần của đồ thị hàm số . Giả sử tuyến cáp treo được thiết kế nối đảo với đường bao của khu đô thị với độ dài ngắn nhất. Độ dài của tuyến cáp treo là bao nhiêu km (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)? Lời giải Đáp án: . Độ dài ngắn nhất của tuyến cáp treo nối với đường bao của khu đô thị chính là khoảng cách từ tới điểm cực đại của đồ thị hàm số . Xét hàm số với . 4 Hubdocu.com
第 5 页
Ta có . Bảng biến thiên: Dựa vào bảng biến thiên, đồ thị hàm số có điểm cực đại là . Khi đó . Vậy độ dài của tuyến cáp treo xấp xỉ km. Câu 5. Giả sử tỷ lệ sinh của Tỉnh tuân theo quy luật logistic được mô hình hóa bằng hàm số , trong đó thời gian được tính bằng tháng. Khi đó đạo hàm sẽ biểu thị tốc độ tăng dân số của tỉnh . Hỏi sau bao nhiêu tháng tốc độ tăng trưởng của dân số tỉnh là lớn nhất? Lời giải Đáp án: . Ta có Khi đó . Khi đó . Dựa vào bảng biến thiên 5 Hubdocu.com
第 6 页
Vậy tốc độ tăng trưởng của dân số tỉnh lớn nhất là tại thời điểm Câu 6. Giả sử doanh số (tính bằng số sản phẩm) của một sản phẩm mới (trong vòng một số năm nhất định) tuân theo quy luật logistic được mô hình hoá bằng hàm số trong đó thời gian được tính bằng năm, kể từ khi phát hành sản phẩm mới. Khi đó, đạo hàm sẽ biểu thị tốc độ bán hàng. Hỏi sau khi phát hành thì tốc độ bán hàng đạt lớn nhất bằng bao nhiêu? Lời giải Đáp án: . Ta có Có Ta có bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên ta có tốc độ bán hàng lớn nhất là . Câu 7. Để loại bỏ chất gây ô nhiễm môi trường từ khí thải của một nhà máy, người ta ước tính chi phí (triệu đồng) cần bỏ ra được mô hình hóa bởi hàm số có dạng (như hình vẽ), . Tính chi phí chênh lệch (tỉ đồng) phải bỏ ra để loại bỏ và loại bỏ chất gây ô nhiễm từ khí thải của nhà máy. 6 Hubdocu.com
第 7 页
Lời giải Đáp án: 18. Từ đồ thị hàm số ta thấy: Đồ thị đi qua gốc tọa độ nên . Đồ thị có đường tiệm cận đứng . Đồ thị có đường tiệm cận ngang . Vậy ta có . Suy ra chi phí chênh lệch (tỉ đồng) phải bỏ ra để loại bỏ và loại bỏ chất gây ô nhiễm từ khí thải của nhà máy là: (triệu đồng) tỉ đồng. Câu 8. Số dân của một thị trấn sau năm kể từ năm 1970 được ước tính bởi công thức là một hàm số xác định trên nửa khoảng Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang là Giá trị của là bao nhiêu? Lời giải Đáp án: . Ta có: Câu 9. Nồng độ của một loại hóa chất trong máu sau giờ tiêm vào cơ thể được cho bởi công thức với . Sau khoảng bao nhiêu giờ tiêm thì nồng độ của hóa chất trong máu là cao nhất? (kết quả làm tròn tới hàng phần trăm) Lời giải Đáp án: 3,17. Ta có . 7 Hubdocu.com
第 8 页
. Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên thì nồng độ hóa chất trong máu cao nhất khi (giờ). Câu 10. Đường đi của một khinh khí cầu được gắn trong hệ trục tọa độ là một đường cong bậc hai trên bậc nhất có đồ thị cắt trục hoành tại hai điểm có tọa độ là và với đơn vị trên hệ trục tọa độ là . Biết rằng điểm cực đại của đồ thị hàm số là điểm . Hỏi khi khí cầu đi qua điểm cực đại và cách mặt đất thì khí cầu cách gốc tọa độ theo phương ngang bao nhiêu? (đơn vị: ) Lời giải Đáp án: . Không mất tính tổng quát, ta giả sử phương trình của đường cong là Vì đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 2 điểm có tọa độ là và nên Suy ra Vì đồ thị hàm số có điểm cực đại là nên suy ra 8 Hubdocu.com
第 9 页
Vậy phương trình của hàm số là: . Kiểm tra lại điểm cực trị của hàm số này ta thấy điểm là điểm cực đại của đồ thị hàm số. Yêu cầu bài toán tìm nghiệm của phương trình Vậy khi khí cầu đi qua điểm cực đại và cách mặt đất thì khí cầu cách gốc tọa độ theo phương ngang là 7,2 km. Câu 11. Số dân của một thị trấn sau năm kể từ năm được tính bởi công thức ( được tính bằng nghìn người). Đạo hàm của hàm số biểu thị tốc độ tăng dân số của thị trấn (tính bằng nghìn người/năm). Hỏi vào năm nào thì tốc độ tăng dân số là nghìn người/năm? Lời giải Đáp án: 2037. Ta có: Vì là số năm nên . Hàm số xác định với . Vì nên . Vậy sau năm kể từ năm , tức là vào năm thì tốc độ tăng dân số của thi trấn đó là nghìn người/năm. Câu 12. Một bể chứa lít nước tinh khiết. Người ta bơm vào bể đó nước muối có nồng độ gam/1 lít nước với tốc độ lít/phút. Giả sử nồng độ muối trong nước bể sau phút được xác định bởi một hàm số trên (gam/lit). Khi càng lớn thì nồng độ muối trong bể tiến gần đến bao nhiêu gam/lít. Lời giải Đáp án: 25 Sau phút khối lượng muối trong bể là (gam). Thể tích của bể sau phút là (lít). 9 Hubdocu.com
第 10 页
Khi đó nồng độ muối có trong nước bể là: (gam/lít). . Vậy hi càng lớn thì nồng độ muối trong bể tiến gần đến 25 gam/lít. Câu 13. Một con cá hồi bơi ngược dòng (từ nơi sinh sống) vượt khoảng cách để tới nơi sinh sản. Vận tốc dòng nước là . Giả sử vận tốc hơi của cả khi mước đứng yên là thì năng lượng tiêu hao của cả trong giờ cho bởi công thức trong đó là hàng số cho trước. tính hằng Jun. Tình vận tốc bơi của cả khi nước đứng yên, để năng lượng của cả tiêu hao ít nhất? Lời giải Trả lời: 9 Theo đề bài, vận tốc của cá khi bơi trên sông là , khi đó thời gian để cá bơi đến nơi sinh sản là . Khi đó, với . Đặt . Bài năng lượng tiêu hao của cá được tính bởi hàm số: với . Ta có: . Bảng biến thiên: 10 Hubdocu.com
第 11 页
Vậy hay khi vận tốc của cá khi nước đứng yên là thì cá ít tốn năng lượng nhất. Câu 14. Một bể chứa ban đầu có 250 lít nước. Sau đó, cứ mỗi phút người ta bơm thêm 25 lít nước, đồng thời cho vào bể 8 gam chất khử khuẩn được hòa tan. Giả sử là nồng độ chất khử khuẩn trong bể sau phút (với , đơn vị gam/lít, trong đó là khối lượng chất khử khuẩn trong bể và là thể tích nước trong bể). Gọi là số dương nhỏ nhất mà nồng độ chất khử khuẩn là tăng theo thời gian t nhưng không vượt quá ngưỡng gam/lít. Tìm Lời giải Nồng độ chất khử khuẩn trong bể sau phút là Ta cần tìm giá trị lớn nhất của trên khoảng xác định Ta có: Do đó đồng biến trên Ta có: Vậy nồng độ chất khử khuẩn tăng theo thời gian và không vượt quá 0,32 Đáp án: 0,32 Câu 15. Biết rằng tốc độ đánh máy trung trình (tính bằng từ trên phút) của một học viên lớn tuổi sau tuần (kể từ khi chưa biết đánh máy) được cho bởi một trong hai công thức sau và . Ông A (một người lớn tuổi chưa biết đánh máy) sau 4 tuần đi học thì tốc độ đánh máy trung bình đạt 20 từ trên phút, sau 6 tuần đạt 30 từ trên phút. Em hãy dự đoán xem, sau khóa học 15 tuần thì tốc độ đánh máy trung bình của ông A là bao nhiêu từ trên phút. Lời giải Đáp số: . 11 Hubdocu.com
第 12 页
+) Do nên loại. +) Ta có +) Mặt khác có Lấy trừ ta được thay vào ta được . Vậy +) Do đó Câu 16. Một bể ban đầu chứa lít nước. Sau đó, cứ mỗi phút người ta bơm thêm lít nước, đồng thời cho vào bể gam chất khử trùng (hòa tan). Gọi (gam/lít) là nồng độ chất khử trùng trong bể sau phút ( ), biết rằng sau khi khảo sát sự biến thiên của hàm số , ta thấy giá trị tăng theo thời gian nhưng không vượt ngưỡng gam/lít. Tìm số (kết quả viết dưới dạng số thập phân). Lời giải Đáp án: 0,4. Thể tích nước trong bể sau phút là (lít). Khối lượng chất khử trùng trong bể sau phút là (gam). Nồng độ chất khử trùng trong bể sau phút là (gam/lít). Ta có và . Vậy giá trị hàm luôn tăng nhưng không vượt ngưỡng 0,4 gam/lít. Câu 17. Một hộp không nắp được làm từ một mảnh các tông theo hình vẽ. Hộp có đáy là một hình vuông cạnh , chiều cao là và thể tích là . Tìm sao cho chiếc hộp làm ra tốn ít bìa các tông nhất. 12 Hubdocu.com
第 13 页
Lời giải Đáp án: 20. Điều kiện Ta có thể tích của chiếc hộp là Theo giả thiết thể tích chiếc hộp bằng nên ta có Ta có diện tích xung quanh và đáy của chiếc hộp là Ta khảo sát hàm số Ta có , Ta có thì chiếc hộp làm ra tốn ít bìa nhất. Câu 18. Để tạo một kiện hàng dạng hình lăng trụ đứng với đáy là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng, người ta dùng các thanh gỗ ghép khít đóng lại với nhau. Biết rằng, dung tích kiện hàng bằng và giá thành gỗ sử dụng là đồng. Hỏi sau khi hoàn thành kiện hàng đó, người ta cần bỏ ra ít nhất bao nhiêu triệu đồng? (diện tích các mép giữa hai mặt kề nhau không đáng kể). 13 Hubdocu.com
第 14 页
Lời giải Đáp án: . Gọi là chiều rộng của đáy bể. Khi đó chiều dài của kiện hàng là là chiều cao của kiện hàng là . Khi đó diện tích của kiện hàng là Xét hàm số có Bảng biến thiên của hàm số như sau: Từ bảng biên thiên ta có Vậy chi phí thấp nhất làm kiện hàng là: đồng. Câu 19. Một xưởng thủ công mỹ nghệ sản xuất loại chụp đèn trang trí dạng hình chóp cụt tứ giác đều. Gọi là độ dài cạnh đáy lớn (đơn vị:dm). Tính toán cho thấy tổng chi phí vật liệu (tính bằng nghìn đồng) cho một chụp đèn là (nghìn đồng). Thời gian sản xuất cho một chụp đèn được xác định là (giờ). Xưởng muốn xác định kích thước để chi phí vật liệu trung bình trên một giờ sản xuất là thấp nhất, nhằm tối ưu hóa hiệu quả sử dụng thời gian và vật liệu. Hãy tìm giá trị của . 14 Hubdocu.com
第 15 页
Lời giải Đán án: 6 Gọi hàm chi phí vật liệu trung bình trên một giờ sản xuất là . Ta có Ta có bảng biến thiên : Từ bảng biến thiên ta thấy đạt GTNN bằng khi . Vậy để chi phí vật liệu trung bình trên một giờ sản xuất là thấp nhất thì . Câu 20. Một doanh nghiệp dự định sản xuất không quá 500 sản phẩm. Nếu doanh nghiệp sản xuất sản phẩm ( ) thì doanh thu nhận được khi bán hết số sản phẩm đó là (đồng), trong khi chi phí sản xuất bình quân cho một sản phẩm là (đồng). Doanh nghiệp cần sản xuất bao nhiêu sản phẩm để lợi nhuận thu được là lớn nhất? Lời giải Đáp án: 333. Ta xét hàm lợi nhuận nếu doanh nghiệp sản xuất sản phẩm ( ) là: ; ; . Ta lập bảng biến thiên của hàm số trên đoạn 15 Hubdocu.com
第 16 页
Từ bảng biến thiên, ta có: . Vì là số tự nhiên, nên ta tính thêm hai giá trị của liền kề : Do đó doanh nghiệp lợi nhuận thu được là lớn nhất khi sản xuất 333 sản phẩm. Câu 21. Một doanh nghiệp dự định sản xuất không quá sản phầm. Nếu doanh nghiệp sản xuất sản phẩm thì doanh thu nhận được khi bán hết số sản phẩm đó là (nghìn đồng), trong khi chi phí sản xuất bình quân cho một sản phẩm là (nghìn đồng). Lợi nhuận thu được của doanh nghiệp (tính theo đơn vị triệu đồng) đạt giá trị lớn nhất bằng bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị). Lời giải Đáp án: 38. Chi phí sản xuất cho sản phẩm là (nghìn đồng). Lợi nhuận thu được của doanh nghiệp: (nghìn đồng). Ta có: . Xét . Bảng biến thiên: Vậy lợi nhuận lớn nhất của doanh nghiệp khoảng triệu đồng. 16 Hubdocu.com
第 17 页
Câu 22. Một doanh nghiệp dự định sản xuất không quá 400 sản phẩm. Nếu doanh nghiệp sản xuất sản phẩm thì doanh thu nhận được khi bán hết số sản phẩm là ( đồng).Trong đó, chi phí vận hành máy móc cho mỗi sản phẩm là đồng. Tổng chi phí mua nguyên vật liệu là ( đồng) nhưng do doanh nghiệp mua với số lượng lớn nên được giảm 1% cho 200 sản phẩm đầu tiên doanh nghiệp sản xuất và giảm 2% cho sản phẩm tiếp theo. Doanh nghiệp cần sản xuất bao nhiêu sản phẩm để lợi nhuận thu được là lớn nhất ? Lời giải Đáp án: 253 Ta có chi phí Ta có lợi nhuận thu được tính như sau: *. Xét trường hợp khi BBT: *. Xét trường hợp khi 17 Hubdocu.com
第 18 页
BBT: Vì số sản phẩm sản xuất được là số tự nhiên, từ BBT trên ta so sánh và Ta có: và Vậy doanh nghiệp cần sản xuất 253 sản phẩm thì lợi nhuận là lớn nhất Câu 23. Chi phí xuất bản cuốn tạp chí (bao gồm: lương cán bộ, công nhân viên, giấy in…) được cho bởi đồng. Chi phí phát hành cho mỗi cuốn là nghìn đồng. với là tổng chi phí (xuất bản và phát hành) cho cuốn tạp chí, được gọi là chi phí trung bình cho một cuốn tạp chí khi xuất bản cuốn. Khi số lượng cuốn tạp chí phát hành cực lớn thì chi phí trung bình cho mỗi cuốn tạp chí sẽ tiệm cận với đường thẳng có phương trình dạng . Tính . Lời giải Đáp án: . Theo giả thiết, ta có: (đồng). . . 18 Hubdocu.com
第 19 页
Khi đó đồ thị hàm số có 1 tiệm cận xiên là . Khi số lượng cuốn tạp chí phát hành cực lớn thì chi phí trung bình cho mỗi cuốn tạp chí sẽ tiệm cận với đường thẳng . Suy ra . Vậy . Câu 24. Một công ty chuyên sản xuất dụng cụ thể thao nhận được đơn đặt hàng sản xuất quả bóng rổ. Công ty có một số máy móc, mỗi máy có khả năng sản xuất quả bóng rổ trong một giờ. Chi phí thiết lập mỗi máy là nghìn đồng. Sau khi thiết lập, quá trình sản xuất sẽ diễn ra hoàn toàn tự động và chỉ cần có người giám sát. Chi phí trả cho người giám sát là nghìn đồng mỗi giờ. Số máy móc công ty cần sử dụng để chi phí hoạt động đạt mức thấp nhất là bao nhiêu? Lời giải Đáp án: 15 Gọi số máy móc công ty cần sử dụng để sản xuất quả bóng rổ là: ( ). Chi phí thiết lập mỗi máy là nghìn đồng nên chi phí thiết lập máy là nghìn đồng. Do mỗi máy sản xuất trong 1h được quả bóng rổ nên máy trong 1h sẽ sản xuất được quả. Để sản xuất quả bóng thì cần (h). Chi phí trả cho người giám sát là nghìn đồng 1h nên chi phí cần trả cho người giám sát là: nghìn đồng. Tổng chi phí phải trả đề sản xuất quả bóng là: Ta có: BBT: Từ BBT ta có đạt giá trị bé nhất tại . Vâ |y số máy móc công ty cần sử dụng để chi phí hoạt động đạt mức thấp nhất là 15. 19 Hubdocu.com
第 20 页
Câu 25. Một nhà xuất bản nhận in 4000 ấn phẩm. Nhà xuất bản có tất cả 14 máy in được cài đặt, hoạt động tự động và giám sát bởi 1 kĩ sư. Mỗi máy in có thể in được 30 ấn phẩm trong một giờ. Chi phí cài đặt máy in là 12 USD cho một máy, chi phí giám sát là 9USD một giờ. Tính số máy in nhà xuất bản nên sử dụng để chi phí in là nhỏ nhất ? Lời giải Đáp án: . Gọi là số máy in cần sử dụng để in lô hàng. Chi phí cài đặt là . Số giờ in hết số ấn phẩm là (giờ), chi phí giám sát là (USD) Tổng chi phí in là . . Bảng biến thiên: Vậy để chi phí in nhỏ nhất thì số máy phải sử dụng là máy. Câu 26. Giả sử chi phí đặt hàng và vận chuyển (đơn vị: triệu đồng) của một linh kiện được sử dụng trong sản xuất một sản phầm được xác định theo công thức . Trong đó là số linh kiện được đặt hàng và vận chuyển. Tìm để chi phí đặt hàng và vận chuyển cho mỗi linh kiện trên là nhỏ nhất. Lời giải Đáp án: . Xét hàm số Ta có 20 Hubdocu.com
评论 (0)
暂无评论。快来抢沙发吧！