Đề thi thử TSA Đợt 3 - Đề 10 (Có đáp án)

Câu hỏi mẫu

1. Câu 1

   Một công ty muốn thiết kế một hộp giấy hình hộp chữ nhật không nắp có thể tích $500 \mathrm{~cm}^{3}$. Đáy hộp là hình vuông. Tìm kích thước cạnh đáy của hộp để chi phí nguyên vật liệu làm hộp là thấp nhất.
   • A.10 cm
   • B.5 cm.
   • C.15 cm.
   • D.20 cm .
   Xem đáp án

   Đáp án: A

   Gọi cạnh đáy của hộp là $x(x>0$, đơn vị: cm$)$, chiều cao của hộp là $h(h>0$, đơn vị: cm$)$. Thể tích của hộp là $V=x^{2} h=500 \Rightarrow h=\frac{500}{x^{2}}$. Vì hộp không có nắp nên diện tích nguyên vật liệu cần dùng chính là diện tích xung quanh cộng với diện tích đáy: $S=x^{2}+4 x h=x^{2}+4 x\left(\frac{500}{x^{2}}\right)=x^{2}+\frac{2000}{x}$. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số dương $x^{2}, \frac{1000}{x}, \frac{1000}{x}$ : $$S=x^{2}+\frac{1000}{x}+\frac{1000}{x} \geq 3 \sqrt[3]{x^{2} \cdot \frac{1000}{x} \cdot \frac{1000}{x}}=3 \sqrt[3]{1000000}=300 .$$ Dấu "=" xảy ra khi $x^{2}=\frac{1000}{x} \Leftrightarrow x^{3}=1000 \Leftrightarrow x=10$. Vậy kích thước cạnh đáy để chi phí thấp nhất là 10 cm.

2. Câu 2

   Cho hàm số $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}2 x+5 & \text { khi } x \geq 1 \\ 3 x^{2}+4 & \text { khi } x<1\end{array}\right.$. Giả sử $F(x)$ là nguyên hàm của $f(x)$ trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $F(0)=2$. Giá trị của $F(-1)+2 F(2)$ bằng.
   • A.27.
   • B.29.
   • C.12.
   • D.33.
   Xem đáp án

   Đáp án: A

   Ta có $\int_{-1}^{0} f(x) d x=F(0)-F(-1) \Rightarrow F(-1)=F(0)-\int_{-1}^{0}\left(3 x^{2}+4\right) d x=2-5=-3$. Mặt khác, hàm số liên tục tại $x=1$ nên $F(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$. Ta có $\int_{0}^{2} f(x) d x=F(2)-F(0) \Rightarrow F(2)=F(0)+\int_{0}^{1}\left(3 x^{2}+4\right) d x+\int_{1}^{2}(2 x+5) d x$. Khi đó: $F(2)=2+5+8=15$. Vậy $F(-1)+2 F(2)=-3+2(15)=27$.

3. Câu 3

   Chiều cao $h$ (mét) của một cabin trên vòng quay Mặt Trời so với mặt đất sau $t$ phút được mô hình hóa bởi $h(t)=15-10 \cos \left(\frac{\pi t}{5}\right)$. Hỏi trong 20 phút đầu tiên, cabin đạt độ cao 20 mét bao nhiêu lần?
   • A.2.
   • B.3.
   • C.4.
   • D.5.
   Xem đáp án

   Đáp án: C

   Ta có phương trình: $15-10 \cos \left(\frac{\pi t}{5}\right)=20 \Leftrightarrow \cos \left(\frac{\pi t}{5}\right)=-0,5$. $$\Leftrightarrow \cos \left(\frac{\pi t}{5}\right)=\cos \left(\frac{2 \pi}{3}\right) \Leftrightarrow \frac{\pi t}{5}= \pm \frac{2 \pi}{3}+k 2 \pi \Leftrightarrow t= \pm \frac{10}{3}+10 k(k \in \mathbb{Z}) .$$ Vì $t \in[0 ; 20]$ nên ta xét các trường hợp: Với $t=\frac{10}{3}+10 k: 0 \leq \frac{10}{3}+10 k \leq 20 \Leftrightarrow-\frac{1}{3} \leq k \leq \frac{5}{3} \Rightarrow k \in\{0 ; 1\}$. Ta được $t=\frac{10}{3}, t=\frac{40}{3}$. Với $t=-\frac{10}{3}+10 k: 0 \leq-\frac{10}{3}+10 k \leq 20 \Leftrightarrow \frac{1}{3} \leq k \leq \frac{7}{3} \Rightarrow k \in\{1 ; 2\}$. Ta được $t=\frac{20}{3}, t=\frac{50}{3}$. Vậy trong 20 phút đầu tiên, cabin đạt độ cao 20 mét 4 lần.

4. Câu 4

   Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại $A$ và $B$. Biết cạnh bên SA vuông góc với đáy. Góc giữa SC và mặt phẳng đáy bằng $60^{\circ} . A B=3 a, B C=4 a, A D=2 a$ . Gọi $M$ là trung điểm của AC, khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SM bằng
   • A.$a \sqrt{3}$.
   • B.$\frac{5 a}{2}$.
   • C.$\frac{10 a \sqrt{3}}{\sqrt{79}}$.
   • D.$5 a \sqrt{3}$.
   Xem đáp án

   Đáp án: C

   :::center
   [ANH_1]
   :::
   Gọi $N$ là trung điểm BC, ta có MN là đường trung bình của tam giác $A B C \Rightarrow M N \| A B$.
   Do đó $A B \|(S M N) \Rightarrow d(A B, S M)=d(A B,(S M N))=d(A,(S M N))$.
   Vì ABCD là hình thang vuông tại $A$ và $B$ nên $A B \perp B C$. Mà $M N \| A B \Rightarrow M N \perp B C$.
   Trong mặt phẳng đáy, kẻ $A H \perp M N$ tại $H$. Vì $M N \| A B$ và $A B \perp B C$ nên AHBN là hình chữ nhật, suy ra $A H=N B=\frac{B C}{2}=2 a$.
   Trong mặt phẳng $(S A H)$, kẻ $A K \perp S H$ tại $K$.
   Ta có $M N \perp A H$ và $M N \perp S A \Rightarrow M N \perp(S A H) \Rightarrow M N \perp A K$.
   Từ đó $A K \perp(S M N) \Rightarrow d(A,(S M N))=A K$.
   Xét tam giác ABC vuông tại $B: A C=\sqrt{A B^{2}+B C^{2}}=\sqrt{9 a^{2}+16 a^{2}}=5 a$. Góc giữa SC và mặt phẳng đáy là $S C A=60^{\circ}$.
   Xét tam giác SAC vuông tại $A: S A=A C \tan 60^{\circ}=5 a \sqrt{3}$.
   Xét tam giác SAH vuông tại $A$, đường cao AK: $$\frac{1}{A K^{2}}=\frac{1}{A H^{2}}+\frac{1}{S A^{2}}=\frac{1}{4 a^{2}}+\frac{1}{75 a^{2}}=\frac{79}{300 a^{2}} \Rightarrow A K=\frac{10 a \sqrt{3}}{\sqrt{79}} .$$
   Vậy $d(A B, S M)=\frac{10 a \sqrt{3}}{\sqrt{79}}$.

Làm trọn 100 câu để được chấm điểm và xem lời giải chi tiết.

Tài liệu nguồn

• Đề thi thử TSA Đợt 3 - Đề 10 (Có đáp án)