Trang 1
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập LÝ THUYẾT MÔN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH CHƯƠNG I: TẬP HỢP - LOGIC - ÁNH XẠ - SỐ PHỨC Mục lục I Logic 2 1 Mệnh đề và giá trị chân lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 Phép toán mệnh đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 3 Biểu thức mệnh đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 4 Tương đương logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 5 Hàm mệnh đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 6 Lượng từ tồn tại và lượng từ phổ biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 II Tập hợp 9 1 Khái niệm tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2 Các phép toán trên tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 3 Tính chất của các phép toán trên tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 4 Tích Đề Các của các tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 III Ánh xạ 14 1 Định nghĩa ánh xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2 Các loại ánh xạ đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3 Đơn ánh, toàn ánh, song ánh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 4 Tích các ánh xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 5 Ánh xạ ngược . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 IV Cấu trúc đại số 18 1 Phép toán hai ngôi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 Nhóm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3 Vành . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 4 Trường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 V Số phức 20 1 Xây dựng trường số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 Biểu diễn hình học và dạng lượng giác của số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3 Các phép toán của số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 4 Số phức liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 5 Đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 — Biên soạn bởi: Team Đại số - CLB Hỗ trợ Học tập — 1
Trang 2
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập I Logic 1 Mệnh đề và giá trị chân lý Định nghĩa 1. Mệnh đề toán học là một khẳng định toán học chỉ có thể đúng hoặc sai, không thể nhập nhằng tính đúng sai. Mỗi mệnh đề toán học chỉ có một trong hai giá trị chân lý 0 hoặc 1. Mệnh đề có giá trị chân lý 1 là mệnh đề đúng, có giá trị chân lý 0 là mệnh đề sai. Người ta thường dùng các ký hiệu A,B,C, ... để ký hiệu cho các mệnh đề, V(A),V(B), ... ký hiệu cho giá trị chân lý của các mệnh đề. Ví dụ 1. "Tất cả các bạn lớp đại cương đều là sinh viên Bách khoa" là mệnh đề đúng "1+1 = 3" là mệnh đề sai "Hãy chạy ngay đi!" không phải là mệnh đề "Hôm nay là thứ mấy?" không phải là mệnh đề "Ngày mai trời sẽ nắng to" không phải là mệnh đề "x+1 = 2" không phải là mệnh đề Lưu ý 1. – Khẳng định "hôm nay trời mưa" có phải là mệnh đề không? Đây không phải là mệnh đề do đây khẳng định chưa rỏ ràng về địa điểm và thời điểm nên tính đúng sai bị nhập nhằng. – Khẳng định "Tồn tại sự sống ngoài trái đất" có phải là mệnh đề không? Đây là mệnh đề do tính đúng sai không nhập nhằng nhưng do hạn chế về thông tin và hiểu biết nên đến thời điểm này vẫn tính đúng sai vẫn còn đang tranh cãi. Các tình huống như vậy trong khoa học thường được gọi là vấn đề mở hay giả thuyết. 2 Phép toán mệnh đề Định nghĩa 2. Các mệnh đề phức tạp trong toán học là những mệnh đề được tạo thành từ những mệnh đề đơn giản hơn nhờ vào các liên kết logic hay còn gọi là các phép toán logic. 2.1 Phép phủ định Định nghĩa 3. Phủ định của mệnh đề A là một mệnh đề, được ký hiệu là A, đúng khi A sai và sai khi A đúng. Bảng giá trị chân lý của phép phủ định — Biên soạn bởi: Team Đại số - CLB Hỗ trợ Học tập — 2
Trang 3
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập A A 1 0 0 1 Ví dụ 2. A ="1 là số lẻ", A ="1 không là số lẻ". 2.2 Phép hội Định nghĩa 4. Cho hai mệnh đề A,B. Hội của hai mệnh đề A,B là một mệnh đề, đọc là A và B, ký hiệu là A∧B, đúng khi cả hai mệnh đề A,B đều đúng và sai trong các trường hợp còn lại. Bảng giá trị chân lý của phép hội A B A∧B 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 Ví dụ 3. A = 7 là số lẻ, B = 7 lớn hơn 2, A∨B ="7 là số lẻ và lớn hơn 2". 2.3 Phép tuyển Định nghĩa 5. Cho hai mệnh đề A,B. Tuyển của hai mệnh đề A,B là một mệnh đề, đọc là A hoặc B, ký hiệu là A∨B, sai khi cả hai mệnh đề A,B đều có giá trị sai và đúng trong các trường hợp còn lại. Bảng giá trị chân lý của phép tuyển A B A∨B 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 Ví dụ 4. "1 ≤ 2" là tuyển của hai mệnh đề "1 < 2" và "1 = 2". — Biên soạn bởi: Team Đại số - CLB Hỗ trợ Học tập — 3
Trang 4
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập 2.4 Phép kéo theo Định nghĩa 6. Cho hai mệnh đề A,B. Khi đó A kéo theo B là một mệnh đề, ký hiệu là A → B, chỉ sai khi A đúng và B sai, và đúng trong các trường hợp còn lại. Bảng giá trị chân lý của phép kéo theo A B A → B 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 Phép kéo theo A → B còn được phát biểu theo ngôn ngữ thông thường là "từ A suy ra B", hoặc là "nếu có A thì có B". Ngoài ra mệnh đề này còn được phát biểu dưới dạng: "Có B khi có A" hoặc "Có A chỉ khi có B". Khi đó ta nói rằng "A là điều kiện đủ để có B" và "B là điều kiện cần đối với A". Ví dụ 5. [GK20191-N3] Mệnh đề "Nếu mặt trời mọc ở phía tây thì mặt trời lặn ở phía đông" là đúng hay sai? [Hướng dẫn giải] A ="Mặt trời mọc ở phía tây". B ="Mặt trời lặn ở phía đông". Mệnh đề đã cho là A → B. Vì A sai nên A → B là mệnh đề đúng. 2.5 Phép tương đương Định nghĩa 7. Cho hai mệnh đề A,B. Khi đó A tương đương B là một mệnh đề, ký hiệu là A ↔ B, đúng nếu cả A và B cùng nhận một giá trị chân lý, và sai trong các trường hợp còn lại. Bảng giá trị chân lý của phép tương đương A B A ↔ B 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 Nếu mệnh đề A ↔ B nhận giá trị đúng, thì ta nói hai mệnh đề tương đương hoặc "A cần và đủ với B" hoặc "A khi và chỉ khi có B", hoặc "A nếu và chỉ nếu với B". — Biên soạn bởi: Team Đại số - CLB Hỗ trợ Học tập — 4
Trang 5
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập 3 Biểu thức mệnh đề Định nghĩa 8. Cho các mệnh đề A,B, ..., một biểu thức mệnh đề là một công thức được tạo thành từ các mệnh đề A,B, ... cùng các phép toán logic. Khi các mệnh đề A,B, ... được chứa trong một biểu thức mệnh đề thì chúng được gọi là các biến mệnh đề. Ví dụ 6. Một số biểu thức mệnh đề [A∧(B∨C)] →C (A∧B) → (B∧C) Định nghĩa 9. Bảng giá trị chân lý của một biểu thức mệnh đề Một biểu thức mệnh đề P, được tạo thành từ các biến mệnh đề A,B, ..., sẽ nhận giá trị chân lý xác định đối với mỗi bộ giá trị chân lý của biến mệnh đề. Nếu P nhận giá trị chân lý 1 hoặc nhận giá trị chân lý 0 với mọi bộ giá trị chân lý có thể có của các biến mệnh đề có có mặt trong P, thì khi đó P được gọi là một biểu thức hẳng đúng hoặc biểu thức hằng sai tương ứng. Ví dụ 7. Cho P,Q là các mệnh đề và các biểu thức mệnh đề (P → Q)∧P và P∧Q. Lập bảng giá trị chân lý của hai biểu thức mệnh đề trên: [Hướng dẫn giải] P Q P → Q (P → Q)∧P P∧Q 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 4 Tương đương logic Lưu ý 2. Trong quá trình xem xét các biểu thức mệnh đề, chúng ta sẽ sử dụng khái niệm tương đương logic ⇔ thay thế cho khái niệm "bằng nhau" của các biểu thức. Hai biểu thức gọi là tương đương logic nếu giá trị chân lý của hai biểu thức giống nhau trong mọi tình huống. Tính chất 1. Ta có một số các tương đương logic cơ bản sau: 1. Phủ định của phủ định: A ⇔ A 2. Tính chất giao hoán: A∧B ⇔ B∧A A∨B ⇔ B∨A — Biên soạn bởi: Team Đại số - CLB Hỗ trợ Học tập — 5
Trang 6
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập 3. Tính chất kết hợp: (A∧B)∧C ⇔ A∧(B∧C) (A∨B)∨C ⇔ A∨(B∨C) 4. Tính chất phân phối: A∧(B∨C) ⇔ (A∧B)∨(A∧C) A∨(B∧C) ⇔ (A∨B)∧(A∨C) 5. Tính chất của phép kéo theo: A → B ⇔ A∨B 6. Tính chất của phép tương đương: A ↔ B ⇔ (A → B)∧(B → A) 7. Tính lũy đẳng: A∧A ⇔ A A∨A ⇔ A 8. Tính chất phép tương đương: A ↔ B ⇔ (A → B)∧(B → A) 9. Luật De Morgan: A∨B ⇔ A∧B A∧B ⇔ A∨B 10. Đẳng thức với 0 và 1 A∧0 ⇔ 0,A∧1 ⇔ A A∨1 ⇔ 1,A∨0 ⇔ A A∧A ⇔ 0 (Luật mâu thuẫn) A∨A ⇔ 1 (Luật bài trùng) Ví dụ 8. [GK20181-N1] Cho 3 mệnh đề p,q,r. Hỏi hai biểu thức mệnh đề (p∧q) → r và (p → r)∧(q → r) có tương đương logic không? Tại sao? [Hướng dẫn giải] — Biên soạn bởi: Team Đại số - CLB Hỗ trợ Học tập — 6
Trang 7
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập p q r p∧q p → r q → r (p∧q) → r (p → r)∧(q → r) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 Theo bảng giá trị chân lý, hai biểu thức mệnh đề đã cho không tương đương logic. 5 Hàm mệnh đề Định nghĩa 10. Một phát biểu P(x) đối với biến x được gọi là một hàm mệnh đề hoặc một vị từ nếu với mỗi giá trị của x = x0, ở đó x0 nằm trong miền xác định A thì P(x0) là một mệnh đề. Ví dụ 9. P(x) ="x nhỏ hơn 2",x ∈ R. P(0) = 1 (sai), P(4) = 0. Ví dụ 10. P(x) : 2x−4 > 0,x ∈ R. Mệnh đề trên được phát biểu là "Tập các số thực x thỏa mãn điều kiện 2x−4 > 0 ". Với số thực x thỏa mãn điều kiện x ≤ 2 thì mệnh đề P(x) là sai, còn số thực x thỏa mãn điều kiện x > 2 thì mệnh đề P(x) là đúng. 6 Lượng từ tồn tại và lượng từ phổ biến Định nghĩa 11. Cho hàm mệnh đề P(x) xác định trên miền M. Trong thực tế, chúng ta cần phát biểu những mệnh đề có dạng "Với mọi x ∈ M có tính chất P(x)". Khi đó, mệnh đề này được quy ước và ký hiệu như sau: ∀x ∈ M,P(x) ký hiệu ∀ được gọi là lượng từ phổ biến hay lượng từ toàn thể. — Biên soạn bởi: Team Đại số - CLB Hỗ trợ Học tập — 7
Trang 8
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập Định nghĩa 12. Tương tự, chúng ta cũng có những mệnh đề có dạng "Tồn tại x ∈ M có tính chất P(x)". Khi đó, mệnh đề này được quy ước và ký hiệu như sau: ∃x ∈ M,P(x) ký hiệu ∃ được gọi là lượng từ tồn tại. Công thức 1. Phép phủ định của lượng từ phổ biến và lượng từ tồn tại được cho bởi công thức tương ứng sau: ∀x,P(x) ⇔ ∃x,P(x) ∃x,P(x) ⇔ ∀x,P(x) Ví dụ 11. [CK20181-N3] Cho mệnh đề P :′′ ∀x ∈ R,∃y ∈ R : y > x′′. (a) Xác định mệnh đề phủ định của P (b) Mệnh đề P muốn khẳng định điều gì? [Hướng dẫn giải] a) Mệnh đề phủ định của P: P ⇔ ∀x ∈ R,∃y ∈ R : y > x ⇔ ∃x ∈ R,∃y ∈ R : y > x ⇔ ∃x ∈ R,∀y ∈ R : y > x ⇔ ∃x ∈ R,∀y ∈ R : y ≤ x. b) Mệnh đề P muốn khẳng định:"Với mọi số thực x luôn tồn tại một số thực y sao cho y lớn hơn x" hay "Không có số thực lớn nhất". — Biên soạn bởi: Team Đại số - CLB Hỗ trợ Học tập — 8
Trang 9
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập II Tập hợp 1 Khái niệm tập hợp Định nghĩa 13. Tập hợp tuy không được định nghĩa một cách rõ ràng, nhưng chúng cũng được mô tả qua các ví dụ cụ thể. Một tập hợp được hiểu như là một tụ tập, một nhóm các đối tượng nào đó. Một vài ví dụ về tập hợp như: Tập hợp quận huyện của Hà Nội; tập hợp các số thực;... Trong toán học, một tập hợp thường được ký hiệu bởi các chữ cái A,B, .... Cho tập hợp A (sau này có thể gọi tắt là tập A). – Các đối tượng nằm trong tập A được gọi là các phần tử của tập A. – Phần tử thường được ký hiệu là a,b, .... Phần tử a thuộc tập A được ký hiệu là a ∈ A; ngược lại nếu phần tử a không thuộc tập A được ký hiệu là a ∈/ A. – Một tập hợp thường được cho thông qua liệt kê hoặc các phần tử có cùng tính chất nào đó. Ta thường dùng biểu đồ Venn (khoanh vùng thay cho tập hợp, chấm nhỏ thay cho phần tử) để biểu diễn các tập hợp và phần tử. Lưu ý 3. Đặc biệt Tập rỗng, được ký hiệu là ∅, là tập hợp không chứa bất kỳ một phần tử nào. Ví dụ 12. A = {1,2,3,4,5,6} B là tập các đội bóng tham dự vòng chung kết Euro 2024 C = {x|0 ≤ x ≤ 9} Khi có các tập hợp, ta có một số mối liên hệ giữa các tập hợp như sau: Định nghĩa 14. Tập con Tập A được gọi là tập con của tập B và ký hiệu là A ⊂ B, nếu như mọi phần tử của A đều là phần tử của B. Lưu ý 4. Khi tập A là tập con của B ta cũng có thể viết là B ⊃ A. Quy ước tập rỗng là tập con của tập bất kỳ. Ví dụ 13. N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R. Định nghĩa 15. Tập hợp bằng nhau Hai tập hợp được gọi là bằng nhau khi và chỉ khi chúng có cùng các phần tử. Lưu ý 5. Để chứng minh hai tập bằng nhau A = B, chúng ta cần chứng minh A ⊂ B và B ⊂ A, nghĩa là A = B ⇔ A ⊂ B và B ⊂ A — Biên soạn bởi: Team Đại số - CLB Hỗ trợ Học tập — 9
Trang 10
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập Ví dụ 14. A = {1,2,3} B = {x ∈ N|0 < x2 < 10} Ta có: A = B. 2 Các phép toán trên tập hợp Cho trước các tập hợp A,B,X, chúng ta có các phép toán sau trên tập hợp. Định nghĩa 16. Phép giao Giao của hai tập A và B, ký hiệu bởi A∩B, là tập hợp chứa các phần tử thuộc cả A và B. A∩B = {x|x ∈ A và x ∈ B}. Định nghĩa 17. Phép hợp Hợp của hai tập A và B, ký hiệu bởi A∪B, là tập hợp chứa các phần tử hoặc thuộc A hoặc thuộc B. A∪B = {x|x ∈ A hoặc x ∈ B}. Định nghĩa 18. Phép lấy hiệu Hiệu của hai tập hợp A và B, ký hiệu là A\B, là tập hợp gồm các phần tử thuộc A mà không thuộc B. A\B = {x|x ∈ A và x ∈/ B}. — Biên soạn bởi: Team Đại số - CLB Hỗ trợ Học tập — 10
Trang 11
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập Định nghĩa 19. Hiệu đối xứng Hiệu đối xứng của hai tập A và B, ký hiệu bởi A△B, là tập hợp được xác định như sau A△B = (A\B)∪(B\A). Định nghĩa 20. Phần bù Cho hai hợp A và X. Nếu A ⊂ X thì hiệu X\A được gọi là phần bù của A trong X và được ký hiệu bởi A hoặc CXA. Đặc biệt A là tập bao gồm tất cả các phần tử không thược vào tập A trong tình huống được đề cập đến. Ví dụ 15. Cho A = {0,1,2,3,4,7},B = {2,3,4,5,6,7,8}. Tính A∪B,A∩B,A\B,B\A. [Hướng dẫn giải] +) A∪B = {0,1,2,3,4,5,6,7,8} +) A∩B = {2,3,4,7} +) A\B = {0,1} +) B\A = {5,6,8} Ví dụ 16. [GK20193-N1] Giả sử f(x),g(x) là các hàm số xác định trên R. Đặt A = {x ∈ R|f(x) = 0},B = {x ∈ R|g(x) = 0}. Biểu diễn qua A,B tập nghiệm của phương trình sau: f(x)g(x) = 0 |f(x)|+|g(x)| [Hướng dẫn giải] — Biên soạn bởi: Team Đại số - CLB Hỗ trợ Học tập — 11
Trang 12
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập Gọi S là tập nghiệm của phương trình đã cho. Khi đó f(x)g(x) f(x)g(x) = 0 x ∈ S ⇔ = 0 ⇔ |f(x)|+|g(x)| |f(x)|+|g(x)|̸ = 0 (f(x) = 0)∨(g(x) = 0) (x ∈ A)∨(x ∈ B) ⇔ ⇔ (f(x) ̸= 0)∨(g(x) ̸= 0) (x ∈/ A)∨(x ∈/ B) x ∈ A∪B ⇔ ⇔ x ∈ (A∪B)\(A∩B) x ∈/ A∩B Vậy tập nghiệm của phương trình là S = (A∪B)\(A∩B) 3 Tính chất của các phép toán trên tập hợp Tính chất 2. Giao hoán A∪B = B∪A,A∩B = B∩A,A△B = B△A. Tính chất 3. Kết hợp (A∪B)∪C = A∪(B∪C), (A∩B)∩C = A∩(B∩C), (A△B)△C = A△(B△C). Tính chất 4. Phân phối A∩(B∪C) = (A∪B)∩(A∪C), A∩(B∪C) = (A∪B)∩(A∪C). Tính chất 5. Tính chất của phép trừ A\B = A∩B. Tính chất 6. Công thức De Morgan X\(A∪B) = (X\A)∩(X\B) (hoặc A∪B = A∩B), X\(A∩B) = (X\A)∪(X\B) (hoặc A∩B = A∪B) Ví dụ 17. [GK20201-N2] Cho các tập hợp A,B,C. Bao hàm thức sau đúng hay sai? Tại sao? [(A∩B)\C] ⊂ [A∩(B\C)] [Hướng dẫn giải] +) Giả sử x ∈ (A∩B)\C là một phần tử bất kỳ Khi đó x ∈ A,x ∈ B và a ∈/ C — Biên soạn bởi: Team Đại số - CLB Hỗ trợ Học tập — 12
Trang 13
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập +) Vì x ∈ B và x ∈/ C nên x ∈ B\C +) Vì x ∈ A và x ∈ B\C nên a ∈ A∩(B\C) Như vậy bao hàm thức là đúng 4 Tích Đề Các của các tập hợp Định nghĩa 21. Cho hai tập hợp A và B. Tích Đề Các (Descartes) của hai tập hợp A và B, được ký hiểu bởi A×B, là một tập hợp bao gồm các phần tử có thứ tự (a,b) với a ∈ A và b ∈ B. Như vậy A×B = {(a,b)|a ∈ A∧b ∈ B}. Ví dụ 18. Cho A = {1; 2; 3} và B = {a;b}, khi đó A×B = {(1;a),(2;a),(3;a),(1;b),(2;b),(3;b)}. B×A = {(a; 1),(b; 1),(a; 2),(b; 2),(a; 3),(b; 3)}. Định nghĩa 22. Tích Đề Các của một họ các tập A1,A2, ...,An, được ký hiệu là A1 ×A2 ×...×An, là một tập hợp bao gồm các phần tử có thứ tự (a1,a2, ...,an), với ai ∈ Ai,∀i ∈ [1...n]. Như vậy A1 ×A2 ×...×An = {(a1,a2, ...,an)|ai ∈ Ai,∀i ∈ [1...n]}. Lưu ý 6. Quy ước Khi các tập bằng nhau A = A = ... = A = A, tích Đề Các bên trên có thể được viết gọn là An. 1 2 n Ví dụ 19. [CK20201-N3] Cho các tập hợp A,B,C,D. Bao hàm thức sau đúng hay sai? Vì sao? (A×C)∩(B×D) ⊂ (A∩B)×(C∩D). [Hướng dẫn giải] +) Giả sử (x,y) ∈ (A×C)∩(B×D) là một phần tử bất kỳ Khi đó (x,y) ∈ A×C và (x,y) ∈ B×D +) Từ (x,y) ∈ A×C, suy ra x ∈ A và y ∈C +) Từ (x,y) ∈ B×D, suy ra x ∈ B và y ∈ D Suy ra x ∈ A∩B và y ∈C∩D Do đó (x,y) ∈ (A∩B)×(C∩D) Như vậy bao hàm thức là đúng — Biên soạn bởi: Team Đại số - CLB Hỗ trợ Học tập — 13
Trang 14
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập III Ánh xạ 1 Định nghĩa ánh xạ Định nghĩa 23. Cho hai tập hợp X,Y khác rỗng. Một ánh xạ f từ tập X đến tập Y là một quy tắc đặt tương ứng mỗi phần tử x ∈ X với một phần tử xác định duy nhất y ∈Y , ký hiệu bởi y = f(x). Một ánh xạ f từ tập X đến tập Y thường được viết là f : X →Y x 7→ y = f(x) Tập X được gọi là tập nguồn của ánh xạ, tập Y được gọi là tập đích của ánh xạ, ký hiệu 7→ chỉ quy tắc thực hiện ánh xạ. Phần tử y = f(x) được gọi là ảnh của x, còn phần tử x được gọi là tạo ảnh của y. Định nghĩa 24. Ảnh Cho A ⊂ X. Tập hợp f(A) = {f(x)|x ∈ A} được gọi là tập ảnh của A qua f. Lưu ý 7. Qui ước: f(∅) = ∅ 1. f(A) ⊂Y 2. y ∈ f(A) khi và chỉ khi ∃x ∈ A,y = f(x) 3. Nếu A ⊂ B thì f(A) ⊂ f(B) Định nghĩa 25. Nghịch ảnh Cho B ⊂Y. Tập hợp f−1(B) = {x ∈ X|f(x) ∈ B} được gọi là tập nghịch ảnh của B bởi f. Lưu ý 8. 1. f−1(B) ⊂ X 2. x ∈ f−1(B) khi và chỉ khi f(x) ∈ B Ví dụ 20. [GK20161] Cho ánh xạ f : R → R, f(x) = x2 −3x−4 và A = {0,−6}. Xác định các tập hợp f(A) và f−1(A) [Hướng dẫn giải] +) f(A) = {f(x)|x ∈ A} = {f(0), f(−6)} = {−4,50}. +) f−1(A) = {x|f(x) ∈ A} +) f(x) ∈ A ⇔ f(x) = 0∧ f(x) = −6 ⇔ x ∈ {−1,1,2,4} — Biên soạn bởi: Team Đại số - CLB Hỗ trợ Học tập — 14
Trang 15
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập +) f−1(A) = {−1,1,2,4} Ví dụ 21. [GK20201] Cho ánh xạ f : X →Y và A,B ⊂ X. Bao hàm thức sau đúng hay sai? Tại sao? f(A)\f(B) ⊂ f(A\B) [Hướng dẫn giải] +) Giả sử y ∈ f(A)\f(B) là một phần tử bất kỳ Suy ra y ∈ f(A) và y ∈/ f(B) +) Vì t ∈ f(A) nên tồn tại x ∈ A sao cho f(x) = y +) Vì y = f(x) ∈/ f(B) nên x ∈/ B +) Từ x ∈ A và x ∈/ B, suy ra x ∈ A\B Vậy y = f(x) ∈ f(A\B) +) Vậy bao hàm thức luôn đúng 2 Các loại ánh xạ đặc biệt Định nghĩa 26. Cho tập X ̸= ∅, chúng ta xây dựng một quy tắc với mỗi phần tử x ∈ X với chính nó. Khi đó, một ánh xạ được xác định f : X → X x 7→ x Ánh xạ, được ký hiệu bởi IdX, gọi là ánh xạ đồng nhất trên tập X. Định nghĩa 27. Cho tập con X ⊂Y , chúng ta xây dựng một quy tắc với mỗi phần tử x ∈ X với chính nó. Khi đó, một ánh xạ được xác định f : X →Y x 7→ x Ánh xạ, được ký hiệu bởi μX, gọi là anh xạ nhúng tập X vào tập Y Định nghĩa 28. Cho hai tập X,Y , chúng ta xây dựng một quy tắc với mỗi phần tử (x,y) ∈ X ×Y với thành phần thứ nhất x. Khi đó, một ánh xạ được xác định f : X ×Y → X (x,y) 7→ x Ánh xạ, được ký hiệu bởi πX, gọi là ánh xạ chiếu (chiếu lên thành phần thứ nhất). 3 Đơn ánh, toàn ánh, song ánh Cho ánh xạ f : X →Y . — Biên soạn bởi: Team Đại số - CLB Hỗ trợ Học tập — 15
Trang 16
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập Định nghĩa 29. Ánh xạ f được gọi là đơn ánh nếu x1 ̸= x2 ⇒ f(x1) ̸= f(x2) đúng với mọi x1,x2 thuộc tập X. Định nghĩa 30. Ánh xạ f được gọi là toàn ánh nếu với mỗi y ∈ Y đều tồn tại ít nhất một x ∈ X sao cho y = f(x). Định nghĩa 31. Ánh xạ f được gọi là song ánh nếu nó đồng thời là đơn ánh và toàn ánh. Lưu ý 9. 1. Khi chứng minh ánh xạ f là đơn ánh trong một số trường hợp ta có thể xét: • f(x1) = f(x2) ⇒ x1 = x2,∀x1,x2 ∈ X hoặc; • Phương trình y = f(x) có không quá một nghiệm với mọi y ∈Y . 2. Ánh xạ f là toàn ánh khi và chỉ khi phương trình y = f(x) có ít nhất một nghiệm với mọi y ∈Y 3. Ánh xạ f là song ánh khi và chỉ khi phương trình y = f(x) luôn có nghiệm duy nhất. Ví dụ 22. [CK20173-N3] Cho ánh xạ g : (−∞;−1] → [−2;+∞) xác định bởi g(x) = −2x−2. Ánh xạ trên có đơn ánh không? Vì sao? [Hướng dẫn giải] +) Giả sử g(x1) = g(x2) với x1,x2 ∈ (−∞;−1] +) Ta có g(x1) = g(x2) ⇒ −2x1 −2 = −2x2 −2 ⇒ x1 = x2 +) Vậy g là đơn ánh. Ví dụ 23. [GK20161] Ánh xạ f : R2 → R2, f(x,y) = (2x+y2,y3) có là một song ánh hay không? Tại sao? [Hướng dẫn giải] +) Đặt u = (x,y) ∈ R2,v = (a,b) ∈ R2 +) ∀u ∈ R2,∀v ∈ R2, xét f(u) = v √ 2x+y2 = a x = (a− 3 b2)/2 +) Ta có f(x,y) = (a,b) ⇔ (2x+y2,y3) = (a,b) ⇔ ⇔ √ y3 = b y = 3 b Vậy phương trình f(u) = v luôn có nghiệm duy nhất ∀v = (a,b) ∈ R2 +) Như vậy, f là một song ánh. — Biên soạn bởi: Team Đại số - CLB Hỗ trợ Học tập — 16
Trang 17
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập 4 Tích các ánh xạ Định nghĩa 32. Cho hai ánh xạ f : X →Y và g :Y → Z. Xây dựng ánh xạ h : X → Z là một quy tắc biến mỗi x ∈ X thành h(x) = g(f(x)). Ánh xạ h được gọi là tích của hai ánh xạ f và g, ký hiệu bởi g◦ f. Ta có (g◦ f)(x) = g[f(x)],∀x ∈ X. Ví dụ 24. Cho ánh xạ f : R → R và g : R → R, xác định bởi f(x) = 5x+3 và g(x) = x2 +1. Xác định g◦ f và f ◦g. [Hướng dẫn giải] +) g◦ f = g(f(x)) = g(5x+3) = (5x+3)2 +1 +) f ◦g = f(g(x)) = f(x2 +1) = 5(x2 +1) +3 = 5x2 +8 5 Ánh xạ ngược Định nghĩa 33. Cho song ánh f : X →Y . Rõ ràng với mỗi y ∈Y đều tồn tại duy nhất một x ∈ X để y = f(x) hay f−1(y) = x. Khi đó f−1 :Y → X y 7→ f−1(y) được gọi là ánh xạ ngược của ánh xạ f. Ánh xạ f−1 là một song ánh và ta có f ◦ f−1 = Id , f−1 ◦ f = Y IdX Ví dụ 25. Ánh xạ f : R → R x 7→ 2x3 +3 là một song ánh và có ánh xạ ngược là: f−1 : R → R r 3 x−3 x 7→ 2 Ví dụ 26. Ánh xạ f : R → R x 7→ x2 +x+1 không có ánh xạ ngược vì f không phải là song ánh (f(−1) = f(0)). — Biên soạn bởi: Team Đại số - CLB Hỗ trợ Học tập — 17
Trang 18
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập IV Cấu trúc đại số 1 Phép toán hai ngôi Định nghĩa 34. Cho X là một tập khác rỗng. Một phép toán hai ngôi trên tập X, ký hiệu là ∗, là một quy tắc biến đổi mỗi phần tử (x,y) ∈ X2 thành phần tử z ∈ X sao cho z = x∗y. Nói cách khác, phép toán ∗ là một ánh xạ: ∗ : X2 → X (x,y) 7→ x∗y Ví dụ 27. 1. Xét tập số tự nhiên N, số nguyên Z, số hữu tỷ Q, số thực R, khi đó các phép toán + hoặc phép toán . thông thường là các phép toán hai ngôi trên các tập đó. 2. Phép chia thông thường không phải là phép toán hai ngôi trên tập số tự nhiên N, số nguyên Z, số hữu tỷ Q, số thực R, vì không tồn tại phép chia cho số 0 ; 3. Xét tập hợp R, ta định nghĩa phép toán x∗y = xy+x+y. 4. Cho trước tập hợp X, ta xét P(X) = A | A ⊂ X. Trên P(X) thì các phép toán giao các tập hợp, hợp các tập hợp, hiệu các tập hợp là các phép toán hai ngôi. 5. Tập A là tập tất cả các mệnh đề. Khi đó, phép hội ∧, phép tuyển ∨, phép kéo theo →, phép tương đương ↔ là các phép toán hai ngôi trên tập A; 2 Nhóm Định nghĩa 35. Cho tập X khác rỗng với phép toán ∗, khi đó đại số hai ngôi (X,∗) lập thành một nhóm nếu nó thỏa mãn ba tiền đề sau: 1. Tính chất kết hợp: (a∗b)∗c = a∗(b∗c), đúng với mọi a,b,c ∈ X; 2. Tồn tại phần tử trung hòa e ∈ X sao cho a∗e = e∗a = a, đúng với mọi a ∈ X; 3. Với mỗi a ∈ X, luôn tồn tại phần tử đối x′ ∈ X sao cho x∗x′ = x′ ∗x = e. Nhóm X được gọi là nhóm giao hoán hoặc nhóm Abel nếu a∗b = b∗a, đúng với mọi a,b ∈ X. Ví dụ 28. 1. Tập các số tự nhiên N với phép cộng thông thường không phải là một nhóm vì không tồn tại phần tử đối. 2. Tập các số nguyên Z, tập số hữu tỷ Q, tập số thực R với phép cộng + thông thường là một nhóm giao hoán. Lưu ý 10. Cho (X,∗) là một nhóm, khi đó: 1. Phần tử trung hòa trong một nhóm là duy nhất, vì nếu e và e′ là hai phần tử trung hòa của X thì e′ = e′ ∗e = e∗e′ = e; — Biên soạn bởi: Team Đại số - CLB Hỗ trợ Học tập — 18
Trang 19
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập 2. Trong một nhóm, mỗi phần tử chỉ tồn tại duy nhất một phần tử đối của nó. 3 Vành Định nghĩa 36. Cho tập X khác rỗng, trên X trang bị hai phép toán + và · . Khi đó (X,+, .) lập thành một vành nếu nó thỏa mãn các tiền đề sau: 1. (X,+) là một nhóm Abel; 2. (a·b)·c = a·(b·c), đúng với mọi a,b,c ∈ X; 3. Phép toán . phân phối về hai phía đối với phép toán +, nghĩa là a·(b+c) = a·b+a·c (b+c)·a = b·a+c·a đúng với mọi a,b,c ∈ X Lưu ý 11. 1. Phần tử trung hòa đối với phép toàn ”+” thường ký hiệu là 0, gọi là phần tử trung hòa của vành. Phần tử trung hòa đối với phép toán ”.”, thường ký hiệu là 1, và gọi là phần tử đơn vị của vành (để phân biệt với phần tử trung hòa đối với phép +); 2. Nếu phép toán ”.” của vành có tính chất giao hoán thì gọi là vành giao hoán; 3. Nếu phép toàn ”.” của vành có đơn vị thì gọi là vành có đơn vị. Ví dụ 29. 1. Tập số nguyên Z, tập số hữu tỷ Q, tập số thực R với các phép cộng và phép nhân thông thường là một vành giao hoán có đơn vị, ở đó phần tử trung hòa là số 0 và phần tử đơn vị là số 1; 2. Tập N với phép toán cộng và phép toán nhân thông thường không phải là một vành. 4 Trường Định nghĩa 37. Cho tập X khác rỗng, trên đó xác định hai phép toán ”+” và ”·”. Khi đó (X,+, .) là một trường nếu: 1. (X,+, .) là một vành giao hoán có đơn vị 1 đối với phép toán ”·”; 2. Với mọi a ∈ X sao cho a ̸= 0, ( ở đó 0 là phần tử trung hòa của phép toán ”+”), luôn tồn tại phần tử nghịch đảo của a, ký hiệu a−1, sao cho a·a−1 = a−1 ·a = 1 Ví dụ 30. 1. Tập số hữu tỷ Q, tập số thực R với phép cộng và phép toán nhân thông thường là một trường với phần tử trung hòa của phép cộng là số 0, phần tử đơn vị của phép nhân là số 1. 2. Tập số nguyên Z với phép toán cộng và phép toán nhân thông thường không phải là một trường. — Biên soạn bởi: Team Đại số - CLB Hỗ trợ Học tập — 19
Trang 20
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập V Số phức 1 Xây dựng trường số phức Định nghĩa 38. Cho tập số thực R. Xây dựng tập C = R2 = {(a;b)|a ∈ R,b ∈ R}. Xét hai phần tử bất kỳ x = (a;b),y = (c;d) ∈ C. Khi đó quan hệ bằng nhau x = y trên C nếu a = c và b = d. Trên C định nghĩa phép toán cộng ”+” và phép toán ”.” (ký hiệu x.y = xy) như sau: x+y = (a+c;b+d) xy = (ac−bd;ad +bc) 1. (x+y) +z = x+ (y+z), với mọi x,y ∈ C; 2. Phần tử trung hòa 0∗ = (0; 0) ∈ C thỏa mãn x+0∗ = 0∗ +x = x, với mọi x ∈ C; 3. Với mọi phần tử x = (a;b), luôn tồn tại phần tử đối x′ = (−a;−b) thỏa mãn x+x′ = 0∗ 4. x+y = y+x, với mọi x,y ∈ C; 5. (xy)z = x(yz), với mọi x,y,z ∈ C; 6. (x+y)z = xz+yz và x(y+z) = xy+xz, với mọi x,y,z ∈ C; 7. Phần tử đơn vị 1∗ = (1,0) của phép toán nhân có tính chất x1∗ = 1∗x = x, với mọi x ∈ C; 8. xy = yx, với x,y ∈ C; ∗ −1 a −b 9. Với x = (a;b) ̸= 0 = (0; 0), tồn tại phần tử nghịch đảo x = , ∈ C thỏa a2 +b2 a2 +b2 mãn xx−1 = x−1x = 1∗ Do vậy C cùng phép toán ”+” và phép toán ”.” là một trường, được gọi là trường số phức. Định nghĩa 39. Xét tập R∗ = {(x,0)|x ∈ R}. Tập R∗ ⊂ C và R∗ cũng là một trường. Xây dựng ánh xạ f : R → R∗ x 7→ (x,0) Dễ dàng kiểm tra được ánh xạ f là song ánh. Do vậy có quan hệ 1−1 giữa trường số thực R và trường R∗, hay tập số thực R là tập con của tập số phức C. Khi đó số phức (x; 0) tương ứng là số thực x; số 0∗ = (0; 0) chính là số thực 0 và số 1∗ = (1; 0) chính là số thực 1. Đặt i = (0; 1), khi đó mỗi số phức z = (a;b) có thể biểu diễn dưới dạng z = (a;b) = (a; 0) + (0;b) = a(1; 0) + (b; 0)(0; 1) = a+bi a được gọi là phần thực của số phức z, ký hiệu là Re(z); còn b được gọi là phần ảo của số phức z ký hiệu là Im(z). Số phức viết dưới dạng z = a+bi được gọi là dạng chính tắc của số phức z. Lưu ý 12. 1. Cho hai số phức z1,z2 ∈ C, khi đó z1 = z2 nếu Re(z1) = Re(z2) và Im(z1) = Im(z2); 2. i2 = (0; 1)(0; 1) = (−1; 0) = −1 — Biên soạn bởi: Team Đại số - CLB Hỗ trợ Học tập — 20
Hiển thị 20 trang đầu. Tải tài liệu để xem đầy đủ.
Bình luận (0)
Chưa có bình luận nào. Hãy là người đầu tiên!