Câu 67. Cho một thanh gỗ hình trụ có đáy là hình vuông cạnh có đáy là hình tròn bán kính , và một thanh gỗ hình lăng trụ đứng như hình vẽ. Hai thanh gỗ có trục chính cắt nhau và tạo với nhau một góc . Trong hai đường chéo của tiết diện vuông góc với trục của thanh gỗ , có một đường chéo vuông góc với mặt phẳng chứa trục của cả hai thanh gỗ, còn đường chéo còn lại thì nằm trong mặt phẳng đó. Khi đó, phần thể tích chung của hai thanh gỗ là Hãy tính giá trị của biểu thức , biết rằng và là các số hữu tỉ. Lời giải Trả lời: 24 Đầu tiên, ta sẽ thực hiện 1 lát cắt ngang vuông góc với “đường chéo vuông góc với mặt phẳng chứa trục của cả hai thanh gỗ” 1 Hubdocu.com Ta gọi là giao của 2 trục chính. Giả sử lát cắt ngang này, cắt trục với tại điểm có hoành độ bằng . Khi đó ta được hình sau: Khi đó, ta cắt thanh gỗ Còn có chiều rộng là và thanh gỗ có chiều rộng là là tứ giác là hình bình hành do lát cắt tạo thành vào phần chung của và . Dễ dàng tìm được diện tích tứ giác này là Vậy thể tích cần tìm là Câu 68. Hình 1 là một tác phẩm dự thi của nhà thiết kế sân khấu trong một cuộc thi thiết kế sân khấu ngoài trời tổ chức tại một quảng trường. Khi mở rộng sân khấu trung tâm, ta được Hình 2. Quá trình thiết kế sân khấu trung tâm được mô tả như sau: Bước 1. Vẽ hình vuông có độ dài cạnh bằng 2, và lấy trung điểm của bốn cạnh lần lượt là . Bước 2. Vẽ đồ thị của các hàm bậc hai đi qua ba điểm và hàm bậc hai đi qua ba điểm . 2 Hubdocu.com Bước 3. Tương tự như Bước 2, vẽ đồ thị của các hàm bậc hai đi qua ba điểm và ba điểm Biết rằng: Diện tích phần tô đen trong Hình 2 được cho bởi công thức: Hãy tính giá trị của . (Với là các số nguyên.) Lời giải Trả lời: 15 Chọn hệ trục tọa độ Gốc tọa độ như hình vẽ: là giao điểm của hai đường chéo và Trục Khi đó ta dễ suy ra được: và đồ thị hàm số bậc hai đi qua Xét phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng là: và đồ thị hàm số bậc hai đi qua ta được: Ta gọi là diện tích vùng được tô màu xanh như hình trên