Đang tạo bản xem trước...
NGÔ ĐỨC TÀI LÊ DIÊN PHÚ ĐINH HỮU KIỆT CHUYÊN ĐỀ TOÁN THỰC TẾ ÔN THI TỐT NGHIỆP THPTQG 2027 z z x H K y O ≡ A x y 5cm 5m 12m 8cm B D C Hàm số Vectơ Nguyên hàm tích phân Đường thẳng Mặt phẳng Mặt cầu Zalo: 0889 971 004 1 Nhóm Ba Đưòng Đồng Quy – 0889 971 004 Chuyên đề toán thực tế
MỤC LỤC Chương 1. Ứng dụng đạo hàm khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 4 Chủ đề 1. Toán thực tế liên quan đến doanh thu, lợi nhuận 5 1.1 LÝ THUYẾT CẦN NHỚ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 BÀI TẬP ÁP DỤNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Chủ đề 2. Toán thực tế liên quan đến tốc độ thay đổi một đại lượng 22 2.1 LÝ THUYẾT CẦN NHỚ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.2 BÀI TẬP ÁP DỤNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Chủ đề 3. Toán thực tế liên quan đến các yếu tố hình học 31 3.1 MỘT SỐ KIẾN THỨC HÌNH HỌC BỔ TRỢ . . . . . . . . . . . . . 31 3.2 BÀI TẬP ÁP DỤNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Chủ đề 4. Toán thực tế ứng dụng khảo sát hàm số 62 4.1 LÝ THUYẾT CẦN NHỚ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 4.2 BÀI TẬP ÁP DỤNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 Chương 2. Vectơ và hệ tọa độ trong không gian 81 Chủ đề 1. Toán thực tế liên quan đến các phép toán vectơ 82 1.1 LÝ THUYẾT CẦN NHỚ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 1.2 BÀI TẬP ÁP DỤNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 Chủ đề 2. Toán thực tế áp dụng các phép toán tọa độ hóa vectơ 92 2.1 LÝ THUYẾT CẦN NHỚ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 2.2 BÀI TẬP ÁP DỤNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 1 Nhóm Ba Đưòng Đồng Quy – 0889 971 004 Chuyên đề toán thực tế
TOÁN 12TOÁN 12TOÁN 12 Chương 3. Nguyên hàm. Tích phân và ứng dụng 128 Chủ đề 1. Toán thực tế liên quan đến nguyên hàm, tích phân 129 1.1 LÝ THUYẾT CẦN NHỚ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 1.2 Định nghĩa tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 1.3 BÀI TẬP ÁP DỤNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 Chủ đề 2. Toán thực tế ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng 160 2.1 LÝ THUYẾT CẦN NHỚ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 2.2 BÀI TẬP ÁP DỤNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 Chủ đề 3. Toán thực tế ứng dụng tích phân tính thể tích 192 3.1 LÝ THUYẾT CẦN NHỚ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 3.2 BÀI TẬP ÁP DỤNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 Chương 4. Phương pháp tọa độ trong không gian 220 Chủ đề 1. Toán thực tế liên quan đến mặt phẳng và đường thẳng 221 1.1 LÝ THUYẾT CẦN NHỚ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 1.2 BÀI TẬP ÁP DỤNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 Chủ đề 2. Toán thực tế liên quan đến mặt cầu 269 2.1 LÝ THUYẾT CẦN NHỚ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269 2.2 BÀI TẬP ÁP DỤNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270 2 Chuyên đề toán thực tế Nhóm Ba Đưòng Đồng Quy – 0889 971 004
TOÁN 12TOÁN 12TOÁN 12 LỜI NÓI ĐẦU Trong những năm gần đây, đề thi tốt nghiệp THPT môn Toán ngày càng chú trọng đến việc vận dụng kiến thức vào các bài toán thực tế. Điều này đòi hỏi học sinh không chỉ nắm vững lý thuyết mà còn phải biết cách liên hệ, mô hình hóa và giải quyết các tình huống trong đời sống. Xuất phát từ nhu cầu đó, nhóm chúng tôi biên soạn chuyên đề “Toán thực tế 12 ôn thi tốt nghiệp” nhằm hệ thống hóa các dạng bài thường gặp, giúp học sinh rèn luyện tư duy và nâng cao kỹ năng giải toán. Nội dung chuyên đề được chọn lọc, trình bày rõ ràng, bám sát cấu trúc đề thi và có tính ứng dụng và phân loại cao. Chuyên đề này được thực hiện bởi nhóm Ba Đường Đồng Quy gồm ba thành viên: Ngô Đức Tài, Đinh Hữu Kiệt và Liên Diên Phú, tên nhóm được lấy cảm hứng từ hình ảnh ba đường đồng quy trong Toán học - tuy xuất phát từ những hướng khác nhau nhưng cùng gặp nhau tại một điểm chung, tượng trưng cho sự hội tụ về mục tiêu, tinh thần hợp tác và niềm đam mê học tập của cả ba thành viên. Nội dung mỗi chuyên đề được trình bày theo hướng hệ thống, bám sát cấu trúc đề thi, kèm theo phần bài tập rèn luyện và bảng đáp án ở cuối mỗi chuyên đề nhằm giúp học sinh thuận tiện trong việc tự kiểm tra và đánh giá kết quả học tập. Trong quá trình biên soạn, dù đã cố gắng hết sức, nhóm chúng tôi khó tránh khỏi những thiếu sót, rất mong nhận được sự góp ý từ thầy cô và các bạn học sinh để chuyên đề ngày càng hoàn thiện hơn. Mọi ý kiến góp ý gửi về zalo 0889 971 004 (thầy Đức Tài). Trong thời gian tới, nhóm chúng tôi dự định sẽ tiếp tục xây dựng và phát hành chuyên đề “Thống kê và Xác suất ôn thi tốt nghiệp 2027” nhằm hỗ trợ học sinh ôn tập một cách toàn diện hơn. Rất mong được sự quan tâm của quý thầy cô và các bạn học sinh. Xin chân thành cảm ơn! Nhóm biên soạn 3 Nhóm Ba Đưòng Đồng Quy – 0889 971 004 Chuyên đề toán thực tế
NG ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM KHẢO SÁT Ơ 1 Ư H C VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ Mục lục của chương 1. Toán thực tế liên quan đến doanh thu, lợi nhuận . . . . . . . . . 5 2. Toán thực tế liên quan đến tốc độ thay đổi một đại lượng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3. Toán thực tế liên quan đến các yếu tố hình học . . . . . . . . 31 4. Toán thực tế ứng dụng khảo sát hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 4 Chuyên đề toán thực tế Nhóm Ba Đưòng Đồng Quy – 0889 971 004
TOÁN 12TOÁN 12TOÁN 12 TOÁN THỰC TẾ LIÊN QUAN Chủ đề 1Chủ đề 1 ĐẾN DOANH THU, LỢI NHUẬN I LÝ THUYẾT CẦN NHỚ 1 Tốc độ thay đổi của doanh thu, lợi nhuận Í Nếu C = C(x) là hàm chi phí, tức là tổng chi phí khi sản xuất x đơn vị hàng hoá, thì tốc độ thay đổi tức thời C′(x) của chi phí đối với số lượng đơn vị hàng được sản xuất được gọi là chi phí biên. Í Về ý nghĩa kinh tế, chi phí biên C′(x) xấp xỉ với chi phí để sản xuất thêm một đơn vị hàng hoá tiếp theo, tức là đơn vị hàng hoá thứ x + 1 (xem SGK Toán 11 tập hai, trang 87, bộ sách Kết nối tri thức với cuộc sống). Gọi p(x) là giá bán mỗi đơn vị mà công ty có thể tính nếu bán x đơn vị. Khi đó, p được gọi là hàm cầu (hay hàm giá) và chúng ta mong đợi đó là một hàm giảm của x. Nếu x đơn vị được bán và giá mỗi đơn vị là p(x) thì tổng doanh thu là R(x) = x · p(x) và R(x) được gọi là hàm doanh thu. Đạo hàm R′(x) của hàm doanh thu được gọi là hàm doanh thu biên và là tốc độ thay đổi của doanh thu đối với số lượng đơn vị sản phẩm bán ra. Nếu x đơn vị được bán, thì tổng lợi nhuận là P(x) = R(x) − C(x) và P(x) được gọi là hàm lợi nhuận. Hàm lợi nhuận biên là đạo hàm P′(x) của hàm lợi nhuận. 2 Quy trình giải một bài toán tối ưu đơn giản Í Xác định đại lượng Q mà ta cần làm cho giá trị của đại lượng ấy lớn nhất hoặc nhỏ nhất và biểu diễn nó qua các đại lượng khác trong bài toán. Í Chọn một đại lượng thích hợp nào đó, kí hiệu là x, và biểu diễn các đại lượng khác ở Bước 1 theo x. Khi đó, đại lượng Q sẽ là hàm số của một biến x. Tìm tập xác định của hàm số Q = Q(x). Í Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của hàm số Q = Q(x) bằng các phương pháp đã biết và kết luận. 5 Nhóm Ba Đưòng Đồng Quy – 0889 971 004 Chuyên đề toán thực tế
TOÁN 12TOÁN 12TOÁN 12 II BÀI TẬP ÁP DỤNG 1 Trắc nghiệm đúng sai Câu 1 Một công ty sau khi ra mắt sản phẩm mới đã ghi nhận lợi nhuận P(t) sau t tháng kinh doanh. Trong năm đầu tiên, giả sử mối liên hệ giữa lợi nhuận và thời gian kinh doanh được mô hình hóa bởi hàm số P(t) = −t3 + 12t2 + 60t − 50, 0 ≤ t ≤ 12. a Lợi nhuận của công ty tại thời điểm t = 2 là 110 tỷ đồng. b Hàm số biểu thị tốc độ tăng trưởng lợi nhuận P′(t) = −3t2 + 24t + 10. c Lợi nhuận của công ty đạt mức tối đa tại thời điểm t = 10. d Tại thời điểm t = 4 thì tốc độ tăng trưởng lợi nhuận là lớn nhất. Câu 2 Chi phí vận hành trung bình (tình bằng triệu đồng/chuyến) của một công ty 500 vận tải khi vận hành x chuyến xe mỗi ngày được cho bởi hàm số A(x) = 0,2x+ 2 + với x 10 ≤ x ≤ 100. 0,2x2 + 500 a Đạo hàm của hàm chi phí trung bình là A′(x) = . x2 b Chi phí trung bình trên mỗi chuyến xe thấp nhất bằng 22 triệu đồng. c Nếu do giới hạn về số lượng tài xế khiến công ty chỉ có thể vận hành tối đa 40 chuyến xe mỗi ngày. Chi phí trung bình mỗi chuyến xe trong trường hợp này thấp nhất bằng 22,5 triệu đồng. d Tổng chi phí vận hành của công ty vận tải trong một ngày thấp nhất bằng 1,1 tỷ đồng. Câu 3 Một nhà sản xuất trung bình bán được 1 500 tivi màn hình phẳng mỗi tuần với giá 15 triệu đồng một chiếc. Một cuộc khảo sát thị trường chỉ ra rằng nếu cứ giảm giá bán 600 nghìn đồng (0,6 triệu đồng), số lượng tivi bán ra sẽ tăng thêm khoảng 120 tivi mỗi tuần. Gọi p (triệu đồng) là giá của mỗi tivi, x là số tivi bán ra mỗi tuần. 1 45 a Hàm cầu là p = − x + (triệu đồng). 200 2 b Tổng doanh thu từ tiền bán tivi là f(p) = −200p2 + 450p (triệu đồng). c Công ty giảm giá 3,5 triệu đồng cho người mua thì doanh thu của công ty sẽ lớn nhất. 7 d Nếu hàm chi phí hằng tuần là C(x) = 12 000− x (triệu đồng), trong đó x là số tivi 2 bán ra trong tuần, nhà sản xuất nên đặt giá bán 9,5 triệu đồng thì lợi nhuận là lớn nhất. Câu 4 Một cơ sở sản xuất khăn đang bán mỗi chiếc khăn với giá 50 000 đồng một chiếc và mỗi tháng cơ sở bán được trung bình 34 000 chiếc. Cơ sở sản xuất có kế hoạch tăng giá bán để có lợi nhuận tốt hơn. Sau khi tham khảo thị trường, người quản lý nhận thấy rằng nếu từ mức giá 50 000 đồng mà cứ tăng thêm 1 000 đồng thì mỗi tháng sẽ bán ít hơn 500 chiếc. Biết vốn sản xuất một chiếc khăn không thay đổi là 32 000 đồng, gọi tiền cần tăng giá mỗi chiếc khăn là x (nghìn đồng). 6 Chuyên đề toán thực tế Nhóm Ba Đưòng Đồng Quy – 0889 971 004
TOÁN 12TOÁN 12TOÁN 12 a Tổng doanh thu trung bình mỗi tháng cơ sở sản xuất thu được khi chưa tăng giá là 1 700 000 nghìn đồng. b Số khăn bán ra được mỗi tháng sau khi tăng giá là 34000 − 5x chiếc. c Để đạt lợi nhuận lớn nhất thì sau khi tăng giá mỗi chiếc khăn lãi 41 nghìn đồng. d Để đạt lợi nhuận lớn nhất thì số khăn bán ra giảm 12 500 chiếc. Câu 5 Một công ty bất động sản ước tính rằng lợi nhuận P (tỉ đồng) thu được từ việc xây dựng x căn hộ cao cấp trong một dự án được cho bởi hàm số P(x) = −x3+9x2−15x−50 (với 0 < x < 8). a Nếu công ty không xây dựng căn hộ nào (x = 0) thì công ty vẫn chịu chi phí cố định (lỗ vốn) là 50 tỉ đồng. b Hàm lợi nhuận đồng biến trên khoảng (1; 5). c Lợi nhuận đạt cực tiểu khi xây dựng 5 căn hộ. d Để đạt lợi nhuận lớn nhất, công ty nên xây dựng 5 căn hộ. Câu 6 Một doanh nghiệp sản xuất và tiêu thụ một loại sản phẩm. Trong một ngày, nếu doanh nghiệp sản xuất và tiêu thụ x sản phẩm (x ∈ N, 1 ≤ x ≤ 186) thì chi phí trung bình cho mỗi sản phẩm là 2 750 C(x) = x − 6x + 140 + (USD/sản phẩm.) x và toàn bộ chúng được bán với giá (1400 − 7,5x) (USD) một sản phẩm. Giả sử toàn bộ x sản phẩm sản xuất ra đều được tiêu thụ hết. a Số tiền doanh nghiệp thu được là F(x) = 1400x − 7,5x2 (USD). b Chi phí doanh nghiệp phải bỏ ra là C(x) = x3 − 6x2 + 140x + 750 (USD). c Lợi nhuận doanh nghiệp thu được là P(x) = −x3 − 1,5x2 + 1260x − 750 (USD). d Lợi nhuận lớn nhất mà doanh nghiệp thu được là 15 850 (USD). Câu 7 Một xưởng sản xuất một loại sản phẩm A. Phòng kinh doanh đã nghiên cứu và đưa ra các hàm số sau: ♦ Hàm chi phí sản xuất x sản phẩm là C(x) = 20x + 1 200. ♦ Hàm giá bán của mỗi sản phẩm (khi bán ra x sản phẩm) là p(x) = 100 − x. (Đơn vị của x là sản phẩm, đơn vị của chi phí và giá bán là nghìn đồng). a Hàm lợi nhuận P(x) thu được từ việc sản xuất và bán x sản phẩm A là P(x) = −x2 + 80x − 1 200. b Để công ty không bị lỗ, số sản phẩm cần sản xuất và bán ra phải thuộc đoạn [20; 60]. c Doanh thu của xưởng là một hàm số đồng biến trên khoảng (0; 60). d Nếu chính phủ áp thuế 4 nghìn đồng trên mỗi sản phẩm bán ra thì lợi nhuận tối đa của xưởng sẽ giảm đi 80 nghìn đồng so với khi chưa có thuế. Câu 8 Số lượng sản phẩm bán được của một công ty trong x (tháng) được tính theo Å ã 9 công thức S(x) = 200 5 − , trong đó x ≥ 1. Khi đó S′(x) biểu thị tốc độ thay đổi x + 2 của số lượng sản phẩm bán được theo thời gian. 7 Nhóm Ba Đưòng Đồng Quy – 0889 971 004 Chuyên đề toán thực tế
TOÁN 12TOÁN 12TOÁN 12 a Công ty bán được 775 sản phẩm trong 6 tháng. 1800 b Đạo hàm S′(x) = . (x + 2)2 c Nếu công ty duy trì thời gian bán hàng đủ lâu thì số lượng sản phẩm bán được sẽ vượt mức 1000. d Doanh số của công ty tăng trưởng chậm dần theo thời gian. Câu 9 Một hộ làm nghề dệt vải lụa tơ tằm sản xuất mỗi ngày được x mét vải lụa (1 ≤ x ≤ 18). Tổng chi phí sản xuất x mét vải lụa, tính bằng nghìn đồng, cho bởi hàm chi phí: C(x) = x3 − 3x2 − 20x + 500. Giả sử hộ làm nghề dệt này bán hết sản phẩm mỗi ngày với giá 220 nghìn đồng/mét. Gọi B(x) là số tiền bán được và L(x) là lợi nhuận thu được khi bán x mét vải lụa. a Biểu thức tính B(x) theo x là B(x) = 220x (nghìn đồng). b Biểu thức tính L(x) theo x là L(x) = −x3 + 3x2 + 220x − 500 (nghìn đồng). c Hộ làm nghề dệt này cần sản xuất và bán ra mỗi ngày 10 mét vải lụa để thu được lợi nhuận tối đa. d Lợi nhuận tối đa của hộ làm nghề dệt vải lụa tơ tằm có thể đạt được mỗi ngày là 1 000 nghìn đồng. Câu 10 Tại một xí nghiệp chuyên sản xuất vật liệu xây dựng, nếu trong một ngày xí nghiệp sản xuất x (m3) sản phẩm thì phải bỏ ra các khoản chi phí bao gồm: 4 triệu đồng chi phí cố định; 0,2 triệu đồng chi phí cho mỗi mét khối sản phẩm và 0,001x2 triệu đồng chi phí bảo dưỡng máy móc. Biết rằng, mỗi ngày xí nghiệp sản xuất được tối đa 100 (m3) sản phẩm. Gọi C(x) là tổng chi phí để xí nghiệp sản xuất x (m3) sản phẩm trong một ngày và C là chi phí trung bình trên mỗi mét khối sản phẩm. a C = 0,2x + 0,001x2 với 0 ≤ x ≤ 100. b Tổng chi phí sản xuất 100 (m3) sản phẩm là 34 triệu đồng. 4 c C = 0,001x + + 0,2 với 0 ≤ x ≤ 100. x d C có giá trị thấp nhất bằng 0,326 triệu đồng (kết quả làm tròn ba chữ số thập phân). Câu 11 Nhà máy A chuyên sản xuất một loại sản phẩm cung cấp cho nhà máy B. Hai nhà máy thoả thuận rằng, hằng tháng A cung cấp cho B số lượng sản phẩm theo đơn đặt hàng của B (tối đa 100 tấn sản phẩm). Nếu số lượng đặt hàng là x tấn sản phẩm thì giá bán cho mỗi tấn sản phẩm là P(x) = 45 − 0,001x2 (triệu đồng). Chi phí để A sản xuất x tấn sản phẩm trong một tháng là C(x) = 100 + 30x (triệu đồng) (gồm 100 triệu đồng chi phí cố định và 30 triệu đồng cho mỗi tấn sản phẩm). a Chi phí để A sản xuất 10 tấn sảm phẩm trong một tháng là 400 triệu đồng. b Số tiền A thu được khi bán 10 tấn sản phẩm cho B là 600 triệu đồng. c Lợi nhuận mà A thu được khi bán x tấn sản phẩm (0 ≤ x ≤ 100) cho B được biểu diễn bằng công thức −0,01x3 + 15x − 100. d A bán cho B khoảng 70,7 tấn sản phẩm mỗi tháng thì thu được lợi nhuận lớn nhất. Câu 12 Một công ty sau khi mở bán sản phẩm mới đã ghi nhận lợi nhuận P(t) (đơn vị triệu đồng) sau t tháng kinh doanh. Trong năm đầu tiên, giả sử mối liên hệ giữa lợi 8 Chuyên đề toán thực tế Nhóm Ba Đưòng Đồng Quy – 0889 971 004
TOÁN 12TOÁN 12TOÁN 12 nhuận và thời gian kinh doanh được mô hình hóa bởi hàm số P(t) = −t3+15t2+mt+50(t ∈ N, 1 ≤ t ≤ 12) với m ∈ R. Biết sau tháng đầu tiên mở bán, công ty thu được lợi nhuận là 136 triệu đồng. a Tốc độ tăng trưởng lợi nhuận của công ty là hàm số P′(t) = −3t2 + 30t + 50. b Lợi nhuận của công ty đạt mức tối đa tại thời điểm t = 3. c Sau 2 tháng mở bán, lợi nhuận công ty thu về được là 246 triệu đồng. d Tại thời điểm t = 5 thì tốc độ thay đổi lợi nhuận là lớn nhất. Câu 13 Một cơ sở đóng giày sản xuất mỗi ngày được x đôi giày với 1 ≤ x ≤ 50. Tổng chi phí sản xuất x đôi giày (đơn vị nghìn đồng) là C(x) = x3 − 90x2 + 2400x + 900. Giả sử cơ sở này bán hết sản phẩm mỗi ngày với giá 600 nghìn đồng/một đôi. a Doanh thu của cơ sở khi bán hết 45 đôi giày là 27 triệu đồng. b Lợi nhuận thu được trong một ngày lớn nhất khi sản xuất và bán hết 47 đôi giày. c Tổng chi phí sản xuất 25 đôi giày là 20 triệu đồng. d Tổng chi phí cao nhất trong một ngày là 30 triệu đồng. Câu 14 Một doanh nghiệp sản xuất ô tô có hàm sản xuất là hàm Cobb-Douglas √ Q = 3 K2 · L, trong đó K và L lần lượt là số đơn vị vốn và số đơn vị lao động mà doanh nghiệp thuê được, Q là số ô tô sản xuất ra được (đơn vị: chiếc ô tô). Giả sử giá thuê một đơn vị vốn là cK, giá thuê một đơn vị lao động là cL, ngoài chi phí thuê lao động và vốn, doanh nghiệp còn phải chịu một chi phí cố định là C0 (đơn vị: trăm USD). Khi đó hàm số F = cK · K + cL · L + C0 mô tả tổng chi phí mà doanh nghiệp phải bỏ ra, thường được gọi là hàm chi phí sản xuất. Từ năm 2025 thì doanh nghiệp cố định giá thuê như sau cK = 10, cL = 5 và chi phí cố định C0 = 50 và năm 2026 doanh nghiệp dự định sản xuất 2026 chiếc ô tô. Xét dự định sản xuất năm 2026 của doanh nghiệp. 20263 a L = . K2 20263 b Hàm tổng chi phí là F = 10K + 5 · + 50. K2 20263 c F′(K) = 10 − 5 · . K3 d Tổng chi phí tối thiểu doanh nghiệp chi ra để sản xuất 2026 chiếc ô tô là 3,44 (triệu USD). 2 Trả lời ngắn Câu 1 (MH - THPTQG 2025). Một doanh nghiệp dự định sản xuất không quá 500 sản phẩm. Nếu doanh nghiệp sản xuất x sản phẩm (1 ≤ x ≤ 500) thì doanh thu nhận được khi bán hết số sản phẩm đó là F(x) = x3 − 1999x2 + 1001000x + 250000 (đồng), trong 250000 khi chi phí sản xuất bình quân cho một sản phẩm là G(x) = x + 1000 + (đồng). x Doanh nghiệp cần sản xuất bao nhiêu sản phẩm để lợi nhuận thu được là lớn nhất? KQ: 9 Nhóm Ba Đưòng Đồng Quy – 0889 971 004 Chuyên đề toán thực tế
TOÁN 12TOÁN 12TOÁN 12 Câu 2 (CT - THPTQG 2025 ). Nếu một doanh nghiệp sản xuất x sản phẩm trong một tháng (x ∈ N∗; 1 ⩽ x ⩽ 4500) thì doanh thu nhận được khi bán hết số sản phẩm đó là F (x) = −0,01x2 + 450x (nghìn đồng), trong khi chi phí sản xuất bình quân cho mỗi 30000 sản phẩm là G(x) = + 340 (nghìn đồng). Giả sử số sản phẩm sản xuất ra luôn được x bán hết. Trong một tháng, doanh nghiệp đó cần sản xuất ít nhất bao nhiêu sản phẩm để lợi nhuận thu được lớn hơn 100 triệu đồng? KQ: Câu 3 (CT - THPTQG 2026). Một công ty nông sản có công suất chế biến không quá 180 tấn nguyên liệu một tháng. Nếu công ty chế biến x tấn nguyên liệu trong một tháng (1 ≤ x ≤ 180) thì chi phí sản xuất và doanh thu lần lượt là C(x) = 0,002x3 + 30x + 20 (triệu đồng) và R(x) = 90x (triệu đồng). Lợi nhuận lớn nhất mà công ty đạt được trong một tháng là bao nhiêu triệu đồng? KQ: Câu 4 Một gia đình đan lưới đánh cá, mỗi ngày đan được x mét lưới (1 ≤ x ≤ 18). Tổng chi phí sản xuất x mét lưới, tính bằng nghìn đồng, cho bởi hàm chi phí C(x) = x3 − 3x2 − 20x + 500. Giả sử gia đình làm nghề đan lưới bán hết sản phẩm mỗi ngày với giá 220 nghìn đồng/mét. Gọi L(x) là lợi nhuận thu được khi bán x mét lưới. Hỏi lợi nhuận tối đa của gia đình đan lưới trong một ngày (đơn vị tính nghìn đồng)? KQ: Câu 5 Nếu một doanh nghiệp sản xuất x sản phẩm trong một tháng (x ∈ N; 1 ≤ x ≤ 300) thì doanh thu nhận được khi bán hết số sản phẩm là F(x) = x3 − 1 999x2 + 1 001 000x + 250 000 (đồng). Trong đó, chi phí vận hành máy móc 100 bình quân cho mỗi sản phẩm khi sản xuất x sản phẩm là G(x) = 300 + (nghìn đồng), x chi phí mua nguyên vật liệu để sản xuất x sản phẩm là H(x) = 2x3 + 100 000x − 50 000 (đồng). Doanh nghiệp cần sản xuất bao nhiêu sản phẩm để lợi nhuận thu được là lớn nhất? KQ: Câu 6 Một doanh nghiệp dự định sản xuất không quá 180 sản phẩm. Nếu doanh nghiệp sản xuất x sản phẩm (1 ≤ x ≤ 180) thì giá bán của mỗi sản phẩm là f(x) = 35840 − 192x (nghìn đồng) và chi phí sản xuất bình quân trên một sản phẩm là 19200 g(x) = 25,6x2 −153,6x+3072+ (nghìn đồng). Biết rằng mức thuế trên một sản phẩm x là 512 nghìn đồng. Hỏi doanh nghiệp cần sản xuất bao nhiêu sản phẩm để lợi nhuận thu được là lớn nhất? KQ: Câu 7 Một doanh nghiệp sản xuất độc quyền một loại sản phẩm. Giả sử khi sản xuất và bán hết x sản phẩm (0 < x < 2 000), tổng số tiền doanh nghiệp thu được là F(x) = 2 000x − x2 (chục nghìn đồng) và tổng chi phí doanh nghiệp bỏ ra là G(x) = x2 + 1 440x + 50 (chục nghìn đồng). Công ty cũng phải chịu mức thuế phụ thu cho 1 đơn vị sản phẩm bán được là t (chục nghìn đồng) (0 < t < 300). Mức thuế phụ thu t (trên một đơn vị sản phẩm) là bao nhiêu sao cho nhà nước thu được số tiền thuế phụ thu lớn nhất và doanh nghiệp cũng thu được lợi nhuận nhiều nhất theo đúng mức thuế phụ 10 Chuyên đề toán thực tế Nhóm Ba Đưòng Đồng Quy – 0889 971 004
TOÁN 12TOÁN 12TOÁN 12 thu đó (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị). KQ: Câu 8 Giả sử chi phí cho xuất bản x cuốn tạp chí (gồm: lương cán bộ, công nhân viên, giấy in,. . . ) được cho bởi công thức C(x) = 0,0 001x2 − 0,2x + 10 000, trong đó C(x) được tính theo đơn vị là vạn đồng (1 vạn đồng = 10 000 đồng). Chi phí phát hành cho mỗi T(x) cuốn là 4 nghìn đồng. Tỉ số M(x) = được gọi là chi phí trung bình cho một cuốn tạp x chí khi xuất bản x cuốn và tổng chi phí T(x) (xuất bản và phát hành) cho x cuốn tạp chí. Tìm chi phí trung bình thấp nhất cho một cuốn tạp chí là bao nhiêu vạn đồng, biết rằng nhu cầu hiện tại xuất bản không quá 30 000 cuốn? KQ: Câu 9 Một doanh nghiệp tư nhân A chuyên kinh doanh xe gắn máy các loại. Hiện nay doanh nghiệp đang tập trung vào chiến lược kinh doanh xe X với chi phí mua vào một chiếc là 27 triệu đồng và bán ra với giá 31 triệu đồng. Với giá bán này, số lượng xe mà khách hàng đã mua trong một năm là 600 chiếc. Nhằm mục tiêu đẩy mạnh hơn nữa lượng tiêu thụ dòng xe đang bán chạy này, doanh nghiệp dự định giảm giá bán. Bộ phận nghiên cứu thị trường ước tính rằng nếu giảm 1 triệu đồng mỗi chiếc xe thì số lượng xe bán ra trong một năm sẽ tăng thêm 200 chiếc. Hỏi theo đó, giá bán mới là bao nhiêu thì lợi nhuận thu được cao nhất? KQ: Câu 10 Một công ty sản xuất dụng cụ thể thao nhận được một đơn đặt hàng sản xuất 300 000 quả bóng Pickleball. Công ty này sở hữu một số máy móc, mỗi máy có thể sản xuất được 60 quả bóng trong một giờ. Chi phí thiết lập máy này là 125 ngàn đồng cho mỗi máy. Khi được thiết lập, hoạt động sản xuất sẽ hoàn toàn diễn ra tự động dưới sự giám sát. Số tiền phải trả cho người giám sát là 90 ngàn đồng một giờ. Số máy móc công ty nên sử dụng là bao nhiêu để chi phí hoạt động là thấp nhất? KQ: Câu 11 Một cửa hàng kinh doanh máy lọc nước Karofi. Hàm cầu biểu thị liên hệ giữa giá bán của một chiếc máy với số lượng máy bán được trong một tháng là hàm bậc nhất. Khi giá bán là 5 triệu đồng một chiếc thì một tháng bán được 100 chiếc, khi giá bán là 4,5 triệu đồng một chiếc thì một tháng bán được 120 chiếc. Biết chi phí trung bình cho 3x + 50 một chiếc máy khi bán được x chiếc là . Hỏi cửa hàng cần bán với giá bao nhiêu x triệu đồng một chiếc máy để lợi nhuận thu được trong một tháng lớn nhất? KQ: Câu 12 Sản lượng táo trên mỗi cây khi thu hoạch lệ thuộc vào mật độ cây được trồng. Với cùng một phương pháp chăm sóc như nhau, nếu trên mỗi sào đất được trồng n cây táo thì người ta ước tính trung bình sản lượng táo khi thu hoạch là f(n) = −0,06n2−0,4n+320 (kg/cây) (1 sào Trung bộ bằng 500 m2). Biết rằng bình quân chi phí giống và chăm sóc cho mỗi kg táo từ lúc trồng cho đến khi thu hoạch là 560 nghìn đồng mỗi cây. Giá bán mỗi kg táo là 50 nghìn đồng/kg, với giá bán này thì tất cả lượng táo thu hoạch đều được bán hết. Em hãy cho biết nên trồng trung bình bao nhiêu cây táo trên mỗi sào đất để mang về lợi nhuận cao nhất? KQ: 11 Nhóm Ba Đưòng Đồng Quy – 0889 971 004 Chuyên đề toán thực tế
TOÁN 12TOÁN 12TOÁN 12 Câu 13 Một doanh nghiệp dự định sản xuất x sản phẩm trong một tháng (x ∈ N; 100 ≤ x ≤ 800). Tổng doanh thu khi bán hết x sản phẩm đó là F(x) = −0,001x3 + 0,6x2 + 500x+ 100 000 (nghìn đồng). Chi phí (điện, khấu hao máy, lương công nhân, ...) để 40 000 sản xuất bình quân cho mỗi sản phẩm là G(x) = 0,0002x2 + (nghìn đồng) và chi phí x −4 750 1 500 000 để mua nguyên vật liệu khi chưa chiết khấu là H(x) = x2 + x + (nghìn 49 49 49 đồng). Công ty cung cấp nguyên vật liệu đang chạy chương trình khuyến mại nhân dịp kỷ niệm thành lập công ty nên giảm 2% tổng tiền mua nguyên vật liệu cho doanh nghiệp đó. Trong một tháng, doanh nghiệp đó cần sản xuất bao nhiêu sản phẩm để lợi nhuận thu được là lớn nhất? KQ: Câu 14 Tại một công ty sản xuất đồ chơi an toàn cho trẻ em, công ty phải chi 34 567 USD để thiết lập dây chuyền sản xuất ban đầu. Sau đó, cứ sản xuất được một sản phẩm đồ chơi X, công ty phải trả 8 USD cho nguyên liệu ban đầu và nhân công. Gọi x (x ≥ 1) là số đồ chơi X mà công ty đã sản xuất và C(x) (đơn vị: USD) là tổng số tiền bao gồm cả chi phí ban đầu mà công ty phải chi trả khi sản xuất x đồ chơi X. Khi đó chi phí trung C(x) bình cho mỗi sản phẩm đồ chơi X là hàm số C(x) = xác định trên [1; +∞). Khi số x đồ chơi sản xuất tăng lên thì chi phí trung bình cho mỗi sản phẩm đồ chơi X giảm xuống nhưng không xuống dưới mức tối thiểu là bao nhiêu USD? Câu 15 Năm 2025, một cửa hàng cần nhập về tổng cộng 600 chiếc điện thoại. Cửa hàng sẽ nhận theo nhiều lô hàng, mỗi lô hàng chứa số lượng điện thoại bằng nhau. Chi phí vận chuyển là 50 USD cho mỗi lô hàng, cộng thêm một loại phí vận chuyển nữa là 3 USD cho mỗi chiếc điện thoại và phí này cả năm chỉ tính cho lần vận chuyển đầu tiên. Hỏi cửa hàng đó nên nhập mỗi lô hàng bao nhiêu chiếc điện thoại để chi phí vận chuyển cả năm 2025 thấp nhất? Câu 16 Bác An có một cửa hàng chuyên bán buôn bưởi Đoan Hùng, bác nhận thấy rằng: Nếu bán mỗi kilogram bưởi với giá 30 nghìn đồng thì mỗi tuần có 60 đơn hàng và mỗi đơn hàng mua 100 kilogram. Nếu cứ tăng giá mỗi kilogram bưởi thêm 2 nghìn đồng thì hàng tuần số đơn hàng giảm 4 đơn, đồng thời số lượng bưởi mà mỗi đơn hàng đặt mua cũng giảm đi 2 kilogram. Hỏi bác cần bán mỗi kilogram bưởi với giá bao nhiêu nghìn đồng để lợi nhuận hàng tuần thu được là lớn nhất, biết giá nhập mỗi kilogram bưởi là 24 nghìn đồng và giá bán không vượt quá 50 nghìn đồng/ 1 kilogram (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị). KQ: Câu 17 Trên một khúc sông có dòng nước lặng, một chiếc tàu chạy với tốc độ không đổi, chi phí nhiên liệu được tính bởi hai phần: Phần thứ nhất không phụ thuộc vào tốc độ và mất chi phí 630 nghìn đồng/giờ; Phần thứ hai tỉ lệ thuận với bình phương của tốc độ, khi v = 10 (km/h) thì chi phí phần thứ hai là 70 nghìn đồng/giờ. Tìm tốc độ của tàu để tổng chi phí nhiên liệu khi tàu chạy 1 km trên sông là ít nhất (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm). KQ: Câu 18 Một xe ô tô chở khách du lịch có sức chứa tối đa là 16 hành khách. Trong một khu du lịch, một đoàn khách gồm 22 người đang đi bộ và muốn thuê xe về khách sạn. Lái 12 Chuyên đề toán thực tế Nhóm Ba Đưòng Đồng Quy – 0889 971 004
TOÁN 12TOÁN 12TOÁN 12 xe đưa ra thỏa thuận với đoàn khách du lịch như sau: Nếu một chuyến xe chở x (người) (40 − x)2 thì giá tiền cho mỗi người là (nghìn đồng). Với thoả thuận như trên thì lái xe 2 có thể thu được nhiều nhất bao nhiêu triệu đồng từ một chuyến chở khách (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)? Câu 19 Một trung tâm thương mại bán 2 500 ti vi mỗi năm. Chi phí gửi trong kho là 100 000 đồng một cái ti vi mỗi năm. Để đặt hàng, chi phí cố định cho mỗi lần đặt là 200 000 đồng cộng thêm 90 000 đồng mỗi cái ti vi. Trung tâm nên đặt hàng n lần trong mỗi năm và mỗi lần m cái để chi phí hàng tồn kho là ít nhất. Biết rằng mỗi lần đặt hàng về chỉ có một nửa trong số đó được trưng bày ở cửa hàng. Tính giá trị biểu thức T = 20·m+ 25·n. Câu 20 Một cơ sở sản xuất sữa hạt chất lượng cao có thể sản xuất được tối đa 300 lít mỗi ngày. Chi phí sản xuất x lít sữa mỗi ngày bao gồm: chi phí nhân công là 1 triệu đồng/ngày; chi phí nguyên vật liệu, đóng chai, bao bì là 35 nghìn đồng cho một lít sữa; chi phí bảo dưỡng máy móc là C (x) = 0,00 001x2 (triệu đồng). Ngoài ra, nếu x lít sữa b sản xuất mỗi ngày vượt 200 lít thì phát sinh thêm chi phí vận hành quá tải là Cv(x) = 0,00 003(x − 200)3 (triệu đồng). Giá bán mỗi lít sữa là 60 nghìn đồng. Biết cơ sở bán hết lượng sữa sản xuất trong ngày. Hỏi mỗi ngày cơ sở có lợi nhuận (đơn vị: triệu đồng) đạt được nhiều nhất là bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)? Câu 21 Một tập đoàn dự định đầu tư tổng số vốn là 20 tỷ đồng để phát triển hai dự án công nghệ A và B. Biết rằng khoản chi phí cơ sở hạ tầng cố định ban đầu là 4 tỷ đồng. Số vốn còn lại được phân bổ cho hai dự án A và B. Lợi nhuận kỳ vọng của dự án A khi đầu tư x tỷ đồng là L (x) = −x2 + 12x. Lợi nhuận kỳ vọng của dự án B khi đầu tư y tỷ A đồng là L (y) = −y2 + 20y. Để tổng lợi nhuận kỳ vọng đạt giá trị lớn nhất thì tập đoàn B nên phân bổ vốn cho dự án A bao nhiêu tỷ đồng? Câu 22 Một công ty đang triển khai chiến dịch quảng cáo sản phẩm mới. Số tiền đầu tư quảng cáo là A (triệu đồng). Theo kết quả nghiên cứu thị trường, số lượng sản phẩm bán ra (đơn vị: sản phẩm) phụ thuộc vào chi phí quảng cáo theo hàm 1 013 q(A) = 1 000 + ln(1 + A). Biết rằng, chi phí sản xuất mỗi sản phẩm là 10 triệu 5 đồng và giá bán mỗi sản phẩm là 20 triệu đồng. Giá trị lợi nhuận tối đa mà công ty có thể đạt được là bao nhiêu tỉ đồng (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)? Câu 23 Theo thống kê tại một nhà máy Z, nếu áp dụng tuần làm việc 40 giờ thì mỗi tuần có 100 tổ công nhân đi làm và mỗi tổ công nhân làm được 120 sản phẩm trong một giờ. Nếu tăng thời gian làm việc thêm 2 giờ mỗi tuần thì sẽ có 1 tổ công nhân nghỉ việc và năng suất lao động giảm 5 sản phẩm/1 tổ/1 giờ. Ngoài ra, số phế phẩm mỗi tuần ước 95x2 + 120x tính là P(x) = , với x là thời gian làm việc trong một tuần. Nhà máy cần áp 4 dụng thời gian làm việc mỗi tuần mấy giờ để số lượng sản phẩm thu được mỗi tuần là lớn nhất? Câu 24 Một xưởng in có 18 máy in, mỗi máy in in được 3 500 bản in trong một giờ. Chi phí để vận hành ban đầu cho một máy trong mỗi lần in là 80 000 đồng. Chi phí cho n máy hoạt động trong một giờ là (60n + 100) nghìn đồng. Hỏi nếu in 70 000 tờ quảng cáo thì phải sử dụng bao nhiêu máy in để được lãi nhiều nhất? 13 Nhóm Ba Đưòng Đồng Quy – 0889 971 004 Chuyên đề toán thực tế
TOÁN 12TOÁN 12TOÁN 12 Câu 25 Một công ty tái chế vận chuyển nguyên vật liệu gồm giấy và bìa carton từ thành phố A đến một nhà máy chế biến ở thành phố B dọc theo một tuyến đường cao tốc. Tốc độ tối đa cho phép trên đường cao tốc là 120 (km/h) và tốc độ tối thiểu là 60 (km/h). Gọi tốc độ xe tải vận chuyển nguyên vật liệu của công ty là x (km/h). Biết rằng loại xe x2 tải mà công ty đang sử dụng có tốc độ tiêu thụ nhiên liệu là 12 + lít mỗi giờ và loại 450 nhiên liệu này có giá 20 000 đồng/lít. Đồng thời, công ty trả lương cho tài xế 120 000 đồng mỗi giờ lái xe. Xe tải nên được lái với tốc độ bao nhiêu km/h để chi phí mà công ty phải trả cho toàn bộ việc vận chuyển là ít nhất? Câu 26 Một đại lý nhập khẩu trái cây tươi để phân phối cho các cửa hàng. Mỗi lần nhập khẩu trái cây, khoán chi phí vận chuyển (không đổi) là 25 triệu đồng. Chi phí bảo quản mỗi tạ trái cây dự trữ trong kho là 80 nghìn đồng/ngày. Thời gian bảo quản trái cây trong kho tối đa 10 ngày. Biết rằng, kể từ ngày đầu tiên nhập hàng, đại lý sẽ phân phối tới các cửa hàng 25 tạ trái cây mỗi ngày. Mỗi lần nhập hàng, đại lý phải nhập đủ trái cây cho bao nhiêu ngày phân phối để chi phí trung bình cho mỗi ngày là thấp nhất (bao gồm chi phí vận chuyển và chi phí bảo quản trong kho)? KQ: Câu 27 Giả sử giá của một cổ phiếu nào đó (tính bằng euro) trong một ngày nhất x + 2 định (có 8 giờ giao dịch) được mô tả bởi hàm số f(x) = 35,7 · ; x ∈ [0; 8], trong đó x2 + 21 x là thời gian (tính bằng giờ) kể từ khi phiên giao dịch mở cửa. Nếu một người mua 100 cổ phiếu và bán chúng ngay trong ngày này thì người đó có lợi nhuận tối đa là bao nhiêu euro? KQ: Câu 28 Theo kết quả thăm dò trước một buổi biểu diễn văn nghệ ngoài trời, nếu giá bán mỗi vé là p nghìn đồng thì sẽ có x người mua vé xem biểu diễn, giữa p và x có mối liên hệ p = 500·e−0,0005x. Đơn vị tổ chức nên bán vé với giá bao nhiêu (nghìn đồng) thì đạt được doanh thu (tổng số tiền bán vé) cao nhất? KQ: Câu 29 Một doanh nghiệp dự định sản xuất không quá 400 sản phẩm. Nếu doanh nghiệp sản xuất x sản phẩm (1 ≤ x ≤ 400) thì doanh thu nhận được khi bán hết số sản phẩm là F(x) = x3 −1 999x2 + 1 001 000x+ 250 000 (đồng). Trong đó, chi phí vận hành máy 100 000x móc cho mỗi sản phẩm là G(x) = 3 đồng. Tổng chi phí mua nguyên vật liệu là x + 1 2 H(x) = 2x3 + 100 000x − 50 000 (đồng) nhưng do doanh nghiệp mua với số lượng lớn nên được giảm 1% cho 200 sản phẩm đầu tiên doanh nghiệp sản xuất và giảm 2% cho sản phẩm tiếp theo. Doanh nghiệp cần sản xuất bao nhiêu sản phẩm để lợi nhuận thu được là lớn nhất? KQ: Câu 30 Một cộng ty chuyên phát nhanh cần vận chuyển một lô hàng trên quãng dường dài 200km bằng một xe tải. Giả sử rằng xe chạy với vận tốc không đổi bằng v (km/h) trên suốt quãng đường đó với mức tiêu thụ dầu của xe được mô hình hóa bởi 5 v hàm số C(v) = + (lít/km). Biết chi phí trả cho tài xế là 150 nghìn đồng/giờ và giá v 512 dầu là 20 nghìn đồng/lít. Hỏi chi phí thấp nhất (đơn vị: nghìn đồng, bao gồm tiền cộng 14 Chuyên đề toán thực tế Nhóm Ba Đưòng Đồng Quy – 0889 971 004
TOÁN 12TOÁN 12TOÁN 12 trả cho tài xế và tiền dầu) cho chuyến vận chuyển hàng đó là bao nhiêu? KQ: Câu 31 Một công ty công nghệ sản xuất linh kiện điện tử. Chi phí sản xuất x linh kiện được tính theo công thức C(x) = 0,5x2 +200x+5 000 (USD). Khách hàng ký hợp đồng bao tiêu sản phẩm với mức giá như sau: ♦ Với 500 sản phẩm đầu tiên được mua với giá 1 000 USD/sản phẩm. ♦ Từ sản phẩm thứ 501 trở đi, giá thu mua là 800 USD/sản phẩm. Để điều tiết sản xuất, Nhà nước áp đặt một mức thuế phụ thu là t (USD) trên mỗi đơn vị sản phẩm, nhưng chỉ áp dụng cho những sản phẩm từ thứ 501 trở đi và khi thu thuế thì mong muốn số tiền phụ thu lớn nhất. Với cách tính thuế và yêu cầu như vậy, doanh nghiệp nên sản xuất bao nhiêu linh kiện để lợi nhuận thu được lớn nhất? KQ: Câu 32 Một doanh nghiệp kinh doanh một loại sản phẩm T được sản xuất trong nước. Qua nghiên cứu thấy rằng nếu chi phí sản xuất mỗi sản phẩm T là x (USD) thì số sản phẩm T các nhà máy sản xuất sẽ là R(x) = 30x − 200 và số sản phẩm T mà doanh nghiệp bán được trên thị trường trong nước sẽ là Q(x) = 3 000 − 10x. Số sản phẩm còn dư doanh nghiệp xuất khẩu ra thị trường quốc tế với giá bán mỗi sản phẩm ổn định trên thị trường quốc tế là 150 (USD). Nhà nước đánh thuế trên mỗi sản phẩm xuất khẩu là a (USD) và luôn đảm bảo tỉ lệ giữa lợi nhuận từ việc xuất khẩu của doanh nghiệp và thuế thu được của nhà nước tương ứng là 4 : 1. Hãy tìm giá trị của a biết lợi nhuận mà doanh nghiệp thu được từ việc xuất khẩu là nhiều nhất. KQ: Câu 33 Một công ty vận tải có thể huy động tối đa 10 xe tải để chuyển 60 tấn hàng hóa đến một địa điểm. Mỗi xe tải có thể chở 3 tấn hàng trong một chuyến đi (có thể đi nhiều chuyến) và mất 1 giờ để hoàn tất một chuyến. Chi phí khởi động để điều một xe tải là 100 nghìn đồng. Ngoài ra, khi cùng chạy, n xe tải tốn chi phí nhiên liệu mỗi giờ là 15(2n + 5) nghìn đồng. Công ty đang tính toán để sử dụng một số lượng xe tải sao cho tổng chi phí vận chuyển là thấp nhất, vậy chi phí thấp nhất ấy là bao nhiêu nghìn đồng cho đợt vận chuyển hàng nói trên? KQ: Câu 34 Từ năm 2004 đến năm 2019 doanh thu R(t) (tính bằng triệu đô la) của Mc- Donald’s có thể được mô hình hóa bởi R(t) = −130,769t3 + 2 296,47t2 − 11 493,5t + 35 493 (4 ≤ t ≤ 19), trong đó t là đại diện cho năm, với t = 4 tương ứng với năm 2004. Biết rằng R′(t) là hàm tốc độ doanh thu theo thời gian. Tốc độ thay đổi doanh thu của McDonald’s lớn nhất vào năm nào (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị, tính theo triệu đô la mỗi năm)? KQ: Câu 35 Công ty X cần vận chuyển một lượng lớn hàng hóa từ nhà kho A đến cửa hàng B, lượng hàng hóa chia ra thành nhiều chuyến đi bằng một xe tải có tải trọng tối đa là 50 tấn. Công ty cần tính toán để tối ưu hóa tốc độ vận chuyển hàng hóa của xe. Biết x rằng để bốc xếp x tấn hàng hóa từ nhà kho A lên xe cần thời gian giờ. Sau khi 60 − x xe đến B, để di chuyển mỗi tấn hàng từ xe xuống cửa hàng B cần thời gian 3 phút. Tổng 15 Nhóm Ba Đưòng Đồng Quy – 0889 971 004 Chuyên đề toán thực tế
TOÁN 12TOÁN 12TOÁN 12 thời gian trung bình di chuyển từ nhà kho A đến cửa hàng B và quay về A là 1,2 giờ. Em hãy cho biết trong mỗi chuyến đi, xe nên vận chuyển bao nhiêu tấn hàng để khối lượng hàng hóa được vận chuyển trung bình trên mỗi giờ là lớn nhất? (kết quả làm tròn đến hàng phần mười) KQ: Câu 36 Một thí sinh dành 40 phút để làm 21 câu hỏi mức độ vận dụng và vận dụng cao trong đề thi tốt nghiệp THPT Quốc Gia môn Toán bao gồm: 14 câu hỏi vận dụng và 07 câu hỏi vận dụng cao. Nếu dành x phút cho các câu hỏi vận dụng thì tổng điểm thí sinh 14x đạt được cho nhóm câu hỏi vận dụng là còn nếu dành y phút cho các câu hỏi vận 5(x + 1) 14y dụng cao thì tổng điểm thí sinh đạt được cho nhóm câu hỏi vận dụng cao là . 5(3y + 1) Hỏi thí sinh này nên dành bao nhiêu phút cho nhóm câu hỏi vận dụng cao để tổng điểm cho 21 câu hỏi mức độ vận dụng và vận dụng cao là lớn nhất? KQ: Câu 37 Công ty chứng khoán VNStock cần xử lý 18 000 lệnh giao dịch trong một ngày làm việc (8 giờ). Hệ thống gồm các máy chủ xử lý với thông số như sau ♦ Năng suất 250 lệnh/giờ/máy. ♦ Chi phí triển khai 15 triệu đồng/máy (cài đặt ban đầu). ♦ Chi phí vận hành điện và bảo trì 120 000 đồng/giờ/máy. ♦ Chi phí nhân viên giám sát 8 triệu đồng/giờ (trả theo giờ làm việc thực tế). Tìm chi phí thấp nhất mà công ty phải bỏ ra để thực hiện số lượng giao dịch nói trên (làm tròn đến hàng đơn vị của triệu đồng). KQ: Câu 38 Một công ty muốn đầu tư vào hệ thống điện mặt trời có công suất x (đơn vị tính: M W). Theo nghiên cứu cho thấy một số thông tin sau: Chi phí đầu tư ban đầu là C (x) = 1 400 + 55x (tỷ đồng). Doanh thu hàng năm là R(x) = 28x−0,15x2 (tỷ đồng/năm). 1 Chi Phí vận hành hàng năm là C (x) = 12 + 0,35x+ 0,012x2 (tỷ đồng/năm). Hãy tìm công 2 suất x (làm tròn đến hàng đơn vị) để tối đa hoá lợi nhuận trên đầu tư, được tính là tỷ lệ lợi nhuận hàng năm trên chi phí đầu tư ban đầu. KQ: Câu 39 Việt Nam đang triển khai dự án đường sắt tốc độ cao chặng Thành phố Hồ Chí Minh - Nha Trang với tổng chiều dài quãng đường là 375 km. Tổng công ty đường sắt cần xác định vận tốc khai thác v (km/h) cho đoàn tàu (200 ≤ v ≤ 350) để đạt lợi nhuận cao nhất cho mỗi chuyến tàu. Qua các số liệu tính toán kỹ thuật và khảo sát thị trường, ta có các thông tin sau ♦ Chi phí điện năng tiêu thụ cho toàn bộ hành trình 375 km được tính toán chính xác theo công thức C (v) = 15v2 (nghìn đồng). 1 ♦ Chi phí vận hành cố định: Bao gồm nhân sự, khấu hao thiết bị và bảo trì đường ray tính cho mỗi giờ tàu chạy là 250 triệu đồng/giờ. ♦ Số lượng khách mua vé cho mỗi chuyến tàu phụ thuộc vào vận tốc v theo hàm số N(v) = 4v (khách). ♦ Giá vé bình quân cố định cho toàn chặng là 1 500 000 đồng/khách. 16 Chuyên đề toán thực tế Nhóm Ba Đưòng Đồng Quy – 0889 971 004
TOÁN 12TOÁN 12TOÁN 12 Xác định vận tốc khai thác v để lợi nhuận ròng của một chuyến tàu là lớn nhất (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị). KQ: Câu 40 Một công ty kinh doanh dịch vụ nghỉ dưỡng nhận thấy rằng: Nếu áp dụng mức giá 3 triệu đồng/người/ngày thì mỗi tháng có 140 khách đến nghỉ và mỗi khách sẽ nghỉ 12 ngày. Nếu cứ tăng giá thêm 500 nghìn đồng/người/ngày thì hàng tháng số khách đến nghỉ sẽ giảm đi 6 người và thời gian lưu trú của mỗi người khách cũng giảm 2 ngày. Ngược lại, nếu cứ giảm 500 nghìn đồng/người/ngày thì hàng tháng số khách đến nghỉ sẽ tăng thêm 6 người và thời gian lưu trú của mỗi người khách cũng tăng thêm 2 ngày. Hỏi công ty cần áp dụng mức giá bao nhiêu triệu đồng/người/ngày để lợi nhuận hàng tháng thu được là lớn nhất, biết tổng chi phí công ty phải chi cho một ngày lưu trú của mỗi người khách là 2 triệu đồng và Sở du lịch không cho công ty thu vượt quá 10 triệu đồng/người/ngày (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm). KQ: Câu 41 Một công ty công nghệ cung cấp gói lưu trữ dữ liệu doanh nghiệp với giá niêm yết 200 000 đồng/tháng và đang có 400 khách hàng. Phòng kinh doanh xác định được quy luật: Cứ giảm giá 10 000 đồng thì sẽ có thêm 50 khách hàng mới. Tuy nhiên, do hiện tượng quá tải băng thông, chi phí vận hành C(n) (nghìn đồng) không cố định mà biến thiên theo hàm bậc hai của số lượng khách hàng n, được xác định bởi công thức C(n) = 28n+ 0,01n2 + 15 000. Công ty cần chốt giá bán bao nhiêu nghìn đồng để lợi nhuận đạt mức tối đa? KQ: Câu 42 Một nhà hàng có tổng cộng 30 nhân viên. Mỗi nhân viên khi làm tăng ca được trả mức lương cố định là 400 USD/tháng. Vì nhà hàng liên tục đón những đoàn khách với số lượng lớn nhưng không thể thuê thêm nhân viên nên chủ nhà hàng này muốn khuyến khích nhân viên của mình tăng ca. Ông chủ đưa ra quy định như sau: ♦ Mỗi khi có thêm một nhân viên tăng ca, mức lương của tất cả nhân viên tăng ca sẽ được tăng thêm 2% so với mức lương cố định; ♦ Do đó, nếu có k nhân viên tăng ca thì lương cho mỗi nhân viên tăng ca sẽ tăng 2k% so với mức lương cố định. Bên cạnh tiền lương cho nhân viên thì tiền điện nước và duy trì cơ sở vật chất là cố định 8 000 USD/tháng. Biết nhà hàng có doanh thu trung bình từ khách hàng (không tính tiền tip) là 10 000 USD/tháng. Ngoài ra, mỗi nhân viên tăng ca trung bình sẽ được khách hàng tip 800 USD/tháng. Tuy nhiên toàn bộ tiền tip phải được nộp lại cho chủ nhà hàng và khoản tiền này sẽ được tính vào doanh thu của nhà hàng. Để lợi nhuận của nhà hàng đạt lớn nhất thì số nhân viên tăng ca là bao nhiêu? (Tiền tip là khoản tiền khách hàng thưởng cho nhân viên phục vụ trên tinh thần tự nguyện để cảm ơn họ đã phục vụ mình nhiệt tình, chu đáo). Câu 43 Một doanh nghiệp sản xuất thiết bị điện tử thông minh có quy trình vận hành và chính sách thuế như sau: Trong mỗi tháng, doanh nghiệp phải chi trả một khoản chi phí cố định 200 triệu đồng, khoản chi phí này không phụ thuộc vào số lượng sản phẩm sản xuất. Ngoài ra, để hoàn thiện mỗi sản phẩm, doanh nghiệp phải chịu chi 17 Nhóm Ba Đưòng Đồng Quy – 0889 971 004 Chuyên đề toán thực tế
TOÁN 12TOÁN 12TOÁN 12 phí biến đổi 1 triệu đồng cho mỗi sản phẩm. Mỗi sản phẩm được bán ra thị trường với giá 3 triệu đồng một sản phẩm. Nhằm khuyến khích gia tăng quy mô sản xuất, cơ quan quản lý áp dụng chính sách thuế tính theo tổng doanh thu trong tháng, với mức thuế suất giảm dần theo sản lượng. Nếu doanh nghiệp bán dưới 100 sản phẩm trong tháng, thuế suất là 10% tổng doanh thu. Nếu bán từ 100 đến dưới 300 sản phẩm, thuế suất là 8% tổng doanh thu. Nếu bán từ 300 sản phẩm trở lên, thuế suất là 5% tổng doanh thu. Gọi x là số lượng sản phẩm doanh nghiệp sản xuất và bán ra trong một tháng (x ∈ N∗). Giả sử số sản phẩm doanh nghiệp sản xuất trong tháng được bán hết. Hỏi doanh nghiệp cần sản xuất tối thiểu bao nhiêu sản phẩm để bắt đầu có lãi? Câu 44 Để hạn chế vi phạm thời gian làm việc đối với công nhân, giám đốc công ty quyết định xử lý bằng cách phạt tiền. Nhờ sự giám sát chặt chẽ của quản đốc, giám đốc công ty biết được trong một tháng, giữa tỉ lệ công nhân vi phạm đúng k lần (1 ≤ k ≤ 2) Nk là tk = (trong đó Nk là số công nhân vi phạm đúng k lần, N là tổng số công nhân) và N mức phạt mỗi lần vi phạm có mối liên hệ như sau: Nếu mỗi công nhân nộp phạt x nghìn đồng (60 ≤ x ≤ 300) khi vi phạm lần thứ nhất và nộp phạt x−20 nghìn đồng khi vi phạm 36 4 lần thứ hai thì t1 = và t2 = (không có công nhân nào vi phạm quá hai lần). x + 10 x − 30 Biết rằng N không đổi và bằng 2 400. Tổng số tiền nộp phạt trong một tháng ít nhất là bao nhiêu triệu đồng? (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị) Câu 45 Việt Nam đang triển khai dự án đường sắt tốc độ cao chặng Thành phố Hồ Chí Minh - Nha Trang với tổng chiều dài quãng đường là 375 km. Tổng công ty đường sắt cần xác định vận tốc khai thác v (km/h) cho đoàn tàu (200 ≤ v ≤ 350) để đạt lợi nhuận cao nhất cho mỗi chuyến tàu. Qua các số liệu tính toán kỹ thuật và khảo sát thị trường, ta có các thông tin sau: Chi phí điện năng tiêu thụ cho toàn bộ hành trình được tính toán chính xác theo công thức C (v) = 15v2 (nghìn đồng). Chi phí vận hành cố định: bao gồm 1 nhân sự, khẩu hao thiết bị và bảo trì đường ray tính cho mỗi giờ tàu chạy là 250 triệu đồng/giờ. Số lượng khách mua về cho mỗi chuyến tàu phụ thuộc vào vận tốc v theo hàm số N(v) = 4v (khách). Giá vé bình quân cố định cho toàn chặng là 1 500 000 đồng/khách. Xác định vận tốc khai thác v để lợi nhuận ròng của một chuyến tàu là lớn nhất (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị). KQ: Câu 46 Một xưởng sản xuất robot hút bụi thông minh đang trong giai đoạn tăng tốc. Số lượng robot sản xuất mỗi tháng là x (chiếc), với x ∈ N∗ và 10 ≤ x ≤ 500. Mỗi robot được bán với giá cố định là 12 triệu đồng, tổng chi phí sản xuất mỗi tháng là C(x) = 150 · e0,005x + 450 (triệu đồng). Để xưởng đạt lợi nhuận tối thiểu là 1,5 tỷ đồng mỗi tháng, xưởng cần sản xuất và tiêu thụ ít nhất bao nhiêu robot một tháng? KQ: Câu 47 Một doanh nghiệp cần sản xuất một mặt hàng trong đúng 10 ngày và phải sử dụng hai máy A và B. Máy A làm việc trong x ngày và cho số tiền lãi là x2 + 2x (triệu đồng), máy B làm việc trong y ngày và cho số tiền lãi là 326y − 27y2 (triệu đồng). Hỏi doanh nghiệp đó cần sử dụng máy A trong bao nhiêu ngày sao cho số tiền lãi là nhiều nhất? (Biết rằng hai máy A và B không đồng thời làm việc, máy B làm việc không quá 6 ngày). KQ: 18 Chuyên đề toán thực tế Nhóm Ba Đưòng Đồng Quy – 0889 971 004
TOÁN 12TOÁN 12TOÁN 12 Câu 48 Một nhà hàng có tổng cộng 30 nhân viên. Mỗi nhân viên khi làm tăng ca được trả mức lương cố định là 400 USD/tháng. Vì nhà hàng liên tục đón những đoàn khách với số lượng lớn nhưng không thể thuê thêm nhân viên nên chủ nhà hàng này muốn khuyến khích nhân viên của mình tăng ca. Ông chủ đưa ra quy định như sau: ♦ Mỗi khi có thêm một nhân viên tăng ca, mức lương của tất cả nhân viên tăng ca sẽ được tăng thêm 2% so với mức lương cố định; ♦ Do đó, nếu có k nhân viên tăng ca thì lương cho mỗi nhân viên tăng ca sẽ tăng 2k% so với mức lương cố định. Bên cạnh tiền lương cho nhân viên thì tiền điện nước và duy trì cơ sở vật chất là cố định 8 000 USD/tháng. Biết nhà hàng có doanh thu trung bình từ khách hàng (không tính tiền tip) là 10 000 USD/tháng. Ngoài ra, mỗi nhân viên tăng ca trung bình sẽ được khách hàng tip 800 USD/tháng. Tuy nhiên toàn bộ tiền tip phải được nộp lại cho chủ nhà hàng và khoản tiền này sẽ được tính vào doanh thu của nhà hàng. Để lợi nhuận của nhà hàng đạt lớn nhất thì số nhân viên tăng ca là bao nhiêu? (Tiền tip là khoản tiền khách hàng thưởng cho nhân viên phục vụ trên tinh thần tự nguyện để cảm ơn họ đã phục vụ mình nhiệt tình, chu đáo). KQ: Câu 49 Để sản xuất một mặt hàng phục vụ ngày tết, một doanh nghiệp có kế hoạch vay ngắn hạn số tiền 150 triệu đồng trong vòng 1 tháng, với lãi suất là 4%/tháng. Tổng 50 000 chi phí để sản xuất và kinh doanh x sản phẩm là V (x) = 1,4x − 600 + (đơn vị: x triệu đồng), với x là số nguyên dương. Biết rằng, giá bán một sản phẩm là 1,2 triệu đồng, doanh nghiệp chịu thuế thu nhập là 17% tính trên tổng lợi nhuận thu được sau khi sản xuất và bán hết x sản phẩm. Hỏi sau 1 tháng sản xuất và kinh doanh như trên, doanh nghiệp trả hết phần nợ vay ngân hàng thì còn số tiền lợi nhuận nhiều nhất là bao nhiêu (đơn vị: triệu đồng)? KQ: Câu 50 Một doanh nghiệp chuyên sản xuất ô tô hạng sang, biết nhu cầu của thị P trường và chi phí của loại sản phẩm này lần lượt là Q = 5000− , C(Q) = Q2+2200Q+500, 3 trong đó Q là số sản phẩm và P là giá bán của một sản phẩm. Giả sử Nhà nước đánh thuế đặc biệt t (triệu đồng) trên mỗi đơn vị sản phẩm. Với mỗi mức thuế t, doanh nghiệp lựa chọn sản lượng Q để lợi nhuận đạt lớn nhất. Hãy xác định mức sản lượng Q mà doanh nghiệp sẽ sản xuất nếu Nhà nước chọn mức thuế t sao cho số tiền thuế thu được là lớn nhất. KQ: Câu 51 Một doanh nghiệp sản xuất thiết bị điện tử thông minh có quy trình vận hành và chính sách thuế như sau: Trong mỗi tháng, doanh nghiệp phải chi trả một khoản chi phí cố định 200 triệu đồng, khoản chi phí này không phụ thuộc vào số lượng sản phẩm sản xuất. Ngoài ra, để hoàn thiện mỗi sản phẩm, doanh nghiệp phải chịu chi phí biến đổi 1 triệu đồng cho mỗi sản phẩm. Mỗi sản phẩm được bán ra thị trường với giá 3 triệu đồng một sản phẩm. Nhằm khuyến khích gia tăng quy mô sản xuất, cơ quan quản lý áp dụng chính sách thuế tính theo tổng doanh thu trong tháng, với mức thuế suất giảm dần theo sản lượng. Nếu doanh nghiệp bán dưới 100 sản phẩm trong tháng, 19 Nhóm Ba Đưòng Đồng Quy – 0889 971 004 Chuyên đề toán thực tế
Hiển thị 20 trang đầu. Tải tài liệu để xem đầy đủ.
Chưa có bình luận nào. Hãy là người đầu tiên!
Bình luận (0)
Chưa có bình luận nào. Hãy là người đầu tiên!