Trang 1
20 bài toán thực tế lớp 12 – Số 01 Trang 1
TENS | EMPIRE
THẦY ĐỖ VĂN ĐỨC
Mã đề thi: 001
20 BÀI TOÁN THỰC TẾ LỚP 12 SỐ 01
Chuỗi live | Môn Toán 12
Livestream tháng 10 năm 2026
1. Ông Dũng định làm một máng thoát nước mưa từ một miếng tôn hình chữ nhật có chiều dài 2
m và chiều rộng 90 cm. Ông Dũng chia chiều rộng của miếng tôn thành 3 phần bằng nhau,
mỗi phần dài 30 cm, rồi gập hai bên lên một góc 𝜑 (0° < 𝜑 < 90°) như hình vẽ dưới đây.
Mặt cắt ngang của máng là hình thang cân 𝐴𝐵𝐶𝐷 có đáy lớn 𝐴𝐷, đáy nhỏ 𝐵𝐶 và 𝐴𝐵 = 𝐵𝐶 =
𝐶𝐷 = 30 (cm) (minh hoạ hình bên trên). Tìm số đo góc 𝜑 (đơn vị: độ) để diện tích mặt cắt
ngang của máng nước lớn nhất.
Đáp số: ……….
2. Một cốc cà phê vừa pha có nhiệt độ 85°C được đặt trong một căn phòng có nhiệt độ không đổi
25°C. Theo định luật làm nguội Newton, nhiệt độ của cốc cà phê sau 𝑡 phút kể từ khi pha là
𝑇(𝑡) = 25 + 60𝑒
−𝑘𝑡 (đơn vị: °C), trong đó 𝑘 là một hằng số dương. Sau 10 phút, nhiệt độ cà
phê đo được là 65°C. Hỏi sau bao nhiêu phút kể từ khi pha thì nhiệt độ cà phê giảm xuống còn
45°C (làm tròn kết quả đến hàng phần chục)?
Đáp số: ……….
3. Một vệ tinh rời quỹ đạo Trái Đất theo đường cong 𝑦 =
3𝑥
2−𝑥+5
𝑥−1
(𝑥 > 1, đơn vị km). Có 2
chùm tia laser tham chiếu được phóng dọc theo hai đường tiệm cận của quỹ đạo này. Các kỹ
sư nhận thấy, cho dù vệ tinh 𝑀 bay đến đâu trên quỹ đạo, tích khoảng cách từ 𝑀 đến hai chùm
tia laser luôn là một hằng số an toàn 𝐶. Tính giá trị của
10
7
𝐶
2
?
Đáp số: ……….
4. Một nhóm phát triển phần mềm độc lập cung cấp một ứng dụng Trí tuệ nhân tạo hỗ trợ quản
lý công việc và học tập cá nhân. Mỗi người dùng đăng ký bản quyền sử dụng sẽ phải trả mức
phí cố định là 2 triệu đồng/năm. Tổng chi phí duy trì hệ thống lưu trữ đám mây và cập nhật
phần mềm trong một năm phụ thuộc vào số lượng người dùng 𝑥 (𝑥 ∈ ℕ
∗
) đang sử dụng và
được mô hình hóa bởi hàm số 𝐶(𝑥) = 10 ln(𝑥) + 50 (triệu đồng). Để nhóm phát triển đạt mức
lợi nhuận tối thiểu là 200 triệu đồng trong một năm, họ cần thu hút được ít nhất bao nhiêu
người dùng đăng ký phần mềm đó?
Đáp số: ……….
5. Một nhà máy 𝐴 chuyên sản xuất một loại sản phẩm cho nhà máy 𝐵, nhà máy 𝐴 chỉ bán sản
phẩm cho nhà máy 𝐵 và nhà máy 𝐵 cam kết thu mua hết số sản phẩm mà nhà máy 𝐴 sản xuất
Trang 2
Trang 2 ► Đỗ Văn Đức | Khóa học Online môn Toán | tenschool.vn
được. Nhà máy 𝐴 có khả năng sản xuất được tối đa là 200 tấn sản phẩm trong 1 tháng. Nếu
bán ra 𝑥 tấn sản phẩm cho nhà máy 𝐵 thì giá bán mỗi tấn sản phẩm là 45 − 0,0002𝑥
2
triệu
đồng. Trong một tháng nhà máy 𝐴 phải chi phí cho nhân công và chi cho khấu hao máy móc
một lượng cố định là 150 triệu đồng, ngoài ra khi sản xuất mỗi tấn sản phẩm thì nhà máy phải
chi phí thêm cho mua nguyên liệu là 34 triệu đồng. Biết rằng nhà máy 𝐴 phải nộp 6% doanh
thu cho cơ quan thuế. Tính lợi nhuận sau thuế (lợi nhuận sau khi đã trừ tiền thuế) lớn nhất thu
được trong 1 tháng của nhà máy 𝐴 (đơn vị tính là triệu đồng và kết quả làm tròn đến hàng đơn
vị).
Đáp số: ……….
6. Một hộ gia đình nuôi tôm thẻ chân trắng trong một ao có diện tích 2 000 m². Theo kinh nghiệm,
nếu thả nuôi với mật độ 𝑥 con/m² (0 < 𝑥 < 300) thì tỉ lệ tôm sống đến khi thu hoạch là 1 −
𝑥
300 và khối lượng trung bình mỗi con khi thu hoạch là 24 − 0,08𝑥 (gam). Như vậy thả càng
dày thì số tôm càng nhiều, nhưng tôm chết càng nhiều và càng nhỏ. Hỏi sản lượng tôm lớn
nhất mà ao có thể đạt được là bao nhiêu ki-lô-gam (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?
Đáp số: ……….
7. Cho hai vị trí 𝐴, 𝐵 cách nhau 250 m, cùng nằm về một phía
bờ sông như hình vẽ. Khoảng cách từ 𝐴 và từ 𝐵 đến bờ sông
lần lượt là 55 m và 125 m. Một người đi từ 𝐴 đến bờ sông
để lấy nước mang về 𝐵. Đoạn đường ngắn nhất mà người đó
có thể đi là bao nhiêu mét?
Đáp số: ……….
8. Bác Minh mua một chiếc ti vi tại một cửa hàng với giá 21,5 triệu đồng và đã trả trước 10 triệu
đồng ngay khi nhận ti vi. Số tiền còn lại bác lựa chọn trả góp trong vòng 12 tháng với lãi suất
3,5%/tháng theo hình thức lãi kép trên dư nợ giảm dần, tiền lãi được tính dựa trên số dư nợ
thực tế tại thời điểm tính lãi. Biết rằng, vào cuối mỗi tháng, bác Minh phải trả cho cửa hàng
một số tiền không đổi là 𝑚 triệu đồng để sau đúng 12 tháng thì hết nợ. Giá trị của 𝑚 bằng bao
nhiêu? (Không làm tròn các kết quả trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần
trăm).
Đáp số: ……….
9. Một hạt chuyển động dọc theo trục 𝑂𝑥. Vị trí của hạt (đơn vị: mét) tại thời điểm 𝑡 (giây) được
xác định bởi hàm số: 𝑥(𝑡) = 20𝑡
2𝑒
−0,5𝑡
(m), (với 𝑡 ≥ 0). Xét tính đúng sai của các mệnh đề
sau:
a) Vận tốc xuất phát của hạt tại thời điểm 𝑡 = 0 là 20 m/s.
b) Trong suốt quá trình chuyển động, hạt chỉ đổi chiều chuyển động đúng một lần duy nhất.
c) Khoảng cách xa nhất mà hạt đạt được so với gốc tọa độ 𝑂 là 320𝑒
−2
(m).
d) Tổng quãng đường hạt đi được không quá 320𝑒
−2
(m).
10. Một nhà máy sản xuất X hoạt động tại khu vực gần một dòng suối lớn. Trong quá trình sản
xuất, nhà máy thải ra một lượng chất ô nhiễm đáng kể vào môi trường, gây ảnh hưởng nghiêm
trọng đến chất lượng nước và sức khoẻ cộng đồng. Để cải thiện tình hình và tuân thủ các quy
Trang 3
20 bài toán thực tế lớp 12 – Số 01 Trang 3
định về bảo vệ môi trường, nhà máy đã quyết định đầu tư vào một hệ thống xử lý nước thải
hiện đại. Chi phí để loại bỏ 𝑥% chất ô nhiễm từ nguồn nước thải được mô hình hoá bởi hàm
số 𝐶(𝑥) =
2𝑥+1
1−0,01𝑥
(triệu đồng), 0 ≤ 𝑥 < 100. Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?
a) Chi phí để loại bỏ 20% chất ô nhiễm là 51,52 triệu đồng.
b) Nhà máy không thể loại bỏ 100% chất ô nhiễm.
c) Để chi phí không quá 200 triệu đồng thì nhà máy chỉ có thể xử lý tối đa 49,75% chất ô
nhiễm.
d) Nếu nhà máy giảm từ 20% chất ô nhiễm trở lên thì doanh thu sẽ tăng lên (nhờ vào việc
nâng cao uy tín và hình ảnh thương hiệu) được biểu diễn bởi hàm số 𝑅(𝑥) = 12𝑥 − 240
(triệu đồng). Khi đó lợi nhuận cho việc loại bỏ chất ô nhiễm có thể đạt hơn 177 triệu đồng.
11. Một hồ bơi được khử trùng bằng clo. Mỗi buổi sáng, nhân viên đổ thêm 1,5 kg clo vào hồ.
Biết rằng sau mỗi ngày đêm (từ ngay sau lần đổ này đến ngay trước lần đổ tiếp theo), lượng
clo trong hồ bị phân hủy mất 40%. Gọi 𝑢𝑛 là lượng clo (kg) có trong hồ ngay sau lần đổ thứ
𝑛 (trước lần đổ đầu tiên, trong hồ không có clo). Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
a) Ngay sau lần đổ thứ hai, lượng clo trong hồ là 2,4 kg.
b) Dãy số (𝑢𝑛
) là một cấp số nhân.
c) Lượng clo trong hồ ngay sau mỗi lần đổ luôn nhỏ hơn 3,75 kg.
d) Cần đổ clo ít nhất 8 lần thì lượng clo trong hồ ngay sau lần đổ mới đạt từ 3,7 kg trở lên.
12. Một hợp tác xã chăn nuôi dự định trộn hai loại thức ăn gia súc 𝑋 và 𝑌 để tạo thành thức ăn hỗn
hợp cho gia súc. Giá một bao loại 𝑋 là 260 nghìn đồng, giá một bao loại 𝑌 là 210 nghìn đồng.
Mỗi bao loại 𝑋 chứa 2 đơn vị chất dinh dưỡng 𝐴, 2 đơn vị chất dinh dưỡng 𝐵 và 2 đơn vị chất
dinh dưỡng 𝐶. Mỗi bao loại 𝑌 chứa 1 đơn vị chất dinh dưỡng 𝐴, 9 đơn vị chất dinh dưỡng 𝐵
và 3 đơn vị chất dinh dưỡng 𝐶. Hỏi chi phí nhỏ nhất để mua hai loại thức ăn gia súc 𝑋 và 𝑌
sao cho hỗn hợp thu được chứa tối thiểu 12 đơn vị chất dinh dưỡng 𝐴, 36 đơn vị chất dinh
dưỡng 𝐵 và 24 đơn vị chất dinh dưỡng 𝐶 là bao nhiêu nghìn đồng?
Đáp số: ……….
13. Một bảo tàng khoa học muốn lắp đặt một cửa sổ trang trí lớn hình parabol trên bức tường phía
tây của tòa nhà. Cửa sổ này có đỉnh cao nhất cách sàn nhà 15 mét. Một điểm trên khung cửa
sổ cách trục đối xứng cửa sổ 5 mét và có độ cao 10 mét so với sàn nhà. Bên trong khung cửa
sổ, người thiết kế muốn đặt một tấm kính màu, hình chữ nhật với hai đỉnh trên của tấm kính
nằm trên đường cong của khung cửa sổ và hai đỉnh dưới của tấm kính nằm trên một thanh
ngang cố định cách sàn nhà 3 mét (song song với sàn nhà). Diện tích lớn nhất của tấm kính
màu là bao nhiêu mét vuông? (Kết quả làm tròn đến hàng phần chục).
Đáp số: ……….
14. Anh An thành lập một công ty sản xuất in ấn Sách Giáo Khoa chương trình “Cánh diều”. Nhằm
tạo điều kiện cho các nhà sách tiêu thụ giá hợp lí, đơn giá mỗi bộ sách ban đầu được biểu diễn
theo hàm số 𝑝(𝑥) = 200 − 3𝑥 (nghìn đồng) với 𝑥 là số lượng từng bộ sách bán ra và tổng chi
phí sản xuất được biểu diễn theo hàm số 𝐶(𝑥) = 75 + (80 + 𝑇)𝑥 − 𝑥
2
(nghìn đồng) với mọi
𝑥 thỏa mãn 0 ≤ 𝑥 ≤ 40, trong đó 𝑇 (nghìn đồng) là mức thuế giá trị gia tăng VAT phải đóng
Trang 4
Trang 4 ► Đỗ Văn Đức | Khóa học Online môn Toán | tenschool.vn
trên từng số lượng bộ sách sản xuất ra mà công ty anh An phải chi trả. Xem như công ty anh
An sản xuất đều đặn trong điều kiện lí tưởng, khi lợi nhuận của công ty đạt giá trị cao nhất thì
tổng mức thuế phải chi trả cũng đồng thời cao nhất. Khi đó mức thuế của mỗi bộ sách mà công
ty phải trả là bao nhiêu (Đơn vị: nghìn đồng)?
Đáp số: ……….
15. Một bức tường cao 3 m nằm song song với tòa nhà và cách tòa nhà 3 m. Người ta muốn chế
tạo một chiếc thang bắc từ mặt đất bên ngoài bức tường, gác qua bức tường và chạm vào tòa
nhà (xem hình vẽ). Chiều dài tối thiểu của thang là 𝑎√2 m. Hỏi 𝑎 bằng bao nhiêu?
Đáp số: ……….
16. Một cái bình có dạng hình hộp chữ nhật với đáy là hình vuông cạnh 50 (cm), cạnh bên bằng
80 (cm) và bên trong đặt một quả cầu sắt có bán kính bằng 20 (cm). Ban đầu bình không chứa
nước. Ta tiến hành dùng một vòi nước cho chảy vào bình với lưu lượng không đổi bằng 𝑥
(cm³/phút). Biết rằng sau khoảng thời gian 120 phút thì nước trong bình đầy. Chọn gốc thời
gian là lúc bắt đầu cho nước chảy vào bình.
a) Thời gian để nước chảy vào bình đủ để ngập hết quả cầu là 48 phút.
b) Sau 24 phút đầu tiên thì mực nước trong bình có chiều cao là 20 (cm) (kết quả làm tròn
đến hàng đơn vị).
c) 𝑥 = 1387 (cm³/phút) (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).
d) Thể tích quả cầu sắt là 33150 cm³ (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).
Trang 5
20 bài toán thực tế lớp 12 – Số 01 Trang 5
17. Một vòng quay khổng lồ (đu quay) ở khu vui chơi có tâm cách mặt đất 65 m, bán kính 50 m
và quay đều ngược chiều kim đồng hồ, mỗi vòng hết 20 phút. Một cabin bắt đầu chuyển động
từ vị trí thấp nhất của vòng quay tại thời điểm 𝑡 = 0 (tham khảo hình vẽ).
Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
a) Độ cao của cabin so với mặt đất sau 𝑡 phút là
ℎ(𝑡) = 65 − 50 cos
𝜋𝑡
10 (m).
b) Sau 4 phút kể từ khi xuất phát, cabin ở độ cao lớn hơn 50 m.
c) Trong mỗi vòng quay, tổng thời gian cabin ở độ cao từ 90 m trở lên là 5 phút.
d) Tốc độ tăng độ cao lớn nhất của cabin lớn hơn 15 m/phút.
18. Để bảo đảm an toàn trong một đường hầm xuyên núi, các xe buýt phải chạy cùng tốc độ 𝑣
(km/h) và giữ khoảng cách an toàn tối thiểu (tính từ đuôi xe trước đến đầu xe sau) là 𝑑(𝑣) =
0,2𝑣 + 0,005𝑣
2
(mét). Mỗi xe buýt dài 8 m (tham khảo hình vẽ).
Lưu lượng xe là số xe đi qua một vị trí cố định trong hầm trong một giờ. Khi các xe chạy đều
với tốc độ 𝑣 và giữ đúng khoảng cách an toàn tối thiểu thì lưu lượng xe bằng số xe trên mỗi
ki-lô-mét đường nhân với 𝑣. Hỏi các xe nên chạy với tốc độ bao nhiêu km/h để lưu lượng xe
qua hầm là lớn nhất?
Đáp số: ……….
19. Một chiếc ô tô điện cần đi quãng đường 300 km trên đường cao tốc. Khi xe chạy với tốc độ
không đổi 𝑣 (km/h) (60 ≤ 𝑣 ≤ 120), lượng điện năng tiêu thụ trên mỗi ki-lô-mét là 𝑒(𝑣) =
0,1 + 0,000025𝑣
2
(kWh). Giả sử toàn bộ điện năng tiêu thụ trên quãng đường đều phải được
nạp lại tại các trạm sạc dọc đường với công suất sạc 50 kW (mỗi giờ nạp được 50 kWh) và bỏ
qua thời gian dừng đỗ khác. Hỏi xe nên chạy với tốc độ bao nhiêu km/h để tổng thời gian di
chuyển và sạc pin là ít nhất?
Đáp số: ……….
Trang 6
Trang 6 ► Đỗ Văn Đức | Khóa học Online môn Toán | tenschool.vn
20. Khi đặt trong mặt phẳng tọa độ 𝑂𝑥𝑦 với trục 𝑂𝑥 nằm
ngang trên mặt đất, trục 𝑂𝑦 hướng thẳng lên trên
(tham khảo hình vẽ), đơn vị trong hệ trục là 1 kilômét
thì đường đi của một khinh khí cầu bắt đầu xuất phát
từ điểm 𝑂 được mô phỏng là một phần đồ thị của hàm
số bậc hai trên bậc nhất: 𝑓(𝑥) =
𝑎𝑥
2+𝑏𝑥+𝑐
𝑥+𝑑
. Biết đồ
thị hàm số 𝑓(𝑥) cắt trục hoành tại điểm thứ hai có tọa
độ (8; 0) và đạt cực đại tại điểm có tọa độ (6; 4). Sau
khi đi qua điểm cực đại và đang trong quá trình hạ cánh, tại thời điểm khinh khí cầu cách mặt
đất 2 500 mét thì hình chiếu của nó trên trục 𝑂𝑥 cách gốc tọa độ bao nhiêu kilômét?
Đáp số: ……….
--- Hết ---
Hiển thị 6 trang đầu. Tải tài liệu để xem đầy đủ.
Bình luận (0)
Chưa có bình luận nào. Hãy là người đầu tiên!