Trang 2
Phần II. Xác suất và thống kê Mô tả khóa học Dành cho sinh viên đại học Xây dựng các mô hình xác suất và cơ sở thống kê Phân tích sự bất định Suy diễn thống kê Phân tích số liệu thực nghiệm
Nội dung tài liệu
Trang 3
2.6. Hàm của hai biến ngẫu nhiên Hai biến ngẫu nhiên X và Y là hai biến ngẫu nhiên trên <Ω, F, P>, ta có: P(x < X (ξ ) ≤ x )= F (x ) − F ( x ) = ∫x2 f ( x)dx , 1 2 X 2 X 1 x X 1 P(y < Y (ξ ) ≤ y )= F ( y ) − F ( y ) = ∫y2 f ( y)dy . 1 2 Y 2 Y 1 y Y 1 Xác suất của cặp (X, Y) trên một miền bất kỳ D bằng bao nhiêu ? P[(x < X(ξ) ≤ x )∩(y <Y(ξ) ≤ y )]= ? 1 2 1 2
Trang 4
2.6. Hàm của hai biến ngẫu nhiên Hàm phân bố xác suất liên hợp của X và Y, với x và y là hai số thực bất kỳ: F (x, y) = P[(X(ξ) ≤ x)∩(Y(ξ) ≤ y)] XY = P(X ≤ x,Y ≤ y) ≥ 0, Tính chất: F (−∞, y) = F (x,−∞) = 0, F (+∞,+∞) =1. XY XY XY P(x < X (ξ ) ≤ x ,Y (ξ ) ≤ y )= F ( x , y) − F ( x , y). 1 2 XY 2 XY 1 P(X (ξ ) ≤ x, y < Y (ξ ) ≤ y )= F ( x, y ) − F ( x, y ). 1 2 XY 2 XY 1
Trang 5
2.6. Hàm của hai biến ngẫu nhiên Tính chất P(x < X(ξ) ≤ x , y <Y(ξ) ≤ y )= F (x , y ) − F (x , y ) 1 2 1 2 XY 2 2 XY 2 1 − F (x , y ) + F (x , y ). XY 1 2 XY 1 1 Hàm mật độ phân bố xác suất liên hợp ∂2F (x, y) f (x, y) = XY . XY ∂x ∂y F (x, y) = ∫ x ∫ y f (u,v) dudv . XY −∞ −∞ XY ∫ +∞∫ +∞ f (x, y) dxdy = 1. −∞ −∞ XY
Trang 6
2.6. Hàm của hai biến ngẫu nhiên Xác suất để cặp (X, Y) trong một miền D nào đó: P(x < X(ξ) ≤ x + Δx, y <Y(ξ) ≤ y + Δy)= F (x + Δx, y + Δy) XY − F (x, y + Δy) − F (x + Δx, y) + F (x, y) Y XY XY XY = ∫x+Δx ∫y+Δy f (u,v)dudv =f (x, y)ΔxΔy. D x y XY XY Δy Δx P((X,Y)∈D)= ∫ ∫ f (x, y)dxdy. (x,y)∈D XY X Các thống kê biên F (x) = F (x,+∞), F ( y) = F (+∞, y). X XY Y XY f (x) = ∫+∞ f (x, y)dy, f ( y) = ∫+∞ f (x, y)dx. X −∞ XY Y −∞ XY
Trang 7
2.6. Hàm của hai biến ngẫu nhiên Đạo hàm của hàm dưới dấu tích phân H (x) = ∫b( x)h(x, y)dy. a( x) dH x( ) db x( ) da x( ) ∫ b x( ) ∂h x y( , ) = h x b( , ) − h x a( , ) + dy. dx dx dx a x( ) ∂x
Trang 8
2.6. Hàm của hai biến ngẫu nhiên Trường hợp rời rạc X, Y: các biến ngẫu nhiên rời rạc p = P(X = x , Y = y ) là hàm phân bố liên hợp ij i j Các hàm phân bố biên là: P(X = x ) = ∑P(X = x ,Y = y ) = ∑p ∑ p i i j ij j j ij P(Y = y ) = ∑P(X = x ,Y = y ) = ∑p p p L i p L p j i j ij 11 12 1 j 1n i i p p L p L p 21 22 2 j 2n Hàm mật độ phân bố biên: M M M M M M ∑ p p p L p L p ij i1 i2 ij in j M M M M M M p p L p L p m1 m2 mj mn
Trang 9
2.6. Hàm của hai biến ngẫu nhiên Y Ví dụ Cho các biến ngẫu nhiên X, Y với 1 y ⎧c, 0 < x < y < 1, f (x, y) = ⎨ X XY ⎩0, otherwise . 0 1 Xác định các hàm mật độ biên fX(x) và fY(y) Giải: +∞ +∞ Ta có: do ∫ ∫ fXY (x, y) dxdy =1. −∞ −∞ 1 +∞ +∞ 1 ⎛ y ⎞ 1 cy2 c ∫ ∫ fXY (x, y)dxdy = ∫ ⎜⎝∫ c⋅dx⎟⎠dy =∫ cydy = = =1⇒ c = 2 −∞ −∞ y=0 x=0 y=0 2 2 Từ đó: 0 f (x) = ∫+∞ f (x, y)dy = ∫1 2dy = 2(1 − x), 0 < x < 1, X −∞ XY y=x f ( y) = ∫+∞ f (x, y)dx = ∫ y 2dx = 2 y, 0 < y < 1. Y −∞ XY x=0
Trang 10
2.6. Hàm của hai biến ngẫu nhiên Ví dụ: X và Y là hai biến ngẫu nhiên Gauss có hàm mật độ phân bố liên hợp: N (μ , μ ,σ 2 ,σ 2 , ρ). X Y X Y −1 ⎛ (x−μ )2 2ρ(x−μ )(y−μ ) (y−μ )2 ⎞ 1 ⎜ X − X Y + Y ⎟ f (x, y) = e2(1−ρ2 )⎜ σ 2 σ σ σ 2 ⎟, ⎝ X X Y Y ⎠ XY 2πσ σ 1− ρ2 X Y −∞ < x < +∞, −∞ < y < +∞, | ρ |<1.b Các hàm mật độ biên sẽ là: ∫ +∞ 1 −( x− μ )2 / 2σ 2 μ σ 2 f (x) = f (x, y)dy = e X X N ( , ), X −∞ XY 2πσ 2 X X X ∫ +∞ 1 −( y −μ )2 / 2σ 2 μ σ 2 f ( y) = f (x, y)dx = e Y Y N ( , ), Y −∞ XY 2πσ 2 Y Y Y
Trang 11
2.6. Hàm của hai biến ngẫu nhiên Các biến ngẫu nhiên độc lập Hai biến ngẫu nhiên X và Y được coi là độc lập thống kê nếu hai sự kiện {X(ξ)∈A} và {Y(ξ)∈B} là độc lập đối với hai tập A, B bất kỳ trên trục x và y. Đối với hai sự kiện: {X(ξ)≤x} và {Y(ξ)≤y}, nếu hai biến ngẫu nhiên X và Y là độc lập, sẽ có: P((X (ξ) ≤ x) ∩ (Y (ξ) ≤ y))= P(X (ξ) ≤ x)P(Y (ξ) ≤ y) F (x, y) = F (x)F (y) f (x, y) = f (x) f (y). XY X Y XY X Y Trong trường hợp rời rạc: P(X = x ,Y = y ) = P(X = x )P(Y = y ) for all i, j. i j i j
Trang 12
2.6. Hàm của hai biến ngẫu nhiên Ví dụ: Cho fXY(x, y), xác định xem X, Y có độc lập hay không. ⎧xy2e− y , 0 < y < ∞, 0 < x <1, f (x, y) = ⎨ XY 0, otherwise. ⎩ Giải: tính fX(x), fY(y) và kiểm tra hệ thức: fXY(x, y)= fX(x)fY(y) f (x) = ∫+∞f (x, y)dy = x∫∞ y2e− ydy X 0 XY 0 = x⎛⎜− 2 ye− y ∞ + 2∫∞ ye− ydy ⎞⎟ = 2x, 0 < x < 1. ⎝ 0 0 ⎠ 1 y2 fY ( y) = ∫ fXY (x, y)dx = e− y , 0 < y < ∞. 0 2 f (x, y) = f (x) f (y), XY X Y
Trang 13
2.6. Hàm của hai biến ngẫu nhiên Hàm của hai biến ngẫu nhiên Cho X, Y là hai biến ngẫu nhiên và g(x, y) Biến Z = g(X, Y), xác định fZ(z) theo fXY(x, y) Ta có: F (z) = P(Z(ξ) ≤ z)= P(g(X,Y) ≤ z)= P[(X,Y)∈D ] Z z = ∫ ∫ fXY (x, y)dxdy, x,y∈Dz Y D là miền trong không gian x, y sao cho g(x, y)≤z Z D z D z X
Trang 14
2.6. Hàm của hai biến ngẫu nhiên Ví dụ: Z = X+Y, xác đinh fZ(z) Lấy đạo hàm Fb(z), ta sẽ có fZ(z)b F (z) = P(X +Y ≤ z)= ∫+∞ ∫z−y f (x, y)dxdy, Z y=−∞ x=−∞ XY H (z) = ∫ b( z )h( x, z)dx . a ( z ) dH (z) db(z) ( ) da(z) ( ) ∫b(z)∂h(x,z) = h b(z), z − h a(z), z + dx. dz dz dz a(z) ∂z ∫ +∞ ⎛ ∂ ∫ z−y ⎞ ∫ +∞ ⎛ ∫ z−y ∂f ( ,x y)⎞ f ( )z = ⎜ f ( ,x y dx) ⎟dy = ⎜ f (z − y y, ) −0+ XY ⎟dy Z −∞ ⎝∂z −∞ XY ⎠ −∞ ⎝ XY −∞ ∂z ⎠ = ∫ +∞ f (z − y y dy, ) . −∞ XY
Trang 15
2.6. Hàm của hai biến ngẫu nhiên Ví dụ: X, Y là hai biếnngẫu nhiên hàm mũ độc lập với cùng tham số λ. Xác định hàm mật độ f (z) của Z = X+Y. Z f (x) = λe−λxU(x), f (y) = λe−λyU(y), X Y f (z) = ∫ z λ2e−λxe−λ ( z− x )dx =λ2e−λz ∫ z dx = zλ2e−λzU (z). Z 0 0
Trang 16
Moment liên hợp và hàm đặc tính liên hợp -Mô tả các tham số biểu diễn thông tin trong hàm phân bố liên hợp của hai đại lượng ngẫu nhiên. -Cho hai biến ngẫu nhiên X và Y và hàm hai biến g(x, y), Xác định biến ngẫu nhiên Z: Z = g ( X ,Y ) Ta có kỳ vọng của Z: μ = E(Z ) = ∫ +∞z f (z)dz. Z −∞ Z
Trang 17
Theo định nghĩa hàm của biến ngẫu nhiên, ta sẽ xác định hàm của ZZ = g(X,Y) tính theo các đặc trưng của XYf (x, y) XY mà không phải tính f (z). Z P(z < Z ≤ z + Δz)= f (z)Δz = P(z < g(X ,Y ) ≤ z + Δz) Z = ∑ ∑ f (x, y)ΔxΔy XY ( x,y)∈DΔz Trong đó D là vùng không gian trong mặt phẳng xy thỏa Δz mãn bất đẳng thức trên. Ta có: z f (z)Δz = g(x, y)∑ ∑ f (x, y)ΔxΔy. Z XY . ( x y, )∈DΔz
Trang 18
Lấy tích phân, ta có E(Z) = ∫ +∞ z f ( )z dz = ∫ +∞ ∫ +∞ g x y f( , ) ( ,x y dxdy) . −∞ Z −∞ −∞ XY Hay: E[g X Y( , )] = ∫ +∞ ∫ +∞ g x y f( , ) ( ,x y dxdy) . −∞ −∞ XY Nếu X và Y là rời rạc, E g[ (X Y, )] = ∑∑g(x , y )P X( = x Y, = y ). i j i j i j Vì kỳ vọng là toán tử tuyến tính, ta có ⎛∑ ⎞ ∑ E⎜ a g (X Y, )⎟ = a E g[ (X Y, )]. ⎝ k k ⎠ k k k k
Trang 19
Nếu X và Y là các biến ngẫu nhiên độc lập,Z = g(X ) W = h(Y) E[g(X)h(Y)]= ∫+∞∫+∞g(x)h(y) f (x) f (y)dxdy −∞ −∞ X Y = ∫+∞g(x) f (x)dx∫+∞h(y) f (y)dy = E[g(X)]E[h(Y)]. −∞ X −∞ Y
Trang 20
Hiệp biến: Cho hai biến ngẫu nhiên bất kỳ X và Y Cov(X ,Y ) = E[(X − μ )(Y − μ )]. X Y Ta có: μ μ Cov(X ,Y ) = E(XY ) − = E(XY ) − E(X )E(Y ) X Y ____ __ __ = XY − X Y . Ta thấy Cov(X ,Y ) ≤ Var(X )Var(Y ) . Nếu U = aX +Y , thì Var (U ) = E [{a( X − μ ) + (Y − μ )}2 ] X Y = a 2Var ( X ) + 2a Cov ( X ,Y ) + Var (Y ) ≥ 0 .
Hiển thị 20 trang đầu. Tải tài liệu để xem đầy đủ.
Bình luận (0)
Chưa có bình luận nào. Hãy là người đầu tiên!