Trang 2
Phần II. Xác suất và thống kê Mô tả khóa học Dành cho sinh viên đại học Xây dựng các mô hình xác suất và cơ sở thống kê Phân tích sự bất định Suy diễn thống kê Phân tích số liệu thực nghiệm
Nội dung tài liệu
Trang 3
Nội dung Phần I. Xác xuất trong tính toán và thuật toán Phần II. Xác suất và thống kê Khái niệm xác suất và các biến ngẫu nhiên Khái niệm xác suất Các biến ngẫu nhiên và các đặc trưng Một số hàm phân bố xác suất quan trọng Định luật số lớn Hàm của biến ngẫu nhiên Các định lý giới hạn Ước lượng tham số cad sai số thống kê Cơ sở thống kê toán học Các quá trình ngẫu nhiên
Trang 4
Tài liệu Papoulis, Probability, Random variable, Stochastic Processes Trossets M. W, An introductions to statistical inference and data analysis. J. S. Bendat, A. G. Piersol. Random Data: analysis and measurement procedures.
Trang 5
II. Cơ sở lý thuyết xác suất 2.1. Khái niệm xác suất. 2.2. Các biến ngẫu nhiên. 2.3. Một số phân bố xác suất quan trọng 2.4. Định luật số lớn. 2.5. Phân bố tự nhiên ( phân bố Gauss). 2.6. Các định lý giới hạn trung tâm.
Trang 6
2.1. Khái niệm xác suất Khái niệm xác suất Định nghĩa kinh điển của Laplace về xác suất: N P(A) = A , N Định nghĩa xác suất theo tuần suất tương đối: n P(A) = lim A n → ∞ n
Trang 7
2.1. Khái niệm xác suất Phát biểu tiên đề của Kolmogorov Ω: không gian mẫu: tập hợp tất cả các kết cục thực nghiệm – không gian các sự kiện cơ sở Ω = { ξ1, ξ2, … ξk, …, ξn, … } Sự kiện – là một tập con của Ω. Số tập con của không gian mẫu: 2n nếu n < ∞. Trường-σ F của các tập con của Ω P: độ đo xác suất trên các phần tử của trường-σ F A – sự kiện bất kỳ 3 tiên đề xác suất (i) P(A) ≥ 0 (ii) P(Ω) =1 (iii) If A∩ B =φ, then P(A∪ B) = P(A)+ P(B). < Ω, F, P >: mô hình xác suất
Trang 8
2.1. Khái niệm xác suất Các sự kiện: A và B Các sự kiện lợi trừ: A ∩ B = ∅ Phân hoạch của Ω: n A φ U 1 A A ∩ A = , and A = Ω 2 A A B i j i i i=1 A j A n A ∩ B = φ Ví dụ: thí nghiệm gieo hai đồng xu đồng thời Các sự kiện cơ sở: ξ = (S,S), ξ = (S,N), ξ = (N,S), ξ = (N,N) 1 2 3 4 Sự kiện A - tập con của Ω A = { ξ1, ξ2, ξ3 }
Trang 9
2.1. Khái niệm xác suất Xác suất có điều kiện và các sự kiện độc lập N thí nghiệm độc lập, NA, NB, NAB : số lần xuất hiện của các sự kiện A, B và AB. Với số lần thực nghiệm N lớn N N N P(A) ≈ A , P(B) ≈ B , P(AB) ≈ AB . N N N Xác suất có điều kiện: P(A|B) N N / N P(AB) P(A| B) = AB = AB = N N / N P(B) B B
Trang 10
2.1. Khái niệm xác suất Các tính chất của xác suất có điều kiện: P(A|B) là đại lượng không âm: P(AB) ≥ 0 P(A| B) = ≥ 0, P(B) > 0 P(Ω|B) = 1 P(ΩB) P(B) P(Ω | B) = = =1, P(B) P(B) Nếu A∩B = ∅ , P(A∪C | B) = P(A| B) + P(C | B),
Trang 11
2.1. Khái niệm xác suất Nếu B ⊂ A thì P( A|B ) = 1 B⊂A => AB = B => P( A|B ) = P( AB)/P(B) = P(B)/P(B)= 1. Nếu A ⊂ B thì P( A|B ) > P( A ) A ⊂ B => AB = A => P(A|B) = P( AB )/P(B) = P(A)/P(B) > P(A) Cho, A1, A2, …, An là các sự kiện đôi một loại trừ và hợp của chúng tạo thành Ω: n A ∩ A = ∅, UA = Ω. i j i Với B là một sự kiện bất kỳ, ta sẽ có i=1 ∑n ∑n P(B) = P(BA ) = P(B | A )P(A ). i i i i=1 i=1
Trang 12
2.1. Khái niệm xác suất Ví dụ: thí nghiệm gieo quân xúc xắc. Sự kiện A: {số trên mặt xúc xắc chẵn} Sự kiện B: {số trên mặt xúc xắc bằng 2} B ⊂ A => P(A|B) = 1 Ví dụ: thí nghiệm gieo quân xúc xắc, Sự kiện A: {số trên mặt xúc xắc bằng 2} , Sự kiện B: {số trên mặt xúc xắc là chẵn}, A ⊂ B. Việc sự kiện B xuất hiện làm cho khả năng xuất hiện sự kiện A lớn hơn trong trường hợp không có thông tin về B.
Trang 13
2.1. Khái niệm xác suất Các sự kiện độc lập: cho hai sự kiện A và B P(AB) = P(A) P(B) Nếu A và B là hai sự kiện độc lập, : P(A| B) = P(A) Định lý Bayes P(B | A) P(A| B) = ⋅P(A) P(B) Định lý Bayes tổng quát: P (B | A )P ( A ) P (B | A )P ( A ) P ( A | B ) = i i = i i , i P (B ) n ∑ P (B | A )P ( A ) i i i=1
Trang 14
2.1. Khái niệm xác suất Giải thích định lý Bayes: P(A) là xác suất tiên nghiệm của sự kiện A. Sự kiện B là những tri thức mới nhận được từ kết quả thực nghiệm. Xác suất có điều kiện P(A|B) của A với điều kiện sự kiện B xảy ra. Những tri thức mới sẽ được dùng để làm tăng tri thức về sự kiện A.
Trang 15
2.1. Khái niệm xác suất Ví dụ: Trong hộp có 6 quả cầu trắng và 4 quả cầu đen. Loại bỏ ngẫu nhiên hai quả cầu không hoàn lại. P{quả cầu thứ nhất là trắng và quả cầu thứ hai là đen} = ? Giải: W1 = “quả cầu thứ nhất bị loại là trắng” B2 = “quả cầu thứ hai bị loại là đen” P(W1∩B2) = ? Câu hỏi: hai sự kiện W1 và B2 có độc lập không ?
Trang 16
2.1. Khái niệm xác suất Ví dụ: hai hộp B1 và B2 lần lượt chứa 100 và 200 bóng đèn. Hộp B1 có 15 bóng hỏng và B2 - 5. Giả thiết, các hộp được lựa chọn ngẫu nhiên và một bóng đèn được lấy ra ngẫu nhiên. (a) Xác định xác suất để bóng đèn được lấy ra đó là bóng bị lỗi? (b) Giả sử chúng ta kiểm tra một bóng đèn và thấy bóng đó bị lỗi, khả năng bóng đèn đó là từ hộp nào ?
Trang 17
2.1. Khái niệm xác suất Các thí nghiệm lặp, thí nghiệm Bernoulli Xét n thí nghiệm độc lập với các mô hình (Ω1, F1, P1), (Ω2, F2, P2), ..., (Ωn, Fn, Pn). Cho ξ1∈Ω1, ξ2 ∈Ω2,..., ξn ∈Ω2: là các sự kiện cơ sở. Liên hợp của n thí nghiệm tạo ra sự kiện cơ sở liên hợp ω = (ξ1, ξ2, ..., ξn ). Xét không gian liên hợp Ω = Ω1× Ω2 × ... × Ωn : ξ1 ∈ Ω1, ..., ξn ∈ Ωn, Sự kiện trong không gian liên hợp Ω có dạng A1×A2×...×An. Nếu n thí nghiệm là độc lập, ta có P(A1×A2×...×An)=P(A1)×...×P(An)
Trang 18
2.1. Khái niệm xác suất Vấn đề: sự kiện A với xác suất p xuất hiện trong thí nghiệm đơn lẻ. Xác định xác suất để sự kiện A xuất hiện đúng k lần, k ≤ n tại những lần xác định trong n thí nghiệm. P (ω) = P({ξ ,ξ ,L,ξ ,L,ξ }) = 0 i1 i2 ik in = P({ξ })P({ξ })LP({ξ })LP({ξ }) = i1 i2 ik in = P(A)P(A)LP(A) P(A)P(A)LP(A) = pkqn−k . 144424443 144424443 k n−k P{ A xuất hiện đúng k lần trong n thí nghiệm } = Cknpkqn-k Công thức Bernoulli.
Trang 19
2.1. Khái niệm xác suất Định lý De Moivre - Laplace Giả thiết n→∞ với p cố định. Với k trong lân cận npq của np. Có thể ước lượng xác suất Bernoulli bằng: k k n−k 1 −(k−np)2 /2npq C p q ≈ e . n 2πnpq Công thức Stirling ước lượng n!: n! ~ 2π nn+1e−n 2
Trang 20
2.1. Khái niệm xác suất Ước lượng công thức Bernoulli ⎛n⎞ n! pkqn−k = p qk n−k , ⎜k ⎟ (n −k)! !k ⎝ ⎠ ⎛n⎞ (np)k ( nq )n−k ⎜ ⎟ p qk n−k > c n ⎝k ⎠ 1 2π(n k k− ) k n k− ⎛n⎞ (np)k ( nq )n−k ⎜ ⎟ p qk n−k < c n ⎝k ⎠ 2 2π(n k k− ) k n k− c = e{ 1 − 1 − 1 } c = e{ 1 − 1 − 1 }. 12n+1 12 (n−k ) 12k 12n 12 (n−k ) 1+ 12k+1 1 2 Các hằng số c và c khá gần nhau. 1 2
Hiển thị 20 trang đầu. Tải tài liệu để xem đầy đủ.
Bình luận (0)
Chưa có bình luận nào. Hãy là người đầu tiên!