Trang 1
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN —————————————— HỒ ĐỨC TÂY PHƯƠNG PHÁP HÀM LỒI VÀ ỨNG DỤNG TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC LUẬN VĂN: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Bình Định-Năm 2022
Nội dung tài liệu
Trang 2
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN —————————————— HỒ ĐỨC TÂY PHƯƠNG PHÁP HÀM LỒI VÀ ỨNG DỤNG TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC NGÀNH: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP MÃ SỐ: 8460113 Người hướng dẫn: PGS-TS Lương Đăng Kỳ
Trang 3
Mục lục Mở đầu 1 1 Lý thuyết hàm lồi 2 1.1 Hàm lồi trên R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Một số bất đẳng thức sinh từ hàm lồi . . . . . . . . . . . . 6 1.3 Hàm log-lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4 Tính trơn của hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2 Phương pháp hàm lồi trong giải toán bất đẳng thức 15 2.1 Định lý Popoviciu và áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.1.1 Định lý Popoviciu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.1.2 Áp dụng vào giải toán bất đẳng thức . . . . . . . . . 20 2.2 Định lý EV (Equal Variable) và áp dụng . . . . . . . . . . . 30 2.2.1 Định lý EV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.2.2 Áp dụng vào giải toán bất đẳng thức . . . . . . . . . 41 3 Phương pháp hàm lồi phải và hàm lõm trái trong giải toán bất đẳng thức 49 3.1 Phương pháp hàm lồi phải . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.2 Phương pháp hàm lõm trái . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.3 Phương pháp hàm lõm trái- lồi phải . . . . . . . . . . . . . 55 3.4 Áp dụng vào giải toán bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . 56 Kết luận 63 Tài liệu tham khảo 64
Trang 4
1 Mở đầu Lý thuyết về hàm lồi có một vị trí rất quan trọng trong Toán học, nó có liên quan đến nhiều lĩnh vực của Toán học như Giải tích lồi, Giải tích hàm,... Tuy nhiên, những dự án hay luận án, luận văn về hàm lồi chủ yếu liên quan đến chuyên ngành Toán ứng dụng hay Giải tích. Trong giảng dạy môn Toán ở chương trình phổ thông, bất đẳng thức đóng một vai trò quan trọng trong quá trình phát triển tư duy toán học của học sinh. Bên cạnh đó trong các đề thi học sinh giỏi các cấp, đề thi tốt nghiệp ... những câu chặng điểm, phân loại học sinh thường là những câu hỏi về bất đẳng thức. Chẳng hạn một số bất đẳng thức liên quan đến hàm lồi như bất đẳng thức Popoviciu, Jensen, Hadamard,.. và các mở rộng của nó là một công cụ hữu hiệu để giải quyết những bài toán về bất đẳng thức ở chương trình phổ thông. Tuy nhiên những kiến thức về hàm lồi không được dạy một cách đầy đủ và phổ biến ở bậc phổ thông, và do đó việc tiếp cận với các phương pháp giải toán bằng công cụ hàm lồi của học sinh còn nhiều hạn chế. Do đó việc bồi dưỡng và nâng cao kiến thức về hàm lồi cho giáo viên là hết sức cần thiết. Là một giáo viên THPT, tôi mong muốn cung cấp cho học sinh những kiến thức hay để các em có thể áp dụng trong quá trình học tập, đặc biệt là giải các bài toán về bất đẳng thức. Và kiến thức về hàm lồi là một phần không thể thiếu khi tôi tham gia bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi ở trường. Với hình thức thi trắc nghiệm như hiện nay, việc áp dụng tính chất của hàm lồi sẽ giúp các em nhanh chóng giải quyết các bài toán liên quan đến cực trị trong những câu hỏi vận dụng cao. Đó là lý do tại sao tôi chọn đề tài “Phương pháp hàm lồi và ứng dụng trong chứng minh bất đẳng thức” làm đề tài cho luận văn tốt nghiệp thạc sĩ của mình.
Trang 5
2 Chương 1 Lý thuyết hàm lồi Tài liệu tham khảo chính của chương này là [6]. Trong chương này, kí hiệu I chỉ một khoảng con của R, log x là lôgarit cơ số e của x. 1.1 Hàm lồi trên R Định nghĩa 1.1.1. Một hàm f : I → R được gọi là lồi nếu f((1 − λ)x + λy) ≤ (1 − λ)f(x) + λf(y) (1.1) với mọi x, y ∈ I và mọi λ ∈ [0,1]. Hàm f được gọi là lồi ngặt nếu Bất đẳng thức (1.1) là nghiêm ngặt với mọi giá trị x, y phân biệt và λ ∈ (0,1). Nếu −f là hàm lồi thì ta nói f là hàm lõm (tương tự hàm lõm ngặt). Nếu f vừa lồi vừa lõm, ta nói f là hàm affine. Ví dụ 1.1.2. Hàm số f(x) = x2 là lồi ngặt trên R vì với mọi x ̸= y ∈ R, mọi λ ∈ (0,1), ta có f((1 − λ)x + λy) = [(1 − λ)x + λy]2. Ta cần chứng minh [(1 − λ)x + λy]2 < (1 − λ)x2 + λy2, tức là (1 − λ)λx2 + (1 − λ)λy2 − 2(1 − λ)λxy > 0.
Trang 6
3 Bất đẳng thức này đúng với mọi x ̸= y ∈ R, mọi λ ∈ (0,1). Mệnh đề 1.1.3. Cho hàm số f lồi trên khoảng I và u < v thuộc I. Khi đó với mọi x ∈ [u, v], ta có f(v) − f(u) f(x) ≤ f(u) + (x − u). v − u Chứng minh. Từ định nghĩa, ta thấy nếu f là lồi trên I và u < v thuộc I thì cung đồ thị f(x) trên đoạn [u, v] nằm dưới đoạn thẳng nối hai điểm (u, f(u)),(v, f(v)). Chú ý rằng phương trình đường thẳng đi qua hai điểm (u, f(u)),(v, f(v)) là f(v) − f(u) y = f(u) + (x − u). v − u Từ Mệnh đề 1.1.3, ta thấy nếu f là lồi trên một đoạn [u, v] thì nó bị chặn trên đoạn đó. Hơn nữa ta có f(x) ≤ M = max{f(u), f(v)}. Định lý 1.1.4. Nếu f là hàm lồi trên khoảng I thì liên tục tại mọi điểm trong của I. Chứng minh. Lấy điểm a ∈ intI, chọn ε > 0 sao cho [a − ε, a + ε] ⊂ I. Khi đó 1 1 f(a) ≤ f(a − ε) + f(a + ε). 2 2 Với mọi t ∈ [0,1], ta có f(a ± tε) = f((1 − t)a + t(a ± ε)) ≤ (1 − t)f(a) + tf(a ± ε), suy ra t[f(a ± ε) − f(a)] ≥ f(a ± tε) − f(a) ≥ −t[f(a ∓ ε) − f(a)]. Do đó |f(a ± tε) − f(a)| ≤ tmax{|f(a − ε) − f(a)|,|f(a + ε) − f(a)|}. Bất đẳng thức này đúng với mọi t ∈ [0,1], do đó hàm f liên tục.
Hiển thị 6 trang đầu. Tải tài liệu để xem đầy đủ.
Bình luận (0)
Chưa có bình luận nào. Hãy là người đầu tiên!