Đang tạo bản xem trước...
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC SAI PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Giảng viên hướng dẫn: PGS.TS. ĐINH CÔNG HƯỚNG Học viên: TRẦN THỊ LỆ THỦY Mã số: 8. 46. 01. 13 Bình Định - 2022
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN TRẦN THỊ LỆ THỦY MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC SAI PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành : Phương Pháp Toán Sơ Cấp Mã số : 8. 46. 01. 13 Người hướng dẫn : PGS.TS. ĐINH CÔNG HƯỚNG
i Mục lục Danh mục các kí hiệu 1 Mở đầu 2 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 4 1.1 Toán tử sai phân tiến, toán tử sai phân lùi, toán tử dịch chuyển . 4 1.2 Một số tính chất [3] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3 Bất đẳng thức H¨older [1] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2 BẤT ĐẲNG THỨC SAI PHÂN 14 2.1 Bất đẳng thức Gronwall [3],[6] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.2 Bất đẳng thức phi tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.3 Bất đẳng thức sai phân cấp n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.4 Hệ bất đẳng thức hữu hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.5 Bất đẳng thức Opial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3 VÍ DỤ ÁP DỤNG 43 KẾT LUẬN 46 TÀI LIỆU THAM KHẢO 47
1 DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU • N = {0,1, . . .} tập hợp các số tự nhiên bao gồm số 0. • N(a) = {a, a + 1, . . .} trong đó a ∈ N. • N(a, b − 1) = {a, a + 1, . . . , b − 1} trong đó a < b − 1 < ∞ và a, b ∈ N. Một tập hợp bất kì trong số ba tập hợp trên sẽ được ký hiệu là N. • u(k), v(k): Các hàm thực vô hướng xác định trên N. • u(k), v(k): Các hàm thực vectơ. • R: là tập hợp các số thực. • R+: là tập hợp các số thực không âm. ∏m−1 • (t)(m) = (t − i): biểu thức giai thừa với mọi t ∈ R và m là số nguyên i=0 không âm. • ∆x(k) : x(k + 1) − x(k). • ∇x(k) : x(k) − x(k − 1). • Ex(k) : x(k + 1). ∑k2 • f(`) : f (k1) + . . . + f (k2). `=k1 ∏k2 • f(`) : f (k1). . . f (k2). `=k1 m • : Số các tổ hợp chập i của m phần tử. i • N(a, a): Một điểm hoặc tập rỗng.
2 LỜI MỞ ĐẦU Như chúng ta đã biết, có rất nhiều hiện tượng trong khoa học kỹ thuật cũng như trong thực tiễn cuộc sống được mô tả bởi các hệ động lực rời rạc nói chung và phương trình sai phân nói riêng. Đối với các phương trình, hệ phương trình sai phân tuyến tính, chúng ta thường có thể giải chúng để tìm được nghiệm tổng quát. Tuy nhiên, đối với các phương trình, hệ phương trình sai phân phi tuyến hầu như không có phương pháp để tìm nghiệm. Đối với những lớp phương trình, hệ phương trình như vậy, thay vì việc tìm công thức nghiệm, người ta thường nghiên cứu các tính chất định tính của nghiệm. Một ứng dụng quen biết của bài toán này là việc khảo sát tính chất hội tụ, bị chặn, dao động, tuần hoàn của các dãy số xuất hiện trong các kỳ thi học sinh giỏi các cấp trong chương trình toán ở bậc phổ thông trung học. Có thể nói các bất đẳng thức sai phân (hay còn gọi là các bất đẳng thức rời rạc) cung cấp một nguyên tắc so sánh rất tổng quát trong nghiên cứu nhiều tính chất định tính của các nghiệm của các phương trình, hệ phương trình sai phân liên quan. Bất đẳng thức rời rạc Gronwall và các phiên bản của nó (xem [3], [4], [5], [6]), bất đẳng thức rời rạc Opial (xem [7], [8]) là những ví dụ điển hình, xuất hiện trong rất nhiều công trình khoa học về lĩnh vực này. Luận văn gồm ba chương: Chương 1. Kiến thức chuẩn bị Hệ thống lại một số khái niệm và một số tính chất quan trọng về sai phân tiến, sai phân lùi, toán tử dịch chuyển. Chương 2. Một số bất đẳng thức sai phân Trong chương này, chúng tôi hệ thống, làm rõ một số kết quả về các Bất đẳng thức Gronwall, Bất đẳng thức phi tuyến, Bất đẳng thức sai phân cấp n, hệ bất đẳng thức hữu hạn, Bất đẳng thức Opial. Chương 3. Một số ví dụ Trong chương này chúng tôi trình bày một ứng dụng của Bất đẳng thức Gronwall trong chứng minh một định lý quan trọng của Lý thuyết ổn định và giải quyết một số bài toán sơ cấp.
Hiển thị 5 trang đầu. Tải tài liệu để xem đầy đủ.
Chưa có bình luận nào. Hãy là người đầu tiên!
Bình luận (0)
Chưa có bình luận nào. Hãy là người đầu tiên!