Chương II: CƠ SỞ TÍNH TOÁN Giảng viên: TS. Trần Thị Thanh Hải 1. Biểu diễn điểm trong không gian: Trong không gian 3 chiều, 1 điểm có thể được biểu diễn bằng nhiều véc tơ trong các hệ quy chiếu khác nhau. Vị trí của điểm P épx ù r ê ú p = êpy ú êp ú ë zû O x p = pxi + p y j + pz k i, j, k: vectơ đơn vị j pz y Nếu quan tâm đến vấn đề định hướng, biểu diễn véc tơ trong không gian 4 chiều, với suất véc tơ là một ma trận cột: épx ù ê ú py ú ê p= êpz ú ê ú êë w úû ì px ïw =a ï ï py í =b ïw ï pz ïw =c î Nếu w = 1, thấy rằng: Trường hợp đồng nhất cả về vị trí và hướng Hệ tọa độ: hệ tọa độ thuần nhất px px = = px = a w 1 py py = = py = b w 1 pz pz = = pz = c w 1 px p y pz , , →∞ !w w w Với w = 0: Giới hạn ¥ thể hiện rõ nét là các hướng của các trục tọa độ. 2. Biểu diễn mặt phẳng Phần mặt phẳng có các tọa độ xác định có thể biểu diễn bởi một ma trận hàng: P = [ a, b, c, d] Nếu biểu diễn một điểm q thuộc P, tích vô hướng: P.v = 0 éx ù êy ú v=ê ú êz ú ê ú ëw û P.v = ax + by + cz + dw = 0 3. Ma trận biến đổi đồng nhất Ma trận biến đổi đồng nhất: q A (3 ´ 1)ù ma trận 4 x 4 é R ( AB ) ! ê ú ( AB ) T = ê""" ! """ ú êg (1 ´ 3) ! R(AB) xác định hướng của hệ di chuyển B đối với hệ cố định A xác định gốc của hệ toạ độ di chuyển đối với hệ cố định Sử dụng các phép biến đổi đồng nhất các toạ độ, có thể viết : p̂ ( A) = T ( AB) .p̂ ( B) éR ( AB) ! ê ( AB) T = ê""" ! ê0 0 0 ! ë ù q (A) ú """ú ( B) [ ] = px , py , pz , 1 T = [p u , p v , p w , 1] T p Ta có => R ( A) => p̂ Do đó: .p ( B) ( AB) -1 ( A ) =R ( AB)-1 =R ( AB)T ( AB)T ( AB) ( B) (A) =R =T ( AB) .p .p̂ +q ( AB) -1 ( B) ( A) (R R ( AB) ( AB)T Û p̂ ( B) .p ( B) +q (A) ) .q ( A ) =T éR ( AB) ! ê ( AB) -1 ( BA ) T =T = ê""" ! ê0 0 0 ! êë ( AB) -1 .p̂ (A) ( AB) -1 ( A ) ù 4. PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỒNG NHẤT HỖN HỢP Các ma trận biến đổi đồng nhất có thể được tổ hợp nhiều lần với nhau: ma trận biến đổi đồng nhất hỗn hợp. 5. BIỂU DIỄN CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI U: biểu