Trang 1
Hẹn nhau ở cổng trường đại học 2k9 ANH SHIPER TOÁN ĐỒNG HÀNH CÙNG 2K9 CHUYÊN ĐỀ. SẮP XẾP SỐ VÀ ĐỒ VẬT VÀO MÔ HÌNH CHO TRƯỚC Câu 1: Cho một bảng ô vuông 33 như hình vẽ. Điền ngẫu nhiên 9 số thuộc tập hợp X 0;1; 2;3; 4;5; 6;7;8;9 vào 9 ô vuông trong bảng (mỗi ô điền một số khác nhau). Gọi Y là a biến cố: “ Mỗi hàng, mỗi cột bất kì trong bảng đều có ít nhất một số lẻ”. Biết xác suất P Y b a (với a b, và là phân số tối giản). Khi đó a b bằng bao nhiêu? b Câu 2: Có bao nhiêu cách chọn sáu số từ chín số nguyên 1, 2,...,9 và điền vào các ô ở hình dưới đây (mỗi ô chỉ điền đúng một số) sao cho tổng các số ở mỗi cột (kể cả cột có một ô) bằng nhau? Anh Shiper Toán 1
Trang 2
Hẹn nhau ở cổng trường đại học 2k9 Câu 3: Cho một hình bát giác đều ABCDEFGH nội tiếp trong một đường tròn tâm O như hình bên. Gắn ngẫu nhiên tám số tự nhiên 9;10;11;12;13;14;15;16 vào tám đỉnh của bát giác đều này (mỗi số gắn đúng một đỉnh). Chọn ngẫu nhiên một tam giác có ba đỉnh lấy từ tám đỉnh của bát giác đã cho. Gọi xác suất để thu được một tam giác vuông với ba số trên ba đỉnh của tam giác m m (theo một thứ tự nào đó) lập thành một cấp số cộng là (m n, * ; là phân số tối giản). Giá n n trị của mn bằng bao nhiêu? Câu 4: Hai bạn An và Bình cùng chơi đánh cờ caro trên một bảng ô vuông kích thước 3x3 ( gồm 9 ô trống). Luật chơi quy định An đi trước, mỗi lượt điền một dấu “ X” vào một ô trống và Bình đi sau, mỗi lượt điền một dấu “ O” vào một ô trống. Trò chơi kết thúc và xác định được người chiến thắng nếu người đó tạo được 3 dấu của mình nằm liên tiếp nhau trên cùng một hàng ngang, hàng dọc hoặc đường chéo. Hỏi có tất cả bao nhêu trình tự các nước đi để ván cờ kết thúc chính xác ở nước đi thứ 5 với An là người giành chiến thắng? Anh Shiper Toán 2
Trang 3
Hẹn nhau ở cổng trường đại học 2k9 Câu 5: Người ta trang trí một bảng ở vuông 44 (như hình 1) bởi các ngôi sao và các bông hoa giống nhau. Mỗi ô vuông nhỏ được dán một ngôi sao hoặc một bông hoa, sao cho trong mỗi hàng hoặc mỗi cột của bảng ô vuông đều có 2 ngôi sao và 2 bông hoa (tham khảo một cách dán trong hình 2). Có tất cả bao nhiêu cách trang trí bảng ô vuông thỏa mãn yêu cầu trên? Câu 6: Một công ty muốn khuấy động sự vui nhộn cho các nhân viên sau những giờ làm việc vất vả, đã tổ chức trò chơi “XẾP HÀNG MAY MẮN”. Có 16 nhân viên tham gia trò chơi, mỗi nhân viên được gắn một mã số riêng biệt từ 1 đến 16. Họ được yêu cầu đứng ngẫu nhiên vào một bảng hình vuông kẻ sẵn trên nền sân khấu gồm 4 hàng và 4 cột (mỗi ô một người đứng, như hình minh họa là một trường hợp). Sau khi sắp xếp xong, người thư kí sẽ tính tổng của các mã số trên từng hàng và từng cột. Giám đốc công ty chưa biết kết quả của thư kí và lúc này mới đưa ra quy định chơi nếu cả 4 hàng và 4 cột đều có tổng là số lẻ thì 16 nhân viên sẽ được nhận thưởng thêm một tháng lương. m Xác suất để 16 nhân viên được nhận thưởng thêm một tháng lương bằng (m n, là các số tự n m nhiên, phân số tối giản). Tính T 200mn. n Anh Shiper Toán 3
Trang 4
Hẹn nhau ở cổng trường đại học 2k9 Câu 7: Điền vào mỗi ô vuông của bảng 33 một trong ba số 1;0;1 một cách ngẫu nhiên. Gọi T là xác suất để tổng các số trên mỗi hàng, mỗi cột và mỗi đường chéo của bảng đều bằng 0 . Tính 10000T (Kết quả làm tròn đến chữ số hàng phần trăm)? Câu 8: Từ tập A gồm 50 số tự nhiên liên tiếp A 1, 2,3,...., 49, 50, cần chọn ra 21 số phân biệt để gắn vào 21 ô vuông đơn vị như hình vẽ. Gọi T là số cách chọn số sao cho mọi số ở hàng trên luôn nhỏ hơn mọi số ở hàng dưới, mọi số bên trái luôn nhỏ hơn mọi số bên phải cùng hàng, đồng thời các số thuộc các ô A B C D E F, , , , , theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Giá trị log T bằng bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến chữ số hàng phần chục)? Anh Shiper Toán 4
Trang 5
Hẹn nhau ở cổng trường đại học 2k9 Câu 9: Cho tập hợp X 1, 2,3,...,15 và lưới ô vuông 33 . Xếp các số trên vào các ô (số có thể lặp lại không giới hạn). Gọi A là biến cố “ Tổng mỗi hàng là bội của 5 và tổng của các cột là bội của 1 3”. Tính xác suất của biến cố A biết rằng nó có dạng tìm giá trị của T ? T Câu 10: Trong một trò chơi bạn Bình cần vượt qua một thử thách. Theo yêu cầu của thử thách, Bình cần điền tất cả 15 số thuộc tập hợp gồm các số 0;12;3; 4;5;6; 7;8;10;11;12;15;16; 20 vào 15 ô vuông trong hình dưới sao cho thỏa mãn đồng thời ba điều kiện sau: + Mỗi ô điền đúng một số và mỗi số chỉ được sử dụng một lần. + Hiệu hai số ở hai ô bất kì khác nhau trên cùng một hàng không chia hết cho 5. + Hiệu hai số ở hai ô bất kì khác nhau trên cùng một cột không chia hết cho 5. Hai cách điền gọi là giống nhau nếu số điền ở mỗi ô tương ứng trong 15 ô là giống nhau (không tính đến thứ tự điền các số vào 15 ô vuông). Gọi H là số cách điền khác nhau để bạn Bình vượt H qua được thử thách. Giá trị của bằng bao nhiêu? 30 Anh Shiper Toán 5
Trang 6
Hẹn nhau ở cổng trường đại học 2k9 Câu 11: Một khung hình trang trí có dạng một đa giác đều 12 cạnh A A ...A (xem hình dưới) được gắn 1 2 12 cố định trên một trần nhà. Bạn Dũng có 12 bóng đèn gồm bốn bóng màu đỏ và tám bóng màu xanh, có công suất đôi một khác nhau. Bạn Dũng lắp ngẫu nhiên 12 bóng đèn trên vào 12 đỉnh A , A ,..., A sao cho mỗi đỉnh có đúng một bóng đèn. 1 2 12 Gọi P là xác suất để mỗi hình vuông (có bốn đỉnh là các đỉnh của đa giác đã cho) đều có ít nhất một bóng đèn màu đỏ. Giá trị của 3190P bằng bao nhiêu? Câu 12: Lớp mẫu giáo có 10 em bé, các bé đứng thành vòng tròn và cách đều nhau, đứng ở tâm vòng tròn là cô giáo. Mỗi bé cầm hai cờ, một xanh một đỏ trên mỗi tay. Cô giáo bảo "giơ lên cao một cờ", các bé giơ ngẫu nhiên một cờ. Gọi a là xác suất để không có 4 cờ nào cùng màu được giơ lên ở 2026 4 vị trí mà 4 vị trí ấy là 4 đỉnh của một hình chữ nhật. Giá trị của bằng bao nhiêu? (kết quả a làm tròn đến chữ số hàng đơn vị). Câu 13: Từ các số tự nhiên 1, 2,3,...,15 có bao nhiêu cách chọn ra 7 số phân biệt gắn vào 7 đỉnh A B C M N P Q, , , , , , trong hình sao cho cứ 3 đỉnh thẳng hàng thì có 3 số theo thứ tự lập thành một cấp số cộng? Anh Shiper Toán 6
Trang 7
Hẹn nhau ở cổng trường đại học 2k9 Câu 14: Bạn Nam tham gia một cuộc thi giải một mật thư. Theo quy tắc của cuộc thi, người chơi cần chọn ra sáu số từ tập S 41; 42; 43; 44; 45; 46; 47; 48; 49 và xếp mỗi số vào đúng một vị trí trong sáu vị trí A, B , C , M , N , P như hình vẽ bên sao cho mỗi vị trí chỉ được xếp một số. Mật thư sẽ được giải nếu các bộ ba số xuất hiện ở những bộ ba vị trí A M, , B, B N C, , , C P A, , tạo thành các cấp số cộng theo thứ tự đó. Bạn Nam chọn ngẫu nhiên sáu số trong tập S và xếp ngẫu nhiên vào các vị trí được yêu cầu. a 4 Gọi xác suất để bạn Nam giải được mật mã ở lần chọn và xếp đó là . Giá trị của bằng bao a nhiêu. Câu 15: Trong một trò chơi xếp số, người ta chọn ngẫu nhiên 5 số khác nhau từ tập S 1; 2; 3; . . . ; 30 và đặt mỗi số vào đúng một vị trí trong 5 vị trí A, B, C, D, E như hình vẽ, sao cho bên trong mỗi vị trí chỉ được xếp một số. Trò chơi kết thúc khi các điều kiện sau được thỏa mãn: • Những bộ ba vị trí A B C, , ,C D E, , theo thứ tự lập thành cấp số cộng. • Bộ ba vị trí A C E, , theo thứ tự lập thành cấp số nhân. 1 Xác suất kết thúc trò chơi ở một lần chọn và xắp sếp là a. Tính (Kết quả làm tròn đến 2026a chữ số hàng đơn vị). Anh Shiper Toán 7
Trang 8
Hẹn nhau ở cổng trường đại học 2k9 Câu 16: Sau một lễ hội, các món đồ trang trí trên tường cần được tháo xuống. Mỗi lần chỉ được tháo 1 món; và món được tháo ở mỗi lần phải thỏa mãn điều kiện: kề với đúng 1 món khác hoặc không kề với món nào. Sơ đồ các món đồ được cho như hình vẽ dưới đây. Hỏi có bao nhiêu cách tháo toàn bộ các món đồ? Câu 17: Có 9 vị trí treo cố định, được đánh số từ 1 đến 9 theo vòng tròn (như hình vẽ). Khoảng cách giữa các vị trí treo là như nhau, tạo thành các đỉnh của một đa giác đều có 9 cạnh. Do sai khác trong quá trình sản xuất, 9 đèn có trọng lượng khác nhau, là các số nguyên phân biệt từ 1 gam đến 9 gam. Để sân khấu được cân đối và an toàn, ban tổ chức phải treo đèn sao cho đồng thời thỏa mãn các điều kiện sau: Chia 9 đèn thành 3 nhóm, mỗi nhóm 3 đèn. Mỗi nhóm được treo vào 3 vị trí tạo thành một tam giác đều trên vành tròn (ba vị trí tạo thành một tam giác đều khi và chỉ khi chúng cách nhau đúng 3 vị trí theo vòng tròn). Tổng trọng lượng của 3 đèn trong mỗi nhóm phải bằng nhau. Hỏi có bao nhiêu cách treo đèn thỏa mãn yêu cầu? Anh Shiper Toán 8
Trang 9
Hẹn nhau ở cổng trường đại học 2k9 Câu 18: Cho tập hợp A {1, 2,, 20}. Điền ngẫu nhiên 4 số phân biệt từ tập A vào 4 hình tròn (gồm 1 hình tròn lớn và 3 hình tròn nhỏ có vai trò như nhau). Tính xác suất để số ở hình tròn lớn ( x) luôn lớn hơn tổng 2 số bất kỳ trong hình tròn nhỏ và nhỏ hơn tổng của cả 3 số ở hình tròn nhỏ. Câu 19: Một giờ hoạt động ngoài trời của lớp 1/1 trường tiểu học X, Cô giáo cho n 35 học sinh lớp mình nắm tay nhau xếp thành một vòng tròn để chơi trò chơi "Mèo bắt Chuột". Sau khi ổn định, Cô gọi tên ngẫu nhiên k 6 học sinh trong lớp ra giữa vòng (3 em làm Mèo, 3 em làm Chuột). Gọi a là xác suất để 6 em được gọi tên không có hai em nào đứng cạnh nhau trong vòng tròn ban đầu. Hãy tính giá trị S 11594a. Anh Shiper Toán 9
Trang 10
Hẹn nhau ở cổng trường đại học 2k9 ANH SHIPER TOÁN ĐỒNG HÀNH CÙNG 2K9 CHUYÊN ĐỀ. SẮP XẾP SỐ VÀ ĐỒ VẬT VÀO MÔ HÌNH CHO TRƯỚC Câu 1: Cho một bảng ô vuông 33 như hình vẽ. Điền ngẫu nhiên 9 số thuộc tập hợp X 0;1; 2;3; 4;5; 6;7;8;9 vào 9 ô vuông trong bảng (mỗi ô điền một số khác nhau). Gọi Y là a biến cố: “ Mỗi hàng, mỗi cột bất kì trong bảng đều có ít nhất một số lẻ”. Biết xác suất P Y b a (với a b, và là phân số tối giản). Khi đó a b bằng bao nhiêu? b Lời Giải: Đáp án: 43 Số phần tử của không gian mẫu là n A9 . 10 Ta có biến cố Y là biến cố: “ Có ít nhất một hàng hoặc một cột toàn chữ số chẵn”. Tập X gồm 5 chữ số chẵn và 5 chữ số lẻ nên ta có hai trường hợp sau: * Trường hợp 1: Bảng được xếp 5 chữ số lẻ và 4 chữ số chẵn. Do chỉ có 4 chữ số chẵn nên chỉ có tối đa đúng 1 cột hoặc 1 hàng toàn số chẵn. - Chọn bất kì một hàng hoặc một cột để xếp toàn số chẵn có 6 cách. - Chọn 5 trong 6 ô còn lại và xếp 5 số lẻ vào có A5 cách. 6 - Chọn 4 trong 5 số chẵn và xếp vào 4 ô còn lại có A4 cách. 5 Trường hợp này có 6. A5 . A4 518400 cách xếp thỏa mãn yêu cầu đề bài. 6 5 * Trường hợp 2: Bảng được xếp 4chữ số lẻ và 5chữ số chẵn. - Chọn bất kì một hàng hoặc một cột để xếp toàn số chẵn có 6 cách. - Chọn 4 trong 6 ô còn lại để xếp số lẻ vào có C4 cách. 6 - Chọn 4 trong 5 số lẻ và xếp vào 4 ô đã chọn có A4 cách. 5 - Xếp nốt 5 số chẵn vào 5 ô còn lại có 5! cách. Do 5 số chẵn có thể xếp đầy một hàng và một cột (chung nhau một ô) nên ta đã đếm lặp trường hợp có cả một cột và một hàng toàn số chẵn, trường hợp này có 3.3.A4.5! cách. 5 Anh Shiper Toán 10
Trang 11
Hẹn nhau ở cổng trường đại học 2k9 Suy ra trường hợp 2 có 6.C4.A4.5! 3.3. A4.5!1166400 cách. 6 5 5 Vậy xác suất cần tính là: 5184001166400 15 . P Y 1 P Y 1 A9 28 10 Khi đó ab 43. Câu 2: Có bao nhiêu cách chọn sáu số từ chín số nguyên 1, 2,...,9 và điền vào các ô ở hình dưới đây (mỗi ô chỉ điền đúng một số) sao cho tổng các số ở mỗi cột (kể cả cột có một ô) bằng nhau? Lời Giải: Đáp án: 48 a b c d e f Đặt a b c d e f, , , , , vào các ô như hình vẽ. Ta có a c f 1 2 3 6. Suy ra d có thể là 6, 7,8, 9 Trường hợp 1: d 6 a c f, , 1,2,3; b e, không có bộ nào thỏa. Trường hợp 2: d 7 a c f, , 1, 2,4; b e, không có bộ nào thỏa. Trường hợp 3: d 8 a c f, , 1,3,4; b e, 2,6. Suy ra có 3!.2! 12 cách. Trường hợp 4: d 9 Anh Shiper Toán 11
Trang 12
Hẹn nhau ở cổng trường đại học 2k9 a c f, , 1,2,6; b e, 4,5. Suy ra có 3!.2! 12 cách. a c f, , 1,3,5; b e, 2,7. Suy ra có 3!.2! 12 cách. a c f, , 2,3,4; b e, 1,8. Suy ra có 3!.2! 12 cách. Vậy có 12 12 12 12 48 cách thỏa mãn đề bài. Câu 3: Cho một hình bát giác đều ABCDEFGH nội tiếp trong một đường tròn tâm O như hình bên. Gắn ngẫu nhiên tám số tự nhiên 9;10;11;12;13;14;15;16 vào tám đỉnh của bát giác đều này (mỗi số gắn đúng một đỉnh). Chọn ngẫu nhiên một tam giác có ba đỉnh lấy từ tám đỉnh của bát giác đã cho. Gọi xác suất để thu được một tam giác vuông với ba số trên ba đỉnh của tam giác m m (theo một thứ tự nào đó) lập thành một cấp số cộng là (m n, * ; là phân số tối giản). Giá n n trị của mn bằng bao nhiêu? Lời Giải: Đáp án: 107 Cách gắn 8 số vào 8 đỉnh của bát giác là hoán vị của 8 phần tử có 8! cách. Số cách chọn 1 tam giác từ 8 đỉnh là C3 cách. 8 Vậy n 8! C 3 40320 56 2 257 920 . 8 Tam giác nội tiếp là tam giác vuông khi và chỉ khi có một cạnh là đường kính của đường tròn ngoại tiếp. - Bát giác có 4 đường kính: AE BF CG DH, , , . - Với mỗi đường kính, có 6 cách chọn đỉnh còn lại để tạo thành tam giác vuông. Anh Shiper Toán 12
Trang 13
Hẹn nhau ở cổng trường đại học 2k9 - Vậy có 46 24 tam giác vuông. Xét tập S {9,10,11,12,13,14,15,16}. Các bộ { , , }a b c (không tính thứ tự) lập thành cấp số cộng là - Công sai d 1: {9,10,11},{10,11,12},{11,12,13},{12,13,14},{13,14,15},{14,15,16} (6 bộ). - Công sai d 2 : {9,11,13},{10,12,14},{11,13,15},{12,14,16} (4 bộ). - Công sai d 3: {9,12,15},{10,13,16} (2 bộ). - Tổng cộng có 6 4 2 12 bộ số. Chọn 1 tam giác vuông trong 24 tam giác: 24 cách. Chọn 1 bộ số trong 12 bộ cấp số cộng: 12 cách. Hoán vị 3 số trong bộ vào 3 đỉnh của tam giác đã chọn có 3! cách. Hoán vị 5 số còn lại vào 5 đỉnh còn lại của bát giác có 5! cách. n A 24123!5! 207360 . nA 207360 9 Xác suất cần tìm là: PA . n 2257929 98 Vậy m9,n98. Giá trị của m n 998 107 . Câu 4: Hai bạn An và Bình cùng chơi đánh cờ caro trên một bảng ô vuông kích thước 3x3 ( gồm 9 ô trống). Luật chơi quy định An đi trước, mỗi lượt điền một dấu “ X” vào một ô trống và Bình đi sau, mỗi lượt điền một dấu “ O” vào một ô trống. Trò chơi kết thúc và xác định được người chiến thắng nếu người đó tạo được 3 dấu của mình nằm liên tiếp nhau trên cùng một hàng ngang, hàng dọc hoặc đường chéo. Hỏi có tất cả bao nhêu trình tự các nước đi để ván cờ kết thúc chính xác ở nước đi thứ 5 với An là người giành chiến thắng? Anh Shiper Toán 13
Trang 14
Hẹn nhau ở cổng trường đại học 2k9 Lời Giải: Đáp án: 1440 Để ván cờ kết thúc chính xác tại bước đi thứ 5 với An là người giành chiến thắng, ta thực hiện công việc gồm các công đoạn sau: Công đoạn 1: chọn một hàng ngang, hàng dọc hoặc đường chéo: có 8 cách chọn Công đoạn 2: Chọn vị trí điền dấu “ X” trên mỗi hàng ngang, hàng dọc hoặc đường chéo, có 3! cách. Công đoạn 3: Chọn 2 vị trí điền “ O” của bạn Bình ( trong 6 vị trí còn lại) có A2 cách. 6 Vậy số cách thỏa mãn yêu cầu bài toán là 8.3!.A2 1440(cách). 6 Câu 5: Người ta trang trí một bảng ở vuông 44 (như hình 1) bởi các ngôi sao và các bông hoa giống nhau. Mỗi ô vuông nhỏ được dán một ngôi sao hoặc một bông hoa, sao cho trong mỗi hàng hoặc mỗi cột của bảng ô vuông đều có 2 ngôi sao và 2 bông hoa (tham khảo một cách dán trong hình 2). Có tất cả bao nhiêu cách trang trí bảng ô vuông thỏa mãn yêu cầu trên? Lời Giải: Đáp án: 2502 Cách 1: Đặt mỗi ngôi sao là 1 điểm và mỗi bông hoa là 0 điểm, khi đó bài toán trở thành xếp các số vào bảng sao cho tổng mỗi hàng hoặc mỗi cột bằng 2. Gọi A : “Tổng mỗi hàng bằng 2” và B : “Tổng mỗi cột là 2” Ta có: n A n B C2 4 1296. 4 Khi đó ta cần tìm số phần tử của tập A B. Ta xét biến cố A B: “Tổng mỗi hàng và cột bằng 2” Anh Shiper Toán 14
Trang 15
Hẹn nhau ở cổng trường đại học 2k9 Ta xét các trường hợp hàng ngang thỏa mãn là: Loại I : 1;1; 0; 0, 0; 0;1;1. Loại II : 0;1;1; 0, 1; 0; 0;1. Loại III : 1; 0;1; 0, 0;1; 0;1. Trường hợp 1: Nếu cộng mỗi cặp cùng loại ta thấy rằng tổng các hàng sẽ bằng 1 nên ta sẽ dùng 2 hàng loại I là 1;1; 0; 0, 0; 0;1;1. Xếp 2 hàng 1;1; 0; 0 vào 2 trong 4 hàng có C2 cách và xếp 2 hàng 0;0;1;1 vào 2 hàng còn 4 lại có 1 cách. Tương tự với loại II và III , trường hợp này ta có C2 1 3 18 cách. 4 Trường hợp 2: Nếu cộng 4 cặp khác nhau ở 2 loại ta thấy rằng tổng các hàng sẽ là 2 nên ta sẽ dùng 4 hàng từ 2 loại. Chọn 2 loại từ 3 loại có C2 cách. 3 Sau khi chọn được 2 loại, ta sẽ có 4 hàng. Do các hàng đôi một khác nhau nên hoán vị hàng có 4! cách. Trường hợp này ta có C2 4! 72 3 Vậy các trường hợp của biến cố AB là 18 72 90 . Khi đó, n A B n A n B n A B 2502. Cách 2: Đặt mỗi ngôi sao biểu diễn bởi số 1 và mỗi bông hoa biểu diễn bởi số 0. Ta sẽ xếp lần lượt từng hàng: Hàng I : Chọn vị trí cho 2 số 1 có C2 và 2 số 0 vào hai vị trí còn lại có 1 cách, nên hàng I có 4 6 cách xếp: Hàng II và III ta sẽ xét ba trường hợp: Trường hợp 1: Hàng thứ II giống hàng I sẽ có 1 cách xếp. Hàng thứ III do đã có 2 cột đủ số 1 nên hàng thứ III chỉ có 1 cách xếp vào 2 cột còn lại. Trường hợp 2: Anh Shiper Toán 15
Trang 16
Hẹn nhau ở cổng trường đại học 2k9 Hàng thứ II có vị trí 1 số 1 giống với vị trí của 1 số 1 trên hàng I và số 1 còn khác vị trí số còn lại của hàng I , lúc này hàng II sẽ có 2 2 4 cách xếp. Hàng thứ III phải có 1 số 1 vào cột chưa có số 1 nên có 1 cách. Số 1 còn lại vào 2 cột chỉ có số 1 sẽ có 2, lúc này hàng III sẽ có 1 2 2 cách xếp. Trường hợp 3: Hàng thứ II không có vị trí số 1 trùng vị trí số 1 ở hàng I nên có 1 cách xếp. Do mỗi cột chỉ mới có 1 số 1 nên hàng thứ III xếp bất kì nên hàng III có 6 cách xếp. Hàng IV : Hàng thứ IV sẽ điều chỉnh để thỏa theo hàng I , II và III nên chỉ có 1 cách xếp. Vậy có tất cả 61 1 4 2 1 6 1 90 cách xếp thỏa. Câu 6: Một công ty muốn khuấy động sự vui nhộn cho các nhân viên sau những giờ làm việc vất vả, đã tổ chức trò chơi “XẾP HÀNG MAY MẮN”. Có 16 nhân viên tham gia trò chơi, mỗi nhân viên được gắn một mã số riêng biệt từ 1 đến 16. Họ được yêu cầu đứng ngẫu nhiên vào một bảng hình vuông kẻ sẵn trên nền sân khấu gồm 4 hàng và 4 cột (mỗi ô một người đứng, như hình minh họa là một trường hợp). Sau khi sắp xếp xong, người thư kí sẽ tính tổng của các mã số trên từng hàng và từng cột. Giám đốc công ty chưa biết kết quả của thư kí và lúc này mới đưa ra quy định chơi nếu cả 4 hàng và 4 cột đều có tổng là số lẻ thì 16 nhân viên sẽ được nhận thưởng thêm một tháng lương. Anh Shiper Toán 16
Trang 17
Hẹn nhau ở cổng trường đại học 2k9 m Xác suất để 16 nhân viên được nhận thưởng thêm một tháng lương bằng (m n, là các số tự n m nhiên, phân số tối giản). Tính T 200mn. n Lời Giải: Đáp án: 2315 Số phần tử của không gian mẫu: n( ) 16! Gọi A là biến cố: "Tổng các số ở mỗi hàng và mỗi cột đều là số lẻ". Trong các số từ 1 đến 16, có 8 số lẻ và 8 số chẵn. Để tổng bốn số trong một hàng là số lẻ thì số lượng số lẻ trong hàng đó phải là 1 hoặc 3. Tương tự cho mỗi cột. Vì tổng số số lẻ là 8, nên trong 4 hàng phải có đúng 2 hàng chứa 3 số lẻ và 2 hàng chứa 1 số lẻ. Tương tự, trong 4 cột cũng có đúng 2 cột chứa 3 số lẻ và 2 cột chứa 1 số lẻ. Chọn 2 hàng sẽ chứa 3 số lẻ (hai hàng còn lại chứa 1 số lẻ) có C2 6 cách. 4 Xét hai hàng đã chọn. - Hàng thứ nhất có 3 số lẻ có C3 4 cách chọn vị trí cho 3 chữ số lẻ. 4 - Hàng thứ hai không thể xếp 3 chữ số lẻ đồng thời cùng cột với 3 số lẻ của hàng trên, do đó có C3 1 3 cách chọn vị trí cho 3 chữ số lẻ. 4 Ứng với mỗi cách chọn vị trí của 2 hàng trên ta chỉ có 2! 2 cách chọn vị trí của số lẻ cho 2 hàng còn lại. Sắp xếp 8 số lẻ vào 8 vị trí đã chọn: Có 8! cách. Sắp xếp 8 số chẵn vào 8 vị trí còn lại: có 8! cách. n A 6.4.3.2.8!.8! n A( ) 8 Do đó P A( ) m 8,n 715 n() 715 Vậy T 200m n 2315. Câu 7: Điền vào mỗi ô vuông của bảng 33 một trong ba số 1;0;1 một cách ngẫu nhiên. Gọi T là xác suất để tổng các số trên mỗi hàng, mỗi cột và mỗi đường chéo của bảng đều bằng 0 . Tính 10000T (Kết quả làm tròn đến chữ số hàng phần trăm)? Anh Shiper Toán 17
Trang 18
Hẹn nhau ở cổng trường đại học 2k9 Lời Giải: Đáp án: 2, 54 Bảng có 9 ô vuông. Mỗi ô được điền một trong 3 số { 1,0,1} . Do đó, tổng số cách điền vào bảng là: N( ) 39 19683 Gọi các ô trong bảng 33 là a với i j, {1, 2,3}. Ta có các điều kiện cho tổng hàng, cột và ij đường chéo bằng 0: 3 3 3 Hàng: a 0, a 0 , a 0. 1 j 2 j 3 j j1 j1 j1 3 3 3 Cột: a 0, a 0, a 0. i1 i2 i3 i1 i1 i1 Đường chéo chính: a a a 0. 11 22 33 Đường chéo phụ: a a a 0. 13 22 31 Đầu tiên, hãy xét ô trung tâm a . Tổng của 4 đường đi qua tâm là: 22 S (a a a )(a a a )(a a a )(a a a ) 40 0 qua tâm 11 22 33 13 22 31 21 22 23 12 22 32 S (a a )(a a )(a a )(a a )4a 0 qua tâm 11 33 13 31 21 23 12 32 22 Tổng của 9 ô là: 3 3 3 3 a a a a 0 0 0 0 ij 1 j 2 j 3 j i j, 1 j1 j1 j1 Anh Shiper Toán 18
Trang 19
Hẹn nhau ở cổng trường đại học 2k9 3 a (a a ) (a a ) (a a ) (a a ) a 0 ij 11 33 13 31 21 23 12 32 22 i j, 1 Trừ phương trình thứ hai cho phương trình thứ nhất, ta được: 3a 0 a 0 22 22 Với a 0, các điều kiện đường chéo trở thành: 22 a a 0 a a 11 33 11 33 a a 0 a a Tương tự cho hàng 2 và cột 2: 13 31 13 31 a a 0 a a 21 23 21 23 a a 0 a a 12 32 12 32 8 ô còn lại được chia thành 4 cặp đối xứng qua tâm, giá trị của một ô xác định ô kia: (a ,a ), 11 33 (a ,a ), (a ,a ), (a ,a ). Chỉ còn 2 ràng buộc thực sự là: 13 31 21 23 12 32 1. Hàng 1: a a a 0 11 12 13 2. Cột 1: a a a 0 a a a 0 11 21 31 11 21 13 Đây là 2 phương trình với 4 biến tự do a ,a ,a ,a . Số cách chọn bộ ba (a ,a ,a ) có tổng 11 12 13 21 11 12 13 bằng 0 từ tập { 1,0,1} là: Các hoán vị của {1,1,0}: 3! 6 cách. Bộ ba {0,0,0}: 1 cách. Tổng cộng có 7 cách. Ta kiểm tra điều kiện a a a { 1, 0,1} cho mỗi trong 7 cách: 21 13 11 1. (a ,a ,a ) (1,1, 0) a 01 1 { 1, 0,1} (Hợp lệ) 11 12 13 21 2. (a ,a ,a ) (1, 0,1) a 1 1 2 { 1, 0,1} (Không hợp lệ) 11 12 13 21 3. (a ,a ,a ) ( 1,1, 0) a 0 ( 1) 1 { 1,0,1} (Hợp lệ) 11 12 13 21 4. (a ,a ,a ) ( 1, 0,1) a 1 ( 1) 2 { 1, 0,1} (Không hợp lệ) 11 12 13 21 5. (a ,a ,a ) (0,1,1) a 1 0 1 { 1, 0,1} (Hợp lệ) 11 12 13 21 6. (a ,a ,a ) (0,1,1) a 10 1 { 1, 0,1} (Hợp lệ) 11 12 13 21 Anh Shiper Toán 19
Trang 20
Hẹn nhau ở cổng trường đại học 2k9 7. (a ,a ,a ) (0, 0, 0) a 00 0 { 1, 0,1} (Hợp lệ) 11 12 13 21 Tổng số cách hợp lệ (số cách thuận lợi) là N A( ) 5. N A( ) 5 5 Do đó xác suất cần tính là:T N() 39 19683 5 50000 Vậy 10000T 10000 2.54. 19683 19683 Câu 8: Từ tập A gồm 50 số tự nhiên liên tiếp A 1, 2,3,...., 49, 50, cần chọn ra 21 số phân biệt để gắn vào 21 ô vuông đơn vị như hình vẽ. Gọi T là số cách chọn số sao cho mọi số ở hàng trên luôn nhỏ hơn mọi số ở hàng dưới, mọi số bên trái luôn nhỏ hơn mọi số bên phải cùng hàng, đồng thời các số thuộc các ô A B C D E F, , , , , theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Giá trị log T bằng bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến chữ số hàng phần chục)? Lời Giải: Đáp án: 8,5 Điều kiện "hàng trên nhỏ hơn hàng dưới", "trái nhỏ hơn phải" có nghĩa là 21 số được chọn khi sắp xếp tăng dần s s s sẽ có vị trí duy nhất trên bảng. 1 2 21 Dựa vào sơ đồ, ta xác định được vị trí của các ô chữ là ô cuối cùng của mỗi hàng: Hàng 1 (1 ô) kết thúc bằng ô A A là số thứ 1 overall: A s . 1 Hàng 2 (2 ô) kết thúc bằng ô B B là số thứ 3 tổng cộng: B s . 3 Hàng 3 (3 ô) kết thúc bằng ô C C là số thứ 1 2 3 6 : C s . 6 Anh Shiper Toán 20
Hiển thị 20 trang đầu. Tải tài liệu để xem đầy đủ.
Bình luận (0)
Chưa có bình luận nào. Hãy là người đầu tiên!