Trang 1
Hạt chuyển động trong hộp thế HẠT CHUYỂN ĐỘNG TRONG HỘP THẾ A. Phần MỞ ĐẦU I. Lý do chọn đề tài Hoá học lượng tử là một nội dung đặc biệt, chứa đựng rất nhiều khái niệm mới cùng các biểu thức toán học phức tạp. Qua những cuộc thi học sinh giỏi, câu hỏi về nội dung này đang ngày càng được khai thác sâu hơn, đồng thời đã xuất hiện nhiều lần trong các bài thi Quốc gia, Quốc tế. Trong phần lớn các câu hỏi trước đây, học sinh sẽ được cung cấp một số dữ kiện, thường là công thức đã được chứng minh và áp dụng để giải quyết yêu cầu đề bài nêu ra. Cách hỏi này đã để lại một khoảng trống trong nội dung học của các em. Thông thường, các em sẽ không hiểu được kiến thức gốc của hoá học lượng tử mà sẽ tập trung đọc để tìm cách áp dụng các công thức rời rạc. Với mục tiêu phát triển năng lực cho học sinh, chúng ta sẽ cần xây dựng chuyên đề “Hạt chuyện động trong hộp thế” với nội dung mới và khó này thành các câu hỏi và bài tập dẫn dắt các em làm quen từ khái niệm đến các công thức toán học và cách thức áp dụng. Điều này không chỉ góp phần phát triển năng lực tự học, đào sâu nghiên cứu mà còn đảm bảo tính liên tục trong sự phát triển nhận thức về thế giới tự nhiên của các em. II. Mục đích của đề tài 1. Nghiên cứu cơ sở lý thuyết của Cơ học lượng tử và áp dụng trong nội dung hạt chuyển động trong hộp thế. 2. Chọn lọc các nội dung lý thuyết hạt trong hộp thế đã được khai thác trong một số đề thi Quốc gia, quốc tế. 3. Xây dựng bộ câu hỏi nghiên cứu bài học liên quan đến chủ đề Hạt chuyển động trong hộp thế. 1
Trang 2
Hạt chuyển động trong hộp thế B. Phần NỘI DUNG I. Nghiên cứu cơ sở lý thuyết của Cơ học lượng tử và áp dụng trong nội dung Hạt chuyển động trong hộp thế Ứng dụng của lý thuyết lượng tử vào chuyển động tịnh tiến tiết lộ nguồn gốc của quá trình lượng tử hóa và các đặc điểm phi cổ điển, chẳng hạn như hiệu ứng đường hầm và năng lượng điểm không. Các lý thuyết này rất quan trọng để thảo luận về các nguyên tử và phân tử có thể di chuyển tự do trong một thể tích hạn chế, chẳng hạn như khí trong bình chứa. Chuyển động tịnh tiến, chuyển động qua không gian, là một trong những loại chuyển động cơ bản. Tuy nhiên, cơ học lượng tử cho thấy chuyển động tịnh tiến có thể có một số đặc điểm không cổ điển, chẳng hạn như sự giới hạn của nó với các năng lượng rời rạc và sự đi vào và đi qua các vùng cấm cổ điển. Các mức năng lượng tịnh tiến của một hạt bị giới hạn trong một vùng không gian hữu hạn được lượng tử hóa và trong một số điều kiện nhất định, các hạt có thể đi vào và xuyên qua các vùng cấm cổ điển. 1. Chuyển động tự do trong một chiều Một hạt tự do không bị ràng buộc bởi bất kỳ thế năng nào, có thể được coi là bằng không ở mọi nơi. Trong một chiều V(x) = 0 ở mọi nơi, do đó phương trình Schrödinger trở thành Cách trực tiếp nhất để giải phương trình vi phân bậc hai đơn giản này là lấy dạng tổng quát đã biết của các nghiệm của các phương trình loại này, sau đó chứng minh rằng nó thực sự thỏa mãn phương trình 7D.1. Với cách làm này chúng ta sẽ biến đổi để được phương trình có dạng sau: 2
Trang 3
Hạt chuyển động trong hộp thế Từ đó, ta có được kết quả: Nhận xét: Các hàm sóng trong phương trình trên là liên tục, có độ dốc liên tục ở mọi nơi, có giá trị đơn và không tiến tới vô cực: do đó chúng là các hàm sóng có thể chấp nhận được đối với mọi giá trị của k. Vì k có thể lấy bất kỳ giá trị nào, nên năng lượng có thể lấy bất kỳ giá trị không âm nào, kể cả số không. Do đó, năng lượng chuyển dịch của một hạt tự do không được lượng tử hóa. 2. Chuyển động giới hạn trong một chiều Xét một hạt trong hộp, trong đó một hạt có khối lượng m bị giới hạn trong một vùng không gian một chiều giữa hai bức tường không thể xuyên thủng. Năng lượng tiềm tàng bằng không bên trong hộp nhưng tăng đột ngột đến vô cực tại các bức tường nằm tại x = 0 và x = L. Khi hạt nằm giữa các bức tường, phương trình Schrödinger giống như đối với một hạt tự do, do đó, các nghiệm tổng quát đưa ra trong phương trình cũng giống nhau. Tuy nhiên, sẽ thuận tiện hơn khi viết lại hàm sóng theo sin và cos bằng cách sử dụng e±ikx = cos kx ± i sin kx: Các hằng số i(A − B) and A + B có thể được biểu thị C và D tương ứng Bên ngoài hộp, các hàm sóng phải bằng 0 vì hạt sẽ không được tìm thấy trong vùng mà thế năng của nó là vô hạn: Với x<0, x> L thì . 3
Trang 4
Hạt chuyển động trong hộp thế Hình 1. Thế năng của một hạt trong hộp một chiều. [ Thế năng bằng không từ x = 0 đến x = L, và sau đó tăng lên vô cực bên ngoài vùng này, tạo ra các bức tường không thể xuyên thủng giới hạn hạt.] 3. Giải pháp cho bài toán Hạt chuyển động trong hộp thế Một trong những yêu cầu đặt ra cho hàm sóng là nó phải liên tục. Từ đó suy ra rằng vì hàm sóng bằng không khi x < 0 (khi năng lượng thế là vô hạn) nên hàm sóng phải bằng không tại x = 0, là điểm mà năng lượng thế tăng lên vô cực. Tương tự như vậy, hàm sóng bằng không khi x > L và do đó phải bằng không tại x = L khi năng lượng thế cũng tăng lên vô cực. Hai hạn chế này là các điều kiện biên hoặc ràng buộc đối với hàm: và Bây giờ cần phải chứng minh rằng yêu cầu hàm sóng phải thỏa mãn các điều kiện biên này ngụ ý rằng chỉ một số hàm sóng nhất định là được chấp nhận và do đó chỉ một số năng lượng nhất định là được phép. Để thoả mãn điều kiện biện, các hàm sóng phải thoả mãn điều kiện: ψk(x) = C sin(nπx/L) với n = 1, 2, … và k = nπ/L. Vì k bị giới hạn với các giá trị trên nên năng lượng bị giới hạn ở các mức: Do đó, các hàm sóng và năng lượng chuẩn hóa được phép là 4
Trang 5
Hạt chuyển động trong hộp thế 4. Tính giá trị kì vọng Tính giá trị trung bình của vị trí của một electron ở trạng thái năng lượng thấp nhất trong một hộp thế một chiều có chiều dài L, với hàm sóng (chuẩn hóa) Tư duy: Giá trị trung bình của vị trí là giá trị kỳ vọng của toán tử tương ứng với vị trí, tức là phép nhân với x. Nhắc lại: Giá trị kỳ vọng trong hàm sóng chuẩn hóa, được định nghĩa bởi phương trình: Định nghĩa này có thể được chứng minh bằng cách xem xét hai trường hợp, một trường hợp trong đó hàm sóng là hàm riêng của toán tử và một hàm sóng khác là sự chồng chập các hàm riêng của toán tử đó. Để đánh giá 〈x〉, bạn cần phải đánh giá tích phân trong phương trình trên với Hướng dẫn: Giá trị kỳ vọng của vị trí là: Với Tích phân bị giới hạn trong vùng x = 0 đến x = L vì bên ngoài vùng này, hàm sóng bằng không. Sử dụng tích phân để có được 5
Trang 6
Hạt chuyển động trong hộp thế II. Chọn lọc các nội dung định hướng Hạt chuyển động trong hộp thế Các nội dung được đưa ra nhằm minh hoạ cho học sinh về dạng câu hỏi đã được khai thác trong các kì thi nhằm giúp học sinh có định hướng ban đầu về nội dung và yêu cầu cần đạt khi học chuyên đề. Nội dung định hướng 1: Bài tập chuẩn bị ICho 46-Việt Nam Mức năng lượng của 1 electron trong hộp thế 1 chiều được cho bởi công thức: Trong đó : h là hằng số Planck, m là khối lượng của electron, và L là chiều dài của hộp. 1.Các electron π trong phân tử mạch thẳng, liên hợp được coi như là trường hợp riêng của hạt trong hộp một chiều. Giả sử rằng, các electron π là không định vị (giải tỏa) trong toàn chiều dài phân tử với tổng số N electron π và sự sắp xếp của chúng tuân theo các quy luật của cơ học lượng tử. 1.1Biến đổi công thức chung cho ∆ELUMO – HOMO khi 1 electron được kích thích HOMO về LUMO. 1.2Tính bước sóng λ của sự hấp thụ từ HOMO đến LUMO 2.Áp dụng mô hình của các electron π trong hộp một chiều cho 3 phân tử tạo màu với cấu trúc sau đây 1,4 – diphenyl – 1,3 – butadien (có thể viết BD) 1,6 – diphenyl – 1, 3,5 – hexatrien (có thể viết HT) 1,8 – diphenyl 1, 3, 5,7 – octatetraen (có thể viết OT) Giả sử rằng các electron π được giải tỏa trong khu vực không gian giữa hai nhóm phenyl với chiều dài L được tính gần đúng bằng (2k + 1). (0,14) nm, trong đó k là số lượng liên 6
Trang 7
Hạt chuyển động trong hộp thế kết đôi. 2 .1 Tính chiều dài L (A°) của hộp cho mỗi chất màu. 2.2 Xác định bước sóng λ (nm) của sự hấp thụ đối với các phân tử của chất màu nghiên cứu. 3.Tính toán lại chiều dài hộp L (A°) cho 3 phân tử màu, giả sử rằng các electron π được giải tỏa trên toàn bộ mạch liên hợp mà được biểu diễn bằng các đường vẽ nằm giữa hai nhóm phenyl. Góc liên kết C – C – C là 120° và chiều dài trung bình của liên kết C – C là 0,140 nm. 4.Cho các giá trị thực nghiệm sau đây về bước sóng hấp thụ λ Chất BD HT OT λ (nm) 328,5 350,9 586,1 4.1Xác định chiều dài L (A°) của mạch cacbon liên hợp cho mỗi chất màu nghiên cứu. 4.2Lập bảng các giá trị của chiều dài hộp L cho những chất màu tính được ở trên bằng 3 phương pháp khác nhau, ghi là 1, 2, 3. Chọn phương pháp phù hợp với dữ kiện thực nghiệm nhất.Cho biết giá trị thực nghiệm của LBD = 7,66 A° ; LHT = 8,64 A°. Nội dung định hướng 2: Ở bài tập trên, ta đã biết công thức năng lượng của hạt trong hộp 1 chiều. Một electron trong 1 hộp 1 chiều 10 nm được kích thích từ trạng thái cơ bản tới một trạng thái có năng lượng cao hơn bằng cách hấp thụ một photon của bức xạ điện từ với bước sóng bằng 1,374.10-5 m. 1.1 Chênh lệch năng lượng ∆E giữa hai trạng thái nói trên bằng bao nhiêu ? 1.2 Xác định trạng thái năng lượng cuối cho sự chuyển dịch trên. 2. Có thể mở rộng mô hình cho hộp thế 2 chiều với hai chiều Lx, Ly dẫn đến biểu thức năng lượng sau : Xem xét 1 electron bị giam trong hộp 2 chiều với Lx = 8,00 nm theo trục x và Ly = 5,00 nm theo trục y. 7
Trang 8
Hạt chuyển động trong hộp thế 2.1 Số lượng tử cho 3 mức năng lượng cho phép đầu tiên bằng bao nhiêu ? Viết 3 mức năng lượng, Exy, theo thứ tự tăng dần năng lượng ? 2.2 Tính bước sóng ánh sáng cần thiết để chuyển 1 electron từ trạng thái kích thích thứ nhất lên trạng thái kích thích thứ 2.3. Mở rộng mô hình hạt trong hộp thế 3 chiều với bộ 3 số lượng tử không phụ thuộc vào nhau và có giá trị nguyên. Một phân tử O2 bị giam trong hộp lập phương thể tích 8,00 m3. Giả sử rằng phân tử này có năng lượng 6,173.10-21 J ; nhiệt độ T = 298K. 3.1 Tính giá trị của . Trong sự gần đúng để đánh giá chênh lệch năng lượng của hệ này, giả sử rằng 2 mức năng lượng gần nhau nhất ứng với n và n + 1. 3.2. Giá trị tách năng lượng giữa mức n và n + 1 bằng bao nhiêu ? 4. Trong cơ học lượng tử, một mức năng lượng được gọi là suy biến nếu nó tương ứng với 2 hay nhiều hơn trạng thái có thể xác định được của hệ lượng tử. Xem xét 1 hạt trong hộp lập phương. Sự suy biến của mức mà ở đó có năng lượng 21/3 lần mức năng lượng thấp nhất ? Nội dung định hướng 3: (IChO 46- Việt Nam) Trong cơ học lượng tử, sự chuyển động của electron π dọc theo một mạch cacbon liên hợp, trung hòa về điện tích có thể được mô tả bằng phương pháp “hạt chuyển động trong hộp”. Năng lượng của electron π được tính theo công thức sau: . Trong đó: n là số lượng tử (n = 1, 2, 3,…), h là hằng số Planck; m là khối lượng của electron và L là chiều dài của hộp, có thể tính gần đúng bằng công thức: L = (k + 2).1,4 A° (k là số lượng liên kết đôi liên hợp dọc theo mạch cacbon trong phân tử). Một photon với bước sóng λ thích hợp có thể kích thích 1 electron π từ orbital phân tử bị chiếm cao nhất (HOMO – Highest Occupied Molecular 8
Trang 9
Hạt chuyển động trong hộp thế Orbital) đến orbital phân tử không bị chiếm thấp nhất (LUMO – Lowest Unoccupied Molecular Orbital). Một công thức kinh nghiệm gần đúng cho mô hình này, cho mối liên hệ giữa bước sóng λ với số liên kết đôi k và hằng số B như sau: 1. Sử dụng công thức kinh nghiệm này với B = 65, 01 nm hãy tính giá trị của bước sóng λ (nm) cho octatetraen (CH2 =CH–CH=CH–CH=CH–CH=CH2). 2. Biến đổi từ (công thức 1) (một biểu thức cho bước sóng (nm) liên quan đến sự chuyển dời electron từ HOMO đến LUMO) theo số hạng k và hằng số vật lí cơ bản, và từ đó tính giá trị lý thuyết của của hằng số Bcalc. 3. Chúng ta mong muốn tổng hợp polyen mạch thẳng mà trong đó sự kích thích của 1 electron π từ HOMO đến LUMO đòi hỏi bước sóng hấp thụ gần với 600 nm. Sử dụng biểu thức của bạn ở phần 2, xác định số liên kết đôi liên hợp (k) trong polyen này và đưa ra cấu trúc của nó. (Nếu bạn không giải được phần 2, sử dụng công thức kinh nghiệm, với B = 65,01 nm để làm phần 3) 4. Đối với phân tử polyen tìm ở phần 3, tính chênh lệch năng lượng giữa HOMO và LUMO, ∆E, (kJ.mol-1). Trong trường hợp phần 3 chưa giải được, lấy k = 5 để tính toán phần này. 5. Mô hình cho hạt trong hộp một chiều có thể mở rộng cho hình hộp chữ nhật 3 chiều với 3 chiều Lx, Ly, Lz kết quả là biểu thức sau cho các mức năng lượng cho phép: Ba số lượng tử nx, ny, nz phải là số nguyên và không phụ thuộc vào nhau. 5.1 Đưa ra biểu thức cho 3 mức năng lượng thấp nhất khác nhau, giả sử hộp là lập phương với chiều dài cạnh là L. 5.2 Các mức có cùng năng lượng được gọi là suy biến. Vẽ phác họa tất cả các mức năng lượng bao gồm cả các mức suy biến, có liên hệ tới số lượng tử từ 1 đến 2 đối với hộp lập phương. III. Bộ câu hỏi nghiên cứu bài học nội dung Hạt chuyển động trong hộp thế 9
Trang 10
Hạt chuyển động trong hộp thế Câu hỏi thảo luận 1. Giải thích nguồn gốc vật lý của quá trình lượng tử hóa đối với một hạt bị giới hạn bên trong một hộp thế một chiều. Phương trình Schrödinger cho một hạt tự do, tức là một hạt có thế năng bằng không, được giải bằng các hàm có dạng = sin kx với bất kì giá trị nào của k. Năng lượng tương ứng là . Giải pháp này áp dụng bên trong hộp nhưng, vì thế năng đi đến vô hạn bên ngoài hộp, trong các vùng này hàm sóng phải bằng không. Tại các bức tường của hộp, hàm sóng phải liên tục, và do đó khi hàm sóng bên trong hộp đi đến các bức tường, nó phải bằng không. Giả sử các bức tường ở x = 0 và x = L thì điều kiện này chỉ được thỏa mãn nếu k = nL, trong đó n = 1, 2, . . .. do đó năng lượng được lượng tử hóa với các giá trị . Câu hỏi thảo luận 2. Mô tả các đặc điểm của cách giải bài toán hạt trong hộp một chiều xuất hiện trong cách giải bài toán hạt trong hộp hai chiều và ba chiều. Đặc điểm nào xuất hiện trong hộp hai chiều và ba chiều mà không xuất hiện trong hộp một chiều? Toán tử hamiltonian đối với một hạt trong hộp hai hoặc ba chiều có thể tách thành tổng các số hạng, mỗi số hạng chỉ phụ thuộc vào một trong các biến x, y hoặc z. Do đó, các nghiệm của phương trình Schrödinger là tích của các hàm riêng biệt của từng biến này, (x, y, z) = (x)(y)(z). Trong toán tử hamiltonian, các số hạng trong ba biến đều có cùng dạng, do đó, các hàm sóng cũng có cùng dạng. Tương tự, các điều kiện biên theo từng hướng đều giống nhau, do đó, lượng tử hóa mà điều này áp đặt là giống nhau. Do đó, các hàm sóng chỉ đơn giản là tích của các hàm sóng sẽ được tìm thấy bằng cách giải phương trình Schrödinger theo từng hướng riêng biệt. Các mức năng lượng của hộp hai và ba chiều có thể suy biến, nghĩa là có các hàm sóng khác nhau có cùng năng lượng. thường là kết quả của việc hộp có một loại đối xứng nhất định, ví dụ trong hộp hai chiều mà hai cạnh có cùng độ dài thì các mức có số lượng tử n l, n2 = m và n1 = m, n2 = l là suy biến. Câu hỏi thảo luận 3. Giải thích nguồn gốc vật lý của hiệu ứng đường hầm cơ học lượng tử. Tại sao hiệu ứng đường hầm có nhiều khả năng góp phần vào cơ chế chuyển electron 10
Trang 11
Hạt chuyển động trong hộp thế và quá trình chuyển proton hơn là cơ chế phản ứng chuyển nhóm, như AB + C → A + BC (trong đó A, B và C là các nhóm phân tử lớn)? Nguồn gốc vật lý của hiệu ứng đường hầm liên quan đến mật độ xác suất của hạt, theo cách diễn giải của Born là bình phương của hàm sóng biểu diễn hạt. Cách diễn giải này yêu cầu hàm sóng của hệ thống phải liên tục ở mọi nơi, ngay cả tại các rào cản. Do đó, nếu hàm sóng khác không ở một bên của rào cản thì nó phải khác không ở bên kia của rào cản và điều này ngụ ý rằng hạt đã chui vào rào cản. Xác suất truyền phụ thuộc vào khối lượng của hạt: khối lượng càng lớn thì xác suất chui vào càng nhỏ. Electron và proton có khối lượng nhỏ, nhóm phân tử có khối lượng lớn; do đó, hiệu ứng đường hầm có thể quan sát được nhiều hơn trong quá trình liên quan đến electron và proton. BT 1. Đánh giá động lượng tuyến tính và động năng của một electron tự do được mô tả bởi hàm sóng a) eikx với k = 3 nm−1. b) e−ikx với k = 5 nm−1. Động lượng tuyến tính của một electron tự do được tính bởi công thức: Với 1J = 1kgm2s-2 động năng tính được là: BT 2. Viết hàm sóng cho một hạt có khối lượng 2,0 g chuyển động về bên trái với động năng 20 J. Viết hàm sóng cho một hạt có khối lượng 1,0 g chuyển động về bên phải với vận tốc 10 m s−1. Electron đang di chuyển theo hướng x âm do đó động lượng và giá trị k đều âm. Động năng liên quan đến k thông qua phương trình . Biến đổi lại ta có giá trị k: 11
Trang 12
Hạt chuyển động trong hộp thế Hàm sóng khi đó có dạng: BT 3. Tính toán sự phân tách năng lượng theo joule, kilojoule trên mol, electronvolt và centimet nghịch đảo giữa các mức (i) n = 2 và n = 1; (ii) n = 6 và n = 5 của một electron trong hộp có chiều dài 1,0 nm. Mức năng lượng của một hạt trong hộp được đưa ra bởi . Để chuyển đổi sang kJ mol−1, hãy nhân với hằng số Avogadro và chia cho 1000. Để chuyển đổi sang electronvolt chia cho điện tích cơ bản Để chuyển đổi sang centimet nghịch đảo, chia cho hc, với c tính bằng cm s−1 Sự tách biệt năng lượng giữa hai mức có số lượng tử n1 và n2 là Các giá trị trong các đơn vị khác nhau được tìm thấy bằng cách sử dụng giá trị thích hợp của hằng số, được tính toán ở trên. 12
Trang 13
Hạt chuyển động trong hộp thế BT 4. Đối với một hạt trong hộp một chiều, hãy chứng minh rằng các hàm sóng ψ1 và ψ2 là trực giao. Các hàm sóng là và BT 5. Tính xác suất tìm thấy một hạt giữa khoảng cách 0,49L và 0,51L trong hộp có chiều dài L đối với (i) ψ1, (ii) ψ2. Bạn có thể xem như hàm sóng là hằng số trong phạm vi này, do đó xác suất là ψ2δx. Hàm sóng của hạt trong hộp với số lượng tử n được cho bởi Xác suất tìm thấy electron trong một vùng không gian nhỏ tập trung vào vị trí x được ước tính gần đúng là . Đối với Bài tập này x = 0,50L, = 0,02L. Đối với trường hợp n = 1: Đối với trường hợp n = 2: BT 6. Đối với một hạt trong hộp có chiều dài L, hãy phác họa hàm sóng tương ứng với trạng thái có năng lượng thấp nhất và trên cùng một đồ thị mật độ xác suất tương ứng. Không tính các giá trị tích phân nào, hãy giải thích tại sao giá trị kỳ vọng của x bằng L/2. Hàm sóng của trạng thái năng lượng thấp nhất đối với một hạt trong hộp có n = 1. 13
Trang 14
Hạt chuyển động trong hộp thế Và dẫn đến mật độ xác suất Đồ thị của những phương trình này có dạng như sau: Mật độ xác suất đối xứng qua x = L/2. Do đó, có xác suất bằng nhau để quan sát hạt ở vị trí x′ tùy ý và tại L − x′, do đó vị trí trung bình của hạt tại điểm L/2. BT 7. Đối với một hạt trong hộp có chiều dài L, hãy phác họa hàm sóng tương ứng với trạng thái có n = 1 và trên cùng một đồ thị, hãy phác họa mật độ xác suất tương ứng. Không đánh giá bất kỳ tích phân nào, hãy giải thích tại sao đối với hàm sóng này, giá trị kỳ vọng của x2 không bằng (L/2)2. Mật độ xác suất được vẽ biểu đồ cung cấp xác suất hạt được tìm thấy trong một khoảng ở một giá trị cụ thể của x – nghĩa là, đó là mật độ xác suất của x. Đây không phải là mật độ xác suất của x2, do đó không có cách đơn giản nào để suy ra giá trị của từ biểu đồ. Thực tế là mật độ xác suất của x đối xứng quanh L/2 không phải mật độ xác suất của x2 có cùng tính chất. Do đó, không thể có = (L/2)2. BT 8. Một electron bị giới hạn trong một giếng vuông có chiều dài L. Chiều dài của hộp sẽ là bao nhiêu để năng lượng điểm không của electron bằng năng lượng khối lượng nghỉ của nó, mec2? Hãy biểu thị câu trả lời của bạn theo tham số λC = h/mec, ‘bước sóng Compton’ của electron. Đối với một electron trong một giếng vuông cạnh L, năng lượng của trạng thái được đặc trưng bởi các số lượng tử n1 và n2 được biểu diễn bởi công thức: 14
Trang 15
Hạt chuyển động trong hộp thế trong đó nx, ny là các số nguyên lớn hơn hoặc bằng một. Do đó, năng lượng điểm không hoặc năng lượng cực tiểu có nx = ny = 1, Đặt giá trị này bằng với năng lượng nghỉ mec2 và sắp xếp lại theo chiều dài, L trong đó λC = h/(mec) là bước sóng Compton. BT 9. Đối với một hạt trong hộp có chiều dài L và ở trạng thái n = 3, tại những vị trí nào mật độ xác suất là cực đại? Tại những vị trí nào mật độ xác suất bằng không? Hàm sóng cho một hạt trong hộp một chiều có chiều dài L và ở trạng thái n = 3: Có hàm sóng ; và mật độ xác suất ; Vì đây là một hàm lượng giác, hàm này đạt giá trị cực đại khi sin2(3πx/L) = 1, tức là khi sin(3πx/L) = ±1; các giá trị này xảy ra khi đối số của hàm sin là bội số lẻ của π/2: 3πx/L = π/2, 3π/2, 5π/2... nên x = L/6, L/2, 5L/6… Mật độ xác suất bằng không khi hàm sóng bằng không, tức là khi đối số của hàm sin là bội số của π: 3πx/L = 0, π, 2π ... nên x = 0, L/3, 2L/3… BT 10. Đối với một hạt trong hộp có chiều dài L, hãy viết biểu thức cho các mức năng lượng En, và sau đó viết một biểu thức tương tự E’n cho các mức năng lượng khi chiều dài của hộp tăng lên 1,1L (tức là tăng 10 phần trăm). Tính (En’-En)/ En, là sự thay đổi năng lượng phát sinh do việc kéo dài hộp. 15
Trang 16
Hạt chuyển động trong hộp thế BT 11. Tìm biểu thức cho giá trị n của một hạt có khối lượng m trong một hộp thế một chiều, có chiều dài L sao cho khoảng cách giữa các mức lân cận bằng năng lượng trung bình của chuyển động nhiệt (1 kT). Tính giá trị n cho trường hợp một 2 nguyên tử helium trong một hộp có chiều dài 1 cm ở 298 K. Chênh lệch năng lượng giữa các mức liền kề (n và n + 1) được tính theo công thức: Theo đề bài, khoảng năng lượng trên bằng với năng lượng trung bình của chuyển động nhiệt (1 kT). Do đó: 2 Đối với một nguyên tử helium, khối lượng 4,00 mu trong một hộp có chiều dài 1 cm: BT 12. Đối với một hạt trong hộp vuông cạnh L, tại vị trí nào (hoặc các vị trí nào) thì mật độ xác suất đạt giá trị cực đại nếu hàm sóng có n1 = 2, n2 = 2? Ngoài ra, hãy mô tả vị trí của bất kỳ nút hoặc các nút nào trong hàm sóng. Mật độ xác suất là Mật độ xác suất đạt cực đại khi chỉ xảy ra khi mỗi hàm sin có giá trị bằng ±1. Do đó 16
Trang 17
Hạt chuyển động trong hộp thế Lập luận tương tự đối với y nên ta có: mật độ xác suất cực đại xảy ra tại (x, y) = (L/4, L/4); (L/4, 3L/4); (3L/4, L/4); (3L/4, 3L/4) Các nút xuất hiện khi hàm sóng đi qua điểm không, tức là khi một trong hai số hạng sin bằng không, loại trừ các ranh giới tại x = 0, Ly = 0, L vì tại các điểm này, hàm sóng không đi qua điểm không. Do đó, có một nút khi sin (2πx/L) = 0, tương ứng với x = L/2 và bất kỳ giá trị nào của y. Do đó, nút này là một đường thẳng tại x = L/2 và song song với trục y. Tương tự như vậy, có một đường thẳng nút khác tại y = L/2 và song song với trục x. Giải thích khái niệm: Trong hóa học lượng tử, node (nút) là vùng hay mặt trong không gian mà tại đó hàm sóng của electron bằng 0, nghĩa là ở đó xác suất tìm thấy electron cũng bằng 0. Các node chính xác định sự biến đổi về dấu của hàm sóng và do đó có tác động rất lớn đến hình dạng của orbital cũng như năng lượng của hệ thống. BT 13. Đối với một hạt trong một hộp chữ nhật có các cạnh dài L1 = L và L2 = 2L, hãy tìm trạng thái suy biến với trạng thái n1 = n2 = 2. (Gợi ý: Bạn sẽ cần thử nghiệm với một số giá trị có thể có của n1 và n2). Sự thoái biến này có liên quan đến tính đối xứng không? Các mức năng lượng cho một hộp chữ nhật, chiều dài các cạnh L1, L2 là Đối với trường hợp cụ thể khi L1 = L, L2 = 2L, Năng lượng của trạng thái với n1 = n2 = 2 là 17
Trang 18
Hạt chuyển động trong hộp thế Trạng thái suy biến với trạng thái trên có n1 = 1, n2 = 4: Câu hỏi về sự suy biến thường đi kèm với tính đối xứng và gợi ý rằng người ta có thể ngạc nhiên khi tìm thấy sự suy biến trong một hộp có chiều dài không bằng nhau. Tính đối xứng là vấn đề về bậc. Hộp đang xét ít đối xứng hơn hộp vuông, nhưng nó đối xứng hơn hộp có các cạnh không phải là số nguyên hoặc tỷ lệ vô tỷ. Mọi trạng thái của hộp vuông ngoại trừ những trạng thái có n1 = n2 đều thoái hóa (với trạng thái có n1 và n2 đảo ngược). Chỉ một số ít trạng thái trong hộp chữ nhật này là thoái hóa. Trong hệ thống này, trạng thái (n1, n2) là thoái hóa với trạng thái (n2/2, 2n1) miễn là trạng thái sau (a) tồn tại (nghĩa là n2/2 phải là số nguyên) và (b) khác với (n1, n2). Một hộp có các cạnh không thể ước lượng, chẳng hạn như L và √2L, sẽ không có các mức suy biến. BT 14. Hãy xem xét một hạt trong một hộp lập phương. Sự suy biến của mức có năng lượng gấp ba lần mức thấp nhất là bao nhiêu? Các mức năng lượng của một hộp lập phương được tính bởi công thức: trong đó n1, n2, n3 là các số nguyên lớn hơn hoặc bằng 1. Do đó, trạng thái năng lượng thấp nhất là trạng thái có n1 = n2 = n3 = 1, với năng lượng và do đó năng lượng của mức có năng lượng gấp ba lần mức năng lượng thấp nhất là sẽ được tạo ra bởi các trạng thái mà . Có ba trạng thái có năng lượng này, (n1, n2, n3) = (1, 2, 2), (2, 1, 2), (2, 2, 1), và do đó sự suy biến là 3. 18
Trang 19
Hạt chuyển động trong hộp thế BT 15. Tính khoảng cách giữa hai mức năng lượng thấp nhất của một phân tử O2 trong một bình chứa một chiều dài 5,0 cm. Ở giá trị nào của n thì năng lượng của phân tử đạt tới (1 kT) ở 300 K và khoảng cách giữa mức này và mức ngay bên dưới 2 là bao nhiêu? Mức năng lượng của một hạt trong một hộp một chiều là . Khối lượng phân tử của O2 là 2 × 16,00 amu × 1,6605 × 10−27 kg = 5,3136 × 10−26 kg. Để tìm giá trị n làm cho năng lượng bằng với năng lượng nhiệt trung bình, đặt Sự tách biệt của mức n với mức ngay bên dưới nó, n − 1, là En − En−1 BT 16. Tính giá trị kỳ vọng của x và x2 cho một hạt ở trạng thái n = 1 trong thế giếng vuông một chiều. Hàm sóng chuẩn hóa với n = 1 là được sử dụng trong công thức . Tính giá trị kỳ vọng cho các trường hợp và . Với a = L và k = /L 19
Trang 20
Hạt chuyển động trong hộp thế BT 17. Một phân tử nitrogen được chứa trong một hộp lập phương có thể tích 1,00 m3. (i) Giả sử rằng phân tử có năng lượng bằng tại T = 300 K, giá trị của đối với phân tử này là bao nhiêu? (ii) Khoảng cách năng lượng giữa các mức n và n + 1 là bao nhiêu? (iii) Bước sóng de Broglie của phân tử là bao nhiêu? Các mức năng lượng của một hạt trong hộp lập phương được đưa ra bởi công thức: với và L là chiều dài cạnh của hộp, sao cho thể tích của nó là V = L3. Khối lượng của một phân tử N2 là 28 mu = 4.6494 × 10−26 kg. Để tìm giá trị n làm cho năng lượng bằng với năng lượng nhiệt trung bình , ta có: (ii) sự tách biệt giữa các mức năng lượng kế cận nhau là: 20
Hiển thị 20 trang đầu. Tải tài liệu để xem đầy đủ.
Bình luận (0)
Chưa có bình luận nào. Hãy là người đầu tiên!