Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập GIẢI ĐỀ CƯƠNG ĐẠI SỐ CHƯƠNG V Nhóm ngành 1 Bài 1. Cho  f là dạng song  tuyến tính trên không gian 3 chiều V có ma trận đối với cơ sở β = {u1 , u2 , u3 } 1 −1 0   . Cho h : V → V là ánh xạ tuyến tính có ma trận đối với cơ sở β là là A =  −1 1 1 −2 −3 a) Xác định f (u1 , u3 ) , f (u1 − u2 + u3 , 2u1 + 3u2 − u3 ) b) Chứng minh ánh xạ g (u, v) = f (u, h (v)) là dạng song tuyến tính trên V . Tìm ma trận của nó đối với cơ sở β Lời giải a) Ta có:    h i  1 −1 0  0 T    f (u1 , u3 ) = [u1 ]β · A · [u3 ]β = 1 0 0 ·  −2 0 −2 · 0 = 0 f (u1 − u2 + u3 , 2u1 + 3u2 − u3 ) = [u1 − u2 + u3 ]Tβ · A · [2u1 + 3u2 − u3 ]β          = 1 −1 1 ·  −2 0 −2 ·  3  = 14 b) Ta có: h : V → V là ánh xạ tuyến tính có ma trận đối với cơ sở β là B. ⇒ [h (v)]β = B.[v]β (∀v). f là dạng song tuyến tính trên không gian 3 chiều V ⇒ f (u, h(v)) = [u]Tβ · A · [h(v)]β (∀u, h(v) ∈ V ). Suy ra: g(u, v) = f (u, h(v)) = [u]Tβ · A · [h(v)]β = [u]Tβ · A · B · [v]β Khi  đó có thể dễ dàng chứng minh được:  g(au1 + bu2 , v) = ag(u1 , v) + bg(u2 , v) ∀a, b ∈ R  g(u, av + bv ) = ag(u, v ) + bg(u, v ) Vậy g là dạng song tuyến tính trên V có ma trận đối với cơ sở β là AB. Nhóm đại số - CLB Hỗ trợ học tập 1 Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập Bài 2. Cho dạng song tuyến tính trên P2 [x] xác định bởi f(p(x), q(x)) = p(1)q(2). Tìm ma trận và biểu thức của f đối với cơ sở chính tắc. Lời giải Ta có: f(1, 1) = 1 f(1, x) = 2 f(1, x2 ) = 4 f(x, 1) = 1 f(x, x) = 2 f(x, x2 ) = 4 f(x2 , 1) = 1 f(x2 , x) = 2 f(x2 , x2 ) = 4   1 2 4    , suy ra: Vậy ma trận của f đối với cơ sở chính tắc là  1 2 4 f(a1 x2 +b1 x+c1 , a2 x2 +b2 x+c2 ) = a1 a1 +2a1 a2 +4a1 a3 +a2 a1 +2a2 a2 +4a2 a3 +a3 a1 +2a3 a2 +4a3 a3 Bài 3. Trên R3 cho các dạng toàn phương ω có biểu thức tọa độ: ω1 (x1 , x2 , x3 ) = x1 2 + 5x2 2 − 4x3 2 + 2x1 x2 − 4x1 x3 . ω2 (x1 , x2 , x3 ) = x1 x2 + 4x1 x3 + x2 x3 . a) Bằng phương pháp Lagrange, đưa dạng toàn phư