ĐỀ THI GIỮA KÌ MÔN GIẢI TÍCH 3 – HỌC KÌ 20182 NHÓM NGÀNH 2 K63 Lời giải: Trần Bá Hiếu – KSTN Dệt K64 +∞ Câu 1: Xét sự hội tụ của chuỗi số ∑ (3n − 1) = ∑ (3n − 1) ln 3 (e n − 1) Chuỗi đã cho là chuỗi dương ∀n ≥ 1 Khi n → +∞ ∶ +∞ ∑ ln 3 3 1 √n ln 3 (e n − 1) ~ là chuỗi hội tụ do α = n=1 n2 ln 3 → chuỗi đã cho là chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn so sánh +∞ 2 n−1 n n Câu 2: Xét sự hội tụ của chuỗi số ∑ 2 ( ) n n=1 Chuỗi đã cho là chuỗi dương ∀n ≥ 1 Áp dụng tiêu chuẩn cauchy, ta có: 2 n−1 n 1 n n √ lim 2 ( ) = lim 2. (1 − ) = lim 2. e−1 < 1 n→+∞ n→+∞ n→+∞ n n n → Chuỗi đã cho hội tụ +∞ n 2x − 1 2n Câu 3: Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm số sau ∑ 2 ( ) n −2 2x − 1 2 n Đặt ( . t n = ∑ an t n ) = t ( t ≥ 0 ) . Chuỗi đã cho trở thành ∑ 2 x n −2 | = lim | 2 | n→+∞ an+1 n→+∞ n − 2 (n + 1)2 − 2 Bán kính hội tụ là R = lim | n[(n + 1)2 − 2] = lim | 2 |=1 n→+∞ (n − 2)(n + 1) Trần Bá Hiếu – KSTN Dệt K64 Tại t = 1 ∶ khi n → +∞ n 1 ~ phân kỳ. Suy ra chuỗi hội tụ khi chỉ khi t ∈ [0,1) n2 − 2 n 2x − 1 2 Xét 0 ≤ ( ) <1 x → −1 < 2 − → 1< <x<1 3 1 Suy ra miền hội tụ là ( ; 1) 3 Câu 4: Khai triển hàm số f(x) = x thành chuỗi lũy thừa của x − 1 x+4 Đặt t = x − 1 → x = t + 1 → f(t) = =1− . t t+5 t+5 5 +1 5 Khai triển maclaurin f(t)tại t = 0 là +∞ 4 −1 n n 1 − ∑( ) .t 5 5 n=0 Suy ra chuỗi taylor của f(x) tại x = 1 là +∞ 4 −1 n 1 − ∑ ( ) . (x − 1)n 5 5 n=0 Câu 5: Giải phương trình vi phân √x + 1dy + y. ln2 y dx = 0 → dx √x + 1 =− dy y. ln2 y Tích phân 2 vế → ∫ dx √x + 1 = ∫− → 2√x + 1 + C = dy y. ln2 y 1 ln y Trần Bá Hiếu – KSTN Dệt K64 → Tích phân tổng quát là u(x, y, C) = 2√x + 1 − 1 +C=0 ln y Câu 6: Giải phương trình vi phân (x. y ′ − 1) ln x = 2y → x. ln x . y ′ − 2y = ln x → y′ − 2y 1 = x ln x x thừa số tích phân là 2dx ∫ −x ln x p(x) = e = e−2 ln ln x = 1 ln2 x nhân cả 2 vế với p(x), ta có: 1 2 ln x ln2 x x ln3 x x ln2 x ′ 1 1 → ( 2 . y) = ln x x ln2 x lấy tích phân 2 vế ln2 x ln x → y = − ln x + C. ln2 x Câu 7: Giải phương trình vi phân toàn