Đề thi thử — Đề Giải tích 2 (Lớp chất lượng cao CLC) - Mã đề 2304

1. 問題 1

   (L.O.2) Let $F(x)$ be an antiderivative of the function $\frac{\ln x}{\sqrt[3]{x}}$, satisfying $F(1)=$ -2.25. Which of the following statements is true?

   A

   $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} F(x)=0$

   B

   $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} F(x)=+\infty$

   C

   $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} F(x)=1$

   D

   All other statements are wrong.

   正解を見る

   正解：A

   Đặt $I=\int x^{-1/3}\ln x\,dx$.

   Tích phân từng phần với $u=\ln x$, $dv=x^{-1/3}dx$ ta được $du=\frac{dx}{x}$, $v=\frac{3}{2}x^{2/3}$.

   Suy ra $I=\frac{3}{2}x^{2/3}\ln x-\frac{3}{2}\int x^{-1/3}dx=\frac{3}{2}x^{2/3}\ln x-\frac{9}{4}x^{2/3}+C$.

   Vì $F(1)=-\frac{9}{4}+C=-\frac{9}{4}$ nên $C=0$.

   Do đó $F(x)=\frac{3}{2}x^{2/3}\ln x-\frac{9}{4}x^{2/3}$.

   Khi $x\to0^+$, ta có $x^{2/3}\to0$ và $x^{2/3}\ln x\to0$, nên $\lim_{x\to0^+}F(x)=0$.

   Vậy A đúng; B, C sai vì giới hạn bằng 0, D sai vì A đúng.

2. 問題 2

   (L.O.2) Given the function $y=y(x)$ defined by the parametric equation $x=\sin t-2 t, y=2(1-\cos (2 t)) .$ On which of the following intervals is this function decreasing?

   A

   $\left(-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right)$

   B

   $\left(\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{4}\right)$

   C

   $\left(0, \frac{\pi}{4}\right)$

   D

   $\left(\frac{3 \pi}{4}, \frac{5 \pi}{4}\right)$

   正解を見る

   正解：C

   Với $x=\sin t-2t$, $y=2(1-\cos 2t)$ ta có $\frac{dx}{dt}=\cos t-2<0$ với mọi $t$ nên $x$ giảm theo $t$.

   $\frac{dy}{dt}=4\sin 2t$, do đó $\frac{dy}{dx}=\frac{4\sin 2t}{\cos t-2}$. Vì mẫu luôn âm nên hàm $y(x)$ giảm khi $\sin 2t>0$.

   $\sin 2t>0$ khi $t\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$ (cộng chu kỳ $\pi$). Khoảng $\left(0,\frac{\pi}{4}\right)$ nằm trọn trong đó nên hàm giảm.

   Các khoảng còn lại sai: $\left(-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4}\right)$ và $\left(\frac{3\pi}{4},\frac{5\pi}{4}\right)$ chứa điểm đổi dấu của $\sin 2t$; trên $\left(\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{4}\right)$ có $\sin 2t<0$ nên hàm tăng. Vậy chọn C.

3. 問題 3

   (L.O.2) Let $F(x)$ be a function satisfying $F^{\prime}(x)=\frac{\arcsin ^{2} x}{\sqrt{1-x^{2}}}$. Given that $\lim _{x \rightarrow 1^{-}} F(x)=0$. Find $F(-0.9)$

   A

   -1.7599

   B

   -1.0559

   C

   -2.1119

   D

   -1.2319

   正解を見る

   正解：A

   Đặt $u=\arcsin x$ thì $du=\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$, nên $F(x)=\int u^2du=\frac{(\arcsin x)^3}{3}+C$.

   Vì $\lim_{x\to1^-}F(x)=0$ và $\arcsin1=\frac{\pi}{2}$, ta có $0=\frac{(\pi/2)^3}{3}+C$, suy ra $C=-\frac{\pi^3}{24}$.

   Do đó $F(-0.9)=\frac{(\arcsin(-0.9))^3}{3}-\frac{\pi^3}{24}=-\frac{(\arcsin0.9)^3}{3}-\frac{\pi^3}{24}$.

   Tính số: $\arcsin0.9\approx1.1197695$, nên $F(-0.9)\approx-0.468020-1.291928=-1.759948$, khớp phương án A.

   Các phương án B, C, D lệch xa

4. 問題 4

   Find all values of $a$ such that $\int_{0}^{\infty}(x+1) e^{a x} d x=2$

   A

   $a=-1$ or $a=1 / 2$

   B

   $a=1 / 2$

   C

   $a$ does not exist

   D

   $a=-1$

   正解を見る

   正解：D

   Để tích phân $\int_{0}^{\infty}(x+1)e^{ax}\,dx$ hội tụ tại $+\infty$, cần có $a<0$; nếu $a\ge 0$ thì tích phân phân kỳ.

   Đặt $a=-k$ với $k>0$, ta có $\int_0^\infty (x+1)e^{-kx}\,dx=\int_0^\infty x e^{-kx}\,dx+\int_0^\infty e^{-kx}\,dx=\frac{1}{k^2}+\frac{1}{k}$.

   Theo đề: $\frac{1}{k^2}+\frac{1}{k}=2 \Leftrightarrow 1+k=2k^2 \Leftrightarrow 2k^2-k-1=0 \Leftrightarrow k=1$ (vì $k>0$).

   Suy ra $a=-1$. Kiểm tra: $\int_0^\infty (x+1)e^{-x}\,dx=1+1=2$, đúng.

   Vậy đáp án D đúng; B sai vì $a=1/2>0$ làm tích phân phân kỳ; A sai vì chứa $a=1/2$; C sai vì tồn tại $a=-1$.

5. 問題 5

   (L.O.2) Let $y=f(x)$ be a function whose graph is shown in the figure below. Let $g(x)=\int_{-10}^{x} f(t) \mathrm{d} t$. Given that the areas of regions 1, 2 and 3 are 1.3, 3.5 and 9.6, respectively. Find the maximum value of $g(x)$, where $-10 \leq x \leq 2$.

   A

   -6.1

   B

   1.5

   C

   None of the others

   D

   -7.4

   正解を見る

   正解：A

   Vì $g'(x)=f(x)$ nên $g$ tăng khi $f>0$ và giảm khi $f<0$. Cực đại của $g$ đạt tại điểm $f$ đổi dấu từ dương sang âm.

   Ta có $g(-10)=0$. Miền 3 nằm dưới trục hoành nên $g$ giảm: $g=-9.6$. Miền 2 nằm trên trục hoành nên $g$ tăng: $g=-9.6+3.5=-6.1$. Sau đó miền 1 nằm dưới trục hoành nên $g$ giảm: $g=-6.1-1.3=-7.4$.

   Giá trị cực đại của $g$ là $-6.1$.

22問すべてに解答すると、採点されて詳しい解説を見られます。