Đề thi thử — Đề Giải tích 2 (Lớp Chất lượng cao CLC) - Mã đề 2302

1. 問題 1

   (L.O.1) Given the parametric curve: $\left\{\begin{array}{l} x=t^{2}+1, \\ y=\sqrt{t+2} . \end{array}\right.$ The equation of the tangent line to this curve at $(1,2)$ is

   A

   $4 \sqrt{3} x-y=4 \sqrt{3}-2$

   B

   $4 \sqrt{3} x-y=10$

   C

   The tangent line does not exist

   D

   $4 x+y=6$

   正解を見る

   正解：D

2. 問題 2

   (L.O.1) The total number of asymptotes (vertical, horizontal, slant) of the curve $y=\frac{x-2}{\sqrt{4-x^{2}}}$ is

   A

   3

   B

   2

   C

   0

   D

   1

   正解を見る

   正解：D

   Tập xác định: $4-x^2>0 \Rightarrow -2<x<2$.

   Tại $x=-2$: $\lim_{x\to -2^+}\frac{x-2}{\sqrt{4-x^2}}=-\infty$ vì tử dần về $-4$, mẫu dần về $0^+$, nên $x=-2$ là tiệm cận đứng.

   Tại $x=2$: $\lim_{x\to 2^-}\frac{x-2}{\sqrt{4-x^2}}=\lim_{x\to 2^-}-\

3. 問題 3

   Find all values of $a$ such that $\int_{0}^{\infty}(x+1) e^{a x} d x=2$

   A

   $a=-1$ or $a=1 / 2$

   B

   $a=1 / 2$

   C

   $a$ does not exist

   D

   $a=-1$

   正解を見る

   正解：D

   Để tích phân $\int_{0}^{\infty}(x+1)e^{ax}\,dx$ hội tụ tại $+\infty$, cần có $a<0$; nếu $a\ge 0$ thì tích phân phân kỳ.

   Đặt $a=-k$ với $k>0$, ta có $\int_0^\infty (x+1)e^{-kx}\,dx=\int_0^\infty x e^{-kx}\,dx+\int_0^\infty e^{-kx}\,dx=\frac{1}{k^2}+\frac{1}{k}$.

   Theo đề: $\frac{1}{k^2}+\frac{1}{k}=2 \Leftrightarrow 1+k=2k^2 \Leftrightarrow 2k^2-k-1=0 \Leftrightarrow k=1$ (vì $k>0$).

   Suy ra $a=-1$. Kiểm tra: $\int_0^\infty (x+1)e^{-x}\,dx=1+1=2$, đúng.

   Vậy đáp án D đúng; B sai vì $a=1/2>0$ làm tích phân phân kỳ; A sai vì chứa $a=1/2$; C sai vì tồn tại $a=-1$.

4. 問題 4

   (L.O.1) Let $f(x)$ be a function satisfying $f(6.3)=6.7, f^{\prime}(6.3)=5$. Using the linear approximation to estimate the value of $f(5.985)$, we obtain

   A

   5.1250

   B

   2.8895

   C

   8.275

   D

   7.1105

   正解を見る

   正解：A

   Công thức xấp xỉ tuyến tính: $f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a)$.

   Chọn $a=6.3$, $x=5.985$, ta có $x-a=5.985-6.3=-0.315$.

   Suy ra $f(5.985)\approx f(6.3)+f'(6.3)(5.985-6.3)=6.7+5(-0.315)=6.7-1.575=5.125$.

   Vậy kết quả là $5.1250$, các đáp án B, C, D không bằng giá trị này.

5. 問題 5

   (L.O.1) Let $y(x)$ be the solution of the differential equation: $y^{\prime}+\frac{2 y}{x}=$ $3, y(1)=1.8$, then:

   A

   $y(2)=2.8$

   B

   $y(2)=2.2$

   C

   $y(2)=2.5$

   D

   $y(2)=2.575$

   正解を見る

   正解：B

   Phương trình $y'+\frac{2}{x}y=3$ là phương trình vi phân tuyến tính cấp 1.

   Thừa số tích phân là $\mu(x)=e^{\int \frac{2}{x}dx}=x^2$.

   Nhân hai vế với $x^2$: $(x^2 y)'=3x^2$.

   Lấy tích phân: $x^2 y=x^3+C$, suy ra $y=x+\frac{C}{x^2}$.

   Thay điều kiện $y(1)=1.8$: $1+C=1.8$ nên $C=0.8$.

   Do đó $y(2)=2+\frac{0.8}{2^2}=2+0.2=2.2$.

   Các phương án còn lại sai vì không bằng giá trị tính được: $2.8$, $2.5$, $2.575$ đều không thỏa mãn nghiệm tại $x=2$.

22問すべてに解答すると、採点されて詳しい解説を見られます。