Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập GIẢI ĐỀ CƯƠNG MÔN GIẢI TÍCH I NHÓM NGÀNH 1 CHƯƠNG I: PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN SỐ Câu 1. Tìm tập xác định của các hàm số: √ 2 arccot x − π √ x c) y = sin πx a) y = b) y = arcsin 2x 1+x d) y = arccos (sin x) [Hướng dẫn giải] a) y = √ 2 arccot x − π π ⇔x≤0 2 +) Kết luận: Tập xác định của hàm số là D = (−∞, 0] +) ĐKXĐ: 2 arccot x − π ≥ 0 ⇔ arccot x ≥ b) y = arcsin 2x 1+x  −1 ≤ 2x ≤ 1 1+x +) ĐKXĐ:  1 + x ̸= 0  x ̸= −1 ⇔ −1  ≤x≤1 +) Kết luận: Tập xác định của hàm số là D = − , 1 3 √ x c) y = sin πx    x ≥ 0 x ≥ 0 x ≥ 0 ⇔ ⇔ +) ĐKXĐ: πx ̸= kπ (k ∈ Z) x ̸∈ Z sin πx ̸= 0 +) Kết luận: Tập xác định của hàm số là D = (0, ∞) \ N∗ d) y = arccos (sin x) +) ĐKXĐ: −1 ≤ sin x ≤ 1 ⇔ x ∈ R +) Kết luận: Tập xác định của hàm số là D = R Câu 2. Chứng minh các đẳng thức sau: a) sinh (−x) = − sinh x b) sinh (x + y) = sinh x cosh y+cosh x sinh y c) cosh (x + y) = cosh x cosh y+sinh x sinh y d) cosh2 x − sinh2 x = 1 e) sinh 2x = 2 sinh x cosh x f) cosh 2x = cosh2 x + sinh2 x [Hướng dẫn giải] 1 Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập a) sinh (−x) = − sinh x sinh x = e − e 2−x +) Ta có: x  sinh (−x) = e − e 2 +) Kết luận: sinh (−x) = − sinh x b) sinh (x + y) = sinh x cosh y + cosh x sinh y +) Ta có: sinh x cosh y + cosh x sinh y ex − e−x ey + e−y ex + e−x ey − e−y = (ex+y + ex−y − e−x+y − e−x−y ) + (ex+y − ex−y + e−x+y − e−x−y ) 4 4 = ex+y − e−(x+y) = sinh (x + y) 2 +) Kết luận: sinh (x + y) = sinh x cosh y + cosh x sinh y = c) cosh (x + y) = cosh x cosh y + sinh x sinh y +) Ta có: cosh x cosh y + sinh x sinh y ex + e−x ey + e−y ex − e−x ey − e−y = (ex+y + ex−y + e−x+y + e−x−y ) + (ex+y − ex−y − e−x+y + e−x−y ) 4 4 = ex+y + e−(x+y) = cosh (x + y) 2 +) Kết luận: cosh (x + y) = cosh x cosh y + sinh x sinh y = d) cosh2 x − sinh2 x = 1  x 2  x 2 e + e−x e − e−x 1 +) Ta có: cosh x − sinh x = − = .(2 + 2) = 1 +) Kết luận: cosh2 x − sinh2 x = 1 e) sinh 2x = 2 sinh x cosh x ex − e−x ex + e−x e2x − e−