1 ÔN CAO HỌC ĐẠI HỌC NGOẠI THƯƠNG TÀI LIỆU HỌC TẬP GIÁO TRÌNH - PGS.TS Nguyễn Cao Văn (Cb), Giáo trình Lý thuyết xác suất và Thống kê Toán, NXB Thống kê. - PGS.TS Nguyễn Cao Văn (Cb), Bài tập Xác suất và thống kê Toán, NXB Thống kê. GIẢNG VIÊN: TS. Vương Thị Thảo Bình vuongbinh@ftu.edu.vn Mobile: 0983466899 p. 2 Phần 1. Ôn tập về xác suất Bổ trợ về đại số tổ hợp -Quy tắc nhân: n = n1n2…nk -Chỉnh hợp: - Hoán vị P(n) = n! - Tổ hợp - Chỉnh hợp lặp A B C ! ( )! k n n A n k = − k k n B =n ! ( 1)...( 1) !( )! ! k n n n k k n k n Ck n − − + = − = p. 3 Chương 1. Biến cố và xác suất của biến cố Phép thử và biến cố VD: Tung một con xúc xắc xuống đất là một phép thử. Việc lật lên một mặt nào đó gọi là biến cố. Biến cố chắc chắn Biến cố không thể có Biến cố ngẫu nhiên phép thử: tung một con xúc xắc cđ 6 bc sơ cấp: "xuất hiện 1 chấm", "xh 2 chấm", ..., "xh 6 chấm" BC "xuất hiện mặt có số chấm ≤ 6" là biến cố ........... BC "xuất hiện mặt có số chấm = 7" là biến cố .................. BC "xuất hiện mặt 1 chấm " là biến cố ................... p. 4 Mối quan hệ giữa các biến cố a) Quan hệ kéo theo: kí hiệu A ⊂ B hoặc A⇒B VD A = “xuất hiện mặt 1 chấm ” B = “xuất hiện mặt có số chấm lẻ” b) Quan hệ tương đương: kí hiệu A = B VD: A="xuất hiện mặt có số chấm là chẵn" B= "xuất hiện mặt có số chấm chia hết cho 2" c) Biến cố xung khắc Ai = “xuất hiện mặt i chấm” A1, A2 xung khắc Ω B A Ω=U A B p. 5 d) phép cộng (hợp): A+B hoặc A∪B ĐN: C = A+B nếu C xảy ra khi có ít nhất một trong hai bc A hoặc B xảy ra C= A1+A2+…+An VD1: Hai thợ săn cùng bắn vào một con thú. A = "Người thứ nhất bắn trúng" B = "Người thứ hai bắn trúng“ C = A + B =……. VD2: Tung một con xúc xắc cđ, đchất. Gọi Ai là biến cố xuất hiện mặt có i chấm, gọi A là biến cố xuất hiện mặt có số chấm chẵn. Khi đó: A = A2 + A4 + A6 ? A, B có thể cùng xảy ra trong 1 phép thử không? Ω A B p. 6 2 e) Phép toán nhân (Giao): A.B hoặc A∩B C = A.B nếu C xảy ra khi và chỉ khi cả hai biến cố A và B cùng đồng thời xảy ra. VD1: Hai thợ săn cùng bắn vào một con thú. A = "Người thứ nhất bắn trượt" B = "Người thứ hai bắn trượt“ C = AB = ? TQ: A1.A2…An Ω A B p. 7 g) Hiệu của hai bc A và B: Kí hiệu A\B VD: Gieo xx cđ, đch. B = "Xuất hiện mặt 3 chấm" A = "Xuất hiện mặt có số chấm là bội của 3" A\B = "Xuất hiện mặt 6 chấm" h) Biến cố đối: Hiệu U\A là bc đối của bc A, kí hiệu i) Nhóm đầy đủ các bc xung khắc từng đôi: Nhóm A1,...,An gọi là xktđ nếu 2 bc bất kỳ trong họ xk VD Nhóm A1,...,An gọi là đầy đủ nếu A1+...+An = U VD tung xx Nhóm A1,...,An gọi là nhóm bc đầy đủ và xktđ nếu A1,...,An là nhóm đầy đủ và là nhóm xktđ VD1: nhóm A và VD2: Tung xx.... A A p. 8 • Một số tính chất A + U = U ; A.U = A ; A + V = A ; A.V = V ; A + A = A ; A.A = A ; A(B+C) = AB + AC A + B = B + A ; AB = BA ; A+(B+C) = (A+B)+C A.(BC) = (AB).C Nếu A ⊂ B thì A.B = A, A+B = B. A, B xung khắc ⇔ AB = φ A+ = B AB. A.BAB = + p. 9 Xác suất biến cố Định nghĩa xác suất theo lối cổ điển VD1: Gieo một con xúc xắc cân đối đồng chất. Tính xác suất xuất hiện mặt chẵn. VD2: Một lô hàng có 200 sản phẩm trong đó có 5 sản phẩm xấu. Kiểm tra ngẫu nhiên 1 sản phẩm. Tính xác suất để sản phẩm kiểm tra là tốt. Hạn chế:- đòi hỏi số kết cục đồng khả năng hữu hạn - thực tế, nhiều khi không thể biểu diễn kết quả của phép thử thành t/h bc duy nhất đồng kn Sè tr−êng hîp cã thÓ x¶ y ra Sè tr−êng hîp thuËn lîi cho A = = n m P(A) p. 10 Định nghĩa xác suất theo thống kê ĐN tần suất: Thực hiện phép thử n lần. Biến cố A xuất hiện m lần. m gọi là tần số của biến cố A f(A)=m/n được gọi là tần suất xuất hiện biến cố A ĐN: Cho số phép thử tăng lên vô hạn, tần suất xuất hiện A dần về một số xác định gọi là xs của biến cố A. P(A) = Về mặt thực tế, với n đủ lớn, ta có thể lấy P(A) ≈ f(A) limn m →∞ n p. 11 VD: Một xạ thủ bắn 1000 viên đạn vào bia. Có xấp xỉ 50 viên trúng bia. Khi đó XS để xạ thủ bắn trúng bia là: VD: Tiến hành tung đồng tiền nhiều lần để khả năng xuất hiện mặt sấp và thu được kết quả 5% 1000 50 = 0,5069 0,5016 0,5005 2048 6019 12012 4040 12000 24000 A B C Tần suất f(A) = m