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MODELISATION FINANCIERE ET GESTION DE PORTEFEUILLE Louis ESCH Master complémentaire en gestion des risques financiers Option « Finance »
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RAPPELS 1. Mathématique 4 1.1. Calcul matriciel 4 1.2. Fonctions d’une variable 10 1.3. Fonctions de plusieurs variables 13 2. Probabilités 16 2.1. Variables aléatoires 16 2.2. Aléas multivariés 23 2.3. Processus stochastiques 26 3. Statistique 30 3.1. Echantillonnage et estimation 30 3.2. Régressions 33 4. Tableur 35 4.1. Notion de formule matricielle 35 4.2. Quelques fonctions matricielles 36 4.3. Quelques fonctions statistiques 37 Table de la distribution normale 41 INTRODUCTION Deux éléments fondamentaux 42 Deux principes de base 43 Notion de modèle d’évaluation 44 ACTIONS 1. Fondements 47 1.1. Rendement et risque 47 1.2. Efficience des marchés 58 1.3. Modèles d’évaluation d’une action 62 2. Diversification et gestion de portefeuille 66 2.1. Principes de diversification 66 2.2. Diversification et taille du portefeuille 70 2.3. Modèle de Markowitz et algorithme de la ligne critique 72 2.4. Modèle à indice somple de Sharpe 89 2.5. Modèle avec titre non risqué 96 2.6. Méthode d’Elton, Gruber et Padberg 102 2.7. Théorie de l’utilité et sélection du portefeuille optimal 108 2.8. Le modèle de marché 114 3. Modèle d’équilibre des actifs financiers et applications 117 3.1. Capital asset pricing model 117 3.2. Arbitrage pricing theory 122 3.3. Evaluation des performances 125 3.4. Stratégies de gestion d’un portefeuille d’actions 129 4. Modèles d’évolution des actions 132 4.1. Modèles déterministes 135 4.2. Modèles stochastiques 137 Modélisation financière et gestion de portefeuille – L. Esch – MCGRF – HEC-ULg Page 2
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OBLIGATIONS 1. Caractéristiques et évaluation 142 1.1. Définitions 142 1.2. Rendement d’une obligation 143 1.3. Evaluation d’une obligation 147 2. Obligations et risque financier 148 2.1. Sources de risque 148 2.2. Duration 150 2.3. Convexité 157 3. Structure déterministe des taux d’intérêt 159 3.1. Courbes de taux 159 3.2. Structure statique de taux d’intérêt 160 3.3. Structure dynamique de taux d’intérêt 164 3.4. Modélisation déterministe et modélisation aléatoire 166 4. Stratégies de gestion d’un portefeuille obligataire 167 4.1. Stratégie passive : immunisation 167 4.2. Stratégie active 170 5. Modèles stochastiques d’évolution des obligations 172 5.1. Modèles d’arbitrage à une variable d’état 173 5.2. Modèle de Vasicek 176 5.3. Modèle de Cox, Ingersoll et Ross 180 OPTIONS 1. Définitions 184 1.1. Caractéristiques 184 1.2. Utilisation 186 2. Valeur d’une option 188 2.1. Valeur intrinsèque et valeur-temps 188 2.2. Volatilité 191 2.3. Paramètres de sensibilité 192 2.4. Propriétés générales 195 3. Modèles d’évaluation 198 3.1. Modèle binomial pour les options sur action 200 3.2. Modèle de Black et Scholes pour les options sur action 208 3.3. Autres modèles d’évaluation 215 Modélisation financière et gestion de portefeuille – L. Esch – MCGRF – HEC-ULg Page 3
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CHAPITRE 1 MATHEMATIQUE, PROBABILITES, STATISTIQUE, TABLEUR : RAPPELS 1.1. MATHEMATIQUE 1.1.1. Calcul matriciel Matrices et vecteurs Nous appellerons matrice d’ordre n un ensemble de n2 nombres réels constituant un tableau carré formé de n lignes et de n colonnes1. Une matrice est généralement représentée par une lettre majuscule (A par exemple), ses éléments se représentant par la lettre minuscule correspondante (a) affectée de deux indices repérant respectivement la ligne et la colonne d’appartenance de l’élément : aij est l’élément de la matrice A situé à l’intersection de la i- ème ligne et de la j-ème colonne de A. La matrice A peut donc s’écrire de manière générale comme suit : a a L a L a 11 12 1j 1n a a L a L a 21 22 2 j 2n M M M M A = . a a L a L a i1 i2 ij in M M M M a a L a L a n1 n2 nj nn De même, un vecteur de dimension n est un ensemble de n nombres réels formant un tableau d’une colonne. Les éléments d’un vecteur sont les composantes de celui-ci et se repèrent par un seul indice : x 1 x 2 M X = . x i M x n 1 D’une manière plus générale, une matrice est en fait un tableau rectangulaire de format (m, n) : m lignes et n colonnes. Nous n’aurons néanmoins besoin ici que des matrices carrées. Modélisation financière et gestion de portefeuille – L. Esch – MCGRF – HEC-ULg Page 4
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Matrices particulières Les éléments diagonaux d’une matrice A sont les éléments a11, a22, ..., ann. Ils sont situés sur la diagonale du tableau qui part du coin supérieur gauche ; celle-ci porte le nom de diagonale principale. Une matrice est qualifiée de symétrique si ses éléments symétriques par rapport à la diagonale principale sont égaux : aij = aji. En voici un exemple : 2 −3 0 A = −3 1 2 . 0 2 0 Une matrice triangulaire supérieure est une matrice dont les éléments situés au-dessous de la diagonale principale sont nuls : aij = 0 lorsque i < j. Par exemple, 0 2 −1 A = 0 3 0 ; 0 0 5 On définit bien sûr la notion de matrice triangulaire inférieure de la même manière. Enfin, une matrice diagonale est une matrice à la fois triangulaire supérieure et triangulaire inférieure. Ses seuls éléments éventuellement non nuls sont les éléments diagonaux : aij = 0 lorsque i et j sont différents. D’une manière générale, une telle matrice peut se représenter par a 0 L 0 1 0 a L 0 A = 2 = diag(a ,a ,...,a ) . M M O M 1 2 n 0 0 L a n Opérations La somme de deux matrices ainsi que la multiplication d’une matrice par un scalaire sont des opérations très naturelles : on effectue l’opération en question pour chacun des éléments. Ainsi, (A + B) = a +b ij ij ij (λA) = λa ij ij Les définitions en question sont encore valables pour les vecteurs : Modélisation financière et gestion de portefeuille – L. Esch – MCGRF – HEC-ULg Page 5
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(X +Y) = x + y i i i (λX) = λx i i Le produit de deux matrices A et B est une matrice de même ordre que A et B dont l’élément (i, j) s’obtient en effectuant la somme des produits des éléments de la i-ème ligne de A par les éléments correspondants de la j-ème colonne de B : n (AB) = a b + a b +L+a b = ∑a b . ij i1 1j i2 2 j in nj ik kj k=1 On a par exemple 2 0 −1 0 5 −2 −2 10 −3 3 −2 1 ⋅3 −1 0 = −4 17 −7 . −3 2 0 2 0 −1 6 −17 6 Malgré sa définition apparemment complexe, le produit matriciel possède une certain nombre de propriétés classiques : il est associatif et distributif par rapport à l’addition. Il convient néanmoins de le manipuler avec prudence car une de ces propriétés classiques lui manque : il n’est pas commutatif : en général, AB ≠ BA! On définit par ce même procédé « lignes par colonnes » le produit d’une matrice par un vecteur : ∑n (AX) = a x . i ik k k=1 La transposée d’une matrice A est la matrice At obtenue en permutant les éléments symétriques par rapport à la diagonale principale ou, ce qui revient au même, en permutant le rôle des lignes et des colonnes de la matrice A : (At ) = a . ij ji Ainsi, une matrice est symétrique si et seulement si elle est égale à sa transposée. De plus, cette opération, appliquée à un vecteur, donne comme résultat le vecteur-ligne correspondant. L’inverse de la matrice A est une matrice A-1, lorsqu’elle existe, telle que AA−1 = A−1 A = diag( ,1 L, )1 . Par exemple, on vérifie aisément que 1 0 1 −1 3 1 −1 −2 1 −3 = 0 0 1 . 0 1 0 −2 −1 1 Modélisation financière et gestion de portefeuille – L. Esch – MCGRF – HEC-ULg Page 6
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Définissons enfin la trace d’une matrice. Il s’agit de la somme des éléments diagonaux de celle-ci : n tr(A) = a + a +L+a = ∑a . 11 22 nn ii i=1 Forme quadratique et classe d’une matrice symétrique Une forme quadratique est une fonction polynomiale de n variables ne contenant que des termes du second degré : n n Q x( ,x ,...,x ) = ∑∑a x x . 1 2 n ij i j i=1 j=1 Si on forme la matrice A des coefficients aij (i,j = 1, ..., n) et le vecteur X des variables xi (i = 1, ..., n), on peut donner une expression matricielle pour la forme quadratique : Q(X) = X t AX . En effet, en développant le membre de droite, on a ∑n X t AX = x (AX) i i i=1 ∑n ∑n = x a x i ij j i=1 j=1 ∑∑n n = a x x ij i j i=1 j=1 A une matrice A, on peut donc toujours associer une forme quadratique et réciproquement. Cependant, la matrice n’est pas unique. En effet, à la forme quadratique Q x( ,x ) = 3x2 − 4x x , 1 2 1 1 2 on peut associer les matrices 3 −2 3 0 3 −6 A = B = C = −2 0 −4 0 2 0 ainsi qu’une infinité d’autres. Parmi toutes ces matrices, une seule est symétrique (A dans l’exemple ci-dessus). Il y a donc bijection entre l’ensemble des formes quadratiques et l’ensemble des matrices symétriques. On définit alors la classe d’une matrice symétrique à partir du signe de la forme quadratique associée. Ainsi, la matrice symétrique non nulle A est dite définie positive (d.p.) si Modélisation financière et gestion de portefeuille – L. Esch – MCGRF – HEC-ULg Page 7
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X t AX > 0 pour tout X ≠ 0 et elle est dite semi-positive (s.p.) lorsque X t AX ≥ 0 pour tout X ≠ 0 ilexiste Y ≠ 0 telque Y t AY = 0 On définit une matrice définie négative (d.n.) et semi-négative (s.n.) par les inégalités inverses et on qualifie d’indéfinie une matrice symétrique pour laquelle ilexiste X et Y ≠ 0 telsque X t AX > 0 et Y t AY < 0 . Ainsi, la matrice symétrique 5 −3 −4 A = −3 10 2 , −4 2 8 est d.p. car la forme quadratique associée peut s’écrire Q x y z( , , ) = 5x2 +10y2 +8z2 − 6xy −8xz + 4yz = (x − 3y)2 + (2x − 2z)2 + (y + 2z)2 Celle-ci n’est jamais négative et elle s’annule uniquement lorsque x − 3y = 0 2x − 2z = 0 y + 2z = 0 c’est-à-dire lorsque x = y = z = 0. Système d’équations linéaires Un système de n équations linéaires à n inconnues est un ensemble de relations du type a x + a x +K+ a x = b 11 1 12 2 1n n 1 a x + a x +K+ a x = b 21 1 22 2 2n n 2 L a x + a x +K+ a x = b n1 1 n2 2 nn n n où les aij, les xj et les bi sont respectivement les coefficients, les inconnues et les seconds membres. Ils s’écrivent de manière naturelle sous forme matricielle et vectorielle : A, X et B. Avec ces notations, le système s’écrit de manière plus condensée mais équivalente Modélisation financière et gestion de portefeuille – L. Esch – MCGRF – HEC-ULg Page 8
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AX = B. Par exemple, le système d’équations 2x + 3y = 4 4x − y = −2 s’écrit de manière équivalente 2 3 x 4 = . 4 −1 y − 2 Si l’inverse de la matrice A existe, il est facile de voir que le système admet une et une solution, donnée par X = A-1X. 1.1.2. Fonctions d’une variable Dérivée La dérivée2 de la fonction f au point x se définit par 0 f (x + h) − f (x ) f ′(x ) = lim 0 0 , 0 h→0 h si cette limite existe et est finie. Si la fonction f est dérivable en tous les points d’un intervalle ouvert ]a; b[, elle constitue une nouvelle fonction définie dans cet intervalle : la fonction dérivée, notée f ′. Pour une petite valeur de h, le numérateur de la définition représente l’accroissement (ou la diminution) de valeur de la fonction lorsque la variable x passe de la valeur x0 à la valeur voisine (x0 + h), c’est-à-dire la longueur du segment AB de la figure. f(x) B C A x0 x0 + h x Interprétation géométrique de la dérivée 2 On dit aussi dérivée première. Modélisation financière et gestion de portefeuille – L. Esch – MCGRF – HEC-ULg Page 9
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Le dénominateur de la même expression, h, est égal quant à lui à la longueur du segment AC. Le rapport est donc égal à la pente de la droite BC. Lorsque h tend vers 0, cette droite BC se déplace vers la tangente au graphe de la fonction au point C. L’interprétation géométrique de la dérivée est donc la suivante : f ′(x ) représente la pente 0 de la tangente au graphe de f au point d’abscisse x0. En particulier, le signe de la dérivée caractérise le type de variation de la fonction : à une dérivée positive (resp. négative) correspond une fonction croissante (resp. décroissante). La dérivée mesure donc la vitesse à laquelle la fonction croît (ou décroît) au voisinage d’un point. La dérivée de la dérivée, appelée dérivée seconde et notée f ′′ , sera donc positive lorsque la fonction f ′ est croissante, c’est-à-dire lorsque la pente de la tangente au graphe de f augmente lorsque la variable x augmente : on dit que la fonction est convexe. A l’opposé, une fonction dont la dérivée seconde est négative est concave. f(x) f(x) x x Fonction convexe Fonction concave Rappelons enfin les règles élémentaires de calcul des dérivées. Celles relatives aux opérations entre fonctions tout d’abord : ( f + g)′ = f ′ + g′ (λf )′ = λf ′ ( fg)′ = f g′ + fg′ ′ f f g′ − fg′ = g g2 celle concernant les fonctions composées ensuite : [g f( )]′ = g′( f )⋅ f ′ et enfin les formules donnant les dérivées de quelques fonctions élémentaires : Modélisation financière et gestion de portefeuille – L. Esch – MCGRF – HEC-ULg Page 10
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(xm )′ = mxm−1 (ex )′ = ex (ax )′ = ax lna 1 (ln x)′ = x 1 (log x)′ = a xlna Extrema Le point x0 est un maximum (resp. minimum) local de la fonction f si f (x ) ≥ f (x) (resp. f (x ) ≤ f (x)) 0 0 pour tout x voisin de x0. La détermination des extrema d’une fonction dérivable se réalise grâce à deux conditions. La condition (nécessaire) du premier ordre exprime que si x0 est un extremum de f, alors f ′(x ) = 0 . En un tel point, appelé point stationnaire, la tangente au graphe de f est donc 0 horizontale. La condition (suffisante) du second ordre permet de « trier » les points stationnaires selon leur nature : si x0 est un point stationnaire de f et que f ′′(x ) > 0, il s’agit d’un minimum ; à 0 l’opposé, si f ′′(x ) < 0, il s’agit d’un maximum. 0 Formule de Taylor Considérons une fonction f qu’on désire étudier au voisinage de x0 (disons en x0 + h). Une manière de procéder est de remplacer celle-ci par un polynôme – fonction facile à manipuler – de la variable h : f (x + h) = a + a h + a h2 +K 0 0 1 2 Pour avoir une bonne représentation de la fonction f par le polynôme, il faut que tous deux - prennent la même valeur en h = 0 ; - aient la même pente (c’est-à-dire la même dérivée première) en h = 0 ; - aient la même convexité ou concavité (c’est-à-dire la même dérivée seconde) en h = 0 ; et ainsi de suite, le nombre de conditions à imposer devant correspondre au nombre de coefficients à déterminer dans le polynôme. Il est facile de montrer que ces conditions conduisent à Modélisation financière et gestion de portefeuille – L. Esch – MCGRF – HEC-ULg Page 11
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f (x ) a = f (x ) = 0 0 0 0! f ′(x ) a = f ′(x ) = 0 1 0 1! f ′′(x ) f ′′(x ) a = 0 = 0 2 2 2! L f (k) (x ) a = 0 k k! L D’une manière générale, on peut donc écrire f (x ) f ′(x ) f ′′(x ) f (n) (x ) f (x + h) = 0 + 0 h + 0 h2 +K+ 0 hn + R , 0 0! 1! 2! n! n où Rn, appelé reste du développement, est l’écart entre la fonction f à étudier et le polynôme d’approximation. Ce reste est, sous certaines conditions de régularité, négligeable en ce sens que lorsque h tend 0, il tend vers 0 plus rapidement que hn, ce qu’on note o(hn). L’utilisation qui est faite de la formule de Taylor dans cet ouvrage ne nécessite pas la considération d’un polynôme de degré élevé et on écrira donc plus simplement f ′(x ) f ′′(x ) f ′′′(x ) f (x + h) ≈ f (x ) + 0 h + 0 h2 + 0 h3 +L. 0 0 1! 2! 3! Pour certaines fonctions élémentaires, le développement de Taylor prend une forme particulière qu’il est utile de conserver en mémoire : x x2 x3 ex ≈ 1+ + + +L 1! 2! 3! m m m( −1) m m( −1)(m− 2) (1+ x)m ≈ 1+ x + x2 + x3 +L 1! 2! 3! x2 x3 ln(1+ x) ≈ x − + −L 2 3 Série géométrique Si, dans la formule de Taylor pour (1 + x)m, on remplace x par (- x) et m par (- 1), on obtient 1 ≈ 1+ x + x2 + x3 +L 1− x Il n’est pas difficile de démontrer que lorsque x < 1, la suite Modélisation financière et gestion de portefeuille – L. Esch – MCGRF – HEC-ULg Page 12
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1 1+ x 1+ x + x2 L 1+ x + x2 +L+xn L converge vers le nombre 1/(1 + x). La limite d’une telle suite est donc une somme comprenant une infinité de termes et porte le nom de série. Celle qui nous occupe ici est la série géométrique : ∑∞ 1 1+ x + x2 +L+xn +L = xn = . 1− x n=0 1.1.3. Fonctions de plusieurs variables Dérivées partielles Pour une fonction f de n variables x1, x2, ..., xn, la notion de dérivée se définit de manière similaire, si ce n’est que l’accroissement h peut porter sur n’importe quelle variable. On aura donc n notions de dérivées, relatives à chacune des n variables, et elles portent le nom de dérivées partielles. Ainsi la dérivée partielle de f(x1, x2, ..., xn) par rapport à xk au point (x(0) ,x(0) ,...,x(0) ) se définit par 1 2 n f (x(0) ,x(0) ,...,x(0) + h,...,x(0) ) − f (x(0) ,x(0) ,...,x(0) ,...,x(0) ) f ′ (x(0) ,x(0) ,...,x(0) ) = lim 1 2 k n 1 2 k n xk 1 2 n h→0 h L’interprétation géométrique des dérivées partielles ne peut guère s’envisager que pour les fonctions de deux variables puisque le graphe d’une telle fonction est plongé dans l’espace à trois dimensions (une dimension pour chacune des deux variables et la troisième, l’ordonnée, pour les valeurs de la fonction). C’est ainsi que nous examinerons les dérivées partielles f (x + h y, ) − f (x , y ) f ′(x , y ) = lim 0 0 0 0 x 0 0 h→0 h f (x , y + h) − f (x , y ) f ′(x , y ) = lim 0 0 0 0 y 0 0 h→0 h Considérons donc le graphe de cette fonction f(x, y). Il s’agit d’une surface de l’espace à trois dimensions. Modélisation financière et gestion de portefeuille – L. Esch – MCGRF – HEC-ULg Page 13
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f(x, y) Cx Cy x0 y0 y x (x0, y0) Interprétation géométrique des dérivées partielles Considérons par ailleurs le plan vertical passant par le point (x0, y0) et parallèle à l’axe Ox ; son intersection avec le graphe de f est la courbe Cx. Le même raisonnement que celui tenu pour les fonctions d’une variable montre que la dérivée partielle f ′(x , y ) est égale à la x 0 0 pente de la tangente à cette courbe Cx au point d’abscisse (x0, y0) (c’est-à-dire la pente du graphe de f dans la direction de x). De la même manière, f ′(x , y ) représente la pente de la y 0 0 tangente à Cy au point d’abscisse (x0, y0). Extrema libres Le point (x(0) ,K,x(0) ) est un maximum (resp. minimum) local de la fonction f si 1 n f (x(0) ,K,x(0) )≥ f (x ,K,x ) [resp. f (x(0) ,K, x(0) )≤ f (x ,K,x )] 1 n 1 n 1 n 1 n pour tout (x , …, x ) voisin de (x(0) ,K,x(0) ). 1 n 1 n Comme pour les fonctions d’une seule variables, la détermination des extrema d’une fonction dérivable se réalise grâce à deux conditions. La condition (nécessaire) du premier ordre exprime que si x0 est un extremum de f, alors toutes les dérivées partielles de f sont nulles en x(0) : f ′ (x(0) )= 0 (i =1,K,n). xi En faisant référence à l’interprétation géométrique des dérivées partielles d’une fonction de deux variables, en un tel point (x0, y0), appelé point stationnaire, les tangentes aux courbes Cx et Cy sont donc horizontales. La condition (suffisante) du second ordre permet de « trier » les points stationnaires selon leur nature, mais nécessite tout d’abord de définir la matrice hessienne de la fonction f au point x, constituée des dérivées partielles secondes de f : Modélisation financière et gestion de portefeuille – L. Esch – MCGRF – HEC-ULg Page 14
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f ′′ (x) f ′′ (x) L f ′′ (x) x1x1 x1x2 x1xn ( ) f ′′ (x) f ′′ (x) L f ′′ (x) H f (x ,K,x ) = x2x1 x21x2 x2xn . 1 n M M M f ′′ (x) f ′′ (x) L f ′′ (x) xnx1 xnx2 xnxn Si x(0) est un point stationnaire de f et que H(f (x)) est d.p. en x(0) ou est s.p. dans un voisinage de x(0), il s’agit d’un minimum ; à l’opposé, si H(f (x)) est d.n. x(0) ou est s.n. dans un voisinage de x(0) , il s’agit d’un maximum. Extrema liés Il s’agit ici d’une notion similaire, mais où on restreint l’analyse du problème d’extrema aux seuls x qui obéissent à une ou plusieurs contraintes. Le point (x(0) ,K,x(0) ) est un maximum (resp. minimum) local de la fonction f sous les 1 n contraintes g (x) = 0 1 K g (x) = 0 r si x(0) vérifie lui-même les contraintes et que f (x(0) ,K,x(0) )≥ f (x ,K,x ) [resp. f (x(0) ,K, x(0) )≤ f (x ,K,x )] 1 n 1 n 1 n 1 n pour tout (x1, …, xn) voisin de voisin de (x(0) ,L,x(0) ) 1 n vérifiant les r contraintes La résolution de ce problème passe par la considération du lagrangien du problème. Il s’agit d’une fonction des (n + r) variables (x1, …, xn ; m1, …, mr), les r dernières – appelées multiplicateurs de Lagrange – correspondant chacune à une contrainte : L(x1, …, xn ; m1, …, mr) = f(x) + m1.g1(x) + … + mr.gr(x). Nous n’entrerons pas dans les détails techniques de la résolution de ce problème. Signalons néanmoins un résultat essentiel : si le point (x(0) ;m(0) ) est tel que x(0) vérifie les contraintes et que (x(0) ;m(0) ) est un extremum (libre) du lagrangien, alors x(0) est un extremum pour le problème d’extrema liés. Modélisation financière et gestion de portefeuille – L. Esch – MCGRF – HEC-ULg Page 15
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1.2. PROBABILITES 1.2.1. Variables aléatoires Variable aléatoire et loi de probabilité Considérons un phénomène fortuit, c’est-à-dire un phénomène pour lequel, à des conditions initiales données, correspondent plusieurs résultats possibles. On note généralement Ω l’ensemble de ces résultats possibles, ces derniers étant représentés par ω. Une grandeur numérique dépendant du résultat observé porte le nom de variable aléatoire (v.a.). Par ailleurs, des probabilités sont associées aux différents résultats possibles ou aux événements définis dans le cadre de ce phénomène fortuit. Il est donc intéressant de connaître la probabilités des divers événements qui sont définis à partir de cette v.a. Il s’agit là de la notion de loi de probabilité de la v.a. Ainsi, si la v.a. se note X, la loi de probabilité de X se définit par l’ensemble des probabilités suivantes :Pr[X ∈ A], quel que soit le sous-ensemble A de R. Variable aléatoire discrète Une v.a. discrète correspond à une situation où l’ensemble des valeurs possibles de cette variable est fini ou infini dénombrable. Dans ce cas, si on connaît la liste des différentes valeurs possibles (parfois appelées atomes) et les probabilités correspondantes x x L x L 1 2 n p p L p L 1 2 n Pr[X = x ]= p i = 1 2, ,...,n,... i i ∑p = 1 i i Généralement, on représente graphiquement une telle v.a. par un diagramme en bâtonnets où les abscisses correspondent aux valeurs possibles et les hauteurs des bâtonnets aux probabilités correspondantes. p3 pn p1 p2 x1 x2 x3 … xn Variable aléatoire discrète Modélisation financière et gestion de portefeuille – L. Esch – MCGRF – HEC-ULg Page 16
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On peut déterminer aisément la loi de probabilité de X : Pr[X ∈ A]= ∑p . i {i x: i ∈A} En particulier, une v.a. est qualifiée de dégénérée si elle ne peut prendre qu’une seule valeur x (on parle aussi de variable certaine) : Pr[X = x]= 1 . Variable aléatoire à densité A l’opposé des v.a. discrètes, il arrive que l’ensemble des valeurs possibles d’une v.a. soit continu (un intervalle par exemple) et qu’aucune valeur individuelle n’ait de probabilité strictement positive : Pr[X = x]= 0 ∀x . Dans ce cas, la répartition des probabilités sur l’ensemble des valeurs possibles ne peut se mesurer que sur des ensembles du type intervalles et s’exprime par l’intermédiaire d’une fonction de densité f : pour h suffisamment petit, on a Pr[x < X ≤ x + h]≈ hf ( )x . Cette définition est illustrée sur la figure ci-après. x (x + h) Densité de probabilité La loi de probabilité s’obtient à partir de la densité par la relation suivante : Pr[X ∈ A]= ∫ f ( )x dx A et on a bien entendu Modélisation financière et gestion de portefeuille – L. Esch – MCGRF – HEC-ULg Page 17
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∫+∞ f (x)dx =1. −∞ Valeurs typiques d’une variable aléatoire A côté de l’information complète que constitue la loi de probabilité d’une v.a. (ou sa densité si celle-ci existe), on peut être intéressé par un résumé des propriétés de cette loi de probabilité par un nombre limité d’indicateurs : les valeurs typiques. Les principales catégories de ces indicateurs sont - les indices de localisation ou valeurs centrales, qui partagent la loi de probabilité en deux parties « similaires » ; - les indices de dispersion, qui mesurent l’étalement de la loi de probabilité autour d’une valeur centrale ; - les indices de dissymétrie, qui détectent la concentration de la loi de probabilité à gauche ou à droite d’une valeur centrale ; - les indices d’aplatissement, qui détectent la présence de queues de distribution plus ou moins épaisses que celles de la loi normale3 (voir plus loin). Nous envisagerons ci- après seulement une valeur centrale (la moyenne) et deux indices de dispersion (la variance et l’écart type). Par ailleurs, nous ne donnons pas les définitions générales, mais seulement les formules de calcul pour les cas particuliers des v.a. discrètes et des v.a. à densité, ainsi que les propriétés les plus importantes Moyenne d’une variable aléatoire La moyenne – ou encore l’espérance (mathématique) – d’une v.a. est la plus importante des valeurs centrales. Elle se note indifféremment μ ou E(X), ou encore μX si une confusion est possible. Elle se calcule, pour une v.a. discrète et pour une v.a. à densité, par les formules μ = ∑x p i i i μ ∫+∞ = xf ( )x dx −∞ qui montrent que μ intègre les différentes valeurs possibles de la v.a. X en les pondérant par les probabilités associées à ces valeurs. On montrer que l’espérance est un opérateur linéaire : E aX( + bY + c) = aE X( ) +bE Y( ) + c et que si X et Y sont indépendants, alors E(XY) = E(X)⋅ E(Y) . De plus, pour une v.a. discrète ou une v.a. à densité, l’espérance d’une fonction de la v.a. est donnée par 3 Les distributions à queues plus épaisses que celles de la loi normale sont qualifiées de leptocurtiques. Modélisation financière et gestion de portefeuille – L. Esch – MCGRF – HEC-ULg Page 18
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E g X( ( )) = ∑g x( )p i i i ∫+∞ E g X( ( )) = g x f( ) ( )x dx −∞ Rappelons enfin la loi des grands nombres4 qui, pour une suite de v.a. X , X , ..., X , ... 1 2 n indépendantes, identiquement distribuées et de moyenne μ, exprime que, quel que soit ε > 0, X + X +L+X lim Pr 1 2 n − μ ≤ ε = 1. n→∞ n Cette loi justifie que l’on prenne la moyenne d’un échantillon pour estimer la moyenne de la population dont il est extrait et, en particulier, que l’on évalue la probabilité d’un événement par la fréquence d’occurrence de cet événement lors d’un grand nombre de réalisations du phénomène fortuit. Variance et écart type d’une variable aléatoire Un des indices de dispersion les plus utilisés est la variance σ2 qui se définit par σ 2 = var(X) = E[(X − μ)2 ]. En développant le membre de droite, on peut aussi écrire la variance σ 2 = E X( 2 ) − μ2 , ce qui donne, pour une v.a. discrète et pour une v.a. à densité, σ 2 = ∑(x − μ)2 p = ∑x 2 p − μ2 i i i i i i σ 2 ∫+∞ μ 2 ∫+∞ 2 μ2 = (x − ) f ( )x dx = x f ( )x dx − −∞ −∞ Une illustration de la notion de dispersion se trouve à la figure ci-desous. Dispersion d’une variable aléatoire 4 Nous présentons ici cette loi sous sa forme faible. Modélisation financière et gestion de portefeuille – L. Esch – MCGRF – HEC-ULg Page 19
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On peut démontrer que var(aX +b) = a2 var(X) et que si X et Y sont indépendants, alors var(X + Y) = var(X) + var(Y). De plus, la variance d’une v.a. est nulle si et seulement si celle-ci est dégénérée, c’est-à-dire qu’elle ne peut prendre qu’une seule valeur (et n’est donc pas aléatoire). A côté de la variance, dont la dimension est le carré de la dimension de X, on utilise également l’écart type, qui en est simplement la racine carrée : σ = var(X) . Les propriétés se déduisent de celles de la variance ; en particulier, σ = a.σ . aX +b X Distribution normale Rappelons qu’une v.a. normale de paramètres (μ ; σ) est définie par sa densité : 1 x−μ 2 f x( )= exp − 1( ) , 2πσ 2 σ dont le graphe est représenté ci-après. Densité normale Modélisation financière et gestion de portefeuille – L. Esch – MCGRF – HEC-ULg Page 20
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