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Master IMEA 1 Calcul Stochastique et Finance Feuille de T.D. no 1 1.— Montrer que si, dans un march´e viable, un portefeuille ´etabli `a la date t = 0 r´eplique exactement le pay-off d’une option `a la date d’expiration T, alors le portefeuille et l’option ont mˆeme valeur `a la date 0. 2.— D´emontrer `a l’aide d’un raisonnement d’arbitrage la relation de parit´e call-put : C − P = S − Ke−r(T−t) t t t pour un call et un put sur le sous-jacent S, de mˆeme strike K, de mˆeme maturit´e T, et o`u r d´esigne le taux sans risque et 0 ≤ t ≤ T. 3.— On suppose qu’au taux de change courant on obtient 100 £ pour 160 ––C. Un sp´eculateur estime qu’avec la probabilit´e 1/2 la Livre anglaise sera tomb´ee `a 1,40 ––C `a la fin de l’ann´ee et qu’avec la probabilit´e 1/2 elle sera mont´ee `a 2 ––C. Il d´ecide d’acheter une option put europ´eenne qui lui donnera le droit (mais non l’obligation) de vendre 100 £ au prix de 180 ––C. Un op´erateur propose de lui vendre ce put au prix de 20 ––C. En se basant sur son estimation de la probabilit´e de hausse, il accepte ce prix de vente. On suppose que le taux d’int´erˆet sans risque est nul dans la zone Euro. En utilisant le mod`ele binaire `a une ´etape, soit construisez une strat´egie qui permettra au vendeur ou `a l’acheteur de s’assurer un profit certain, soit montrez que ce prix est le juste prix pour cette option. 4.— D´eterminer un portefeuille constitu´e de deux calls europ´eens – sur un mˆeme sous-jacent S et de mˆeme maturit´e T – et dont la valeur `a la date T en fonction de ST est repr´esent´ee par le diagramme ci-dessous : Comment pourrait-on exprimer ce pay-off `a l’aide de puts ? 5.— a. Une action est cot´ee 50 ––C aujourd’hui. A la fin de chacune de deux p´` eriodes de trois mois, sa valeur augmentera de 6 % ou diminuera de 5 %. Le taux d’int´erˆet sans risque annuel est de 5 %. D´eterminer la valeur d’un put europ´een d’´ech´eance 6 mois et de prix d’exercice 51 ––C. b. Si l’option de vente ´etait de type am´ericain, serait-il optimal d’exercer pr´ematur´ement `a l’un des noeuds de l’arbre ? 6.— a. On consid`ere un mod`ele de march´e (B, S) `a une ´etape. On suppose que S0 = 50––C et que les facteurs de hausse et de baisse sont respectivement u = 1,04 et d = 0,96. Autrement dit, `a la date t = 1 on a (Su = 52, Sd = 48). Pour simplifier, on prendra r = 0 comme rendement non-risqu´e. 1 1 Un trader ach`ete un call de prix d’exercice K = 51 ––C et le couvre imm´ediatement en vendant un portefeuille de r´eplication de ce call. D´eterminer le prix du call et pr´eciser les op´erations effectu´ees par le trader. En quoi la vente du portefeuille de r´eplication couvre-t-elle le call ? b. En r´ealit´e, sur la p´eriode consid´er´ee et `a l’insu du march´e, la volatilit´e du sous-jacent ´etait sup´erieure : les facteurs de variation r´eels ´etaient u = 1,08 et d = 0,92. Cette situation est-elle favorable au trader ? Pour r´epondre `a cette question, on d´eterminera les flux d’argent `a l’´ech´eance du call en tenant compte de la situation impr´evue. Le call ´etait-il sous-´evalu´e ? Le march´e pr´esentait-il une opportunit´e d’arbitrage ? 2002-2012 michel miniconi version du 31 janvier 2012
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7.— Montrer que le prix d’un call europ´een C de strike K sur un sous-jacent S (ne versant pas de dividende) v´erifie Ct ≥ St − K `a tout instant t ∈ [0, T]. En d´eduire qu’il n’est jamais optimal d’exercer un call am´ericain avant l’´ech´eance et que son prix est le mˆeme que le call europ´een correspondant. Examinez le cas du put ; on distinguera les cas r = 0 et r > 0. 8.— On consid`ere un mod`ele Cox-Ross-Rubinstein de march´e (B, S) `a trois ´etapes. On suppose que S0 = 20––C et que les facteurs de hausse et de baisse sont respectivement u = 1,1 et d = 0,9. Le rendement non-risqu´e sur chaque p´eriode est r = 2%. a. D´ecrire la dynamique de S `a l’aide d’un arbre et donner la probabilit´e de martingale. b. Un trader vend un put europ´een de prix d’exercice K = 20 ––C et commence ses op´erations de couverture delta-neutre. D´eterminer le prix du put `a la date t = 0. c. On suppose que l’actif sous-jacent subit deux hausses cons´ecutives puis une baisse : d´etailler les op´erations effectu´ees par le trader sur son portefeuille de couverture. d. S’il s’agissait d’un put am´ericain, l’acheteur aurait-il int´erˆet `a exercer son put de mani`ere anticip´ee ? 9.— Un trader a achet´e le put europ´een pr´ec´edent et le finance en vendant le portefeuille de couverture. A` la derni`ere ´etape la volatilit´e du sous-jacent a soudain augment´e `a l’insu du march´e : le facteur de hausse est maintenant u′ = 1,4 et le facteur de baisse d′ = 0,6. Ce mouvement de volatilit´e est-il favorable `a l’acheteur du put ? 2
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Master IMEA 1 Calcul Stochastique et Finance Feuille de T.D. no 2 Dans ces exercices, W d´esignera toujours un processus de Wiener (brownien standard) 1.— Soit Y une variable al´eatoire de loi normale N(μ, σ2). On pose X = eY . Calculer la probabilit´e ∫ d P(X ≥ α) o`u α est un r´eel positif donn´e, en fonction de la r´epartition N(d) = e−z2/2 dz de la loi −∞ normale standard N(0,1). 2.— D´eterminer l’esp´erance et la variance d’une variable al´eatoire X > 0 dont le logarithme suit une loi normale de param`etres μ et σ2. ( ) 3.— On appelle fonction g´en´eratrice des moments d’une variable al´eatoire Y l’esp´erance φ (u) = E euY . Y Calculer cette fonction dans le cas o`u Y ∼ N(μ, σ2). 4.— Montrer que la variance de W2 est ´egale `a 2s2. s 5.— Soient s et t deux r´eels positifs. Montrer que la covariance de Ws et Wt est le plus petit des deux nombres s et t. √ 6.— On consid`ere le processus Z d´efini par Zt = tY , o`u Y suit une loi normale standard. D´eterminer la loi de Zt. Le processus Z est-il un processus de Wiener ? 7.— Soient 0 < s < t fix´es : calculer l’esp´erance conditionnelle de Ws sachant Wt = w, pour w ∈ R donn´e. 8.— Soit T > 0 un r´eel fix´e. Pour tout entier positif n on consid`ere une subdivision π = {0 = tn < tn < tn < . . . < tn = T} n 0 1 2 N de l’intervalle [0, T] (l’entier N d´epend de la subdivision). On suppose que le pas de la subdivision, δ = max (tn − tn), tend vers 0 lorsque n tend vers l’infini. n 0≤j≤N−1 j+1 j ∑N−1 Montrer que la somme (W − W )2 converge dans L2 vers la limite T. j=0 tn tn j+1 j (on pourra prendre dans un premier temps tn = jT ) j n 2002-2012 michel miniconi version du 7 f´evrier 2012
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Master IMEA 1 Calcul Stochastique et Finance Feuille de T.D. no 3 Dans ces exercices, W d´esignera toujours un processus de Wiener (brownien standard) 1.— Montrer que pour tout s > 0 le processus (Wt+s − Ws)t≥0 est un brownien standard ind´ependant du processus (Wt)0≤t≤s. Pour l’ind´ependance, il s’agit donc de montrer que pour des ensembles de dates t1, t2, . . . , tm > 0 et 0 < s1, s2, . . . , sn ≤ s quelconques, les vecteurs al´eatoires (Wt +s − Ws, Wt +s − Ws, . . . , Wt +s − Ws) 1 2 m et (Ws , Ws , . . . , Ws ) sont ind´ependants. 1 2 n 2.— Soit X une variable normale N(0; 1) et une variable qui prend les deux valeurs −1 et 1 avec probabilit´e 1/2 pour chacune. On suppose que X et sont ind´ependantes. On pose Y = X. a. Montrer que Y ∼ N(0; 1). b. Montrer que les variables X et Y sont non-corr´el´ees. c. Montrer que X et Y ne sont pas ind´ependantes. Le vecteur al´eatoire (X, Y ) est-il gaussien ? 3.— Soit T > 0 un r´eel fix´e. Pour tout entier positif n on consid`ere une subdivision π = {0 = tn < tn < tn < . . . < tn = T} n 0 1 2 N de l’intervalle [0, T] (l’entier N d´epend de la subdivision). On suppose que le pas de la subdivision, δ = max (tn −tn), tend vers 0 lorsque n tend vers l’infini. ∑ n 0≤j≤N−1 j+1 j On rappelle que la somme N−1(W − W )2 converge dans L2 vers la limite T. j=0 tn tn j+1 j a. On consid`ere les limites dans L2 N∑−1 I = limSn avec Sn = Wtn (Wtn − Wtn ) n j j+1 j j=0 et N∑−1 J = limTn avec Tn = Wtn (Wtn − Wtn ). n j+1 j+1 j j=0 Calculer J − I et I + J. En d´eduire la valeur de I et J. b. V´erifier que la suite de fonctions simples d´efinie par N∑−1 fn(t) = Wtn 1[tn,tn [(t) j j j+1 j=0 approche f(t) = W dans M2 . t T En d´eduire la valeur de l’int´egrale ∫ T Ws dWs. 0 2002-2012 michel miniconi version du 16 f´evrier 2012
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Master IMEA 1 Calcul Stochastique et Finance Feuille de T.D. no 4 Dans ces exercices, W d´esignera toujours un processus de Wiener (brownien standard) 1.— Soit X une variable al´eatoire int´egrable sur un espace probabilit´e (Ω,A,P) muni d’une filtration F = (Ft), t r´eel positif. Montrer que le processus Y d´efini par Yt = E(X | Ft) est une F-martingale. (ne pas oublier de v´erifier que les variables |Yt| sont d’esp´erance finie. . .) Enoncer ce r´´ esultat dans le cas discret. Commenter ce r´esultat dans le cas d’une option europ´eenne dans un mod`ele de march´e Cox-Ross-Rubinstein, sous probabilit´e risque-neutre. 2.— Soit M = (Mk), k entier positif ou nul, une martingale discr`ete relativement `a une filtration (discr`ete) F = (Fk). Soit en outre φ = (φk) un processus pr´evisible i.e. φk est Fk−1-mesurable. ∑n−1 Pour tout entier n > 0 on pose Vn = φk(Mk+1 − Mk) : montrer que (Vn) est une F-martingale. k=0 3.— Soit F la filtration associ´ee au brownien W. Montrer que les processus suivants sont des F-martingales : a. Le processus W lui-mˆeme. b. W2 − t : on pourra commencer par calculer E((W − W )2 | F ) avec s < t. t t s s c. exp(αW − 1α2t), α r´eel fix´e. t 2 4.— Soit un r´eel c > 0 fix´e, on pose ′ 1 Wt = Wc2t. c Montrer que W′ est aussi un brownien. Comparer ensuite la filtration associ´ee `a W′ `a celle associ´ee `a W. 2002-2012 michel miniconi version du 22 f´evrier 2012
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Master IMEA 1 Calcul Stochastique et Finance Feuille de T.D. no 5 Dans ces exercices, W d´esigne un processus de Wiener et F sa filtration associ´ee. 1.— Soit f une fonction simple i.e. une variable al´eatoire de la forme N∑−1 f = aj1[t ,t [ j j+1 j=0 o`u a d´esigne une variable al´eatoire F -mesurable et de classe L2 et o`u t = 0 < t < · · · < t < ∞ sont j tj 0 1 N des r´eels positifs donn´es. On pose N∑−1 I(f) = aj(Wt − Wt ). j+1 j j=0 Montrer que (∫ ) ∫ ( ) ∞ ∞ ( ) E I(f)2 = E (f(t)2 dt = E (f(t)2 dt. 0 0 ∫ t 2.— Calculer la variance de |W |1/2 dW en utilisant l’isom´etrie d’Itˆo. 0 s s 3.— Montrer `a l’aide de la formule d’Itˆo que pour tout t > 0 on a ∫ t ∫ t s dWs = tWt − Ws ds. 0 0 4.— Montrer l’´egalit´e ∫ ∫ t 1 t W2 dW = W3 − W ds. s s 3 t s 0 0 5.— D´eterminer l’EDS v´erifi´ee par X = Wn, n ≥ 1. Montrer l’´egalit´e ∫ t n n(n − 1) n−2 E(Wt ) = E(Ws )ds 2 0 puis en d´eduire l’esp´erance de W6. t 2002-2012 michel miniconi version du 8 mars 2012
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Master IMEA 1 Calcul Stochastique et Finance Feuille de T.D. no 6 Dans ces exercices, W d´esigne un processus de Wiener et F sa filtration associ´ee. 1.— Pour a et b deux r´eels distincts, on d´efinit Xt = a1[0,1/2[(t) + b1[1/2,1](t). ∫ t a. Calculer Xs dWs pour tout t ∈ [0,1] (on s´eparera les cas t < 1/2 et t ≥ 1/2). 0 ∫ b. Calculer de mˆeme tX2 dW pour tout t ∈ [0,1]. 0 s s 2.— Soit X un processus d’Itˆo solution de l’´equation diff´erentielle stochastique (E) dXt = −Xt dt + dWt , X0 donn´e. (processus d’Ornstein-Uhlenbeck) On pose Y = etX . t t a. D´eterminer l’EDS v´erifi´ee par Y . Le processus Y est-il une F-martingale ? b. Montrer que la solution X de l’EDS (E) peut s’´ecrire X = e−tX + Φ t 0 t o`u Φt est une int´egrale stochastique que l’on pr´ecisera. 3.— Montrer que le processus eW2 n’est pas dans H2 pour t ≥ 1/4. t 4.— On d´efinit le processus Z par Z = eWt−αt avec α constante r´eelle donn´ee. t a. D´eterminer l’EDS v´erifi´ee par Z. b. A quelle condition sur` α le processus Z est-il une F-martingale ? 5.— Soit le processus d´efini par Y = W3 − 3tW . t t t a. D´eterminer l’EDS v´erifi´ee par Yt. b. Le processus Yt est-il une F-martingale ? 2002-2012 michel miniconi version du 29 mars 2012
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Master IMEA 1 Calcul Stochastique et Finance Feuille de T.D. no 7 Dans ces exercices on reprend les notations usuelles des formules de Black-Scholes. 1.— a. Montrer l’´egalit´e S N′(d ) = Ke−r(T−t)N′(d ). t 1 2 b. En d´eduire que la valeur du delta d’un call europ´een peut s’´ecrire ∆call = N(d1). Donner une formule analogue pour le delta d’un put, puis montrer que ∆call − ∆put = 1. ∂2f c. Le gamma d’une option f = f(t, s) est la d´eriv´ee seconde (t, St). Calculer le gamma d’un call et d’un ∂s2 put europ´eens. Montrer que les prix de ces options sont des fonctions convexes du sous-jacent. 2.— a. Montrer que StN(d1) > ct o`u c d´esigne un call europ´een sur S. b. En d´eduire que ∆c ∆S > c S si ∆S > 0, o`u ∆S d´esigne un accroissement de S et ∆c l’accroissement correspondant du call (effet de levier). 3.— On appelle call digital (ou binaire) de strike K et d’´ech´eance T sur un sous-jacent S donn´e une option europ´eenne dont le pay-off `a l’´ech´eance est { 0 si ST < K, f(ST ) = 1 si ST ≥ K. D´eterminer le prix et le delta `a la date t = 0 du call digital. 4.— On consid`ere une option europ´eenne dont le pay-off est dessin´e ci-dessous (spread vertical haussier), synth´etis´ee par une position longue sur un call de strike K1 et une position courte sur un call de strike K2 > K1, les deux calls portant sur un mˆeme sous-jacent S et ayant mˆeme maturit´e T. La maturit´e est T = 6 mois. On suppose en outre qu’`a la date t = 0 la valeur de l’actif risqu´e est s0 = 50––C et que sa volatilit´e annuelle est estim´ee `a σ = 20%. Le rendement annuel de l’actif non-risqu´e sur la p´eriode [0, T] est r = 5%. Enfin, les prix d’exercice K1 et K2 sont respectivement 50––C et 60––C. a. D´eterminer le prix `a la date t = 0 de cette option. b. Un trader a vendu ce spread et le couvre : pr´eciser ses op´erations de couverture et son portefeuille `a la date t = 0. c. D´eterminer les gains et les pertes maximales que peut enregistrer un trader qui aurait achet´e ce spread. Quelle est la strat´egie d’une telle option ? 2002-2012 michel miniconi version du 5 avril 2012
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5.— Un stellage (straddle) est une option europ´eenne construite sur un sous-jacent S synth´etis´ee par l’achat simultan´e d’un call et d’un put sur S de mˆeme maturit´e et de mˆeme prix d’exercice K. a. D´eterminer le pay-off de cette option et tracer son graphe. Donner sa prime `a t = 0 en fonction des param`etres habituels des formules de Black-Scholes (σ, K, S0, r, T, d1 et d2) et de la r´epartition N de la loi normale standard. Donner en particulier la formule pour K = S0. b. On suppose S0 = 30––C = K, T = 3 mois, σ = 30% et r = 5% (taux annuels). D´eterminer la prime de ce stellage. c. D´eterminer les gains et les pertes maximales que peut enregistrer un trader qui aurait achet´e ce stellage. Quelle est la strat´egie d’une telle option ? 6.— Un call europ´een (sur un actif dont le prix S est suppos´e suivre le mod`ele du brownien g´eom´etrique) est ´evalu´e sur le march´e `a 2,5 ––C. Le prix inital du sous-jacent est S0 = 15 ––C, le prix strike est K = 13 ––C, la date de maturit´e est `a trois mois (i.e. T = 0,25 ann´ee) et le taux d’int´erˆet sans risque est r = 5% par an. En utilisant les formules de Black-Scholes, montrer que la volatilit´e implicite est comprise entre 0,35 et 0,40. 2
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