Page 1
Lý thuyết Điều khiển Tự động Phương trình trạng thái Trường Điện – Điện tử Đại học Bách Khoa Hà Nội GV: TS. Trịnh Hoàng Minh Hà Nội, 08/2021
Page 4
Vector • Vector: 𝑢1 𝑢 = 𝑢1 ⋯ 𝑢𝑛 ⊤ = ⋮ ∈ ℝ𝑛 𝑢𝑛 • Độc lập tuyến tính: một tập các vector 𝑥 ,𝑥 ,⋯,𝑥 ∈ ℝ𝑛 là ĐLTT nếu: 1 2 𝑛 𝑎1𝑥1 + 𝑎2𝑥2 + ⋯+ 𝑎𝑛𝑥𝑛 = 0 khi và chỉ khi 𝑎1 = 𝑎2 = ⋯ = 𝑎𝑛 = 0. Ngược lại, 𝑥1,𝑥2,⋯,𝑥𝑛 gọi là phụ thuộc tuyến tính. • Tổ hợp tuyến tính: 𝑦 = 𝑎 𝑥 + 𝑎 𝑥 + ⋯+ 𝑎 𝑥 ∈ ℝ𝑛 1 1 2 2 𝑛 𝑛 Bao tuyến tính của 𝑥1,𝑥2,⋯,𝑥𝑛: span(𝑥1,𝑥2,⋯,𝑥𝑛) • Nếu span 𝑥 ,𝑥 ,⋯,𝑥 = ℝ𝑛, thì 𝑥 ,𝑥 ,⋯,𝑥 gọi là một cơ sở của ℝ𝑛 1 2 𝑛 1 2 𝑛 • Với các vector 𝑥 ,𝑥 ,⋯,𝑥 ∈ ℝ𝑛 bất kỳ: dimspan 𝑥 ,𝑥 ,⋯,𝑥 ≤ 𝑛 1 2 𝑛 1 2 𝑛 4
Page 5
Ma trận Cột • Ma trận: 𝑎 𝑎 ⋯ 𝑎 11 12 1𝑛 Hàng 𝑎21 𝑎22 ⋯ 𝑎2𝑛 𝐴 = [𝑎 ] = ∈ ℝ𝑚×𝑛 𝑖𝑗 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 𝑎𝑛1 𝑎𝑛2 ⋯ 𝑎𝑛𝑛 - Nếu 𝑚 = 𝑛: 𝐴 là ma trận vuông Đường chéo chính - Ma trận đường chéo: 𝑎𝑖𝑗 = 0,𝑖 ≠ 𝑗. Kí hiệu 𝐴 = diag(𝑎𝑖𝑖). - Ma trận đơn vị 𝐼𝑛 = diag(1,…,1): ma trận đường chéo với 𝑎𝑖𝑖 = 1. • Phép tính với ma trận: - Phép cộng/trừ - Phép nhân với số thực - Phép chuyển vị: 𝐴⊤ = [𝑎 ]. Ma trận đối xứng: 𝐴 = 𝐴⊤ 𝑗𝑖 - Phép nhân: Với 𝐴 ∈ ℝ𝑚×𝑝, 𝐵 ∈ ℝ𝑝×𝑛 thì 𝐶 = 𝐴𝐵 = [𝑐 ], 𝑐 = σ𝑝 𝑎 𝑏 𝑖𝑗 𝑖𝑗 𝑘=1 𝑖𝑘 𝑘𝑗 5
Page 6
Ma trận • Ma trận trực giao: 𝐴 ∈ ℝ𝑛×𝑛 là ma trận trực giao nếu 𝐴𝐴𝑇 = 𝐴𝑇𝐴 = 𝐼 • Vector 𝑒𝑖 chỉ có phần tử thứ 𝑖 bằng 1, các phần tử khác bằng 0, gọi là vector đơn vị • Một số hệ thức: • 𝐴𝐵 𝑇 = 𝐵𝑇𝐴𝑇 • 𝐴 𝐵 + 𝐶 = 𝐴𝐵 + 𝐴𝐶 • 𝐴𝐼 = 𝐼𝐴 = 𝐴 • 𝑒𝑇𝐴𝑒 = 𝑎 𝑖 𝑗 𝑖𝑗 • 𝐴𝑒𝑗 = 𝑐𝑗 (cột thứ 𝑗 của ma trận 𝐴) • 𝑒𝑇𝐴 = ℎ𝑇 (hàng thứ 𝑖 của ma trân 𝐴) 𝑖 𝑖 6
Page 7
Hạng của ma trận • Hạng của ma trận: với 𝐴 ∈ ℝ𝑚×𝑛 có 𝑚 vector hàng và 𝑛 vector cột. Nếu trong 𝑚 vector hàng ℎ𝑖 có nhiều nhất 𝑝 ≤ 𝑚 vector độc lập tuyến tính, còn trong n vector cột 𝑐𝑗 có nhiều nhất 𝑞 ≤ 𝑚 vector độc lập tuyến tính thì rank 𝐴 = min{𝑝,𝑞}. • Ma trận vuông 𝐴 ∈ ℝ𝑛×𝑛 là không suy biến nếu rank 𝐴 = 𝑛. 𝑎 𝑎12 ⋯ 𝑎1𝑛 𝑎 ⋯ 𝑎 11 22 2𝑛 𝑎21 𝑎22 ⋯ 𝑎2𝑛 𝐴 = ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⇒ 𝐴 = ⋮ ⋱ ⋮ 11 𝑎 𝑎 ⋯ 𝑎 𝑎𝑛2 ⋯ 𝑎𝑛𝑛 𝑛1 𝑛2 𝑛𝑛 7
Page 8
Định thức của ma trận • Định thức: với ma trận vuông 𝐴 ∈ ℝ𝑛×𝑛, định thức của 𝐴 cho bởi det 𝐴 = 𝑎 det 𝐴 − 𝑎 det 𝐴 + ⋯+ (−1)𝑛+1𝑎 det 𝐴 11 11 12 12 1𝑛 1𝑛 Tính chất: 1. Ma trận 𝐴 là suy biến khi và chỉ khi det(𝐴) = 0 2. Ma trận tam giác: 𝑎𝑖𝑗 = 0,𝑖 > 𝑗 (hoặc 𝑗 < 𝑖)⇒ det(𝐴) = 𝑎11𝑎22 ⋯𝑎𝑛𝑛 3. det(𝜆𝐴) = 𝜆𝑛det(𝐴) 4. det(𝐴) = det(𝐴⊤) 5. det(𝐴𝐵) = det(𝐵𝐴) 6. Nếu 𝐴′ thu được từ 𝐴 bằng cách đổi chỗ hai vector hàng hoặc hai vector cột thì det 𝐴 = −det(𝐴′) 8
Page 9
Ma trận nghịch đảo • Ma trận nghịch đảo: với ma trận vuông 𝐴 ∈ ℝ𝑛×𝑛, nếu tồn tại ma trận 𝐵 ∈ ℝ𝑛×𝑛 thỏa mãn 𝐴𝐵 = 𝐵𝐴 = 𝐼 thì 𝐵 gọi là ma trận nghịch đảo của 𝐴, kí hiệu 𝐵 = 𝐴−1. Tính chất: 1. 𝐴−1 tồn tại khi và chỉ khi 𝐴 là không suy biến 2. 𝐴−1 = 𝐴𝑎𝑑𝑗 , với 𝐴 là ma trận có các phần tử 𝑎 = (−1)𝑖+𝑗det(𝐴 ) det(𝐴) 𝑎𝑑𝑗 𝑖𝑗 𝑗𝑖 • Vết của ma trận: trace 𝐴 = σ𝑛 𝑎 𝑖=1 𝑖𝑖 1. trace(𝐴𝐵) = trace(𝐵𝐴) 2. trace 𝑆−1𝐴𝑆 = trace(𝐴) với 𝑆 là ma trận vuông không suy biến bất kỳ 9
Page 10
Không gian nhân và không gian ảnh • Phép biến đổi tương đương: Phép biến đổi 𝐴 thành 𝑆−1𝐴𝑆, trong đó 𝑆 là một ma trận vuông không suy biến bất kỳ, gọi là phép biến đổi tương đương. • Ma trận 𝐴 ∈ ℝ𝑚×𝑛 • Không gian nhân: ker 𝐴 = 𝑥 ∈ ℝ𝑛 𝐴𝑥 = 0} • Không gian ảnh: im{𝐴}={𝑦 ∈ ℝ𝑚 |𝑦 = 𝐴𝑥} 1. rank 𝐴 = dimim 𝐴 2. dim im(𝐴) + dimker(𝐴) = 𝑚 3. Nếu 𝐴 là ma trận vuông kiểu 𝑛 × 𝑛 thì Im(A) và Ker(A) là hai không gian con của ℝ𝑛. Mọi phần tử 𝑥 ∈ ℝ𝑛 có thể phân tích duy nhất thành 𝑥 = 𝑥 + 𝑥 , trong 1 2 đó 𝑥1 ∈ 𝐼𝑚(𝐴) và 𝑥2 ∈ 𝐾𝑒𝑟(𝐴). 4. Nếu 𝐴 = 𝐴⊤ thì im(𝐴) và ker(𝐴) là hai không gian trực giao 10
Page 11
Giá trị riêng và vector riêng • Cho ma trận 𝐴, một số thực (phức) 𝜆 được gọi là giá trị riêng và vector 𝑥 được gọi là vector riêng bên phải ứng với giá trị riêng 𝜆 của 𝐴 nếu: 𝐴𝑥 = 𝜆𝑥 ⟺ 𝐴 − 𝜆𝐼 𝑥 = 0 • Đa thức đặc tính của 𝐴: det 𝐴 − 𝜆𝐼 • Định lý (Cayley - Hamilton). Nếu đa thức đặc tính của A có dạng det 𝜆𝐼 − 𝐴 = 𝑝 𝜆 = 𝜆𝑛 + 𝑎 𝜆𝑛−1 + ⋯+ 𝑎 𝜆 + 𝑎 𝑛−1 1 0 thì ta cũng có 𝑝 𝐴 = 𝐴𝑛 + 𝑎 𝐴𝑛−1 + ⋯+ 𝑎 𝐴 + 𝑎 𝐼 = 𝟎 𝑛−1 1 0 trong đó 𝑎 = (−1)𝑛det(𝐴) và 𝑎 = −trace(𝐴) 0 𝑛−1 • Các giá trị riêng của ma trận bất biến với phép biến đổi tương đương, phép chuyển vị 11
Page 13
Xây dựng mô trình trạng thái Ví dụ 1: Xét cơ hệ như trên hình vẽ: Phương trình vi phân mô tả hệ: 𝑚𝑦ሷ + 𝑏𝑦ሶ + 𝑘𝑦 = 𝑢 Định nghĩa biến trạng thái: 𝑥1(𝑡) = 𝑦(𝑡), 𝑥2(𝑡) = 𝑦ሶ(𝑡) Mô hình trạng thái: 𝑥ሶ1 = 𝑥2 0 1 0 𝑘 𝑏 1 𝑥പሶ = 𝑘 𝑏 𝑥പ + 1 𝑢 𝑥ሶ = − 𝑥 − 𝑥 + 𝑢 − − 2 𝑚 1 𝑚 2 𝑚 𝑚 𝑚 𝑚 𝑦 = 𝑥1 𝑦 = 1 0 𝑥പ 13
Page 14
Xây dựng mô trình trạng thái • Vẽ sơ đồ khối mô tả quan hệ các biến 𝑥1, 𝑥2, 𝑢, 𝑦 của hệ: 𝑥ሶ1 = 𝑥2 𝑘 𝑏 1 𝑥ሶ2 = − 𝑥1 − 𝑥2 + 𝑢 𝑚 𝑚 𝑚 𝑦 = 𝑥1 14
Page 15
Phương trình trạng thái u (t ) y (t ) 1 Hệ thống kỹ 1 . thuật . . . . x x . u (t ) 1, , n y (t ) m r Vector tín hiệu vào: Vector biến trạng thái: Vector tín hiệu ra: 𝑢1(𝑡) 𝑥1(𝑡) 𝑦1(𝑡) 𝑢ഫ(𝑡) = ⋮ ∈ ℝ𝑚 𝑥പ(𝑡) = ⋮ ∈ ℝ𝑛 𝑦പ(𝑡) = ⋮ ∈ ℝ𝑟 𝑢𝑚(𝑡) 𝑥𝑛(𝑡) 𝑦𝑟(𝑡) • Mô hình trạng thái: 𝑑𝑥പ ൞ = 𝐴𝑥പ + 𝐵𝑢ഫ 𝑑𝑡 𝑦പ = 𝐶𝑥പ + 𝐷𝑢ഫ 𝐴 ∈ ℝ𝑛×𝑛: ma trận hệ thống, 𝐵 ∈ ℝ𝑛×𝑚: ma trận điều khiển 𝐶 ∈ ℝ𝑟×𝑛: ma trận đầu ra, 𝐷 ∈ ℝ𝑟×𝑚: ma trận truyền thẳng 15
Page 16
Mô hình trạng thái 𝑥പሶ 𝑡 = 𝐴𝑥പ 𝑡 + 𝐵𝑢ഫ 𝑡 ൝ 𝑦 𝑡 = 𝐶𝑥പ 𝑡 + 𝐷𝑢ഫ 𝑡 പ 𝐷 𝑈 𝑠 𝐼 𝑋 𝑠 𝑌 𝑠 𝐵 𝐶 𝑠 𝐴 Sơ đồ khối mô tả hệ 16
Page 17
Xây dựng mô hình trạng thái Ví dụ 2: Động cơ một chiều 𝑑𝑖𝑎 𝑣𝑎 = 𝑅𝑎𝑖𝑎 + 𝐿𝑎 + 𝑒𝑏 𝑑𝑡 𝑑𝜔 𝑇 = 𝐽 + 𝐵𝜔 𝑑𝑡 trong đó, 𝑒𝑏 = 𝐾𝑏𝜔, 𝑇 = 𝐾𝑡𝑖𝑎. Biến trạng thái: 𝑥1 = 𝜔, 𝑥2 = 𝑖𝑎 Biến điều khiển: 𝑢 = 𝑣𝑎 Biến đầu ra: 𝑦 = 𝜔 Mô hình trạng thái: 𝐵 𝐾𝑡 𝐵 𝐾𝑡 𝑥ሶ1 = − 𝑥1 + 𝑥2 − 0 𝐽 𝐽 𝑥ሶ1 𝐽 𝐽 𝑥1 1 𝐾 𝑅 1 𝑥ሶ = 𝐾 𝑅 𝑥 + 𝑢 𝑥ሶ = − 𝑏 𝑥 − 𝑎 𝑥 + 𝑢 2 𝑏 𝑎 2 𝐿 2 𝐿 1 𝐿 2 𝐿 − − 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝐿𝑎 𝐿𝑎 17
Page 18
Phương trình trạng thái Ví dụ 3: Xây dựng MHTT từ phương trình vi phân mô tả quan hệ vào – ra cho bởi: 𝑦 𝑛 + 𝑎 𝑦 𝑛−1 +...+𝑎 𝑦ሶ + 𝑎 𝑦 = 𝑢 𝑛−1 1 0 Định nghĩa biến trạng thái: 𝑥 = 𝑦, 𝑥 = 𝑦ሶ,…,𝑥 = 𝑦 𝑛−1 1 2 𝑛 Ta có các phương trình: 𝑥ሶ1 = 𝑥2, 𝑥ሶ2 = 𝑥3,…, 𝑥ሶ𝑛−1 = 𝑥𝑛 𝑥ሶ𝑛 = −𝑎0𝑥1 − 𝑎1𝑥2 − ⋯− 𝑎𝑛−1𝑥𝑛 + 𝑢 Dạng ma trận: 𝑥ሶ1 0 1 0 ⋯ 0 𝑥1 0 𝑥ሶ2 0 0 1 ⋱ ⋮ 𝑥2 0 𝑥പሶ = ⋮ = ⋮ ⋮ ⋱ ⋱ 0 ⋮ + ⋮ 𝑢 𝑥ሶ𝑛−1 0 0 ⋯ 0 1 𝑥𝑛−1 0 𝑥ሶ −𝑎0 −𝑎1 −𝑎2 ⋯ −𝑎𝑛−1 𝑥𝑛 1 𝑛 𝑦പ = 𝑥1 = 1 0 ⋯ 0 𝑥പ 18
Page 19
Quan hệ MHTT và hàm truyền • Xét MHTT của hệ SISO (𝑚 = 𝑟 = 1): 𝐵 = 𝑏,𝐶 = 𝑐⊤,𝐷 = 𝑑 𝑑𝑥പ ൞ = 𝐴𝑥പ + 𝑏പ𝑢,𝑥പ 0 = 0 𝑑𝑡 𝑦 = 𝑐പ⊤𝑥പ + 𝑑𝑢 𝑠𝑋ഫ(𝑠) = 𝐴𝑋ഫ(𝑠) + 𝑏പ𝑈(𝑠) ⇔ 𝑋ഫ(𝑠) = 𝑠𝐼 − 𝐴 −1𝑏പ𝑈(𝑠) Biến đổi Laplace cả hai vế của phương trình thứ nhất (sơ kiện bằng 0): Ảnh Laplace của phương trình thứ hai: 𝑌(𝑠) = 𝑐പ⊤𝑋ഫ(𝑠) + 𝑑𝑈(𝑠) 𝑌(𝑠) Nhận xét: bậc đa thức tử số của Từ đó suy ra: 𝐺(𝑠) = = 𝑐പ⊤ 𝑠𝐼 − 𝐴 −1𝑏പ + 𝑑 𝐺(𝑠) luôn nhỏ hơn hoặc bằng 𝑈(𝑠) bậc đa thức mẫu số 𝐴ሚ Do (𝑠𝐼 − 𝐴)−1= 𝑎𝑑𝑗 , 𝐴ሚ = 𝑠𝐼 − 𝐴 det(𝑠𝐼 − 𝐴) 𝑐പ⊤𝐴ሚ 𝑏പ ሚ 𝑖+𝑗 ሚ ⇒ 𝐺(𝑠) = 𝑎𝑑𝑗 + 𝑑 𝐴𝑎𝑑𝑗 = [𝑎𝑖𝑗], 𝑎𝑖𝑗 = (−1) det𝐴𝑗𝑖 det(𝑠𝐼 − 𝐴) (𝐴ሚ : ma trận 𝐴ሚ xóa đi hàng 𝑗 cột 𝑖) 𝑗𝑖 19
Page 20
Quan hệ MHTT và hàm truyền • Ví dụ 4: Tìm hàm truyền của hệ cho bởi MHTT 0 1 𝑥പሶ = 𝑘 𝑏 𝑥പ + 0 𝑢,𝑥പ 0 = 0 − − 1 𝑚 𝑚 𝑦 = 1 0 𝑥പ 𝑏 0 1 𝑠 −1 1 𝑠 + 1 𝑠𝐼 − 𝑘 𝑏 = 𝑘 𝑏 ⇒ 𝑠𝐼 − 𝐴 −1 = 𝑚 2 − − 𝑠 + 𝑏 𝑘 𝑘 𝑚 𝑚 𝑚 𝑚 𝑠2 + 𝑠 + − 𝑠 𝑚 𝑚 𝑚 𝑏 1 𝑠 + 1 0 1 ⇒ 𝐺(𝑠) = 𝑐പ⊤ 𝑠𝐼 − 𝐴 −1𝑏പ = 1 0 𝑚 1 = 2 𝑘 𝑏 𝑘 𝑚𝑠2 + 𝑘𝑠 + 𝑏 𝑠2 + 𝑠 + − 𝑠 𝑚 𝑚 𝑚 𝑚 20
Showing the first 20 pages. Download the document to see it all.
Comments (0)
No comments yet. Be the first!